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Varianzanalyse IV: Messwiederholung
Varianzanalyse IV: Messwiederholung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definition
Vor- und Nachteile
Quadratsummen und F-Test
Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung
SPSS
Mehrfaktorielle ANOVAs mit Messwiederholung
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1
Messwiederholung
Messwiederholung
• Man spricht von „Messwiederholung“, wenn verschieden Daten
zu einem „Fall“ gehören, d.h. wenn diese Daten sinnvoll einander
zugeordnet werden können.
• Beispiele:
 Messwiederholung im engeren Sinn: Die selbe AV wird mehrfach erhoben
( Veränderungsmessung)
 Eine AV wird durch unterschiedliche Verfahren (z.B. unterschiedliche Tests)
erhoben ( Vergleich der Verfahren)
 Personen aus zwei (oder mehreren) Stichproben werden einander
zugeordnet ( Partner, Geschwister, etc.)
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Messwiederholung
Beispiel
• Fünf Versuchspersonen bearbeiten eine Geschicklichkeitsaufgabe
dreimal hintereinander.
• AV: erreichte Punktzahl
Messzeitpunkt
vp
1
2
3
4
5
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1
48
40
43
45
48
44.80
2
50
46
44
46
49
47.00
3
50
46
47
49
49
48.20
49.33
44.00
44.67
46.67
48.67
46.67
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Messwiederholung
Einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung
• Eine einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung kann als
2-faktorielle ANOVA mit gemischten Effekten betrachtet werden:
– Faktor A: Messzeitpunkt (fester Effekt)
– Faktor B: Versuchsperson (Zufallseffekt)
• Allerding ist dann in jeder Zelle des Versuchsplans nur noch ein
Fall.
• Warum Vp als Zufallseffekt?
 Generalisierbarkeit für andere Vpn
• Es interessiert dabei nicht der Effekt von Vp (oder die Interaktion)
sondern der Effekt von Faktor A.
• Weil für Faktor B Zufallseffekte angenommen werden, wird die
SSA an der SSAxB relativiert.
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Messwiederholung
Vorteile der Messwiederholung
• Es werden weniger Versuchspersonen benötigt, da dieselben Vpn
mehrmals getestet werden.
• Höhere Teststärke (Power), da die Fehlervarianz verringert wird.
 Die Varianz „zwischen“ Vpn ist eliminiert, da man die Vpn nur
mit sich selbst vergleicht.
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Messwiederholung
Nachteile der Messwiederholung
• Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme)
– Varianzen und Kovarianzen unter den einzelnen Faktorstufen
müssen homogen sein.
– Bei einer Verletzung der Sphärizitätsannahme erfolgt die
Greenhouse-Geiser-Korrektur des F-Tests.
• Sequenzeffekte (Reihenfolge der Testung kann Einfluss haben 
Versuchsplanung)
• Fehlende Daten zu einem Messzeitpunkt führen dazu, dass eine
Person komplett (zu allen Messzeitpunkten) ausgeschlossen
werden muss.
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Der F-Test
Quadratsummenzerlegung
SStotal = SSbetween + SSwithin
SStotal = SSbetween + SStreatment + SSerror
• Varianzanteile
– zwischen den Vpn
(interessiert nicht  wird nicht für den F-Test verwendet)
– innerhalb der Vpn
• auf Treatment zurückzuführen
• Fehlervarianz
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Der F-Test
Der F-Test
MStreatment
F
MSerror
• Es fließt also nur die Varianz „within participants“ in den F-Test
ein.
• Statistische Hypothesen
– H0: αj=0, für alle j
 keine Effekte des Messzeitpunkts
 keine Mittelwertsunterschiede
– H1: αj≠0, für mindestens ein j
 Effekte des Messzeitpunkts
 Mittelwertsunterschiede
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Quadratsumme „treatment“
Aufgabe
p
Vp
1
2
3
1
48
50
50
49.33
2
40
46
46
44.00
3
43
44
47
44.67
4
45
46
49
46.67
5
48
49
49
48.67
SStreatment   n  ( y. j  y..)2
j 1
dftreatment  p 1
44.80 47.00 48.20 46.67
SStreatment  5  (44.80  46.67) 2  5  (47.00  46.67) 2  5  (48.20  46.67) 2
 5  (1.87) 2  5  (0.33) 2  5  (1.53) 2  29.73
MStreatment 
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SStreatment 29.73

 14.87
dftreatment
2
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Quadratsumme „error“
Aufgabe
Vp
1
2
3
1
48
50
50
49.33
2
40
46
46
44.00
3
43
44
47
44.67
4
45
46
49
46.67
5
48
49
49
48.67
n
p
SSerror   ( yij  y. j  yi .  y..)2
i 1 j 1
dferror  ( p 1)  ( N 1)
44.80 47.00 48.20 46.67
SSerror  (48  44.80  49.33  46.67) 2  (40  44.80  44.00  46.67) 2  ...
 (49  48.20  48.67  46.67) 2
 14.93
MSerror
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SSerror 14.93


 1.87
dferror
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Der F-Test
MStreatment  14.87
MSerror  1.87
Femp
MStreatment 14.87


 7.96
MSerror
1.87
Fkrit (dfz  2; dfN  8)  4.46
 Femp > Fkrit
 signifikantes Ergebnis
 Die H0 wird verworfen
 Es wurde also ein Unterschied zwischen den Messzeitpunkten
nachgewiesen
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Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung
•
•
•
•
•
Was wäre herausgekommen, wenn man die gleichen Daten in
einem Design ohne Messwiederholung erhalten hätte?
UV: Training (3 Gruppen: kein, wenig, viel)
AV: Leistung in der Geschicklichkeitsaufgabe
Fragestellung: „Verbessert sich die Leistung in dieser Aufgabe
nach unterschiedlichem Trainingbedingungen?“
Berechnung des F-Tests:
Femp
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MSbetween

MSwithin
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Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung
„between-subjects“ ANOVA:
Aufgabe
Vp
1
2
3
1
48
50
50
49.33
2
40
46
46
44.00
3
43
44
47
44.67
4
45
46
49
46.67
5
48
49
49
48.67
p
SSbetween   n  ( y j  y ) 2
j 1
n
p
SSwithin   ( yij  y j ) 2
i 1 j 1
44.80 47.00 48.20 46.67
SSbetween  5  (44.80  46.67) 2  5  (47.00  46.67) 2  5  (48.20  46.67) 2
 5  (1.87) 2  5  (0.33) 2  5  (1.53) 2  29.73
SSwithin  (48 44.80)2  (40  44.80)2  ... (49  48.20)2  81.60
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Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung
Messwiederholung
„within“
MStreatment  14.87
MSerror  1.87
Femp
MStreatment 14.87


 7.96
MSerror
1.87
Fkrit (dfz  2; dfN  8)  4.46
 signifikant
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3 Gruppen
„between“
MSbetween  14.87
81.60
 6.80
12
MSbetween 14.87


 2.19
MSwithin
6.80
MSwithin 
Femp
Fkrit (dfz  2; dfN  12)  3.89
 nicht signifikant
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Messwiederholung in SPSS
ANOVA mit Messwiederholung in SPSS
• Jeder Fall steht in einer Zeile.
• Unterschiedliche Messzeitpunkte werden durch unterschiedliche
Variablen kodiert.
• Eine Unabhängige Variable (der Faktor) wird definiert:
Es wird angegeben, welche AVs zu den verschiedenen Stufen
des Faktors gehören.
Anders als bei einem Faktor ohne Messwiederholung ist die
UV also nicht als eigene Variable im SPSS-Datensatz definiert.
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Messwiederholung in SPSS
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Messwiederholung in SPSS
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Messwiederholung in SPSS
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Messwiederholung in SPSS
SPSS Syntax
glm test1 test2 test3
/wsfactor mzp 3.
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Messwiederholung in SPSS
• Die Multivariaten Tests basieren auf einer anderen Berechnung, die wir hier
nicht besprechen
• Vorteil: Die Sphärizität muss nicht erfüllt sein.
• Wenn die Voraussetzungen der ANOVA erfüllt sind, sind die Ergebnisse
identisch mit den Ergebnissen der ANOVA, wie wir sie berechnen.
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Messwiederholung in SPSS
• Bei p<.05 ist die Sphärizitätsanahme verletzt.
• In diesem Fall müsste die Greenhouse-Geisser-Korrektur angewendet werden
(siehe unten).
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Messwiederholung in SPSS
• Unter „Innersubjekteffekte“ werden alle Effekte mit Messwiederholung
angegeben
• Es sollte immer die obere Zeile verwendet werden, wenn die Sphärizität nicht
verletzt ist, oder die zweite, wenn eine Korrektur notwendig ist.
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Messwiederholung in SPSS
• Für die messwiederholten Faktoren werden immer automatisch Kontraste
berechnet.
• Diese können, wie für Gruppenfaktoren, selbst definiert werden.
• Werden keine Kontraste definiert, wird der „lineare Trend“ (die Mittelwerte
liegen auf einer Geraden) und der „quadratische Trend“ (die Mittelwerte
liegen auf einer Parabel  U-förmiger Verlauf) berichtet.
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Messwiederholung in SPSS
• Für die messwiederholten Faktoren werden immer automatisch Kontraste
berechnet.
• Diese können, wie für Gruppenfaktoren, selbst definiert werden.
• Werden keine Kontraste definiert, wird der „lineare Trend“ (die Mittelwerte
liegen auf einer Geraden) und der „quadratische Trend“ (die Mittelwerte
liegen auf einer Parabel  U-förmiger Verlauf) berichtet.
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Mehrfaktorielle ANOVA
• Beispiel: Evaluation eines Trainings zur schnelleren Fertigung
eines Bauteils
• Abhängige Variable: Zeit zur Fertigung (in Sekunden)
• Design:
– 1. Faktor: Messzeitpunkt (prä, post, follow up)
– 2. Faktor: Produkt (A=trainiert; B=untrainiert)
• Hypotese: Beschleunigte Fertigung nur für die trainierte Aufgabe
(Produkt A)
• Mit dem Kontroll Produkt (B) soll ausgschlossen werden, dass
mögliche Effekte nur auf die Testwiederholung zurückzuführen
sind!
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Menu-Befehl
Es müssen 2 Faktoren definiert werden:
1. Messzeitpunkt: 3 Stufen
2. Produkt: 2 Stufen
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Wichtig:
• Die Reihenfolge der Variablen muss
zu den Stufen der Faktoren passen.
• Diese sind in den Klammern
angegeben:
– 1. Zahl: Stufe von Faktor 1
– 2. Zahl: Stufe von Faktor 2
Syntax:
glm A1 B1 A2 B2 A3 B3
/WSFACTOR mzp 3 group 2
/plot profile (mzp*group).
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
• In der Tabelle
„Innersubjektfaktoren“ kann
kontrolliert werden, ob die
Variablen korrekt den Faktoren
zugeordnete wurden.
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Gemischte Designs: Mit und ohne Messwiederholung
• Beispiel: Evaluation eines Anti-Aggressions-Trainings
• Abhängige Variable: Aggressives Verhalten im Schulalltag (1-10)
• Design:
– 1. Faktor: Messzeitpunkt (prä, post, follow up)
– 2. Faktor: Gruppe: Training vs. Kontrollgruppe
• Hypotese: Beschleunigte Fertigung nur für die trainierte Aufgabe
(Produkt A)
• Mit dem Kontroll Produkt (B) soll ausgschlossen werden, dass
mögliche Effekte nur auf die Testwiederholung zurückzuführen
sind!
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Zusammenfassung
•
•
•
Varianzanalysen mit Messwiederholung werden durchgeführt,
wenn die gleiche AV mehrmals erhoben wurde, bzw. wenn
mehrer Messungen einander zugeordnet werden können.
Eine Untersuchung mit Messwiederholung ist sehr ökonomisch,
da bei geringer Vp-Zahl eine hohe Teststärke erreicht werden
kann.
Allerdings muss die Sphärizitätsannahme erfüllt sein, sonst ist
die ANOVA zu liberal, d.h. die H1 wird zu oft angenommen. Bei
einer Verletzung der Sphärizitätsannahme kann das Testergebnis
über eine Korrektur der Freiheitsgrade berichtigt werden
(Greenhouse-Geiser-Korrektur).
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Messwiederholung auf mehreren Faktoren
Zusammenfassung
•
•
Der F-Test der messwiederholten ANOVA vergleicht die Varianz
des Treatments mit der Fehlervarianz innerhalb der Vpn, d.h.
die (Fehler-)Varianz zwischen Vpn wird nicht berücksichtigt.
Somit beruht der Vorteil der Messwiederholten ANOVA auf
einer Verringerung der Fehlervarianz im F-Bruch.
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