Dimensi Tiga (Proyeksi & Sudut) Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga.

Report
Dimensi Tiga
(Proyeksi
& Sudut)
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
2
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
3
Proyeksi titik pada garis
P
m
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
k
hasil proyeksi
Q
titik P pada k
4
Contoh
H
G
E
F
D
A
T
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
5
Pembahasan
H
G
E
F
A’
D
A
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik B
(AB  BC)
C b.
T
B
BD adalah titik T
(AC  BD)
c. ET adalah titik A’
(AC  ET)
6
Proyeksi Titik pada Bidang
P
g
P’
Dari titik P
di luar bidang H
ditarik garis g  H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
7
Contoh
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
C pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
8
Pembahasan
G a.
H
E
F
P
(EA  ABCD)
D
A
Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah A
C b.
B
Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah P
CE  BDG
9
Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
A
B
A’
g
g’
ke sebuah bidang
dapat diperoleh
dengan memproyeksikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
10
Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h   maka
proyeksi garis h pada bidang 
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang  maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
11
Contoh 1
H
G
Diketahui
kubus
E
F
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D
C pada bidang ABCD
adalah….
A
B
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….
12
Pembahasan
H
Ga.
Proyeksi
garis
EF
E
F
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D
C proyeksi titik E dan F
A
pada bidang ABCD,
B
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB
13
Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
H
G pada bidang BDG
E
F
berarti menentukan
P
proyeksi titik C
D
C dan titik G
pada bidang BDG,
A
B
6 cm
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?
14
H
G •Panjang proyeksi CG
E
pada BDG adalah
panjang garis PG.
F
D
P
•PG = ⅔.GR
A
B
6 cm
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm
R
C
15
Contoh 2
Diketahui limas
T
beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
D
C Panjang proyeksi TA
pada bidang ABCD
A 16 cm B
adalah….
16
Pembahasan
Proyeksi TA
T
pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang AT’= ½AC
D
C
= ½.16√2
T’
A 16 cm B
= 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
17
Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
18
Sudut antara Dua Garis
m
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
k
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
19
Contoh
H
E
G
F
D
A
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
20
Pembahasan
H
E
F
D
A
B
Besar sudut antara
garis-garis:
G a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
C = 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE  DF)
21
P
Sudut antara
Garis dan Bidang
Sudut antara
garis a dan bidang 
dilambangkan (a,)
adalah sudut antara
garis a dan
P’
proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
=  PQP’
Q
22
Contoh 1
H
G
Diketahui
E
F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
D
C
Gambarlah sudut
A 6 cm
B
antara garis BG
dengan ACGE,
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
23
Pembahasan
H
G
E
F
D
A
K
6 cm
C
B
Proyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG
(K = titik potong
AC dan BD)
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
24
Pembahasan
H
E
F
D
A
BG = 6√2 cm
BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
C ∆BKG siku-siku di K
G
K
6 cm
B
BK
3 2 1

sinBGK = BG 
6 2 2
Jadi, besar BGK = 300
25
Contoh 2
H
G
E
F
D
A
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
C
8 cm
B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
26
Pembahasan
H
P
E
G
F
D
A
8 cm
Q
C
B
tan(CG,AFH)
= tan (PQ,AP)
= tan APQ
=
1
AC
AQ
2

GC
PQ
1
2
.8 2 4 2

8
8
=
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
27
T
D
A
a cm
Contoh 3
Pada
limas
a cm
segiempat beraturan
C
T.ABCD yang semua
B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
28
Pembahasan
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
T
a cm
persegi)
D
A
C
a cm
B
• ∆TAC = ∆ siku-siku
samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
29
Sudut antara
Bidang dan Bidang

(,)

h
g
Sudut antara
bidang  dan bidang 
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g  (,) dan h  (,).
(,) garis potong bidang  dan 
30
Contoh 1
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
antara
bidang
BDG
C
dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
31
Pembahasan
a. (BDG,ABCD)
H
G • garis potong BDG
E
F
dan ABCD  BD
• garis pada ABCD
yang

BD

AC
D
C
•
garis
pada
BDG
A
P
B
yang  BD  GP
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
=GPC
32
Pembahasan
H
E
F
1
2
D
A
b. sin(BDG,ABCD)
G
= sin GPC
GC
= GP
a
6
6
x

=
.6
a 6
6
C
= ⅓√6
P
B
1
2
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6
33
Contoh 2
T
A
B
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
C panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
34
Pembahasan
T
A
P
B
•sin(TAB,ABC)
= sin(TP,PC)
= sinTPC
C •TC = 9 cm, BP = 3 cm
•PC = 6 2  3 2
= 27  3 3 cm
•PT = 9 2  3 2
= 72  6 3 cm
35
T
• Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinus
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC
A
P
B
36√6.cosTPC = 99 – 81
C 2
1
36√6.cosTPC = 18
6
1
x
cosTPC = 2 6
6
=
6
12
36
• Lihat ∆ TPC
cosP =
144 - 6
 138
12
√6
6
12
Maka diperoleh
Sin P = 138
12
P
Jadi sinus (TAB,ABC)
=
138
12
37
Contoh 3
Diketahui kubus
H
G ABCD.EFGH, panE
F
jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
berturut-turut
D
C
Q
di
tengah-tengah
A
B
P
AB dan AD.
Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah . Nilai cos =…
4 cm
38
Pembahasan
4 cm
H
K
E
F

QD
A L
M B
P
• (FHQP,AFH)
G
= (KL,KA)
= AKL = 
• AK = ½a√6 = 2√6
• AL = LM = ¼ AC
C
= ¼a√2 = √2
• KL = KM 2  ML2
= 4 2  2  18
=3√2
39
Pembahasan
K
A
• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos

2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos
24√3.cos = 42 – 2
24√3.cos = 40
M
5
L
cos =
3
Jadi nilai cos =
5
3
9
9
40
SELAMAT BELAJAR
41

similar documents