Aula8

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ME623A
Planejamento e Pesquisa
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos e Aleatorizados
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
Definição
Análise Estatística
Decomposição da Soma de Quadrados
Tabela Anova
Estimação dos Parâmetros
Quadrado Latino
Quadrado Greco-Latino
Blocos Balanceados Incompletos
Delineamento Cruzados
2
Experimentos em Blocos

Em qualquer experimento, a variabilidade devido
a um fator ruído pode afetar os resultados

Fator ruído: fator que provavelmente tem um
efeito na resposta, mas não estamos interessados
no seu efeito

Típicos fatores ruídos são: fonte de máteriaprima, diferentes operadores, pacientes em um
estudo, turno ou dia em que o experimento é
realizado
3
Experimentos em Blocos
Bloco: conjunto de UE similares ou homogêneas
 Na agricultura: típico bloco é um conjunto contíguo
de terrenos em que todas as condições (fertilidade,
umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são
homogêneos
 Estudos com humanos: sexo e faixa etária são
geralmente definidos como blocos

Fator Ruído
Desconhecido e Incontrolável
Conhecido mas Incontrolável
Conhecido e Controlável
Técnica a ser usada
Aleatorização
Análise de
Covariância
Blocagem
4
Experimentos Completamente Aleatorizados
versus Blocos Completos Aleatorizados

Experimentos Completamente Aleatorizados

Blocos Completos Aleatorizados
Cada retângulo
pontilhado é um
bloco
5
Exemplo

Considere um experimento em que uma máquina de
medir a dureza de um material pressiona uma
ponteira em uma placa de metal com força
conhecida

Medindo a profundidade do furo causado pela
ponteira, podemos determinar a dureza da placa

Temos quatro ponteiras e queremos determinar se
existe diferença entre as leituras produzidas pela
máquina para essas quatro ponteiras

O experimentador irá obter quatro medições por
ponteira
6
Exemplo







Unidades Experimentais (UE): placas de metal
Fator: tipo de ponteira
Num experimento completamente aleatorizado,
precisaríamos de 4x4=16 placas de metal
Possível problema: as placas de metal podem
apresentar pequenas diferenças na sua dureza
Estas podem ter sido feitas por fundimentos que
foram obtidos em diferentes aquecimentos
Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo
para a variabilidade da resposta
O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório
quanto a variabilidade entre as placas
7
Exemplo da Ponteira
1
Ponteira
3
Ponteira
1
Placas de Metal
(Bloco)
2
3
Ponteira
Ponteira
3
2
Ponteira
Ponteira
4
1
4
Ponteira
1
Ponteira
4
Ponteira
Ponteira
Ponteira
Ponteira
4
2
3
2
 Iremos utilizar o delineamento “Blocos Completos
Ponteira
Ponteira
Ponteira
Ponteira
Aleatorizados”
2
1
4
3

Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o
erro experimental
8
Blocos Completos Aleatorizados
Fator A Bloco 1
1
y11
2
y21
.
.
.
.
.
.
a
ya1
Bloco 2
Bloco b
y12
y1b
y22
...
y2b
.
.
.
.
.
.
ya2
yab
Completo indica que cada bloco contém todos os
tratamentos
9
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos

As observações são descritas através do modelo:

Restrições:
10
Hipóteses de Interesse

Assim como no experimento com um único fator,
queremos testar se:

Como a média do i-ésimo tratamento é
podemos reescrever as hipóteses como:
11
Notação
12
Decomposição da Soma de Quadrados

Soma de Quadrados Total (SST)

Exercício: Demonstrar!
13
Graus de Liberdade das SS
Soma de
Graus de
Quadrados Liberdade (gl)
a–1
SSA
b–1
SSBlocos
(a – 1) (b – 1)
SSE
N–1
SST
Explicação
a níveis do Fator A
b blocos
ab – 1 – (a – 1) – (b – 1)
N=ab observações no total
Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que:
são v.a. qui-quadrado independentes
14
Quadrados Médios (MS)
 Quadrado
Médio do Erro (MSE)
 Quadrado
Médio do Fator A (MSA)
 Quadrado
Médio dos Blocos (MSBlocos)
15
Valor Esperados dos MS
MSE é um estimador não viciado de σ2
 Sob
, MSA também é um
estimador não viciado de σ2
16

Construção do Teste F

Um teste de hipótese para testar igualdade das
médias pode ser elaborado através da comparação
de MSE e MSA

Estatística do Teste

Calcula-se o p-valor =

Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma
equivalente, se
17
Tabela ANOVA
Blocos Completos Aleatorizados
• As SS podem ser simplificadas como:
• SSE é obtida pela subtração:
18
Comparação das Médias dos Blocos?
Se comparássemos as médias dos blocos, poderíamos verificar se a blocagem foi útil ou não
 As hipóteses seriam:



Seria então natural usar como estatística do
teste a razão entre MSBlocos e MSE
Porém, lembre-se que a aleatorização foi aplicada
apenas aos tratamentos dentro de cada bloco,
isto é, os blocos representam uma restrição na
aleatorização
19
Exemplo da Ponteira

As observações para cada ponteira e placa de
metal estão na Tabela abaixo
Ponteir
a

Placa de Metal
(Bloco)
1
2
3
1
2
3
9.3
9.4
9.2
9.4
9.3
9.4
9.6
9.8
9.5
4
9.7
9.6
10.0
4
10.0
9.9
9.7
10.2
Vamos calcular as SS e testar se existe diferença
entre as ponteiras na medição da dureza em placas
20
de metal
Análise Estatística
Exemplo das Ponteiras
Queremos testar se:
Calcular SST, SSA, SSBlocos
e SSE
2. Encontrar a tabela
ANOVA
1.
Figura: Boxplot da dureza das placas
de metais para cada ponteira
21
Análise Estatística
Exemplo das Ponteiras
22
Tabela ANOVA
Blocos Completos Aleatorizados
Exemplo Ponteiras
No R
> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)
> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)
> anova(fit)
Response: Dureza
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***
factor(Placa)
3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***
Residuals
9 0.080 0.008889
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
23
Análise Estatística
Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01),
rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos
diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da
dureza das placas de metal
24
Tabela ANOVA
Experimento com Um Fator
Exemplo Ponteiras
Não
Rejeita
H0
No R, desconsiderando o efeito dos blocos
> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)
> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)
> anova(fit)
Response: Dureza
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196
Residuals
12 0.905 0.075417
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Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos
Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22
Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não
temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos
tratamentos diferem.
Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos
conclusões erradas do experimento
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Exercícios
Exercícios do Montgomery, 6ª edição
Capítulo 3:
3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f),
3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32
Capítulo 4:
4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18
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