PPTX

Report
Κυματικός ή Σωματιδιακός
Χαρακτήρας
Κυματική και Σωματιδιακή
Συμπεριφορά
Κυματικός & Σωματιδιακός
Δυισμός
Ένα Πείραμα με «Υλικά Σημεία»
n(x)  n(x) 

N  N
 N μεγάλοN
P12  lim
ανιχνευτής
x
n(x)
εκτοξευτήρας
κατευθυντήρας
πέτασμα
P  P P
12 1 2
Ένα Πείραμα με Μηχανικά Κύματα
h  ho  e
i  kr  ωt 
,I ~ h
φάση δ: διαφορά δρόμου
I  I I
12 1 2
2
Ένα Πείραμα με Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα
στον ελεύθερο χώρο (ρ=0 και j=0)
Ένα Πείραμα με Ηλεκτρόνια (e)
n(x)  n(x) 

N  N
 N μεγάλοN
P12  lim
ανιχνευτής
x
n(x)
κατευθυντήρας
πέτασμα
1961, Claus Jönsson
P  P P
12 1 2
«Κυματική» συμπεριφορά της
δέσμης ηλεκτρονίων
Πείραμα των A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda,
T. Kawasaki, (American Journal of Physics, Feb. 1989).
Κάθε χρονική στιγμή, μόνο ένα (ή κανένα) ηλεκτρόνιο
ευρίσκεται μεταξύ των «οπών» και του πετάσματος.
Οι εικόνες πάρθηκαν μετά την διέλευση από τις «οπές»
a) 10 ηλεκτρονίων , b) 100 ηλεκτρονίων, c) 3000 ηλεκτρονίων,
d) 20,000 ηλεκτρονίων και e)70,000 ηλεκτρονίων
Συνεπώς: Τα ηλεκτρόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ
τους για να παραχθεί η «περιθλαστική» εικόνα στο
πέτασμα
Μηχανικά Κύματα: το ίδιο μέτωπο
κύματος διέρχεται συγχρόνως ΄και από
τις δύο οπές
Ηλεκτρόνια: το κάθε ηλεκτρόνιο διέρχεται
αποκλειστικά από την μία ή την άλλη οπή
;
Κυματική Εικόνα
κατά DE BROGLIE
λ=h/p
Κυματική εικόνα κατά τον DE BROGLIE
σωματιδίου καθορισμένης ορμής
Επισήμανση: η διαταραχή θα πρέπει να παρίσταται με μιγαδική συνάρτηση
Ας υποθέσουμε ότι ένα σωμάτιο με μάζα
ηρεμίας mo αντιστοιχεί με κυματική
διαταραχή με χαρακτηριστική συχνότητα
f0, ώστε στο σύστημα κέντρου μάζας να
ισχύει ότι:
h  fo  m o  c 2
ξ ο ~ sin2π  fo  t o 
 vx 
to =
 t- 2 
2 
c 
1-β 
1
Στο σύστημα του εργαστηρίου (β=v/c)

x 

ξ  x, t  ~ sin  2π  f   t   
 w 

fo
f
 γ  fo
2
1β
c2
w    ή  ύ
v
Etotal  m  c =
2
mο
1-β
c =
2
2
h  fο
1-β
2
= h f
m
w
c2 v
h  c2
h  c2
h
λ= =
=
=
=
2
f
h

f
mo  c
f
mv
o
o
v

v
P
1- β 2
1- β 2
1- β 2
mc2
Η κατά DE BROGLIE κυματική εικόνα ενός
σωματιδίου που μεταφέρεται στο χώρο
παριστά κυματοπακέτο
Η φασική ταχύτητα,
w=c2/v, υπερβαίνει την ταχύτητα του φωτός ( c )
Ένα γνωστό φαινόμενο της κυματικής...
y  Asin( k x   t )
1
2 / 
2 f
y  Asin   k  k  x      t 
2
w   , w    
1 k
2 k  k
vg
vph = ω
k
vg = Δω  dω
Δk dk
y y 
1 2

 k



 k



 





k



2 Acos  x 
t   sin  k  x  t 
 2 Acos 
x
t   sin   k   x    
 t  


2  
2    
2  
2    

 2
 2
k  k
Η ταχύτητα ομάδος του κυματοπακέτου
Etotal = h  f
h
λ=
p
c2
w=
v
2
2
2
4
E
=
p

c
+
m

c
 total 
o
2
2
2
h 2
h

f
=
     c + mo2  c4
λ
 ω   h k  2
2
4
h

=

c
+
m

c
o

 

2π
2π

 

2
2
2
Η ταχύτητα ομάδος
του κυματοπακέτου
ισούται με την
ταχύτητα του
2
c = v
σωματιδίου
2
dω  h 
 h 
2ω
   = 2k    c2
dk  2π 
 2π 
dω
vg 
=
dk
k
ω
ω
c2
=vph =w=
k
v
κυματοπακέτο
ηλεκτρονίου
«Κυματική» συμπεριφορά του ηλεκτρονίου
Όμως...
το ηλεκτρόνιο είναι ΚΑΙ σωμάτιο !
Διακριτική Ικανότητα: λ<d
Etotal = h  f
h
λ=
p
ΔL  d  sinθ  d  tanθ
y
λ
 d  min 
D
2
λ
d  tanθ 
2

λ
θ
2d
Από ποια οπή διέρχεται
το κυματοπακέτο του ηλεκτρονίου ;
θ
Η αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου - φωτονίου
καταστρέφει την εικόνα συμβολής
φ  tanφ 
pγ
pe

h/λ γ
h/λ e
p’e
pe

λe
λγ
λe
2d
λe
λe
φ << θ 
<<
λγ
2d
λ γ >> 2d
pγ
Διακριτική Ικανότητα: λγ<d
Δεν υπάρχει τρόπος να εντοπισθεί από ποια οπή διέρχεται
το ηλεκτρόνίο, χωρίς να καταστραφεί το φαινόμενο
συμβολής
•
•
•
Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός δίνεται από το
τετράγωνο της απόλυτης τιμής ενός μιγαδικού αριθμού φ που
θα καλούμε “πλάτος πιθανότητας”.
P = πιθανότητα
φ = πλάτος πιθανότητας
P = |φ|2
Όταν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με πολλούς
εναλλακτικούς τρόπους (μηχανισμούς), χωρίς να υπάρχει
δυνατότητα διαχωρισμού τους ,τότε η πιθανότητα να συμβεί
αυτό το γεγονός υπολογίζεται από το άθροισμα τού πλάτους
πιθανοτήτων όλων των εναλλακτικών τρόπων.
φ = φ 1 + φ2
P = |φ1 + φ2|2
Αν υπάρχει η διαθέσιμη πληροφορία ώστε να είναι δυνατόν
να προσδιορισθεί ο μηχανισμός με τον οποίο εξελίσσεται το
συγκεκριμένο γεγονός, τότε η συνολική πιθανότητα να συμβεί
αυτό το γεγονός ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων να
εξελιχθεί το φαινόμενο με κάθε ένα εναλλακτικό τρόπο.
P = P1 + P2=|φ1|2+|φ2|2
Σχέσεις Απροσδιοριστίας
Σύγχρονη Μέτρηση
Κυματικών και Σωματιδιακών Χαρακτηριστικών
Ένα ελεύθερο σωμάτιο καθορισμένης ορμής p:
όπου
Ε
ω
h / 2
h ~ ei(ωt k r)
και p   k
2 f
εχει την ίδια πιθανότητα να ευρεθεί οπουδήποτε στον χώρο
P(x) = h ~ ei(ωt-k r)  e  i(ωt-k r)  = 1
2
αντιστοιχεί σε υπέρθεση
κυμάτων με διαφορετικά
μήκη κύματος
ένα κυματοπακέτο,
εντοπισμένο στο χώρο
κυματικός χαρακτήρας
σωματιδιακός χαρακτήρας
Ορμή (p=h/λ)
Θέση (x)
Ενέργεια (Ε=hf)
Χρόνος (t)
Δx  Δp x  / 2
Δt  ΔE  / 2
Σύγχρονη Μέτρηση της Θέσης και της Ορμής
p0
   
λ
Δθ1  
b

Σωματιδιακή Εικόνα
p
Δx  b/2
p0
Δp  Δx  h/2  h
Δp  po  sinΔθ
 po  Δθ  po 

h λ h
 
λ b b
λ
b
Αβεβαιότητα Πρόβλεψης
Ηλεκτρόνιο δέσμιο σε άτομο
Άτομο του Bohr
λ
Ενεργειακές Μεταπτώσεις
fγ 

1
 Εn1  Εn2
h

 2 2
 
 







V
r

r
,
t

i

 r , t 


2
m

t


Καταστάσεις
Καθορισμένης Ενέργειας
  r , t     r   e- i/hEt

Ze2 

  r   E 
  r 
2m
r


2
2
P  r  = ψ  r   dV
2
Στάσιμο κύμα σε
κυκλική στεφάνη
Τάξη μεγέθους του ατόμου
Ερμηνεία με Αναγωγή στην Αρχή Απροσδιοριστίας
Διαστατική ανάλυση
Δx~α
<p>=0
±α
z 2   z
b
 z  z2  z
2
1
N  N
z   z  f ( z )dz  lim
a
2
Δp≠0
x  p  h  p  h
 p   p 2  p
2
i 1
 
 p2  p2  h
2
2
0
1 2 p2
mv 
2
2m
p2
e2
h2
e2
E  K V 



2m

2m 2 
K
e
N
z

qe
4 
i
Βασική Κατάσταση  Κατάσταση Ελαχίστης Ενέργειας
dE
h 2
e2

 2 0
3
d m   
h2
10
0 

0.528

10
m
2
me
ακτίνα Bohr
Η Ενέργεια για α<αο είναι αύξουσα συνάρτηση
του μεγέθους του ατόμου
Κβαντομηχανική περιγραφή των βασικών Αλληλεπιδράσεων
q1
p
r
q1  q 2
F  K 2
r

p  x  p  r  h 

h
h
hc 1

p 
F
~

~ 2

2
r
r  t r
r

p
r

F
,c

t
t
Δt: χρόνος διάδοσης της αλληλεπίδρασης (φωτονίου)
αβεβαιότητα στην ορμή: Δp=p (ορμή του φωτονίου)
Αβεβαιότητα στη θέση: Δx=r (απόσταση των φορτίων)
q2
Συμβολισμός κατά Dirac του
πλάτους πιθανότητας
<>
x
s
σωμάτιο φτάνει στο x σωμάτιο ξεκινάει από s
 ή  ά :
σωμάτιο ξεκινάει από s
 ή  ά :
σωμάτιο φτάνει στο x
y x = xy *
Συνδυασμός Πλατών Πιθανότητας
Παράδειγμα
(συμβολή από δύο οπές)
a: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D1 όταν το e διέρχεται από οπή 1
b: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D1 όταν το e διέρχεται από οπή 2
a: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D2 όταν το e διέρχεται από οπή 2
b: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D2 όταν το e διέρχεται από οπή 1
Παράδειγμα
a: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D1 (D2 ) όταν το e διέρχεται από οπή 1(οπή 2)
b: το πλάτος πιθανότητας να σκεδασθεί φώς στον D1 (D2 ) όταν το e διέρχεται από οπή 2 (οπή 1)

Εάν b=0 τότε
a  φ1  φ2
Εάν b=a τότε
2  a  φ1  φ 2
2
2
2
2

2
Η Συσκευή Stern-Gerlach
«Αμιγείς» καταστάσεις καθορισμένης
πόλωσης
Συσκευή Stern-Gerlach
U = -μ  B
B

F = U =  μ  B

κάθε δέσμη αντιστοιχεί σε «αμιγή» κατάσταση
καθορισμένης
πόλωσης
διαχωρισμός
φορτισμένων
S=1 σωματίων σε
τρεις δέσμες
z
y
S  0S  S
+S
0S
S
φίλτρο για την απομόνωση μίας
κατάστασης βάσης
z
r1 = xˆ 

ˆ
r2 = y  ri  r j = δij
r3 = zˆ 
a  r3 
a =  a  xˆ  xˆ +  a  yˆ  yˆ +  a  zˆ  zˆ
=  a  r1  r1 +  a  r2  r2 +  a  r3  r3
3
=   a  ri  ri
i=1
x
a  r1 
a  r2 
y
Καταστάσεις Βάσης
S
 kS
k 2S k1S   k1k 2
 S , 0S , +S

S’
Οποιαδήποτε κατάσταση κάθε τέτοιου σωματίου μπορεί να αναλυθεί σε αυτές τις καταστάσεις
βάσης και με την βοήθεια των καταστάσεων βάσης μπορεί να περιγραφεί κάθε κατάσταση
σωματίου

φ =
kS kS φ
 kS
 S , 0S , +S

N
γN
k=-,0,+
N
0S
S
*
 S φ
0S φ
k=-,0,+
*
S φ
S
 S φ
1 N
*
S φ
 φ S S φ
2
kS φ
2
  S φ
 φ S S φ
 φ 0S 0S φ

2
  S φ
2
a  0S φ
 0S φ
βN
N
z
r1 = xˆ 

ˆ
r2 = y  ri  r j = δij
r3 = zˆ 
a =  a  xˆ  xˆ +  a  yˆ  yˆ +  a  zˆ  zˆ
=  a  r1  r1 +  a  r2  r2 +  a  r3  r3
a  r3 
3
=   a  ri  ri
i=1
a  r1 
x
a  r2 
y
3
a  a  a =  a  r1  +  a  r2  +  a  r3    a  ri 
2
2
φ =

kS kS φ
 kS
2
2
i=1
 S , 0S , +S
2
kS nS   kn 

k =-,0,+
φ
2
 φ



k =-,0,+
*


 φ   φ   φ    nS φ nS   kS kS φ
 n =-,0,+
 k =-,0,+
2
kS φ
1

k=-,0,+
2
kS φ
1 N
N
Μετασχηματισμοί που αφορούν αλλαγή
καταστάσεων βάσης
Αλλαγή Βάσης
a =  a  xˆ  xˆ +  a  yˆ  yˆ +  a  zˆ  zˆ
=  a  r1  r1 +  a  r2  r2 +  a  r3  r3
S , 0S , +S
 , 0 , +
z
r1 = xˆ 

r2 = yˆ  ri  r j = δij
r3 = zˆ 
3
=   a  ri  ri
i=1
u1 = xˆ ' 

u 2 = yˆ ' u i  u j = δ ij
u 3 = zˆ ' 
r1 = r1  u1  u1 + r1  u2  u2 + r1  u3  u3
3
x
r1
y rk =
 r
k
i=1
k = 1, 2, 3
 ui  ui
Αλλαγή Βάσης
S 
S , 0S , +S

kT S kT

kT jS kT
k ,0, 
 , 0 , +
jS 
k ,0, 
Εάν είναι γνωστή η περιγραφή της κατάστασης |φ> στη βάση S, τότε...
 

jS  jS
j  ,0, 

jS 
j  ,0 , 

 
j  ,0,  k   ,0, 

kT jS kT
k  ,0, 
kT jS
jS  kT
Προκειμένου να περιγράψουμε την κατάσταση
|φ> στη βάση Τ, χρειάζεται να γνωρίζουμε τα
στοιχεία πίνακα <kT|jS>
Αλλαγή Βάσης
z
Παράδειγμα
y
 

x
Ορθοκανονικότητα
jS  jS
R i R j = δij
j  ,0, 
 
 
kT jS
jS  kT
j  ,0,  k  ,0, 
Νέα Βάση
1
  S  S
2
i
Ry  
  S  S
2
Rz   0S
Rx  
Rx Rx

 1   1  
   
    S  S   S  S   S  S   S  S
  
2 
2 

0
1
1
0

Rx R y
 1   i 
   
    S  S   S  S   S  S   S S   0
  
2 
2





 1


Πληρότητα
 

j  ,0, 
jS  jS

j  , 0, 
C
2
j
-
2
C
j
1
2
1
i
2
 C + - C-  + -  C + - C -  + C 0 = 1
2
2
 C  S  C  S  C0 0 S
1
1
1
 1

 C  S  C  S    C  S  C  S   C0 0 S  C  S  C  S
2
2
2
2

 

 
-

1
C C
2  
   12   S   S    i2 C C    i2   S   S    C0 0 S
1
i
C
C
R
 + - x
 C + - C-  R y + C0 R z
2
2
z
Αλλαγή Βάσης
Παράδειγμα
y
x
1
Rx  
  S  S
2
i
Ry  
  S  S
2
Rz   0S


Ry
Rz

1
cos a T  2 sin a 0T  cos a T
2
i

 T  T 
2
1

sin a T  2 cos a 0T  sin a T
2
Rx  


Έστω |Rx>, |Ry>, |Rz>, συνιστώσες διανύσματος και |R’x>, |R’y>, |R’z>, οι
συνιστώσες μετά απόστροφή γύρω από τον άξονα y κατά γωνία α...
 R 'x   cos a

 
R
'
0

y  

   sin a
R
'

z 

Οι καταστάσεις βάσης
|Rx>, |Ry>, |Rz>,
μετασχηματίζονται από το
S στο Τ ως να ήταν
συνιστώσες διανύσματος
0 sin a   Rx 


1
0   Ry 
0 cos a   Rz 


1
R 'x  
 T  T
2
i
R 'y  
 T  T
2
R 'z   0T



Συστήματα δύο καταστάσεων βάσης
Συστήματα με Spin 1/2
Μετασχηματισμοί Πλάτους Πιθανότητας
  
   iS iS 
i
iS jS   ij
 iS
ή  ώ i
1   iS iS

 

jS 

kT  k 
jS 
j  ,0, 
 

j  ,0, 
k  ,0, 

k  , 0 , 
C j jS 
 
j  ,0,  k  , 0, 
kT jS C j kT
C 'k kT 
i
Ci
   iS iS 
e
iφ
i
C’j=?
   jT
jT 
j
Καταστάσεις σωματίων με spin 1/2
Τα πλάτη πιθανότητας Ci και C’i σχετίζονται
συναρτήσει της γωνίας α που εκφράζει τον σχετικό
προσανατολισμό τους.
Η σχέση εξάρτησης δεν αφορά τον προσανατολισμό
του συνολικού συστήματος στο χώρο
RTS
 jT iS
ji


D et RTS
1
ji
Γενική Στροφή
Γωνίες Euler: α, β, γ
•
στροφή κατά β γύρω από z, xx1
• στροφή κατά α γύρω από τον x1, zz’
• στροφή κατά γ γύρω από τον z’
Εξάρτηση του Πλάτους Πιθανότητας
από τον Χρόνο
•Στάσιμες Καταστάσεις
•Δυναμική Ενέργεια
•“Μεταπτωτική” κίνηση σωματίου με spin 1/2
Στάσιμες Καταστάσεις
Οι ελεύθερες δονήσεις ενός
φυσικού, πεπερασμένου,
συστήματος αντιστοιχούν σε ένα
ορισμένο αριθμό χαρακτηριστικών
συχνοτήτων
Κανονικοί Τρόποι Ταλάντωσης
Ένα σωμάτιο καθορισμένης
ενέργειας, αντιστοιχεί σε
πλάτος πιθανότητας με
ορισμένη συχνότητα ω...
 ( x, t )   ( x)  eit
E  
F ( x, t )  f ( x)  sin t
Ένα ακίνητο άτομο έχει καθορισμένη ενέργεια και ορμή:Eo
 mo  c2
P0
P  0  P  x   Δx  
Ένα ακίνητο άτομο βρίσκεται «παντού»:
 ( x, t )  const
2
το πλάτος πιθανότητας
 ( x, t )  const   ( x, t )  a( x)  e it Όμως
εξαρτάται από τον χρόνο
2
Οι πιθανότητες στις στάσιμες καταστάσεις δεν εξαρτώνται από το χρόνο
Κυματοπακέτα
επαλληλία στασίμων καταστάσεων :
N
  e
 i  Ei /
t
i 1
z
-i  E0 t  /
α e
N
  e
t
2

i 1
z’
y
x
x’
 i  Ei /
y’

Eo  t  P0  x  E p  t ' Pp  x '
0
2




2
2
E p   pc   Mc  

 E0  

  c
N
  e
 i Ei +A  /
t
2
i 1
e
 i  A  /
t
2
N
  e
i 1
 i  Ei /
t
2
Σωμάτιο υπό την επίδραση δυναμικού
σταθερό δυναμικό: φ
σταθερή δυναμική ενέργεια:
συνολική ενέργεια=
Εάν υ<<c:
Το δυναμικό επιφέρει μία
συνολική αλλαγή στη φάση του
πλάτους πιθανότητας κατά:
V=qφ
Φράγμα Δυναμικού (Ι)
1:
2:
αμετάβλητη εσωτερική ενέργεια
Διατήρηση Ενέργειας
 1   2
περιοχές
σταθερού δυναμικού
φ1
εάν V1= φ1=0 και V2=qφ2<0  p1<p2
φ
V=qφ
φ2
d
p12
V2  V1 
 p 22 < 0
2M
;
Φράγμα Δυναμικού (ΙΙ)
p1
p2
p12
V2  V1 
 p22  0 p 2 = ip'
2M
Σύμφωνα με την κλασική φυσική το
σωμάτιο δεν εισέρχεται στο χώρο 2
χωρική εξάρτηση
P  x, t  e-2p'x/
x =
2p'
Φαινόμενο Σήραγγος
Φράγμα Δυναμικού (ΙΙΙ)
evanescent
wave
Φαινόμενο Σήραγγας
Δυναμικό Coulomb
Δυναμικό Ισχυρής
Αλληλεπίδρασης
Μεταπτωτική κίνηση σωματίδου με
spin-1/2 σε μαγνητικό πεδίο
B
μ
z
B
y
p
e
z  e
μ
spin-1/2
U = -μ  B
e
i
   z B t 
x

i  p2
  t  p  x 
 2 m



i  p 2
 
   B t  p  x 

 2 m


z  e
i
   z B t 
  i  p 2 t  p x    i    B t 
2m

 
 e 
e 




Διαφορετική Ενέργεια
Διαφορά στη φάση
  i  p 2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
   x, t    z e 
e




  i  p 2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
   x, t    z e 
e




Μεταπτωτική κίνηση σωματίδου με
spin-1/2 σε μαγνητικό πεδίο
  i  p2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
  z  x, t    z e 
e




  i  p2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
  z  x, t    z e 
e




Το μιόνιο βρίσκεται στην |+χ> κατάσταση για t=0, όταν εφαρμόσουμε το Β.
Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται το μιόνιο στην ιδία κατάσταση για t=τ
1
 (0)   x    z  x  z   z  x  z  
 z  z
2

i  p2

i
i


t

p

x


t

1  t
2
m
 
 (t ) 
z  e
 z  e 
e

2
 


Μεταπτωτική κίνηση σωματίδου με
spin-1/2 σε μαγνητικό πεδίο
  i  p2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
  z  x, t    z e 
e




  i  p2 t  p x    i   B t 
 z

2m
 
  z  x, t    z e 
e




 (t ) 
Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται το
μιόνιο στην ιδία κατάσταση για t=τ ;
1
 z  (t ) 
e
2
1
A  t    e
2
i
t
i
i  p2

t   2 m t  p x 


e
e
i
t

e

1
 z  (t ) 
e
2

i  p2
  t  p x 
 2 m

e

i  p2
  t  p x 
 2 m

i
1 
e
2
i  p2
i

t   2 m t  p x 


e
  
cos 
t


t
z  e
P+x  t 
i
e
t

i  p2



t

p

x



2m


 
 z  e

 


i  p2
- 
t-px 
 2m

2
 μΒ 
cos 
t
 h 
 μΒ 
= cos 2 
t


Εξάρτηση του Πλάτους Πιθανότητας
από τη θέση
• Kυματοσυνάρτηση
Εξάρτηση του Πλάτους Πιθανότητας από τη θέση (Ι)
Υπενθύμιση:
Η κατάσταση ενός συστήματος, π.χ. ενός ηλεκτρονίου, περιγράφεται από το
διάνυσμα κατάστασης |φ>
Τα διανύσματα βάσης, αντιστοιχούν σε διακριτές καταστάσεις του συστήματος
(π.χ. |1>, |2>, |3>,…|n>) τέτοιες ώστε κάθε πιθανή κατάσταση που μπορεί να
βρεθεί το σύστημα να παρίσταται ως γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων
βάσης.
Ορθογωνιότητα: Το πλάτος πιθανότητας ώστε το σύστημα που ευρίσκεται στην
κατάσταση βάσης |j> να ευρίσκεται και στην κατάσταση |i> είναι μηδέν
Πληρότητα: Κάθε διάνυσμα κατάστασης γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των
καταστάσεων βάσης
όπου το πλάτος πιθανότητας
αντιστοιχεί στην περίπτωση το σύστημα που
βρίσκεται στην κατάσταση |φ> να βρίσκεται επίσης και στην κατάσταση βάσης
|i>
Ομοιότητα με προβολές διανυσμάτων στον ευκλείδειο χώρο
a  ax xˆ  a y yˆ  az zˆ   a  r1  r1   a  r2  r2   a  r2  r2    a  ri  ri

 
 
   a  r  b  r 

i 1,3


b  bx xˆ  by yˆ  bz zˆ  b  r1 r1  b  r2 r2  b  r2 r2   b  ri ri
a  b  ax bx  a y by  az bz
i 1,3
i
i
i 1,3
Η κυματοσυνάρτηση (Ι)
Έστω το διάνυσμα βάσης |χ> που δηλώνει ότι το e βρίσκεται στην θέση χ.
Εάν |ψ> είναι το διάνυσμα κατάστασης του e (που εμπεριέχει όλη την διαθέσιμη
πληροφορία, συν τοις άλλοις και για το που βρίσκεται το e) τότε το πλάτος πιθανότητας
<χ|ψ> αναφέρεται στην περίπτωση το e να είναι στο σημείο με συντεταγμένη χ
Το πλάτος πιθανότητας είναι μιγαδική
συνάρτηση της συντεταγμένης θέσης
Παραδείγματος χάριν, το πλάτος πιθανότητας ένα σωμάτιο με καθορισμένη ορμή να
βρίσκεται στην θέση χ είναι:
Συνδέει τις καταστάσεις βάσης που αντιστοιχούν σε καθορισμένη ορμή με τις καταστάσεις
που αναφέρονται στη θέση
Κυματοσυνάρτηση: Το πλάτος πιθανότητας το διάνυσμα κατάστασης |ψ>
ενός σωματίου να αντιστοιχεί στον εντοπισμό του σωματίου γύρω από τη
θέση χ
Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα σωμάτιο στην περιοχή [χ-Δχ/2,χ+Δχ/2] εκφράζεται ως:
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Η κυματοσυνάρτηση (ΙΙ)
Στην περίπτωση διακριτών (|χ> |χi>, i=1,2..)
καταστάσεων βάσης:
Στην περίπτωση καταστάσεων βάσης που
διαδέχεται συνεχώς η μία την άλλη:
  x   x  
  x  x  *  * x
  x   x  
Όπως ακριβώς το διάνυσμα κατάστασης περιγράφει
συνολικά την κατάσταση (π.χ. spin) του σωματιδίου έτσι
και η κυματοσυνάρτηση εμπεριέχει όρους που
μεταφέρουν όλη την απαιτούμενη πληροφορία για να
περιγραφεί η κατάσταση που βρίσκεται το φυσικό
σύστημα
Καταστάσεις καθορισμένης ορμής (Ι)
Θέλουμε να ορίσουμε την πιθανότητα το σωμάτιο να ευρίσκεται σε
κατάσταση
που αντιστοιχεί σε κατάσταση με ορμή ίση με p
Έστω η κατάσταση βάσης
(διάνυσμα άλλης βάσης, η οποία αντιστοιχεί σε καθορισμένες τιμές της ορμής)
Το πλάτος πιθανότητας είναι:
Η πιθανότητα το σωμάτιο να έχει ορμή γύρω από την τιμή p, είναι:

2 1
mom
p

dp  1

2
Το πλάτος πιθανότητας για σωμάτιο καθορισμένης ορμής να βρίσκεται στη θέση χ,
είναι:
Με αυτό τον τρόπο υπολογίζουμε την
κατανομή της ορμής του σωματιδίου,
δεδομένης της κυματοσυνάρτησης στο
χώρο των θέσεων
Καταστάσεις καθορισμένης ορμής (ΙΙ)
Έστω ότι το σωμάτιο περιγράφεται με την κυματοσυνάρτηση:
Η πιθανότητα εντοπισμού του σωματίου
στην περιοχή γύρω από την θέση χ είναι:
Απαίτηση ώστε P(x) να είναι συνάρτηση
πυκνότητας πιθανότητας (P(x)dx να είναι
συνάρτηση πιθανότητας
P  x  dx 

V  x   E  x  E  x  

x2
2 2
dx
x2

 2
1
E  x    x  P  x  dx 
  x  e 2 dx  0
2 

2
1
e
2


Αναζητούμε τη μορφή της
κυματοσυνάρτησης στο χώρο των
ορμών
x2

  1  x 2  e 2 2 dx   2


2 
 ( p) 

1/ 2
 1 
 ipx /
e




 2 
 ( )
e

x2
4 2
dx  8 2 
1/ 4
e p 
2
2
/
2
Καταστάσεις καθορισμένης ορμής (ΙΙΙ)
1/2
x2
 2
 1 
4
 ( x)  
 e
 2 
 ( p) 

1/ 2
e
 ipx /

 1 


 2 
e

x2
4 2
dx  8

2 1/ 4
e
 p 2 2 /
2
 ( )
P  p  dp 
1
e
2

p2
2 2
dp
φ(p)
E  p 

 p    p
2
dp  0

2
V  p   E  p  E  p      2


-2η
-η
η
2η
p
x  V  x   


 p  x 
2
p  V  p    

2 
Κυματοσυνάρτηση δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων
Οι καταστάσεις βάσεις |r1,r2>, αντιστοιχούν στις θέσεις καθενός από τα
σωματίδια
Η κυματοσυνάρτηση ψ(r1,r2)=<r1,r2|ψ> εκφράζει την κατάσταση του
συστήματος και όχι τα δύο σωμάτια χωριστά
Η κυματοσυνάρτηση δεν εκφράζει δύο ανεξάρτητα κύματα (ή δύο
κυματοπακέτα) σε τρισδιάστατο χώρο αλλά ένα σύνθετο σύστημα με δύο
αλληλεπιδρώντα μέρη σε ένα χώρο 6 διαστάσεων.
Τα περισσότερα από τα λεγόμενα κβαντομηχανικά παράδοξα (π.χ. το EPR
παράδοξο) οφείλονται στην καταχρηστική αντιμετώπιση των σωματίων ως
ξεχωριστές οντότητες

similar documents