Sumatorias.

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SUMATORIAS
Donia Alizandra Ruelas Acero
[email protected]
CONTENIDO
 Introducción
 Definición
 Propiedades
 Sumatorias Notables
 Ejercicios Resueltos
 Ejercicios Propuestos
 Conclusiones
 Bibliografía
 INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.
Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la
escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban
mal, le puso un problema matemático al pequeño
Carl y a sus compañeros.
Los niños debían sumar todos los números del
1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100
El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,
confiaba en que tendría horas hasta que los niños
sumaran todos los números. Sin embargo, el
pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir
hacia el profesor y darle el resultado: 5050.
¿Cómo lo había hecho?
Gauss tenía que sumar lo siguiente:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando
siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir:
1 +100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
5 + 96 = 101
...
46 + 55 = 101
47 + 54 = 101
48 + 53 = 101
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101
50 veces 101, es decir 50x101= 5050
De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros
números.

 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+  =
=1
 +1
2
Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a
Gauss, que fue de sumar los 100 primero números.
100
=1
100
100 100 + 1
 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 =
2
 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 50(101)
=1
100
 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 5050
=1
 DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de
números, el resultado es la suma total.
NOTACIÓN
Índice superior

 +  +  +…+ =

Término general
=
sigma
Índice inferior
 PROPIEDADES
P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria
es igual al índice superior menos el índice inferior mas la
unidad.

=
− +=ú  é
=
Ejemplo:
Hallar el número de términos de la siguiente expresión:
45
=
=5
45−5 +1=41 é
P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del
número de sumandos por la constante.

 = [  −  + 1]. 
=
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
45
4=
=5
45 − 5 + 1 . 4 = 164
P3. La sumatoria en el que el término general es una suma
algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias
independientes.



( 2 +  ´ ) =
=
 2 +
=
 ´
=
Donde: k y k´ son constantes.
Ejemplo:


(2 2 + 3) =
=

2 2 +
=
3
=
P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede
descomponerse de ésta manera:


 =
=
−1
 −
=1

=1
Donde: a ≠ 
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
11
11
=
=5
4
−
=1

=1
 SUMATORIAS
NOTABLES
 Los n primeros números naturales

=1
 +1
 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+  =
2
 Los n primeros números pares naturales

2 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ +  =   + 1
=1
Demostración:

2 = 2+ 4 + 6 + 8 + ⋯ + 
=1

2 = 2(1+ 2 + 3 + 4 + ⋯ + )
Factorización
=1

=1

n(n+1)
2 = 2 [
]
2
2 =   + 1
=1
SN primeros N
lqqd
 Los n primeros números impares naturales.

(2 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = 2
=1
Demostración:


2 − 1 =
=1


2 −
=1
1
P3:
=1
2 − 1 = [  + 1 −  − 1 + 1 1]
SN #pares y P2:
2 − 1 = [  + 1 −  − 1 + 1 1]
simplificación
=1


=1
2 − 1 = [2 +  −  ]
=1

2 − 1 = 2
=1
lqqd
 Los n primeros números cuadrados perfectos

 2 = 12 +22 +32 +42 + ⋯ + 2 =
=1
  + 1 (2 + 1)
6
 Los n primeros números cubos perfectos.

3
=1
=
13 +23 +33 +43 + ⋯ +
3
 +1 2
=[
]
2
 Los n primeros números cuartos perfectos.

=1
2


+
1
(2
+
1)(3
+ 3 − 1)
 4 = 14 +24 +34 +44 + ⋯ + 4 =
30
 Los n primeras potencias.

=1
+1 − 

 = 1 +2 +3 +4 + ⋯ +  =
−1
 EJERCICIOS
RESUELTOS
1. Escriba con notación ∑
a) 3+9+27+81+…(10 términos)
Resolución:
3+9+27+81+…(10 términos)
 =3
 =9 =
 =27=
 =81=
…
10
3
3+9+27+81+…(10 términos) =
=1
b) 2+6+10+14+18…(10 términos)
Resolución:
2+6+10+14+18…(10 términos)
 =2
 = 6 = 2(3)
 = 10 = 2(5)
 = 14 = 2(7)
…
10
2+6+10+14+18…(10 términos) =
2(2 − 1)
=1
30
(3 + 2)
2. Hallar
=1
Resolución:
30
30
3 + 2
=
3 +
=1
=1
30
30
3 + 2 = 3
=1
30
30
+
30
3 + 2 = 3(
2
:propiedad 2
=1
30 30 + 1
) + [ 30 − 1 + 1]. 2
2
3 + 2 = 3(465) + 60
=1
30
3 + 2 = 1455
=1
:propiedad 3
=1
=1
=1
30
2
:S.N y :propiedad 2
3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232
Resolución:
 = 3 + 24 + 81 + 192 + … + 8232
 = 3(1 + 8 + 27 + 64 + … + 2744)
:factorizando
 = 3(13 + 23 + 33 + 43 + … + 143 )
14
3
=3
:S.N. cubos
=1
 =3
14(14+1) 2
2
 = 3 7(15)
 =33075
2

4. Hallar n:
2 = 342
=1
Resolución:

2 = 342
:S.N. números pares
=1
( + 1) = 342
2 +  − 342 = 0
(n-18)(n+19)= 0
n-18= 0
n= 18
:Ec. De 2 grado
5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
15 términos
Resolución:
S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
15 términos
15
( 2 +3)
=
:Propiedad 3
=1
15
15
2 +
=
=1
=
3
=1
15(15+1)(2(15)+1)
+(15-1+1)3
6
 = 1240+45
 = 1285
:S.N. y Propiedad 2
=
6. Calcular E:
0,01 + 0,03 + 0,05 + … + 19,99
Resolución:
=
0,01 + 0,03 + 0,05 + … + 19,99
=
1
10
=
1
3
5
1999
+
+
+ ⋯+
100 100 100
100
1 + 3 + 5 + ⋯ + 1999
1
=10 10002
E= 100
:Decimal a fracción
:Factorizando
2n-1= 1999
2n = 2000
n = 1000
=1+2+3+…+ 43
Encontrar el valor de: 1 +2 +3 +…+ 
7. Se tiene:
Resolución:
A:Encontremos el valor de 
=1+2+3+…+ 43
43(43+1)
2
=
B: Hallando
1 +2 +3 +…+ 
1 +2 +3 +…+ 
n=69
=946
Aplicando S.N
Por Tanto:
M =9
A=4
R=6
1 +2 +3 +…+  =69(70)/2
1 +2 +3 +…+  = 
8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7
pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros
más de lo que subieron en la estación anterior.
Si al llegar a su paradero final se contaron con 520
pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el
ómnibus a recoger pasajeros?
Resolución:
Inicio:
7
1° 2° 3°
9 11 13
… n°
__
Final
520
Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520

2 − 1 = 520

=4
3
2 − 1 −
=1
2 − 1 = 520
=1
2 − 32 = 520
= 23
     ,      
9. Un obrero ha ahorrado este mes $ 178 y tiene con esto $ 1410
en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes $12
más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes?
Resolución:
1°
2°
3°
…
n°
Mes
Mes
Mes
1° Mes
actual
pasado antepasado
de ahorro
178 + 166 + 154 + … +(190-12n)

190 − 12 = 1410
=1

190 − 12
190 − 12
190 −62 − 6 = 1410
62 − 184 + 1410 = 0

=1
= 1410
 = 1410
=1
(+1)
=
2
1410
32 − 92n + 705 = 0
(3n- 8)(n-15) = 0
= 15
 °  :  −   = 
10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles
prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que
encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para
Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe
S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado?
Resolución:
1°
2°
Fósil
Fósil
x + 2x +
3°
4°
5°
6°
7°
8° …. 12°
Fósil
Fósil
Fósil
Fósil
Fósil
Fósil
Fósil
4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ = 12285
x( 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 ) = 12285
11
2 = 12285
+ 
=1
212 −2
x+[ 2−1 ]=
12285
4095 = 12285
=3
Por  ° ó   :   = 
 EJERCICIOS
PROPUESTOS
1. Escriba con notación ∑
a) 11+13+15+17+…(7 términos)
b) 4+9+16+25+36…(10 términos)
30
(7 + 2 + 6)
2. Hallar
=1
Resolución:
3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78
Resolución:

4. Hallar n:
3 = 741
=1
Resolución:
5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
30 términos
Resolución:
6. Calcular G:
Resolución:
=
0,02 + 0,04 + 0,06 + … + 22,22
=1+3+5+…+ 43
Encontrar el valor de: 1 +3 +5 +…+ 
7. Se tiene:
Resolución:
 CONCLUSIONES
 La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento
base en problemas de sumatorias.
 Las propiedades de las sumatorias
facilitan en la resolución de problemas.
 Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas
que nos permiten resolver problemas.
 BIBLIOGRAFÍA
 Ministerio de educación.(2007).Matemática primer grado de
educación secundaria. Editorial Bruño. Lima-Perú.
 Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático.
Editorial Lumbrras. Lima – Perú
 Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1
de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/
GRACIAS
“Ir más allá de uno mismo
y dominar el mundo”

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