Преходни процеси в електричните вериги – класически метод на

Report
ЛЕКЦИЯ 16
Преходни процеси в електрични вериги Класически метод на изчисление
Възникване на преходни процеси
Настъпването на установен процес, различен от първоначалния режим на
работа на веригата, се предшества от преходен процес, при който напреженията и
токовете се променят непериодично.
Преминаването от един режим на работа на веригата към друг режим,
може да бъде предизвикано от изменение на параметрите или схемата на веригата,
което се нарича комутация в общия случай в елетротехниката.
Теоретично може да се допусне, че комутацията на веригата се извършва
мигновенно. Въпреки това, преминаването от даден режим на работа към
следващия режим не става мигновенно, а отнема определено време. Причината за
това е, че на всяко състояние на веригата съответства определен запас от енергия
на електричните и магнитните полета. Преминаването към нов режим е
съпроводено с нарастване или намаляване на енергията на тези полета.
Енергията
налична в магнитното поле на индуктивност
и енергията
налична в електричното поле на капацитета
, не
могат да се променят мигновено. На практика, енергията може да се променя
непрекъснато, без скокове, понеже в противен случай мощността, равна на
производната на енергията по времето, би достигнала безкрайна стойност, което е
невъзможно.
Съществуват различни методи за пресмятане на преходни процеси в
линейни електрични вериги. Тук ще използуваме класическия метод за решаване на
диференциални уравнения, които описват преходните процеси.
Закони на комутацията и начални условия
Записаните по-горе факти, че запасът от енергия на магнитното или
електричното поле може да се променя само плавно, без скокове, изразява
принципа за непрекъснатост във времето на потоковръзката
на индуктивноста и на електричния заряд на капацитета
и се наричат закони на комутацията.
Невъзможността за скокообразна промяна на потоковръзката следва от
това, че в противен случай в индуктивността би възникнало безкрайно голямо
напрежение
, което е невъзможно. Вследствие
равенството
, принципът за непрекъснатост на потоковръзката означава,
че при неизменно
, токът не може да се променя със скок. Тоест, в началния
момент след комутацията, токът в индуктивността остава същия, какъвто е
бил непосредствено преди комутацията, а след това се изменя плавно.
Аналогично, невъзможността за скокообразно изменение на електричния
заряд следва от това, че в противен случай през капацитета би преминал
безкрайно голям ток
, което е също невъзможно.
Вследствие на равенството
, принципът на напрекъснатост на
електричния заряд означава че при неизменно
, напрежението
не може да
се изменя със скок. Тоест, в началния момент след комутацията, напрежението на
капацитета остава същото, каквото е било непосредствено преди комутацията,
а след това се изменя плавно.
Стойностите на тока в индуктивността и напрежението на капацитета в
момента на комутацията се наричат независими начални условия.
Обикновено се приема, че комутацията протича в момента t = 0; тогава
токът в индуктивността и напрежението на капацитета в момента непосредствено
преди комутацията се означават с
, а в началния момент на
преходния процес след комутацията с
.
Вследствие на законите на комутация:
[1]
Тези равенства изразяват началните условия на веригата, в която протича комутация.
В случай на нулеви начални условия, тоест когато
, индуктивността в началния момент след комутацията е
еквивалентна на отваряне на веригата, а капацитетът е еквивалентен на късо
съединение.
В случай на ненулеви начални условия, тоест когато
, индуктивността в началния момент след комутацията е
еквивалентна на източник на ток
, а капацитетът е еквивалентен на
източник на ЕДН.
и
и
Независимите начални условия характеризират съхранената енергия на
магнитното и електричното полета, в момента на комутацията. За пресмятане на
преходния процес е необходимо да се знаят тези начални условия, без значение от
това по какъв начин са били създадени във веригата.
Установен и свободен режим
В общия случай, анализ на преходен процес в линейна верига със
съсредоточени параметри
и
се свежда до решаване на
обикновени линейни нехомогенни диференциални уравнения, изразяващи законите
на Кирхоф. Тези уравнения представляват линейна комбинация от напрежения ,
токове, техни първи производни и интеграли по време.
Например, ако някакво ЕДН се включи във верига , състояща се от
последователно свързани
, то интегродиференциалното уравнение е:
След диференциране, това уравнение се свежда до нехомогенно
диференциално уравнение от втори ред:
Общото решение на това уравнение е равно на сума от частното решение на
нехомогенното уравнение и общото решение на хомогенното уравнение.
Частното решение изразява установения режим, определен от източника.
Общото решение определя физически поведението на веригата при
отсъствие на външни източници на електрична енергия и при зададени начални
условия. Функциите които определят общото решение се наричат свободни
съставящи (на токовете, напреженията и други).
В по-горе разгледания случай, хомогенното уравнение е:
[1]
и съответното му характеристично уравнение е:
[2]
Ако корените на характеристичното уравнение се означат с
то общото решение е:
,
[3]
където
началните условия.
са интеграционни константи, които се определят от
Пълният преходен ток във веригата е равен на сумата от установения ток и
свободния ток:
[4]
Аналогично, заряд, магнитно поле и други функции за който и да е участък
от веригата в преходния режим се състоят от установена и свободна съставящи.
Вследствие на законите на комутация може да се определят началните
независими условия за
. След това може да се напише:
[5]
откъдето следва че:
Тоест, началните стойности на стойностите на свободните функции
И
се определят от измененията в момента на комутация на съответните
установени функции.
В частен случай при нулеви начални условия:
В зависимост от порядъка на диференциалните уравнения, описващи
изследваните преходни процеси, се различават вериги от: първи, втори и по-висок
порядък.
Във вериги от първи порядък, натрупване на енергия става само в един елемент,
във форма на магнитна енергия (във верига с
) или на електрична енергия
(във верига с
). Едноконтурна верига, съдържаща елементи, в които се натрупва
енергия от двата вида – магнитна и електрична, представлява верига от втори порядък
(тоест
верига). Разлонена верига би могла да бъде от по-висок порядък.
Преходен процес в
Допускаме, че
източник на ЕДН
.
веригата се включва в момента
време
Включване на
верига
верига
към
Диференциалното уравнение за
се записва във вида:
Характеристичното уравнение [2] е:
и коренът на уравнението е:
Следователно, свободният ток е:
(от [3])
Съответно, преходния ток във веригата е равен на:
[6] (от [4])
Установеният ток може да бъде намерен, ако е зададено ЕДН
Да разгледаме 3 случая:
1) Включване на постоянно ЕДН
в
2) Късо съединение в
веригата
3) Включване на синусоидално ЕДН
веригата
в
веригата
1) Включване на постоянно ЕДН
При включване в
в
веригата
верига на постоянно ЕДН
, установения ток е
Затова:
Интеграционната константа
се определя от началното условие
. Записване на горното уравнение за
дава:
, откъдето следва че
. Следователно
Тук
е граничната стойност, към която се стреми тока
,
наричана установен ток. Величината
[7] се нарича времеконстанта
и се измерва в секунди:
В началния момент
, ЕДН на самоиндукция е:
, което напълно компенсира ЕДН на източника,
така че
. С течение на времето, ЕДН на самоиндукция намалява, а токът
във веригата нараства, приближавайки се асимптотично към установената стойност.
Напрежението на индуктивността е:
От курса по математика е известно, че
ако
, то поддопирателната
(върху оста t) е равна на
.
В дадения случай, за всяка стойност на t е
в сила:
Установен, свободен и преходен токове
при включване на постоянно ЕДН
в
верига
Времеконстантата
на
верига е равна на промеждутъка от
време, в течение на който големината
на свободната съставляваща на тока
намалява е=2,718 пъти и съответно
токът в тази верига, включена към
постоянно напрежение, достига 63,2 %
от неговата установена стойност.
2) Късо съединение в
веригата
Вследствие на наличието на
магнитно поле на индуктивната бобина,
токът не изчезва мигновенно: ЕДН на
самоиндукция се стреми да поддържа тока в
контура, за сметка на енергията на
изчезващото магнитно поле. При това,
постепенно разсейващата се енергия на
магнитното поле се превръща в топлина в
съпротивлението
и токът в контура се
приближава към нула.
Заместване на
в [4]
води до:
Интеграционната константа
се определя от началното условие
, откъдето следва
че:
Късо съединение в
верига:
а) електрична схема,
б) криви на тока i и напрежението uL
където
- стойността на тока в
индуктивността в момента преди късото
съединение. Той може да има знак + или -.
Напрежението на индуктивността е:
Теоретично, преходния процес завършва при
. За това време в
съпротивлението се отделя следната енергия, под формата на топлина:
което е цялата енергия, съхранена в магнитното поле на бобината до комутацията.
Както и в предния случай, преходния процес завършва след време
3) Включване на синусоидално ЕДН в
При включване на синусоидално ЕДН
веригата се установява ток:
От [6] се получава:
От началното условие
в
, където
следва че
,
веригата
Съответно:
където
Установен, свободен и преходен токове при включване
на синусоидално ЕДН в
верига. б)
- π/2 и r=0
Ако в момента на комутация
,
(0)=0 , тогава
или
, тогава
(t)=0 и установения процес настъпва без преходен процес.
Ако
, тогава началният свободен ток е максимален, тоест
и токът на преходния процес достига екстремна стойност в края на
първия полупериод. В пределния случай
, съответно
и преходния ток достига 2 пъти амплитудата на тока за установения режим.
Преходен процес в
верига
Втория закон на Кирхоф записан за
има вида:
където
е напрежението на капацитета.
Отчитайки че
се получава:
Включване на
където
(
верига. Фиг. 1
Характеристичното уравнение е:
, тоест:
е времеконстантата на
и коренът му е:
[8]
веригата
)
Преходното напрежение на капацитета е равно на сумата на установеното и
свободното напрежения:
[9]
Преходния токът в контура е:
Да разгледаме 3 случая:
1) Включване на постоянно ЕДН
в
2) Късо съединение в
веригата
3) Включване на синусоидално ЕДН
[10]
веригата
в
веригата
1) Включване на постоянно ЕДН
в
веригата
Приемаме че капацитетът е предварително зареден, при което означаваме

Установеното напрежение на капацитета е равно
на ЕДН на източника. Затова от [9] се получава:
Интеграционната константа се определя от
началните условия. При
→
Съответно:
.
[11]
и от [10]:
[12]
Ток и напрежение при
включване на ЕДН в
верига
2) Късо съединение в
веригата
Свързването накъсо на
веригата е равносилно на включване на ЕДН
равно на 0. Предполага се, че капацитетът
е зареден в момента на включване, тоест
.

Заместване на
и
= 0 в [11] , [12] води до:
, където
При късо съединение, токът протича от
”+” към “-” , тоест през съпротивлението
,в
посока обратна на показаната на Фиг. 1 , поради
което в израза за тока има знак “-”
Ток и напрежение при
късо съединение в
верига
За разлика от напрежението на
капацитета, което се променя непрекъснато, токът в
веригата е пропорционален на скоростта на
промяна на
и извършва скок при
.
Енергията, разсейвана в
през цялото време на преходния процес,
е равна на енергията съхранена в електричното поле преди комутацията:
3) Включване на синусоидално ЕДН в
веригата
При включване към
веригата на синусоидално ЕДН
, установеното напрежение на капацитета е:
където
Преходното напрежение се намира въз основа на [9]:
Допускаме че кондензаторът не е бил зареден в началото (
от което следва:
,
),
Тогава търсеното напрежение на капацитета е:
[13]
и токът във веригата е:
[14]
Нека включването в
веригата е в момент когато установения ток
достига максимум - положителен или отрицателен (тоест
и
установеното напрежение на капацитета е равно на 0).
Тогава свободната съставяща на напрежението
не възниква
и във веригата се настъпва установен режим, без преходен процес.

similar documents