2. Lois fondaentales des circuits électriques

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Chapitre II
Loi fondamentales
Loi d’Ohm
v (t) _
• Reliei(t)
le courant
au travers d’une résistance à la
+
v (t) = R i(t)
tension à ses
bornes.
R
i(t)
+
v (t) _
v =v (t)
Ri= R i(t)
R
i(t)
i(t)
_
v (t)
+
_
R i(t)
R
v (t)
+
• Puissance dissipée
R
p=vi = (Ri)i
= Ri2
_
v =v (t)
-Ri=
v (t) =
_
R i(t)
p=v(v/R)=v2/R
Lois de Kirchhoff
• Permettent d’étudier la répartition des courants et
tensions dans les nœuds et mailles d`un circuit
• Branche : composant électrique élémentaire
• Nœud : point de jonction entre deux ou plusieurs branches
• Maille : chemin électrique fermé (boucle) où chaque nœud
est traversé une seule fois
• Maille indépendante : maille qui contient au moins une
branche qui n`est pas partagée avec une autre maille










Circuit avec 5 branches, 2 nœuds, 5
mailles
Circuit avec 4 branches, 3 noeuds et 3
mailles
Analyse des circuits
 Relation entre branches, mailles indépendantes et
nœuds :
# branches = # mailles indép. + # nœuds - 1
Ex.
•
•
•
•
+
_
9 nœuds
5 mailles
4 mailles indépendantes
12 branches
Basic Laws of Circuits
Loi de Kirchhoff sur les courants
• Conséquence de la loi de conservation de l’énergie
• Deux formulations équivalentes :
1. La somme des courants entrants dans un nœud est
égale à la somme des courant sortants
2. La somme algébriques des courants présents dans
un nœud est nulle
Ia
Ic
Id
Ib
Ia + Ib = Ic + Id
I a , I b , I c , a n d I d c a n e a c h b e e ith e r a p o s itiv e
o r n e g a tiv e n u m b e r.
11
ou Ia + Ib – Ic – Id = 0
• Dans la formulation algébrique,
ce qui entre est considéré
positif et ce qui sort négatif
Loi de Kirchhoff sur les courants
Exemple : Trouver les courants IW, I X, IY, IZ
2 A
9 A

IX
12 A

IY

6 A
IW =
-2 A
IX =
-5 A
IY =
-3 A
IZ =
-8 A
IZ
IW
15
Loi de Kirchhoff sur les courants
• S’applique aussi aux surfaces conductrices qu’on
traite comme des nœuds
j N
C irc uit

j 1
k M
ij 

k 1
r Q
C irc uit

r 1
ir  0
m Q
C irc uit

m 1
17
im  0
ik
Loi de Kirchhoff sur les courants
Exemple : Trouver les courants IA, IB, and IC
IB
1
IC
2
Surface 1 : IB = 2A
Nœud 1 : Ic = 0 A
Nœud 2 : IA = 9A
s u rface
1
4A
2A
9A
-2 A
s u rface
2
18
IA
Loi de Kirchhoff sur les tensions
• Vient aussi de la loi de conservation de l’énergie
• Deux formulations équivalentes s’appliquant à une maille
1. La somme algébrique des ddp des sources est égale
à la somme des ddp ailleurs
2. La somme algébriques des ddp par rapport à un
point est nulle
• En partant de a :
V S1

"a"
+
+
_
V1
_
V S3
_
+
R1
_
V3
+
R2
R4
I
+
V2
_
R3
_
_
V4
+
+
V S2
-vs1+vs3-vs2= v1+v2+v4+v3
ou
-vs1-v1+vs3-v2-vs2-v4-v3= 0
• Les signes sont inversés
si on part dans l’autre
sens
Loi de Kirchhoff sur les tensions
• Trouver Vad et Vfc pour le circuit suivant :
20 V
a
b
_
_
10 V
_
+
+
+
c


+
8 V
_
5 V
12 V
_
+
e
_
+
15 V
_
+

f
d
30 V
Partant de a :
Vad + 30 – 15 – 5 = 0
Vab = - 10 V
Partant de f :
Vfc – 12 + 30 – 15 = 0
Vfc = - 3 V
Loi de Kirchhoff sur les tensions
Ex. : pour R1 = 4 , R2 = 11 , V = 50 v, P1 = 16 w,
trouver R3
Solution:
R3
P1 = 16 w = V1I = R1I2, donc :
I= 2A
V
V = I(R1 + R2 + R3), ce qui donne :
R1 + R2 + R3 = 50/2 =25, on en déduit :
R3 = 25 – 15 = 10 ohms
R2
+
_
I
R1
Loi de Kirchhoff sur les tensions
Ex. : Pour le circuit suivant , trouver I, V1, V2, V3, V4 et
a puissance fournie par la source de 10 v
30 V
+
+
_
V1
_
10 V
_
"a"

+
20 
_
V3
_
15 
40 
I
+
V2
+
5 
_
_
+
V4
+
20 V
Partant du point a, et réglant arbitrairement la direction du courant, la loi
de kirchhoff sur les tensions donne :
-1*(+10 – V1 – 30 – V3 + V4 – 20 + V2 = 0)
19
Loi de Kirchhoff sur les tensions
30 V
+
V1
+
_
_
10 V
_
+10 – V1 – 30 – V3 + V4 – 20 + V2 = 0
"a"

+
On a : V1 = - 20I, V2 = 40I, V3 = - 15I, V4 = 5I
20 
_
V3
_
15 
40 
I
+
V2
+
5 
_
_
+
V4
+
Ce qui donne :
10 + 20I – 30 + 15I + 5I – 20 + 40I = 0
20 V
Ou I = 0.5 A.
Par conséquent :
V1 = - 10 V
V3 = - 7.5 V
V2 = 20 V
V4 = 2.5 V
P10(supplied) = -10I = - 5 W (signe – parce que le courant est absorbé par la borne +)
20
Loi de Kirchhoff sur les tensions
• Un circuit complexe peut avoir plusieurs mailles
“b”
-
•
Boucle bleue en començant à “a”
+ v 2
-
v1
+
-
v3
- v5 +
v4
+
+ v7 -
v12
v10
-
-
+ v11 -
Boucle rouge en commençant à “b”
• “a”
v8
+
+
+
- v7 + v10 – v9 + v8 = 0
v6
+
+
-
-
v9 +
+v2 – v5 – v6 – v8 + v9 – v11
– v12 + v1 = 0
Boucle jaune en commençant à “b”
+ v2 – v5 – v6 – v7 + v10 – v11
- v12 + v1 = 0
Circuits élémentaires
• Diviseur de tension
+
v2 _
R2
v
+
+_
i1
R1
v1
_
v = v1 + v2, v1 = R1i1 v2 = R2i1
v = (R1 + R2) i1 , et
i1 =
v
(R1 + R2)
R1
v
Par conséquent : v1 =
(R1 + R2)
Formule très utilisée!
Circuits élémentaires
• Diviseur de tension à résistances multiples :
R3
V
I
+
_
R1
I
V
(R  R  R )
1
17
R2
2
3

V1
V1 
V = V1+V2+V3
= R1I+R2I+R3I
= (R1+R2+R3)I
VR
1
(R  R  R )
1
2
3
Circuits élémentaires
• Résistance équivalente
V S1

"a"
+
+
_
V1
_
V S3
_
+
R1
_
+
+
V3
R2
R4
I
+
V2
VS
_
I
_
R3
_
_
V4
+
+
V S2
Partant du point a, et réglant arbitrairement la direction du courant,
la loi de kirchhoff sur les tensions donne :
VS1 + V1 – VS3 + V2 + VS2 + V4 + V3 = 0
ou
- VS1 - VS2 + VS3 = I(R1 + R2 + R3 + R4)
La comparaison avec VS = ReqI donne
22
VS = - VS1 - VS2 + VS3 ;
Req =
R1 + R2 + R3 + R4
R eq
Circuits élémentaires
• On note que :
• La ddp de la source équivalente à deux ou
plusieurs sources mises en série est égale à la
somme algébrique des ddp individuelles.
• La résistance équivalente à deux ou plusieurs
résistances branchées en série est égale à la
somme des résistances individuelles.
24
Circuits élémentaires
Ex. Trouver le courant I dans le circuit suivant :
10 V
+
40 V
_
_
+
20 
15 
10 
I
5 
+
_
20 V
Le circuit équivalent est :
+
50 V
25
_
I
50 
Par conséquent, I = 1 A
Circuits élémentaires
• Diviseur de courant
I
I
+
I2
I1
R2
R1
+
V
V
_
Req
_
I  I1  I 2
V


R1
V
I
R2
V
R eq
Par conséquent :
1
R eq

1
R1

1
R2

R1  R 2
R1 R 2
et
V  R eq I
Circuits élémentaires
• Diviseur de courant
I
+
V
I2
R2
I1
R1
I1 
_
On aurait eu aussi I 2 
V

R1
IR eq
R1
IR1
R1  R 2

IR 2
R1  R 2
Circuits élémentaires
• Autre conséquence :
I
+
I2
I1
1

R eq
V
_
R2
1
1

R1
R2

R1  R 2
R1 R 2
R1
R eq 
R1 R 2
R1  R 2
• Si on appelle conductance 1/R, alors mettre deux
résistances en parallèle équivaut à additionner leurs
conductances.
6
Circuits élémentaires
• Généralisation à N résistances
I
Ij
R1
Req
R2



Rj



RN
On a :
1
R eq
9

1
R1

1
R2
. . .
1
RN
et
Ij 
IR eq
Rj
Circuits élémentaires
Ex. :
I
R eq  7 
7
+
20 V
+
_
Vx
I2
4
4(12)
12  4
 7  3  10 
I1
12 
20
I 
R eq
20

 2A
10
_
I1 
I2 
14
2(4)
12  4
2(12)
12  4
 0.5 A
 1.5 A
Circuits élémentaires
Ex.
I3
10 
15 A
I1 
1
R eq
17

I2
(  15)( R eq )
4
1
R1

1
R2

1
R3

4
20 
I2 
,
I1
1
4
(  15)( R eq )
,
20

1
20

1
10
I3 
(  15)( R eq )
,
10
 0.25  0.05  0.1  0.4 S

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