TURUNAN

Report
TURUNAN
Turunan di satu titik
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
mPQ
f ( x  h)  f ( x )

h
Jika x+h  x , maka tali busur PQ
akan berubah menjadi garis singgung
di ttk P dgn kemiringan
f(x  h)  f(x)
m  lim
h 0
h
Q
f(x+h)
f(x)
f(x+h)-f(x)
P
h
x
X+h
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat
sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada
saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda
berada di f(c+h).
Perubahan waktu
f(c)
Perubahan
f(c+h) posisi
c
c+h
s
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
vrata  rata
f (c  h )  f (c )

h
Jika h
0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
v  lim vrata rata  lim
h 0
h 0
f ( c  h )  f (c )
h
Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapat
Dituliskan sebagai berikut
v  lim vrata  rata
h 0
f ( x  h)  f ( x )
 lim
h 0
h
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan
kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada
dalam satu tema, yaitu turunan :
Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan
lambang f’(x) dan didefinisikan sebagai berikut :
f(x  h)  f(x)
f ' ( x)  lim
h 0
h
Notasi dari turunan fungsi f(x) :
df ( x)
dy
dy
, y' ( x), (bentuk
disebut notasi Leibnitz )
dx
dx
dx
Contoh :
Diketahui
f(x)
tentukan f’(x) jika :
-. f(x) = C
f ( x  h)  f ( x )
cc
lim

lim
(
) 0
Jawab : f’(x) = h0
h

0
h
h
-. f(x) = x
f ( x  h)  f ( x )
xhx
lim

lim
(
) 1
Jawab : f’(x) = h0
h 0
h
-. f(x) = x2
Jawab : f’(x) =
h
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) 2  x 2
lim
 lim(
)
h 0
h

0
h
h
( x 2  2 xh  h 2 )  x 2
h( 2 x  h)
 lim
 lim
 2x
h 0
h 0
h
h
-. f(x) = x3
Jawab :
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) 3  x 3 )
 lim
f’(x) = lim
h 0
h 0
h
h
x 3  3x 2 h  3xh2  h3  x 3
h(3x 2  3xh  h 2 )
 lim
 lim
 3x 2
h 0
h
h
h 0
-. f(x) = xn
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) n  x n )
 lim
Jawab : f’(x) = lim
h 0
h 0
h
h
x n  nxn 1h  (...)h 2  ...  h n  x n
 lim
h
h 0
h(nxn 1  (...)h  ...  h n 1 )
 lim
 nxn 1
h
h 0
Secara umum dapat dirumuskan jika :
f ( x)  c  f ' ( x)  0
f ( x)  x  f ' ( x)  1
f ( x)  x 2  f ' ( x)  2 x
f ( x)  x 3  f ' ( x)  3x 2

f ( x)  x n  f ' ( x)  nxn 1
Untuk :
f ( x)  axn  f ' ( x)  naxn1
Contoh Soal :
Tentukan turunan dari f(x) jika :
a. f(x) = 2x2 + 3x - 5
b. f(x) = 3 x 
2 5
 1
2
x
x
Jawab :
a. f(x) = 2x2 + 3x - 5
2 5
 1
2
x
x
 3x  2 x 2  5x 1 1
f’(x) = 4x + 3
b. f(x) = 3 x 
f(x) = 3 – 4x-3 +5x-2
4 5
3 3  2
x
x
Soal
Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :
1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6
2. f(x) = 2x7 + 5x
3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4
3
2
4. f(x) = 3 x  2 x  2  3  7
x 3x
4
5. f(x) = ( 2x + 3 )2
1 2
6. f(x) = ( 2  2 )
x
2
2
3
3
x

2
x

2
x

3
7. f(x) =
3x
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan
aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1.
d  f(x)  g(x) 
 f ' (x)  g ' (x)
dx
d  f ( x) g ( x) 
 f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
2.
dx
3.
d  f ( x ) g ( x )  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
dengan g(x) ≠0.

2
dx
g ( x)
Tampilan lain
Notasi Leibniz
1. (u  v)’ = u’  v’
1. d(uv)/dx = du/dxdv/dx
2. (cu)’ = cu’, c konstanta
2. d(cu)/dx = c(du/dx), c konstanta
3. (uv)’ = uv’ + vu’
3. d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)
4. (u/v)’ = (vu’ – uv’)/v2
4. (d/dx)(u/v)=(v du/dx – u dv/dx)/v2
Bukti aturan ke-2
Misal u(x) = f(x).g(x)
u ( x  h)  u ( x )
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x ) g ( x )
 lim
h 0
h 0
h
h
u ' ( x)  lim
 lim
h 0
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h) g ( x )  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x )
h
g ( x  h)  g ( x)
f ( x  h)  f ( x) 

 lim f ( x  h)
 g ( x  h)

h0
h
h

g ( x  h)  g ( x )
f ( x  h)  f ( x )
 lim g ( x  h) lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
 f ( x ) g ' ( x)  g ( x ) f ' ( x )
 lim f ( x  h) lim
 f ' ( x) g ( x)  f ( x ) g ' ( x )
Contoh
3
2
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x)  x  3x  4
Jawab :
f ' ( x)  3x 2  3.2x  0  3x 2  6 x
2. Tentukan turunan pertama dari f ( x)  ( x 3  1)(x 2  2x  3)
Jawab :
2
2
3
f ' ( x)  3x ( x  2x  3)  ( x  1)(2x  2)
 3x 4  6 x 3  9 x 2  2 x 4  2 x 3  2 x  2
 5x 4  8x3  9 x 2  2 x  2
x3
3.Tentukan turunan pertama dari f ( x ) 
x2  1
Jawab :
f' ( x) 
1.( x 2  1 )  2 x( x  3 )
( x 2  1 )2

 x 2  6x 1
( x 1)
2
2
.
x 2  1  6x  2x 2
( x 2  1 )2
Tentukan fungsi turunan pertama dari
1. f ( x)  x
1/ 2
 3 x2 1
f ( x)  ( x  1) ( x 3  2x  1)
x 1
3. f ( x ) 
x 1
2.
x
x2 1
x2 1
5. f ( x)  2
x 1
4. f ( x) 
Perhatikan gambar di samping.
Misalkan =AOB adalah sudut pusat
lingkaran dengan jari jari =1.
B
Luas ▲ = ½ a.t dan luas juring = ½ r2.t
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB
Sehingga ½  cos2  ≤ ½ sin  cos  ≤ ½  .1
Bagi dengan ½  cos  > 0 diperoleh;

cos  
sin 


1
cos 
Sehingga :
lim
 0

OC= cos 
O
Jika →0 maka cos →1 sehingga :
sin 
D
1
1  lim
 0
sin 

1
; CB= sin 
A
C
a. f ( x)  sin x  f ' ( x)  cos x
b. f ( x)  cos x  f ' ( x)   sin x
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
sin(x  h)  sin x
h 0
h
f ' ( x)  lim
h
h
2 cos(x  ).sin( )
2
2
 lim
h0
h
h
sin( )
h
2 )
 lim cos(x  ).(
h 0
h
2
2
 cos x.1
 cos x.
b. Misal f(x) = cos x maka
cos( x  h)  cos x
cos x cos h  sin x. sin h  cos x
 lim
h 0
h 0
h
h
cos x(cos h  1)  sin x sin h
 lim
h 0
h
f ' ( x)  lim
h
cos x( sin 2 )
2  sin x sin h
 lim
h 0
h
h
 lim(
h 0
h
)h
2  sin x sin h )
(h / 2) 2 4
h
cos x ( sin 2
2
sin h
 sin(h / 2)  h
 cos x lim  
  sin x lim
( h / 2 )0
h0
h
 h/2  4
 cos x .0  sin x.1
  sin x
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh Dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk
u/v
1
d tanx  d sin x cosx  cos2 x  sin 2 x
2



sec
x
c.

2
2
cos x
cos x
dx
dx
 1   csc 2 x
d cotx  d cos x sin x   sin 2 x  cos2 x

d.


sin 2 x
dx
dx
sin 2 x
d secx  d  1cos x 
sin x sin x 1
 tan x sec x
e.



2
dx
dx
cos x cos x cos x
d csc x  d  1sin x   cos x
cos x 1
 csc x cot x
f.




2
sin x
sin x sin x
dx
dx
Soal Latihan
Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut ini :
a. f(x) = sin 3x + cos 2x
b. f(x) = x2 sin 2x
c. f(x) = sin2 x
d. f(x) = 3 cos2 x
e. f(x) = tan x
f. f(x) = tan2 x
g. f(x) = ½ tan x sin 2x
dy
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika
du
dy dy du

dan
du
dx
ada ,
dx du dx
dy
dari y  sin(x 2  1)
Contoh 1: Tentukan
dx
Jawab :
2
Misal : u  x  1 sehingga bentuk diatas menjadi y  sin u
Karena
dy
 cos u dan du  2 x
du
maka
dx
dy
 cos( x 2  1) 2 x  2x cos(x 2  1)
dx
Jika f(x)= un maka f’(x)=nu’un-1
Contoh 2 :
Tentukan turunan dari : y = (3x2+4)4
Jawab :
Misal u=(3x2+4)
maka du  6 x
dx
Dan y= u4
maka dy
 4u 3
du
dy dy du
sehingga :
 .
= 6x.4u3
dx du dx
= 6x.4(3x2+4)3
= 24x.(3x2+4)3
Turunan dari y = (3x2+4)4
adalah y’= 24x.(3x2+4)3
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan dy , du , dv
Ada, maka
du dv dx
dy dy du dv

dx du dv dx
dy
4
3
dari y  Sin ( x  5)
dx
dv
3
 3 x2
v

x

5
Jawab : Misal
dx
Contoh 3: Tentukan

u = Sin v
y  u4
sehingga
 dudv  cos v  cos( x

3
 5)
dy
 4 u 3  4Sin 3 ( x 3  5)
du
dy dy du dv
 . .  12 x 2 Sin 3 ( x 3  5) Cos ( x 3  5)
dx du dv dx
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari
x2  2 x  5
4
2
4. y  cos 4 x  x
1. y  2
x  2x  3
2

2.
y   2x  310
3.
y  sin3 x

 x 1
y



5.
 x 1
6.
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva.
Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatu
Kurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut :
dy
m = f’(x) =
dx
Contoh Soal:
Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva :
a. y = x2 -3x +4
b. y = sin x
Jawab :
a. y = x2 -3x +4
b. y = sin x
di titik
A. ( 2,2 )
1
untuk x = 3 
gradien m = y’ = 2x – 3
di titik ( 2,2 )
m = y’ = 2.2 – 3 = 1
1
gradien m = y’ = cos x
untuk x = 3 
m = cos
1
= ½
3
Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung
Terhadap suatu kurva di titik tertentu .
Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan
Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb:
Y – y1 = f’(x) ( x – x1)
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 – 2x + 3
Dititik P(2,7).
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2 – 2 di titik ( 2,7) maka
m = f’(x) = 10
Persamaan garis singgungnya ,
Y – y1 = f’(x)(x-x1)
yaitu
y – 7 = 10 ( x – 2 )
y – 7 = 10 x – 20
y = 20 x - 13
Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki
Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan
Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut :
Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan
Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1
Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 3x + 2
Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4
Jawab :
Gradien garis singgung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4
m1 = m2 = 3
maka 2x – 3 = 3 ; x = 3
untuk x = 3 nilai y = 32 – 3.3 + 2 = 2
maka titik singgungnya di ( 3,2)
Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah :
Y–2=3(x–3)
Y = 3x – 11
Selain digunakan untuk menentukan gradien garis singgung, turunan
Juga digunakan untuk menentukan kelajuan. Jika suatu variabel x
adalah fungsi dari waktu laju perubahan x terhadap waktu dinyatakan
Dalam dx/dt.
Contoh soal :
Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2, tentukan
Kecepatan mobil saat t=3.
Jawab.
Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t
Maka v = -3 -4.3
= - 15
saat
t=3
Contoh soal :
Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3s-1
Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. Hitung
kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak.
Maka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h
1
1
v   r 2 h Karena r = ½ h maka v   h 3
3
12
Diketahui dv/dt = 5 cm3s-1
dv 1
2 dh
Air berjarak 5 cm dari puncak
 h
Maka air telah turun sejauh
dt 4
dt
h = 20 – 5 = 15 cm
1
2 dh
5  h
4
dt
dh 20
Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah :

2
dt  h
dh
20
4.5
4



cm3s-1
2
dt  15  .15.15 45.
10
r
20
h
1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4 + 12x – 5
Di titik ( 1, 11)
2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3 - 23x – 2
Yang sejajar dengan garis y = x - 7
3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 6x + 4
Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5
4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0)
yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4).
5.Seorang mahasiswa memakai sebuah sedotan untuk minum dari
gelas kertas berbentuk kerucut yang sumbunya tegak, dengan laju 3
cm3/detik. Jika tinggi gelas 10 cm dan diameter mulut gelas 6 cm,
seberapa cepat menurunnya permukaan cairan pada saat kedalaman
cairan 5 cm?
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit, dy/dx dapat
diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan
menganggap y sebagai fungsi dari x.
Contoh:
Cari dy/dx jika 4x2y – 3y = x3 – 1
Penyelesaian:
Cara 1:
y(4x2 – 3) = x3 – 1
y
x3  1
= 2
4x  3
dy (4 x 2  3)(3x 2 )  ( x3  1)(8x) 4 x 4  9 x 2  8x


2
2
dx
(4 x  3)
(4 x 2  3) 2
Cara 2
Turunkan kedua ruas. Diperoleh:
dy
dy
 y  8 x  3  3x 2
dx
dx
dy
(4 x 2  3)  3x 2  8 xy
dx
dy 3x 2  8 xy

dx
4x2  3
x3  1
Jika disubstitusi y  2
4x  3
Maka
4x2 
dy (4 x 2  3)(3 x 2 )  ( x 3  1)(8 x) 4 x 4  9 x 2  8 x


2
2
dx
(4 x  3)
(4 x 2  3) 2

similar documents