Wyk??ad 3

Report
Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013
1
Zdarzenie elementarne -> Z.E.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych -> P.Z.E.
Funkcja prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo) -> prob.
Zmienna losowa (zmienna stochastyczna, funkcja losowa) -> Z.L.
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa (funkcja prawdopodobieństwa) ->
R.G.P.
Lub - rozkład gęstości prawdopodobieństwa -> P.D.F.
(to ostatnie szczególnie popularne w problemach dopasowania modelu
do kolekcji ‘punktów’ pomiarowych)
2
Prob. - P:   A  P(A)  [0, 1]  
P

1
A
0

Prob. wprowadzone formalnie jako funkcja przypisująca każdemu Z.E.
liczbę rzeczywistą – zawsze większą od 0 i mniejszą od 1
- Aksjomaty nie precyzują w jaki sposób przypisywać Z.E. wartości prob.
- Dla konkretnego przypadku sami musimy zadecydować jak to zrobić
- Np. rzut kostką: P(i) = 1/6, rzut monetą P(i) = ½, …
- i: liczba oczek na danej ścianie kostki, orzeł lub reszka, …
3
Np. rzut kostką: P(i) = 1/6, rzut monetą P(i) = ½, …
W obu przypadkach mamy jakieś ‘i’ – szansa na uogólnienie…?

X
 +
xi
i
 -

Zdefiniujmy nową funkcję - X (zmienna losowa, funkcja losowa):
X:   xi  X(xi)  
4
Rozważmy dwa poniższe przykłady:
• podwójny rzut monetą (symetryczną)
•  = {OO, OR, RO, RR} (O – orzeł, R – reszka)
• niech X reprezentuje liczbę wyrzuconych orłów:
Z.E
OO
RO
OR
RR
• pojedynczy rzut kostką
•  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (liczba wyrzuconych oczek)
• mamy: X(1) = 1, X(2) = 2, … X(6) = 6; X(i) = i
Ogólnie: Z.L. jest funkcją, zdefiniowaną na Z.Z.E, która każdemu Z.E. przypisuje liczbę X
• nie wprowadzamy żadnych ograniczeń co do wartości Z.L.
• w zasadzie dowolne przyporządkowanie
• np. dla kostki równie dobre będzie: X(1) = -1000, X(2) = , X(3) = log10(223), …
• zawsze kierujemy się względami praktycznymi
5
Rozróżniamy dwa rodzaje Z.L. (związane z typem P.Z.E.)
• dyskretna – przeliczalna (skończona lub nie) liczba Z.E.
• ciągła – nieprzeliczalna liczba Z.E.
Np. skończona liczba rzutów kostką do gry, 10 rzutów trzema monetami, itp.
Np. wartość chwilowa napięcia zmierzona w gniazdku, wysokość studenta
AGH, itp.
6
Niech Z.L. przyjmuje wartości X = {x1, x2, … xn}
Wiemy, że x1 odpowiada pewnemu Z.E., więc możemy przypisać jej prob.:
P(X = x1) = f(x1)
lub ogólnie:
P(X = xj) = f(xj), j = 1, 2, …, n
Funkcję f(xj) nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa (R.P), lub rozkładem
gęstości prawdopodobieństwa (P.D.F.)
Formalnie: funkcję f(x) nazywamy funkcją prawdopodobieństwa (R.P.) jeżeli:
1)
2)
suma w 2) rozciąga się po wszystkich możliwych wartościach x, dla zmiennej
dyskretnej są to oczywiście wszystkie X = xj, dla wszystkich pozostałych mamy:
f(x) = 0
7
Przykład – rozważmy rzut parą kostek do gry, niech zmienną losową będzie suma
oczek na obu kostkach
X = (suma oczek na K1 + suma oczek na K2)
• Z.Z.E. składa się z 36 ‘dwójek’ (oczka na K1, oczka na K2)
•  = {(1,1), (1,2),…, (5,6), (6,6)}
• każde Z.E. tak samo prawdopodobne: P(j) = 1/36
• czyli X = 2 odpowiada (1,1), P(X = 2) = f(2) = 1/36, itd.
8

X
 +
1
xi
i

0
 -
Z.L. jest jednym z najważniejszych pojęć statystyki
R.G.P. jest podstawowym narzędziem stosowanym do opisu cech zjawiska
losowego, które badamy – statystyka opisowa (pojęcie histogramu Wykład 4)
9
Dystrybuantą (funkcja rozkładu prawdopodobieństwa całkowitego) zmiennej
losowej X, posiadającej F.G.P. f(x) nazywamy funkcję:
F(x) = P(X  x)
Dystrybuanta posiada następujące własności:
1)
2)
3)
4)
1) Z.L. przyjmuje dowolne wartości
2) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą
3) Zachowanie asymptotyczne – całkowite prawdopodobieństwo
4) Dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą
10
Dystrybuantę dla Z.L. dyskretnej, X, wyznaczamy używając jej R.G.P.
F(x) = P(X  x) = u  x f(u)
W tym przypadku pamiętamy, że:
• zmienna losowa przyjmuje wartości ze zbioru: X = {x1, x2, … xn}
• f(u) = 0, gdy u  {x1, x2, … xn}
Dla Z.L. dyskretnej mamy więc:
11
Wróćmy do naszego przykładu z kostkami i wyznaczmy dystrybuantę Z.L. X
Z definicji:
+
-
12
+
-
Ogólne cechy dystrybuanty:
• ‘skokowy’ wzrost funkcji F(x) związany z odpowiednimi prob.
• wartość dystrybuanty dla danej xj określamy pamiętając o ciągłości z prawej strony
• dla przykładu powyżej F(7) = 21/36
• F(x) jest monotonicznie rosnąca
• F(x) jednoznacznie definiuje też f(x) – F.G.P.
• dla zmiennej dyskretnej:
13
Pamiętając już o tym co wiemy o R.G.P. i dystrybuancie dla Z.L. dyskretnej
możemy zdefiniować te same pojęcia dla Z.L. ciągłej
Na przykład – Z.L. jest ciągła, jeżeli prawdziwe jest równanie:
Przy czym, funkcja f(x) spełnia poniższe warunki:
1)
2)
- warunek normalizacji R.G.P. (ZAPISAĆ!)
Z powyższych własności wynikają dwa niezmiernie ważne wnioski:
•
• P(X = a) = 0! – prob. zdarzenia ‘punktowego’
• np. jakie jest prob., że wybrany losowo student ma wzrost 181.5 cm?
• jakie jest prob., że wzrost losowo wybranego studenta zawiera się w
przedziale (180.0, 185.0) cm
14
Przykład – czy poniższa funkcja może reprezentować R.G.P. ciągłej Z.L.?
1) Funkcja jest nieujemna na podanym przedziale zmienności
2) Warunek normalizacji daje nam:
Powyższa funkcja reprezentuje R.G.P. gdy:
Mając R.G.P. możemy np. zapytać: jakie jest prob., że Z.L. X2 zawiera się
pomiędzy 1/3 i 1?
15
Przykład – dla funkcji z poprzedniego slajdu znajdziemy dystrybuantę
Możemy zauważyć następujący związek:
• z definicji Z.L. ciągłej:
• wiemy również, że:
Możemy więc zapisać: P(a < X < b) = F(b) – F(a)
Wniosek, znając dystrybuantę pewnej Z.L. możemy wyznaczyć jej R.G.P.:
16
P(a < X < b) = F(b) – F(a)
17

similar documents