x - Yogha Roxana

Report
MODUL 3
TURUNAN FUNGSI
Kalkulus Prayudi
Modul V : Turunan Fungsi
1
TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi f ditulis f’ adalah
fungsi lain yang didefinisikan oleh :
f ( x )  lim
f(x  h)  f(x )
h 0
Notasi dan pengertian turunan fungsi
y 
dy
v (t ) 
ds
dx
h
jika limitnya ada
y
dt
m 
dm
q 
dq
dt
f(x+h)
dt
f(x+h)-f(x)
dh
f(x)
dT
h
x
Kalkulus Prayudi
x+h
x
dP
dV
Modul V : Turunan Fungsi
Gradien garis singgung
Kecepatan sesaat
Laju massa per satuan
waktu
Laju perubahan panas
per satuan waktu
Perubahan entalpi
akibat perubahan
temperatur
Perubahan tekanan
akibat perubahan
volume
2
Contoh Menghitung Turunan:
f (x)  3x
Hitung f’(x)
2
 4x  6
f (x) 
x
2x  3
Jawab :
f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6
= 3x2 + 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6
f(x+h)-f(x) = 6xh +
f ( x )  lim
– 4h
f (x  h)  f (x)
h0
 lim
3h2
h
6 xh  3 h
h0
2
f (x  h) 
x h
2( x  h )  3
f (x  h)  f (x) 

h
2x  3
3h
( 2 x  3 )( 2 x  2 h  3 )
3h
f ( x )  lim
h  0 h ( 2 x  3 )( 2 x  2 h  3 )
= 6x - 4

Kalkulus Prayudi

( 2 x  3 )( 2 x  2 h  3 )
 lim ( 6 x  3 h  4 )
h0
2( x  h )  3
x
( 2 x  3 )( x  h )  x ( 2 x  2 h  3 )
 4h

x h
3
(2 x  3 )
Modul V : Turunan Fungsi
2
3
Menghitung Turunan
Grafik fungsi f(x)
Y=1.5x2–4x+6
Y=2
Y=5-(x-3)2
Y=4x-x2
Y=-2(x-3)
Y=2x
Y=4-2x
lim f ( x )  4
lim f ( x )  4
x2
x2
f ( 2 ) tidak ada
Kalkulus Prayudi
Y=3x-4
f ( 2 )  2
Modul V : Turunan Fungsi
4
Rumus Dasar Turunan Fungsi
d
(1).
dx
( 2 ).
dx
d
( 3 ).
dx
( 4 ).
( 5 ).
d
d
dx
d
dx
Contoh-contoh
(1). y=5x4 + 5x - 10
(k )  0
n 1
n
( x )  nx
( uv )  v
du
dx
du
dx

dv
v
dx
(10 )
u=x4+10 v=x5 – 5
u′=4x3
v′=5x4
dx
u
dv
dx
u
dv
d u 
dx
dx
( 6 ).
 
2
dx  v 
v
u
u v  u v 
y   y 
2
v
v
Kalkulus Prayudi
dx
d
(2). y = (x4 + 10)(x5 – 5)
y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4)
y=uv  y' = u' v + uv'
du
dx
(x) 
 5 ( 4 x )  5 (1)  0
dx
(u  v ) 
d
4
(x )  5
3
du
( ku )  k
d
y  5
( 3 ). y 
x
x
y 
3
4
4
3
(x
4
u=x3+4
u′=3x2
2
 3 )( 3 x )  ( x
(x
Modul V : Turunan Fungsi
4
 3)
v=x4 + 3
v′=4x3
3
3
 4 )( 4 x )
2
5
Aturan Rantai
Misalkan diberikan, y = (x4 + 3)6
u=g(x)
du
dx
dy
dx
dy
dx

u=g(x)
v=h(u)
y=f(v)
u=x4+1
v=4+3u5
y=v7
x
y=f(u)
u=x4+3
x
 4x
dy
du
 6( x

4
y=u6
dy
3
du
du
dx
5
 6u
5
du
dx
3
 ( 6 u )( 4 x )
5
Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7
3
 3) (4 x )
dy
dx

dy
dv
 4x

dv
3
dv
du
du

du
dx
 15 u
6
4
4
 1) }( 4 x )
5 6
4
dv
 7v
3
5 6
 1] ) }{15 ( x
4
4
3
4
Rumus Umum
y=f(u), u = g(x)  y=f(g(x))
y=f(v), v = h(v), u = g(x)  y=f{h[g(x)]}
dx

dy
du
Kalkulus Prayudi

du
dx
dy
dx
Modul V : Turunan Fungsi

dy
dv

dv
du

3
 1) }( 4 x )
Rumus Umum
dy
6
 ( 7 v )( 15 u )( 4 x )
 { 7 ( 4  3 u ) }{15 ( x
 {7 ( 4  3[ x
dy
4
du
dx
6
SOAL LATIHAN
(1). y  3x
10
 4x
(2). y  2x - 5x
( 3 ). y  2x
3
( 4 ). y  3x
4
- 4x
x
-
4/3
( 6 ). y  (2x
4
( 7 ). y  (3x
4
( 8 ). y  (x
2
4/5
4
 4 )( 3 x
 2 x )( 4 x
 3)(x
4
3
3
- 2/3
(12).y 
x
x
3/4
(13). y 
3
2
 2
2
 4
4
2
(x
2
 1)(x
x
 10 x )
5
(14). y 
(x
2
 4 )( x
5
 4)

6
  5x 6 
5

x
(x



 5
1
  x 
2

x
x
(15). y 
2
2
3
 1)
 2
 1)(x
x
 2x)

4
4
 1) 3x 
3

x
Kalkulus Prayudi
3
x
 10x
 10x

3
3
( 9 ). y   4x 
4

x
(10 ). y  ( x
 10x
- 4/5
5
x
2/3
 10x
 5x
2
(5). y 
4
(11). y 
3
x
3
3
1
3
1
 1)(x
2
 x)
 2)



Modul V : Turunan Fungsi
7
Dengan menggunakan rumus-rumus aturan
rantai hitunglah, dy/dx
(16). y  (x
4
(17). y  (x
4
 2x)
 2x
(18). y  [4  (x
3
(19). y  [6  (2x
(20). y  x
2
x
(21).y 
x
3
(22).y 
x
x
2
1
3
1
Kalkulus Prayudi
(23). y  (x
3
 3)
5 7
1
4
 2) ( x
5
 2) ]
 3x
2
2 7 5
 x 3  1

(24). y  
 3

x

1


) ]
(25).y 
(x
(x
2
 1)
2
2
 1)
3
4
 1)
2
4
2
2
x
3
8
3
Modul V : Turunan Fungsi
8
Rumus Dasar Turunan Trigonometri
d
(1).
dx
( 2 ).
( 3 ).
d
dx
d
dx
du
(sin u )  cos u
dx
(cos u )   sin u
(tan u )  sec
( 4 ).
2
u
du
( 5 ).
dx
du
d
dx
d
dx
( 6 ).
dx
(sec u )  sec u tan u
du
dx
(csc u )   csc u cot u
d
dx
(cot u )   csc
2
u
du
dx
du
dx
Contoh-contoh
Hitunglah y′ dari :
y=x4
sin 3x
Hitunglah y′ dari : y 
x
( x  sec
Jawab
Jawab
u=x4, v=sin 3x
u=x, v=x+sec2x
u′=4x3, v′=3 cos 3x
u′=1, v′=1+2sec2x tan x
y′ = u v′ + u′v
= x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x
Kalkulus Prayudi
y 
( x  sec
2
Modul V : Turunan Fungsi
x )1  x (1  2 sec
( x  sec
2
x)
2
2
x)
x tan x )
2
9
Hitunglah y′ dari : y = cos4(x2 + 1)
Jawab:
y= [cos(x2+1)]4
x
u=x2+1
v=cos u
y=v4
du
dv
 2x
dx
dy
du
dy
  sin u
dv
Hitunglah y′ dari : y = cos(x2 + 1)4
Jawab:
x
u=x2+1
v=u4
y=cos v
 4v
du
3
dx
dy
3
 ( 4 v )(  sin u )( 2 x )
dx
dx
= 4(cos
u)3 {–sin(x2+1)
} (2x)

x

Hitunglah y′ dari : y  sec 3 

 x  1
Jawab:
x
v=u4
w=sec v
u 
x
x 1
du
dx

1
( x  1)
Kalkulus Prayudi
dv
2
du
 4u
3
dw
dv
du
 4u
3 dy
dv
  sin v
3
 (  sin v )( 4 u )( 2 x )
= (-sin u4){4(x2+1)3}(2x)
= 4 [cos(x2+1)]3 {–sin(x2+1)} (2x)
4
dv
 2x
= -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x)
4

 x 
  sec 
 
 x  1 


y=w3
 sec v tan v
3
dy
dx
dy
dw
Modul V : Turunan Fungsi
 3w

dy
dw

dw
dv

dv
du

du
dx
2
10
Dalam soal latihan
hitunglah turunan
dy/dx, untuk fungsifungsi berikut ini.
4
(1).y  x cos 3x
(2). y  (x
5
 1) tan 4 x
( 3 ). y  ( x
6
 2 ) sec 6 x
x
( 4 ). y 
x
( 5 ). y 
x
3
2
 sin 4 x
2
 cos 2 x
x
Kalkulus Prayudi
3
6. y = sin(2 – 3x + x3)
7. y = cos(4 – 8x + x6)
8. y = tan(x + sin x)
9. y = sin(x2) cos2 x
10. y = (1 + x2)5 sec(1 + x2)
11. y = tan(x2 + 1)5
12. y = cot5(x3 + 1)
13. y = (x2 + sin2 x)5
14. y = sec5(tan7(1 + x2))
15. y = (3x + x3)4 sin2 x
16. y = sec3(2x – x2)6
17. y = sin3[cos5(x – 3x2)]
18. y = sin3 x tan4 x
19. y = sec3 x tan2 x
20. y = cos3 x cot4 x
Modul V : Turunan Fungsi
11
Penurunan Secara Implisit
Persamaan fungsi
Penulisan
Menghitung Turunan Fungsi
------------------------------------------------------------------------------------------------(1). y = x3 – sin 4x + 10
Eksplisit
Gunakan rumus-rumus dasar
(2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Implisit
------------------------------------------------------------------------------------------------Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah :
(1) Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan,
(2) Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di
ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan
Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y
Jawab :
d
dx
3x
3
(x ) 
2
 3y
d
dx
3
(y )  3
d
dx
( xy
2
)3
d
dx
2
(x y)
dy 
 2

2 dy 
 3  y  2 xy

3
2
xy

x



dx
dx
dx




2 dy
Kalkulus Prayudi
Modul V : Turunan Fungsi
dy
dx

y
2
 2 xy  x
2
2 xy  x
y
2
2
12
Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi
Turunan
Pertama
Notasi
y
dy
x5
sin 2x
5x4
2 cos 2x
dx
Kedua
y 
Ketiga
y 
2
Keempat
y(4)
3
Kelima
y(5)
Ke-n
4
20(3x2)
Kalkulus Prayudi
- 8 cos 2x
d y
2
(  1)(  2 ) 2
60(2x)
16 sin 2x
dx
n
d y
n
Modul V : Turunan Fungsi
32 cos 2x
3
3
3
4
4
(  1) ( 4 ! ) 2
(2 x  3 )
120 (1)
2
(  1) ( 3 ! ) 2
(2 x  3 )
4
5
dx
(  1) 2
(2 x  3 )
5
y(n)
- 4 sin 2x
3
d y
dx
5(4x3)
2
d y
dx
2x  3
(2 x  3 )
d y
dx
1
4
5
5
(  1) ( 5 ! ) 2
( 2 x  3)
5
6
n
(  1) ( n ! ) 2
(2 x  3 )
n
n 1
13
Dalam soal-soal berikut ini
tentukan turunan pertama, kedua,
dan ketiga dari :
(1) y  x
4
(2 )y 
 3x
x
(3 )y  ( x
4
3
2
 10
4
3
1
4
(6 )y  x
(x
3
4
(9 )y  x
4
3
(13 ). y  sec
b
5 (14 ). y  sin
a
(15 ). y  cos
b
a
( 2 ). y  cos bx
ax
( 3 ). y 
bx
( 4 ). y  3 a  bx
ax
(16 ). y  x (1  x )
ax  b
b
( 5 ). y 
1
( ax  b )
2
sin 5 x
( 7 ) y  cos x
( 8 ) y  tan
 8 x  2)
(1). y  sin bx
(12 ). y  x sin ax
( 4 ) y  ( 5 x  2 ) ( 4 x  1)
(5 )y 
b
(11 ). y  x cos ax
 4x  3
 2)
b
Tentukan rumus turunan
orde-n dari :
3
3
x
cos 3 x
(10 ) y  sec
Kalkulus Prayudi
4
x
Modul V : Turunan Fungsi
14
Soal latihan Khusus
Soal 1.
Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan
pertama, kedua dan ketiga dari
x+b
2
sec y tan y 
(x  b) (x  b)  a
a
y
a
x+b
Kalkulus Prayudi
a
2
2
Soal 2.
Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga
dari
(x  b)
sec y 
2
2
(x  b)  a
Modul V : Turunan Fungsi
15
Deferensial dan Hampiran
Diferensial.
Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari
variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x.
Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh :
dy = f (x) dx
Hubungan antara diferensial dan turunan adalah :
1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan :
f ( x ) 
dy
dx
Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil
bagi dua diferensial.
2) Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan
dengan dx.
3) Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y
variabel bebas
Kalkulus Prayudi
Modul V : Turunan Fungsi
16
Hampiran
Perhatikanlah sketsa berikut ini
Soal-soal
1) Sebelum tangki berbentuk
f(x+x)
silinder dengan ujung-ujungnya
berbentuk setengah bola.
y
Silinder panjangnya 100 cm dan
jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat
dy
yang diperlukan untuk melapisi
bagian luar tangki dengan
f(x)
ketebalan 1 milimeter.
2) Semua sisi kotak baja berbentuk
kubus tebalnya 0,25 inci, dan
x+x
x
volume kotak sebelah dalam
Jika x mendapat tambahan x, maka y
adalah 49 inci kubik. Gunakanlah
mendapatkan tambahan sebesar y,
diferensial untuk mencari
dimana dapat dihampiri oleh dy,
aproksimasi volume baja yang
dimana y = f(x + x) – f(x). Jadi :
digunakan untuk membuat kotak.
f(x + x)  f(x) + dy = f(x) + f (x) x
Kalkulus Prayudi
Modul V : Turunan Fungsi
17
FUNGSI TRANSENDENT
FUNGSI LOGARITMA ASLI
y
Definisi
Fungsi logaritma asli ditulis ln
adalah fungsi yang didefinisikan
oleh,
ln x 
y 
1
x1
1
t
dt
t
R
t=1
t
t=x
Menurut definisi integral tentu :
Sifat-sifat Logaritma Asli
Apabila a dan b adalah bilanganbilangan positif dan r sebuah
bilangan rasional, maka :
(1). ln 1 = 0
(2). ln ab = ln a + ln b
a
A (R ) 
x1
1
t
dt
Kalkulus Prayudi
A(R) = 0, jika x = 1 ( 3 ). ln  ln a  ln b
b
A(R) > 0, jika x >1
r
A(R) < 0, jika x < 1 ( 4 ). ln a  r ln a
Modul IX Fungsi Transendent
18
Turunan Fungsi Logaritma Asli
Dengan menerapkan Teorema dasar
Kalkulus dihasilkan
d
dx
(ln x ) 
d

x1
dx 1 t
dt 
1
Contoh :
Hitung dy/dx dari
y = ln(1 + x2)(1 + x3)
Jawab :
Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3)
du
x
dx
Jika u fungsi dari x yang diferensiabel
dan u(x) > 0, maka
d
dx
(ln u ) 
1 du
u dx
Contoh :
Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)
Jawab :
du
2
 2x  4
Ambil, u = x + 4x + 5.
dx
dy
dx
1

x
2
Kalkulus Prayudi
 4x  5
dy
dx
3
2
2
 ( 2 x )( 1  x )  (1  x )( 3 x )
3

2
2
2 x ( 1  x )  3 x (1  x )
2
3
(1  x )( 1  x )
Cara 2. Dengan sifat logaritma
y = ln(1 + x2)(1 + x3)
= ln(1+ x2) + ln(1+x3)
Maka :
dy
dx
(2 x  4 )
Modul IX Fungsi Transendent

2x
1 x
2

3x
1 x
3

2
3
2
2
2 x (1  x )  3 x (1  x )
2
3
(1  x )( 1  x )
19
Grafik Fungsi Logaritma
sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu
:
(1)Fungsi kontinu si semua bilangan
riil yang terletak pada daerah
asal, x > 0
(2)Grafik fungsinya naik pada
seluruh daerah asal, karena f (x)
= 1/x selalu positif atau lebih
besar 0.
(3)Grafik fungsinya cekung terbuka
kebawah untuk semua titik pada
daerah asal, karena f (x) = –
1/x2 selalu negatif atau lebih kecil
dari 0
(4)Asimtot grafik adalah sumbu y
negatif, dan grafik fungsinya
terketak pada kuadran keempat
Kalkulus Prayudi
Contoh grafik fungsi logaritma
y
Modul IX Fungsi Transendent
y = x ln x
y=ln x
x
20
Contoh Grafik Y = 100 x–2 ln x
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
0
Kalkulus Prayudi
1
2
3
4
5
6
Modul IX Fungsi Transendent
7
8
9
10
21
Diferensial Logaritmik
Menghitung turunan fungsi dengan
menggunakan sifat-sifat logaritma
dan penurunan fungsi secara implisit
Contoh : Hitung dy/dx dari
Contoh : Hitunglah dy/dx dari
y = x3 cos4x (1 + sin x)5
Jawab :
ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5}
= ln x3+ ln cos4x +ln(1 + sin x)5
= 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x)
Diferensial secara implisit
Jawab
x
y 
ln y  ln
 ln x
4
43
( 2  cos x )
( x  tan x )
x
43
3
( 2  cos x )
( x  tan x )
2
3
2
3
 ln( 2  cos x )
 4 ln x 
2
2/3
 ln( x  tan x )
3
ln( 2  cos x )  3 ln( x  tan x )
Diferensial secara implisit
1 dy
y dx

3
x

4 (  sin x )
cos x

5 cos x
1 dy
1  sin x
y dx
5 cos x 
 3 4 sin x
 y 


dx
cos x
1  sin x 
x
dy
Kalkulus Prayudi

4
x

2 sin x )
3 ( 2  cos x )

3 (1  sec
2
x)
x  tan x
2
4
2
sin
x
3
(
1

sec
x ) 

 y



dx
x 3 ( 2  cos x )
x  tan x 


dy
Modul IX Fungsi Transendent
22
FUNGSI EKSPONENSIAL ASLI
Fungsi eksponensial asli ditulis
exp(x) didefinisikan oleh :
Sketsa grafik
y
y=ex
y = exp(x) = ex  x = ln y
Sifat-sifat eskponensial asli :
(1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0
(2). ln(exp x) = ln(ex) = x,
(3). e0 = 1
(4). ln e = 1
(5). ea eb = ea+b
(6). (ea)b = eab
( 7 ).
e
e
a
b
 e
y=x
y = ln x
a b
Kalkulus Prayudi
Modul IX Fungsi Transendent
23
Rumus turunan
(1).
d
dx
( 3 ).
d
dx
x
x
(e )  e (2 )
u
(e )  e
d
dx
(e
ax
)  ae
u du
dx
Contoh :
4
Hitunglah dy/dx dari y  e x ln x
Jawab
Misalkan, u = x4 ln x, y = eu
du
Maka :
dy
dx
3
 4 x ln x  x
dx
 e
 e
ax
Contoh :
2
x
Hitunglah turunan ketiga dari y  e
Jawab
Dengan aturan rantai, dihasilkan
dy
dx
 2 xe
2
d y
dx
2
 2e
x
dx
u du
dx
Kalkulus Prayudi
 2 xe
 ( 2  4 x )e
3
x ln x
2
2
2
3
d y
4
x
3
 8 xe
x
2
x
x
(2 x )
2
2
 ( 2  4 x )e
3
 (12 x  8 x ) e
3
2
x
x
2
(2 x )
2
3
( 4 x ln x  x )
Modul IX Fungsi Transendent
24
Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e–0.5x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
0
Kalkulus Prayudi
2
4
6
8
10
12
Modul IX Fungsi Transendent
14
16
18
20
25
Soal-soal latihan
Hitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :
3
(1) y  ln( x  6 x  4 )
( 2 ) y  ln( x
(3) y  ( x
4
( 4 ) y  ln( x
4
 8 x  6)
 1) ln( x
2
3
3
(x
4
 1)
3
3 4x
4 2x
(7 ) y  x e
3 x
(9 ) y  e
4x
(10 ) y  e
sin 4 x
cos 3 x
2x
3
b
(12 ) y  x sin( a ln x )
 1)
3
a
(13 ) y  x (ln x )
2
b
a  bx
(14 ) y  x e
4
(6) y  x e
(8 ) y  e
3
 1) ( x  1)
( x  1)
( 5 ) y  ln
4
a
(11 ) y  x cos( b ln x )
(15 ) y  sin bx e
 ax
(16 ) y  cos ax e
 bx
Soal Latihan :
Hitunglah dy/dx dari :
(1) y  ( x
(2) y 
a
 sec x )
(tan bx )
x
x
x
b
a
cos bx
a
(3 )y 
x ( x  sec bx )
sin
a
x tan
( 4 ) y  (sin ax )
(5 )y 
(x
a
x
b
b
b
x
 x
cos bx )
cos bx
b
(sec ax  tan bx )
Kalkulus Prayudi
a
Modul IX Fungsi Transendent
27
FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI
Definisi :
(1). y = sin–1x
(2). y = cos–1x
(3). y = tan–1x
(4). y = sec–1x
(5). y = csc–1x
(6). y = cot–1x
Grafik Fungsi Invers Trigonometri
 x = sin y
 x = cos y
 x = tan y
 x = sec y
 x = csc y
 x = cot y
y
y=tan–1 x
x
Catatan :
(i). cos–1x = arc cos x
(ii). cos–1x  (cos x)–1
( iii ).(cos x )
1

1
cos x
Kalkulus Prayudi
 sec x
y=sin–1x
Modul IX Fungsi Transendent
28
Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri
(1).
( 2 ).
( 3 ).
( 4 ).
( 5 ).
( 6 ).
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
sin
1
1
u 
1 u
cos
1
2 dx
1
u  
du
1 u
tan
1
u
cot
1
2
u
sec
1
dy
 1 dx
dx
1
u  
u 
2
1
u  
 2 x sin
du
2
 1 dx
1
u u
2
1
2
d y
dx
x
2
2
 2 sin
x
1
1 x
x
2

1 x
2
x

2
1 x
2
x
1 x
2
du
 1 dx
3
d y
dx
Kalkulus Prayudi
x
1 x
du
1
1
 2 x sin
 1 dx
u u
csc
2 dx
du
1
u 
Contoh
Hitunglah turunan ketiga dari
y=x2 sin–1x + x 1  x 2
Jawab :
du
3

3
1 x
2

Modul IX Fungsi Transendent
x
2
2 3/2
(1  x )

3  2x
2
2 3/2
(1  x )
29
2
Contoh
Hitunglah turunan ketiga dari
y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2 )
Jawab :
dy
 4 x tan
dx
1
2x
x
2x
2
2
dx
2
 4 tan
3
d y
dx
3


1
6
1 x
2
6  2x

x
2x
1 x
4x
v 
x
2
2
2
1
dx
dv
du
dy
sec–1v
dv
2
2 2
dy
dx


dy
dv
1
du
u
y=
2
(1  x )
2
x
2
= 4x tan–1x – ln(1+ x2)
d y
x
u
2
1 x
y  sec
x
1
Jawab :
2
1 x
2
 ln( 1  x ) 
Contoh
Hitunglah turunan dari
dv

du
1
v v
2

1


 2x
2
( x  1)
2
1
2 u
1

v v
2
1
du
dx
1
2 u
 2x
2
( x  1)
2
2 2
(1  x )
Kalkulus Prayudi
Modul IX Fungsi Transendent
30
SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,
(1) y  x
2
(2 )y  x
2
cos
sin
1
1
( a / x )  ax ln( x 
(a / x )  a
2
( 3 ) y  ( x  a ) sec
2
2
Kalkulus Prayudi
tan
1
2
a
2


2
  b (x  a)

b
2
a )
 1 x  a 
( 4 ) y  2 ( x  a ) tan
(5 )y  2 x
x
x
2
b
 1 x  a 


b
2
  b ( x  a ) ln(( x  a )

( a / x )  ax ln( x
2
2
2
b )
2
a )
Modul V : Turunan Fungsi
31

similar documents