арифметической прогрессией

Report
Презентация
На тему:
Арифметическая
прогрессия.
1.Основные понятия
Определение.
• Числовую последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен сумме
предыдущего члена и одного и того же числа
d, называют арифметической прогрессией.
При этом число d называют разностью
прогрессии. Таким образом, арифметическая
прогрессия - это числовая
последовательность (аn ) , заданная
рекуррентно соотношениями:
a1=a, аn=an-1+d (n=2,3,4, … )
(a и d – заданные числа ).
Определение 2
• Арифметическая прогрессия является
возрастающей последовательностью,
если d>0, и убывающей, если d<0.
• Пример 1. 1,3,5,7,9,11, … .
Это арифметическая прогрессия, у которой
a1=1, d=2.
Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … .
Это арифметическая прогрессия , у которой
a1=20, d=-3.
2.Формула n-го члена
арифметической прогрессии.
•
•
•
•
•
•
а1= a1,
A2=a1+d
A3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
A5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d и так далее.
Не трудно догадаться, что для любого номера n
справедливо равенство:
•
an=a1+(n-1)d
«Метод математической индукции».
• Важное замечание.
• «Нетрудно догадаться», «можно
сообразить» и т.д.- это стилистические
обороты из области интуиции, догадки,
озарения. Разумеется, математики ими
пользуются, но в основном для открытия
каких-то новых фактов, а не для их
обоснования. Формулу мы
«прочувствовали», но не обосновали.
Приведём доказательство.
• Если n=1, то а1=а1+(1-1)d – верное
равенство, т.е. формула для n=1 верна.
• Предположим, что формула верна для
натурального числа n=k, т.е. предположим,
что верно равенство аk=a1+(k-1)d.
Докажем, что тогда формула верна и для
следующего натурального числа n=k+1, т.е.
докажем, что ak+1=a1+kd.в самом деле, по
определению арифметической прогрессии
ak+1= ak + d. Далее имеем:
ak+1= ak + d=a1+(k-1)d)+d=a1+kd.
• А теперь смотрите: для n=1 формула верна
(это мы проверили). Далее мы доказали,
что если формула верна для n=k, то она
верна и для n=k+1. Воспользуемся этим:
формула верна для n=1, значит, она верна и
для n=2; так как она верна для n=2 , то она
верна и для n=3 и так далее. Значит,
формула верна для любого натурального
числа.
• Приведенный ниже метод рассуждений
носит название «метод математической
индукции».
3.Формула суммы членов конечной
арифметической прогрессии.
• Определение .
• Сумма члена, находящегося на Ŗ-м месте
от начала конечной арифметической
прогрессии, и члена, находящегося на Ŗ-м
от её конца, равна сумме первого и
последнего членов прогрессии:
•
aŖ+an-Ŗ+1=a1+a2.
• Sn =n(a1+an)/2
• Это формула суммы первых n членов
арифметической прогрессии.
Пример 1.
• Дана конечная арифметическая прогрессия a1, a2,
a3, … , an.
а)Известно, что a1=5, d=4, n=22. Найти Sn, т.е. S22.
б)Известно, что а1=7, n=8, S8=140. Найти d.
Решение.
а) Имеем: а22=а1+21d=5+21*4=89.
Значит, S22=22(а1+а22)\2=11*(5+89)=1034.
• б) Сначала найдем а8. Имеем:
• S8=8(a1+a8)/2
• 140=4(a1+a8)
• 140=4(7+a8)
• 35=7+a8
• A8=28
• А теперь применим к а8 формулу n-го члена
Арифметической прогрессии:
А8=а1+7d
28=7+7d
d=3
Ответ: а) S22=1034; б) d=3.
Видоизмененная формула
n-го члена.
• Иногда оказывается полезной
несколько видоизмененная
формула суммы n-го членов
арифметической прогрессии. Если
в формуле для Sn учесть, что
an=a1+d(n-1) то:
• Sn=2a1+d(n-1)*n/2.
4.Характеристическое свойство
арифметической прогрессии.
• Пусть дана арифметическая прогрессия a1, a2, a3,
… , an. Рассмотрим три её члена, следующие друг
за другом: an-1, an, an+1.
• Известно, что
•
an-d=an-1
•
an+d=an+1
• Сложив эти равенства, получим:
•
an=an-1+an+1/2.
Теорема
• Числовая последовательность является
арифметической прогрессией тогда и
только тогда, когда каждый член,
кроме первого (и последнего – в
случае конечной последовательности),
равен среднему арифметическому
предшествующего и последующего
членов ( характеристическое свойство
арифметической прогрессии).
Пример
• При каком значении x числа 3x+2, 5x-4 и 11x+12 образуют
конечную арифметическую прогрессию ?
• Решение. Согласно характеристическому свойству
заданные выражения должны удовлетворять
соотношению
•
5x-4=(3x+2)+(11x+12)/2
• Решая это уравнение, находим:
•
10x-8=14x+14;
• x=-5,5.
• При этом значении x заданные выражения 3x+2,
• 5x-4 и 11x+12 принимают соответственно значения 14.5;-31.5;-48.5. Это арифметическая прогрессия, её
разность равна -17.
• Ответ: x=-5,5.

similar documents