S3C1

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ELETRIZAÇÃO
LEI DE COULOMB
Livro texto:
RAMALHO JR. F. e outros. Os Fundamentos da Física.
v.3. 9ª ed. São Paulo: Ed. Moderna, 2007.
Profa. Vera Rubbioli – [email protected]
1. ELETRIZAÇÃO POR ATRITO

Antiguidade: Âmbar  Elektron (grego)
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
A explicação do fenômeno está relacionado à
estrutura da matéria.
2
1. NOÇÃO DE CARGA ELÉTRICA

Propriedade fundamental da matéria responsável
pela força eletromagnética
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próton
massa
carga elétrica
neutron
1840.me 1840.me
+e
0
elétron
me
me = 9,11.10-31 kg
-e
e = 1,6.10-19 C
3
1. NOÇÃO DE CARGA ELÉTRICA

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Designada por e, é esta a unidade fundamental
de carga. A matéria é constituída por átomos que
são electricamente neutros. Cada átomo tem um
pequeno núcleo, porém de grande massa, que
contém prótons, cada qual com uma carga positiva,
e neutrons que não possuem carga elétrica. Em
torno do núcleo está um número de elétrons que
iguala a carga do núcleo, no entanto negativa. As
cargas elétricas no próton e do elétron são
exatamente iguais e de sinais opostos. A carga do
próton é e e a do elétron é -e. Todas as cargas que
aparecem na natureza são múltiplas da unidade
fundamental da carga, ou seja, a carga elétrica é
quantizada.
4
1. NOÇÃO DE CARGA ELÉTRICA
Todas
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as cargas que
aparecem na natureza
são múltiplas da unidade
fundamental da carga, ou
seja, a carga elétrica é
quantizada.
5
1. NOÇÃO DE CARGA ELÉTRICA
Ou seja,
nZ
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q  n.e
Em que: n = 0, 1, 2, ...
E e = 1,6.10-19 C
Exemplos de valores possíveis:
1,6 10-19 C, 3,2.10-19 C, 4,8.10-19 C
Exemplos de valores impossíveis:
1,2 10-19 C, 3,6.10-19 C, 5,2.10-19 C
6
1. NOÇÃO DIDÁTICA DE COULOMB
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Um coulomb é a intensidade de carga de um corpo
eletrizado com excesso ou falta de 6,25.1018 elétrons.
6,25.1018 = 6.250.000.000.000.000.000
seis quinquilhões e duzentos e cinquenta quatrilhões.
A definição legal (SI) do coulomb é dada em função das
propriedades magnéticas da corrente elétrica, e será
visto no cap. 13.
7
1. ELETRIZAÇÃO POR ATRITO.

Série triboelétrica1:

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+  vidro  lã  pele de ovelha  seda  algodão 
ebonite  cobre  enxofre  -
Série triboelétrica2:
+  Pele humana seca  Couro  Pele de coelho 
Vidro  Cabelo humano  Fibra sintética (nylon) Lã
 Chumbo Pele de gato  Seda  Alumínio 
Papel  Algodão Aço  Madeira  Âmbar
Borracha dura  Níquel e Cobre  Latão e Prata 
Ouro e Platina  Poliéster  Isopor  Filme PVC
(magipack)  Poliuretano  Polietileno (fita adesiva) 
Polipropileno  Vinil (PVC)  Silicone  Teflon  1 - Ramalho; 2 - http://www.feiradeciencias.com.br
8
2. PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA

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2.1 Princípio da atração e repulsão - Lei de Du
Charles François de
Cisternay Du Fay
Fay:
(1698 – 1739)
Cargas elétricas puntiformes de mesma natureza
se repelem, cargas elétricas puntiformes de
natureza distinta se atraem.
9
EXERCÍCIO
Resposta:
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(UNICAMP - 1991) Duas cargas elétricas Q1•e Q2
atraem-se, quando colocadas próximas uma da
outra.
a) O que se pode afirmar sobre os sinais de Q1•e de
Q 2?
b) A carga Q1•é repelida por uma terceira carga, Q3,
positiva. Qual é o sinal de Q2?
a) As cargas possuem sinais opostos.
b) Negativa.
10
2. PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA

n
n
i1
i1
Q1'Depois
 Q2 
Q
 Q '2
Q 1Antes
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2.2 Princípio da conservação das cargas elétricas
Num sistema isolado, a soma algébrica das
quantidades de cargas positivas e negativas é
constante
11
3. CONDUTORES E ISOLANTES


a) Primeira classe: Condutores Metálicos
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Condutor elétrico é todo meio que permite a
movimentação de portadores de cargas elétricas
no seu interior:
12
3. CONDUTORES E ISOLANTES

b) Segunda classe: Condutores Eletrolíticos
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13
3. CONDUTORES E ISOLANTES

c) Terceira classe: Condutores Gasosos
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14
3. CONDUTORES E ISOLANTES

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Nos metais, condutores de 1ª classe, as cargas em
excesso distribuem-se pela superfície de modo
uniforme ou não uniforme dependendo da
geometria do corpo.
15
3. CONDUTORES E ISOLANTES

Nos materiais isolantes ou dielétricos as cargas em
excesso se acumulam na região que surgem.
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16
4. ELETRIZAÇÃO POR CONTATO (CASO
PARTICULAR)

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Colocando-se dois condutores esféricos idênticos
em contato, a carga elétrica em excesso será
dividida igualmente entre eles
17
EXERCÍCIOS PARA AULA
I.
Os fios de cabelo da garota adquirem cargas elétricas de mesmo
sinal e por isso se repelem.
II.
O clima seco facilita a ocorrência do fenômeno observado no
cabelo da garota.
III.
A garota conseguiria o mesmo efeito em seu cabelo, se na figura
sua mão apenas se aproximasse da esfera de metal sem tocá-la.
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1. (PUC/SP – 2006) A mão da garota da figura toca a esfera
eletrizada de uma máquina eletrostática conhecida como gerador de
Van de Graaf. A respeito do descrito são feitas as seguintes
afirmações:
Está correto o que se lê em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
Resposta: B
18
EXERCÍCIOS PARA AULA
I. A esfera M1 é aproximada de M2 até que ambas fiquem em contato
elétrico. A seguir, M1 é afastada até retornar à sua posição inicial.
II. A esfera M3 é aproximada de M2 até que ambas fiquem em contato
elétrico. A seguir, M3 é afastada até retornar à sua posição inicial.
Após essas duas operações, as cargas nas esferas serão cerca de:
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2. (FUVEST – 2008) Três esferas metálicas, M1, M2 e M3, de mesmo
diâmetro e montadas em suportes isolantes, estão bem afastadas
entre si e longe de outros objetos. Inicialmente M1 e M3 têm cargas
iguais, com valor Q, e M2 está descarregada. São realizadas duas
operações, na seqüência indicada:
a) M1 = Q/2; M2 = Q/4; M3 = Q/4
b) M1 = Q/2; M2 = 3Q/4; M3 = 3Q/4
c) M1 = 2Q/3; M2 = 2Q/3; M3 = 2Q/3
d) M1 = 3Q/4; M2 = Q/2; M3 = 3Q/4
e) M1 = Q; M2 = zero; M3 = Q
Resposta: B
19
EXERCÍCIOS PARA AULA
As figuras (1) a (4) adiante, ilustram o desenrolar dos fenômenos
ocorridos.
Podemos afirmar que na situação (4):
a) M e P estão eletrizadas positivamente.
b) M está negativa e P neutra.
c) M está neutra e P positivamente eletrizada.
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3. (FUVEST 1993) Dispõe-se de uma placa metálica M e de uma
esferinha metálica P, suspensa por um fio isolante, inicialmente
neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta é lançado sobre a placa
retirando partículas elementares da mesma.
d) M e P estão eletrizadas negativamente.
e) M e P foram eletrizadas por indução.
20
Resposta: A
5. ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E
ELETROSCÓPIOS

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A correta explicação da eletrização por indução e
do funcionamento de eletroscópios deve esperar os
capítulos 3 (Potencial Elétrico) e 4 (Condutores em
Equilíbrio Eletrostático).
21
ORIENTAÇÃO PARA ESTUDO

Estudar:
Os itens 1 a 4 da pág. 2 a pág. 7;
 ler o tópico Gerador de Van de Graaf (pág. 10);

Resolver os Exercícios Resolvidos:


Fazer os Exercícios Propostos:


R.1 (pág. 7) e R.2 (pág. 8) ;
P.1 e P.2 – pág. 8;
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
Fazer os Testes Propostos:
T.1 e T.4 – pág. 24
 T.5 a T.7 – pág. 25

22
6. FORÇAS ENTRE CARGAS ELÉTRICAS
PUNTIFORMES
Carga elétrica puntiforme: corpo eletrizado cujas
dimensões podem ser desprezadas em relação às
distâncias que o separam de outros corpos
eletrizados.
 Lei de Du Fay:
Cargas elétricas puntiformes de mesma natureza
se repelem, cargas elétricas puntiformes de
natureza distinta se atraem.

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23
Terceira Lei de Newton
7. LEI DE COULOMB

Q1 . Q2
Fe  k 0 .
d2
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A intensidade da força de ação mútua entre duas
cargas elétricas puntiformes é diretamente
proporcional ao produto dos valores absolutos das
cargas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância que as separa
Charles A, Coulomb
(1736 – 1806)
Em que k0 é a constante eletrostática do vácuo
cujo valor corresponde a 9 × 109 N.m2/C2 (2).
(1),
1 – Para outro meio dielétrico, verificar o Apêndice 1 no final da apresentação.
2 – Para relembrar as Unidades de Base do SI, verificar o Apêndice 2 no final da
apresentação.
24
3 – Hipérbole Equilátera: verificar o
Apêndice 3 no final da apresentação.
7. LEI DE COULOMB

Diagrama Fe × d
A intensidade da força de
ação mútua entre duas
cargas elétricas puntiformes
é diretamente proporcional
ao produto dos valores
absolutos das cargas e
inversamente
proporcional
ao quadrado da distância
que as separa
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Q1 . Q2
Fe  k 0 .
d2
25
EXERCÍCIO RESOLVIDO R.9 – PÁG. 17
A intensidade da força elétrica exercida por C sobre
B é de 8.10-2N. Qual é a intensidade da força
elétrica resultante que A e C exercem sobre B?
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Três pequenas esferas A, B e C com cargas
elétricas respectivamente iguais a 2Q, Q e Q estão
localizadas como mostra a figura:
26
7. APLICAÇÕES DA LEI DE COULOMB
"Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou
de movimento retilíneo e uniforme, a menos que seja
obrigado a mudar seu estado por forças a ele
impressas.“
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Nos exercícios de aplicações da Lei de Coulomb é
utilizado a noção de equilíbrio de um ponto
material.
De acordo com a Primeira Lei de Newton:
Ou seja, se um ponto material se encontra em
repouso, a força resultante sobre ele é nula.
4 – Revisão de Vetores: Estudar o Apêndice 4 no final da
apresentação
27
EXERCÍCIO RESOLVIDO R.11 – PÁG. 18
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Duas cargas puntiformes Q1=10-6C e Q2=4.10-6C
estão fixas nos pontos A e B e separadas pela
distância d = 30cm no vácuo. Sendo a constante
eletrostática do vácuo k0=9.109N.m2/C2, determine:
a) a intensidade da força elétrica de repulsão;
b) a intensidade da força elétrica resultante sobre
uma terceira carga Q3=2.10-6C, colocada no ponto
médio do segmento que une Q1 e Q2.
c) a posição em que Q3 deve ser colocada para ficar
em equilíbrio sob a ação das forças elétricas
somente.
28
EXERCÍCIO RESOLVIDO R.13 – PÁG. 19
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Duas pequenas esferas metálicas iguais são
suspensas de um ponto O por dois fios isolantes de
mesmo comprimento L = 0,5 m. As esferas são
igualmente eletrizadas com carga Q = 1,0 mC.
Sabendo-se que na posição de equilíbrio, os fios
formam com a vertical ângulos de 45º, determine o
peso de cada esfera. O meio é o vácuo, cuja
constante eletrostática é k0=9.109N.m2/C2.
29
ORIENTAÇÃO PARA ESTUDO

Estudar:
a item7 – pág. 13.
 ler o tópico A experiência de Coulomb – pág. 15

Resolver os Exercícios Resolvidos:


Fazer os Exercícios Propostos:


Do R.4 – pág. 15 ao R.13 – pág. 19
P.9, P.11, P.12 e P.13 da pág. 20
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
Fazer os Exercícios Propostos de Recapitulação:
P.16 – pág. 22;
 P. 18 – pág. 23;


Fazer os Testes Propostos:

T.16 (pág. 26), T. 24 e T. 25 (pág. 27) e T. 33 (pág. 29).
30
31
Apêndice 1: Constante eletrostática do meio
Apêndice 2: Unidades de Base do SI
Apêndice 3: Hipérbole equilátera
Apêndice 4: Revisão de Vetores
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APÊNDICES
APÊNDICE 1: CONSTANTE ELETROSTÁTICA DO
MEIO

k

1
4..
Em que  é a permitividade elétrica do meio
material, que por sua vez é dada em função da
permitividade elétrica relativa do meio e a
permitividade elétrica do vácuo 0. Ou seja:
  r . 0
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A constante eletrostática k de um meio é dada em
função
da
constante
permitividade
ou
permissividade elétrica do mesmo:
32
APÊNDICE 1: CONSTANTE ELETROSTÁTICA DO
MEIO
  r . 0
0  8,85 × 10-12 F/m
k
1
4..
Q1 . Q2
1
Fe 
.
4..r . 0
d2
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Em que:
Material
εr
vácuo
1
ar
1,00059
alumínio
8,1 a 9,5
esteatita
5,5 a 7,2
mica
5,4 a 8,7
óleo
4,6
papel
4a6
papel parafinado
2,5
plástico
3
polistireno
2,5 a 2,6
porcelana
6
pyrex
5,1
sílica fundida
3,8
titanatos
50 a 10000
vidro de cal de soda
6,9
33
volta
APÊNDICE 2: UNIDADES DE BASE DO SI
AS SETE UNIDADES DE BASE
unidade símbolo
metro
m
quilograma
kg
segundo
s
ampere
A
kelvin
K
candela
cd
mol
mol
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Grandeza
 Comprimento
 Massa
 Tempo
 Corrente elétrica
 Temperatura
 Intensidade luminosa
 Quantidade de matéria
34
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O METRO
 1793:
décima milionésima parte
do quadrante do meridiano
terrestre
 1889: padrão de traços em
barra de platina iridiada
depositada no BIPM
 1960: comprimento de onda da
raia alaranjada do criptônio
 1983: definição atual
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O METRO
É o comprimento do trajeto percorrido pela luz no
vácuo, durante um intervalo de tempo de
1/299792458 de segundo
 Observações:

Instituto Educacional Imaculada
assume valor exato para a velocidade da luz no vácuo
 depende da definição do segundo
 incerteza atual de reprodução: 10-12 m

36
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
COMPARAÇÕES ...

Se o mundo fosse ampliado de forma que 10-12 m
se tornasse 1 mm:
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um glóbulo vermelho teria cerca de 7 km de diâmetro.
 o diâmetro de um fio de cabelo seria da ordem de 50
km.
 A espessura de uma folha de papel seria algo entre 100
e 140 km.
 Um fio de barba cresceria 2 m/s.

37
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O SEGUNDO
é a duração de 9 192 631 770 períodos da
radiação correspondente à transição entre os dois
níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo
de Césio 133.
 Observações:

Incerteza atual de reprodução: 10-15 s
Instituto Educacional Imaculada

38
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
COMPARAÇÕES ...

Se a velocidade com que o tempo passa pudesse ser
desacelerada de tal forma que 10-15 s se tornasse 1 s:
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um avião a jato levaria pouco mais de 120 anos para percorrer
1 mm.
 o tempo em que uma lâmpada de flash ficaria acesa seria da
ordem de 30 anos.
 uma turbina de dentista levaria cerca de 60 anos para
completar apenas uma rotação.
 um ser humano levaria cerca de 600 séculos para piscar o
olho.

39
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O QUILOGRAMA

incerteza atual de
reprodução: 2.10-9 g
 busca-se uma melhor
definição ...

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é igual à massa do
protótipo internacional do
quilograma.
40
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
COMPARAÇÕES ...

Se as massas dos corpos que nos cercam pudessem ser
intensificadas de forma que 2.10-9 g se tornasse 1 g:





uma molécula d’água teria 6.10-16 g
um vírus 5.10-10 g
uma célula humana 2 mg
um mosquito 3 kg
uma moeda de R$ 0,01 teria 4 toneladas
a quantidade de álcool em um drinque seria de 12 t
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
41
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O AMPERE
é

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a intensidade de uma corrente elétrica
constante que, mantida em dois condutores
paralelos, retilíneos, de comprimento
infinito, de seção circular desprezível, e
situados à distância de 1 metro entre si, no
vácuo, produz entre estes condutores uma
força igual a 2 .10-7 newton por metro de
comprimento.
incerteza atual de reprodução: 9.10-8 A
42
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O KELVIN

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O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é
a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica
do ponto tríplice da água.
43
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
A candela (cd)
é a intensidade luminosa, numa dada
direção, de uma fonte que emite uma
radiação monocromática de freqüência
540 . 1012 hertz e cuja intensidade
energética nesta direção é de 1/683
watt por esterradiano.

Instituto Educacional Imaculada

incerteza atual de reprodução: 10-4 cd
44
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O mol (mol)
é a quantidade de matéria de um
sistema contendo tantas entidades
elementares quantos átomos existem
em 0,012 quilograma de carbono 12.

incerteza atual de reprodução: 2 . 10-9 mol
Instituto Educacional Imaculada

45
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
AS UNIDADES SUPLEMENTARES:
O RADIANO

É o ângulo central que subtende um arco de círculo de
comprimento igual ao do respectivo raio.
C=R
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C
1 rad
R
46
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
AS UNIDADES SUPLEMENTARES:
ÂNGULO SÓLIDO
A

 = A/R2
Instituto Educacional Imaculada
R
47
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O ESTERRADIANO


São exemplos de ângulo sólido: o vértice de um cone e
o facho de luz de uma lanterna acesa.)
Instituto Educacional Imaculada
É o ângulo sólido que tendo vértice no centro de
uma esfera, subtende na superfície uma área igual
ao quadrado do raio da esfera.
48
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
UNIDADES DERIVADAS
Grandeza derivada
Unidade derivada
área
volume
velocidade
aceleração
velocidade angular
aceleração angular
massa específica
intensidade de campo magnético
densidade de corrente
concentração de substância
luminância
metro quadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
radiano por segundo
radiano por segundo ao quadrado
quilogramas por metro cúbico
ampère por metro
ampère por metro cúbico
mol por metro cúbico
candela por metro quadrado
Símbolo
m2
m3
m/s
m/s2
rad/s
rad/s2
kg/m3
A/m
A/m3
mol/m3
cd/m2
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
Grandeza derivada
freqüência
força
pressão, tensão
energia, trabalho, quantidade de calor
potência e fluxo radiante
carga elétrica, quantidade de eletricidade
diferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força
eletromotiva
capacitância elétrica
resistência elétrica
condutância elétrica
fluxo magnético
indução magnética, densidade de fluxo magnético
indutância
fluxo luminoso
iluminamento ou aclaramento
atividade (de radionuclídeo)
dose absorvida, energia específica
dose equivalente
Unidade
derivada
Símbolo
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
Hz
N
Pa
J
W
C
V
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
siervet
F

S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Em unidades
do SI
Em termos das
unidades base
N/m2
N.m
J/s
s-1
m . kg . s-2
m-1 . kg . s-2
m2 . kg . s-2
m2 . kg . s-3
s.A
m2 . kg . s-3 . A-1
W/A
C/V
V/A
A/V
V.S
Wb/m2
Wb/A
cd/sr
lm/m2
J/kg
J/kg
m-2 . kg-1 . s4 . A2
m2 . kg . s-3 . A-2
m-2 . kg-1 . s3 . A2
m2 . kg . s-2 . A-1
kg . s-2 . A-1
m2 . kg . s-2 . A-2
cd
cd . m-2
s-1
m2 . s-2
m2 . s-2
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
Fator
Nome do
prefixo
Símbolo
Fator
Nome do
prefixo
Símbolo
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m
m
n
p
f
a
z
y
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
UNIDADES EM USO COM O SI
Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI
tempo
ângulo
volume
massa
pressão
temperatura
minuto
hora
dia
grau
minuto
segundo
litro
tonelada
bar
grau Celsius
min
h
d
°
'
"
l, L
t
bar
°C
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h
1° = (/180)
1' = (1/60)° = (/10 800) rad
1" = (1/60)' = (/648 000) rad
1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
1 t = 103 kg
1 bar = 105 Pa
°C = K - 273,16
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
UNIDADES TEMPORARIAMENTE EM USO
Grandeza
Unidade
comprimento
velocidade
milha náutica
nó
massa
densidade linear
tensão de sistema
óptico
pressão no corpo
humano
área
área
comprimento
seção transversal
carat
tex
dioptre
milímetros de
mercúrio
are
hectare
ângstrom
barn
Símbolo
tex
Valor nas unidades do SI
1 milha náutica = 1852 m
1 nó = 1 milha náutica por hora =
(1852/3600) m/s
1 carat = 2 . 10-4 kg = 200 mg
1 tex = 10-6 kg/m = 1 mg/m
1 dioptre = 1 m-1
mmHg
1 mm Hg = 133 322 Pa
a
há
Å
b
1 a = 100 m2
1 ha = 104 m2
1 Å = 0,1 nm = 10-10 m
1 b = 10-28 m2
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
GRAFIA DOS NOMES DAS UNIDADES
Quando escritos por extenso, os nomes de unidades
começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome
de um cientista (por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.),
exceto o grau Celsius.
 A respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou
representada pelo seu símbolo, não sendo admitidas
combinações de partes escritas por extenso com partes
expressas por símbolo.

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54
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
O PLURAL
Quando pronunciado e escrito por extenso, o nome
da unidade vai para o plural (5 newtons; 150
metros; 1,2 metros quadrados; 10 segundos).
 Os símbolos das unidades nunca vão para o plural
( 5N; 150 m; 1,2 m2; 10 s).

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55
volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
OS SÍMBOLOS DAS UNIDADES
Os símbolos são invariáveis, não sendo admitido
colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura,
seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices.
 Multiplicação: pode ser formada pela justaposição
dos símbolos se não causar anbigüidade (VA, kWh)
ou colocando um ponto ou “x” entre os símbolos
(m.N ou m x N)
 Divisão: são aceitas qualquer das três maneiras
exemplificadas a seguir:

W.sr-1.m-2
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W/(sr.m2)
W
sr.m2
56
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
GRAFIA DOS NÚMEROS E SÍMBOLOS
Em português o separador decimal deve ser a vírgula.
 Os algarismos que compõem as partes inteira ou
decimal podem opcionalmente ser separados em
grupos de três por espaços, mas nunca por pontos.
 O espaço entre o número e o símbolo é opcional. Deve
ser omitido quando há possibilidade de fraude.

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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
ALGUNS ENGANOS

Errado







Correto








km, kg
mm
o grama
2h
15 s
80 km/h
250 K
um newton
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
Km, Kg
m
a grama
2 hs
15 seg
80 KM/H
250°K
um Newton

58
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
Outros enganos
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
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Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
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volta
Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.
APÊNDICE 3: HIPÉRBOLE EQUILÁTERA

x2 y2
 2 1
2
a b
como a  b 
x2 y2
 2  1
2
a a
x2  y2
 1
2
a
x 2  y 2  a2
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Definição: Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a
toda hipérbole cujos semi-eixos de medidas a e b
são iguais.
66
volta
Fonte: Disponível via URL:<http://www.paulomarques.com.br/arq6-10.htm>
APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES

Grandeza física.

Grandeza física escalar.

Ao se determinar uma grandeza física, pode ser necessária a
associação de uma unidade a um valor numérico. Estas
grandezas físicas, que são determinadas somente pela
intensidade (intensidade = valor numérico + unidade), são
chamadas de grandezas físicas escalares. Por exemplo:
temperatura, massa, pressão e tempo.
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
No estudo da Natureza, precisamos utilizar constantemente
uma linguagem matemática para descrever, entender e
prever os fenômenos que nos cercam. Este estudo
quantitativo é fundamental para o desenvolvimento da
Ciência, confirmando, ou não, teorias e modelos científicos
que estejam em teste. Para trabalharmos a Ciência de modo
quantitativo, utilizamos um ou mais processos de medição
aplicados àquilo que se quer estudar. Esse objeto de estudo,
sujeito a um processo de medição, quer direto ou indireto,
chamamos de grandeza física.
67
volta
APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES

Grandeza física vetorial.
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Quando for necessário acrescentar uma orientação
espacial à intensidade de uma grandeza física, temos o
que chamamos de grandeza física vetorial. Por
exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração e força.
A orientação espacial será fornecida através de uma
direção e de um sentido. Assim sendo, uma grandeza
física vetorial será determinada pela associação de uma
intensidade (valor numérico + unidade) e uma
orientação espacial (direção e sentido) e será
representada por um novo artifício teórico (matemático)
denominado vetor.
68
volta
APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES
A representação do vetor é dada por um segmento de reta
orientado.
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Para se definir uma direção é necessário construir uma reta.
69
Uma reta apresenta uma direção
volta
APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES
A direção de uma grandeza física vetorial é dada pela
direção da reta suporte do segmento de reta orientado.
É possível escolher entre dois sentidos numa reta.
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Para se determinar um sentido é necessário definir um
segmento de reta orientado.
70
volta
APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES
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O sentido da grandeza física vetorial é indicado
pelo segmento de reta orientado.

A intensidade da grandeza física vetorial
é dada
pelo tamanho do segmento de retaVorientado que
constitui o vetor.
No caso de um vetor ser citado num texto, sobre
seu nome deverá ser colocada a seguinte notação:
. Por exemplo:
(Leia-se: o vetor “vê”).
Já a representação do valor numérico de um vetor
é chamada de módulo de um vetor ou norma.
Sua notação matemática pode ser dada de duas
maneiras:

Por exemplo: D  5km
ou D  5km
71
volta
A ADIÇÃO DE VETORES.
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Muitas vezes se têm o interesse em substituir, na
análise de um problema, dois ou mais vetores por
um único que efetue os mesmos efeitos, ou que
represente corretamente determinada situação
física. Esse vetor substituto é chamado vetor
resultante.
72
volta
EXEMPLO: DESLOCAMENTO RESULTANTE.
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Vamos imaginar que um naufrago resolve nadar
3 km numa direção e depois nada mais 4 km
noutra direção, perpendicular à primeira. Qual seria
o módulo do seu deslocamento total?
73
volta
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
O Teorema de Pitágoras nos permite encontrar o módulo do
deslocamento total.
Note que o vetor representa o deslocamento total em relação
à posição inicial, mostrando sua direção, sentido e
intensidade.
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 2  2  2
DT  D1  D2
 2
2
2
DT  3  4
 2
DT  9  16
 2
DT  25

DT  5km
74
volta
ADIÇÃO DE VETORES PELA REGRA DA LINHA
POLIGONAL.
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Este novo elemento matemático, vetor, que está
sendo apresentado, possui regras próprias para
operações elementares. Você deve estar
acostumado a adicionar, subtrair, multiplicar e
dividir números; agora teremos que aprender a
adicionar e subtrair vetores. Ao definirmos a adição
de dois vetores levaremos em consideração o
exemplo anterior.
Para somar dois, ou mais vetores, construímos
uma linha poligonal emendando a origem de um
vetor à extremidade de outro vetor e assim
sucessivamente, até o último vetor. Então, ligase a origem do primeiro à extremidade do
último vetor para se obter o vetor resultante.
75
volta
EXEMPLO
Dados os vetores representados na figura seguinte,
pede-se determinar o módulo do vetor resultante.
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76
volta
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
A norma do vetor resultante é 8 u.
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77
volta
EXEMPLO
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 
Dados os vetores x e y , encontre, em cada caso

  
abaixo, o módulo do vetor s , em que s  x  y .


Sabe-se que: x  3u e y  4u
a) Os vetores têm mesma direção e sentido.
b) Os vetores têm mesma direção e sentidos
opostos.
c) Os vetores
têm mesma direções
perpendiculares.
78
volta
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
a) Somam-se os módulos dos dois vetores:
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  
sxy
  
sxy

s 34

s  7u
79
volta
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO
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b) Subtrai-se o módulo do menor vetor do módulo
do maior vetor:
  
sxy
  
syx

s  43

s  1u
80
volta
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

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c) Aplica-se o Teorema de Pitágoras:
  
sxy
2 2 2
s x y
2
2
2
s  3   4 
2
s  9  16
2
s  25

s  5u
81
volta
RESUMINDO

  
sxy
  
sxy

s 34

s  7u
  
sxy
  
syx

s  43

s  1u
  
sxy
2 2 2
s x y
2
2
2
s  3   4 
2
s  9  16
2
s  25

s  5u
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Para cada situação o cálculo do módulo ou da
norma do vetor foi feito de um modo diferente. A
operação vetorial sempre foi a mesma!
82
volta
A REGRA DO PARALELOGRAMO
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Podemos utilizar uma regra para a adição de
vetores, que permite calcular a intensidade do
módulo do vetor resultante de qualquer soma de
dois vetores: a regra do paralelogramo.
83
volta
A REGRA DO PARALELOGRAMO
Colocamos os dois vetores com as origens juntas, e
desenhamos um paralelogramo, cuja diagonal, que passa
entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.
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2 2 2
 
Demonstra-se que: S  A  B  2. A .B . cos 
84
volta
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR.
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


Dado um vetor A e o vetor B  n.A
em que n é
um número real, temos:
Quanto à orientação espacial:
 
Se n > 0  A e B têm mesma direção e sentido.
 
Se n < 0  A e B têm mesma direção e sentidos
opostos.


Quanto à intensidade: B  n . A
85
volta
SUBTRAÇÃO DE VETORES
   

D  A  B  A  ( B)
2 2 2
 
Demonstra-se que: D  A  B  2. A .B. cos 
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

Subtrair o vetor B do vetor A é equivalente
a

somar aovetor
ou
 A o vetor oposto ao vetor B ,
seja, A  B  A  ( B)
86
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
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Na adição de dois vetores substituem-se dois ou
mais vetores por um único que o represente.
Aprenderemos, agora, o processo inverso, ou seja,
partindo de um único vetor, iremos substituí-lo por
dois vetores que o represente. Esse processo é
chamado decomposição de vetores.
Exemplo: Um homem quer descansar numa rede
velha, mas não forçar muito a mesma. Então, como
deveria amarrá-la ? De modo que ficasse o mais
esticada possível ou menos esticada?
87
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
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Quanto maior forem as intensidades das
forças exercidas pelas palmeiras sobre a rede
maior será a probabilidade dela se partir. As forças
que as palmeiras exercem sobre a rede, equilibram
a força exercida pelo homem.
88
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Logo, para se ter as forças que seguram a rede com intensidade
mínima, deve-se mantê-la o menos esticada possível.
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Note que quanto maior for o ângulo entre as forças exercidas pelas
palmeiras, maior terá que ser a intensidade da força aplicada por
cada palmeira sobre a rede, a fim de equilibrar a força exercida pelo
homem, que tem mesma intensidade da sua força peso.
89
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES
QUAISQUER.
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Note que um vetor pode ser a resultante da soma
de infinitos vetores. A figura abaixo mostra alguns
exemplos:
90
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES
ORTOGONAIS.
Contudo, pode ser interessante encontrar um par de vetores em
particular.
Quando se fornece duas direções perpendiculares e pede-se o
par de vetores, que somados dão o vetor, encontra-se somente
um par de vetores.
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Quando as componentes de um vetor fazem, entre si, 90o, são
chamadas “componentes ortogonais do vetor ”. Contudo, mais
uma vez, temos um caso de infinitas respostas. Existem infinitos
pares de vetores ortogonais que somados dão o vetor .
91
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES
ORTOGONAIS.
 
Quais são os vetores A e B , nas direções dadas

pelos eixos y e x, que somados dão o vetor S ?
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92
volta
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considere:
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93
volta
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES
ORTOGONAIS.
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
Note que esse vetor S faz com o eixo x um ângulo
. Podemos decompô-lo utilizando a trigonometria
do triângulo retângulo.
94
volta

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