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第八章 不定积分
习题课
一、主要内容
原
选
择
u
有
效
方
法
函
数
分部
积分法
不 定 积 分
积分法
第一换元法
第二换元法
直接
积分法
几种特殊类型
函数的积分
基
本
积
分
表
1、原函数
定义 如果在区间I 内,可导函数F ( x ) 的导函数为
f ( x ) , 即  x  I , 都 有 F ( x )  f ( x ) 或
dF ( x )  f ( x )dx ,那么函数F ( x ) 就称为 f ( x ) 或
f ( x )dx 在区间I 内原函数.
I 内连续,那
原函数存在定理 如果函数 f ( x ) 在区间
么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ,使  x  I ,都有
F ( x )  f ( x ) .
即:连续函数一定有原函数.
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内,函数 f ( x ) 的带有任意常数项
的原函数称为 f ( x ) 在区间I 内的不定积分,记
为  f ( x )dx .
 f ( x )dx  F ( x )  C
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
 f ( x )dx  f ( x )
d[ f ( x )dx]  f ( x )dx
 F ( x )dx  F ( x )  C
 dF ( x )  F ( x )  C
d
dx
(3) 不定积分的性质
10
20
 [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx
 kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k 是常数,k  0)
3、基本积分表
(1)
 kdx  kx  C
( k 是常数)
(7)
 sin xdx   cos x  C
 1
dx
x
2

(
8
)

sec
xdx  tan x  C
( 2)  x dx 
 C (   1) 
2

cos x
 1
dx
dx
( 3)   ln x  C
(9) 2   csc2 xdx   cot x  C
x
sin x
1
( 4) 
dx  arctan x  C
2
1 x
1
dx  arcsin x  C
2
1 x
( 5)

( 6)
 cos xdx  sin x  C
(10)
 sec x tan xdx  sec x  C
(11)
 csc x cot xdx 
(12)
x
x
e
dx

e
C

 csc x  C
x
a
C
(13)  a x dx 
ln a
(14)
 shxdx  chx  C
(15)
 ch xdx  shx  C
(16)
 tan xdx   ln cos x  C
(17)
 cot xdx  ln sin x  C
(18)
 sec xdx  ln(sec x  tan x )  C
( 20)
1
1 xa
( 21)  2
dx  ln
C
2
x a
2a x  a
1
1 a x
( 22)  2
dx  ln
C
2
a x
2a a  x
( 23)
( 24)
(19)
 csc xdx  ln(csc x  cot x )  C
1
1
x
dx

arctan
C
 a2  x 2 a
a

1
x
dx  arcsin  C
2
2
a
a x

1
dx
2
2
x a
 ln( x  x 2  a 2 )  C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不
定积分的方法.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u) 具有原函数,u   ( x ) 可导,
则有换元公式
 f [ ( x )] ( x )dx  [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式(凑微分法)
常见类型:
f (ln x )
3.
dx;
x
f ( x)
2.
dx;
x
1
f( )
4. 2x dx;
x
5. f (sin x ) cos xdx;
6. f (a x )a x dx;
1. f ( x
n1
n
) x dx;
2
7. f (tan x ) sec xdx;
f (arctan x )
8.
dx;
2
1 x
6、第二类换元法
定理
设 x   (t ) 是单调的、可导的函数,并
且 ( t )  0 ,又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数,
则有换元公式
 f ( x )dx  f [ (t )] (t )dt 
t  ( x )
第二类换元公式
其中 ( x ) 是 x   (t ) 的反函数.
常用代换:
1. x  (at  b) ,   R.
2.三角函数代换
如f ( x )  a 2  x 2 , 令x  a sin t .
3.双曲函数代换
如f ( x )  a 2  x 2 , 令x  asht .
4.倒置代换
1
令x  .
t
7、分部积分法
 uvdx  uv   uvdx
 udv  uv   vdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数;
I----反三角函数;
A----代数函数;
T----三角函数;
E----指数函数;
哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
(1)有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n  a1 x n1    an1 x  an

Q( x ) b0 x m  b1 x m 1    bm 1 x  bm
其中m 、n 都是非负整数; a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数,并且a 0  0 ,b0  0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx
A
Adx

 C;
1.
 A ln x  a  C ; 2.
n
n 1
( x  a)
(1  n)( x  a )
xa
Mx  N
M
3. 2
dx  ln x 2  px  q
x  px  q
2

N  Mp 2
q
p2
arctan
4
x
p
q
p2
 C;
2
4
Mx  N
M
( 2 x  p )dx
N  Mp 2
4. 2
dx 
 2
dx
n
2
n
n

( x  px  q )
2 ( x  px  q )
( x  px  q )
此两积分都可积,后者有递推公式
(2) 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之.一般记为 R(sin x , cos x )
x
令 u  tan
2
x  2 arctan u
2
2u
1 u
sin x 
cos x 
2
1 u
1  u2
2
dx 
du
2
1 u
 2u 1  u  2
 R(sin x , cos x )dx  R 1  u2 , 1  u2  1  u2 du


2
(3) 简单无理函数的积分
ax  b
R( x ,
)
cx  e
讨论类型: R( x, ax  b )
n
n
解决方法:作代换去掉根号.
令t  ax  b;
n
ax  b
令t 
;
cx  e
n
二、典型例题
x x
2
3
例1 求
 9 x  4 x dx.
解
3 x
3 x
3 x
令
(
) t
d( )
( )
1
dt
2
1
2
2
原式  
dx 
2


3
t
1
3 2x
3 3 2x
ln
( ) 1
ln
( ) 1
2
2
2 2
1
t 1
1
1
ln
C

(

)dt 

3 t 1 t 1
2(ln 3  ln 2) t  1
2 ln
2
1
3x  2x

ln x
 C.
x
2(ln 3  ln 2) 3  2
1
x
e
(
1

sin
x
)
例2 求
 1  cos x dx.
解
x
x
e x (1  2 sin cos )
2
2 dx
原式  
2 x
2 cos
2
1
x
x
x
  (e
 e tan )dx
x
2
2 cos 2
2
x
x
x x
x
x
  [(e d (tan )  tan de ]   d (e tan )
2
2
2
x
 e tan  C .
2
x
例3 求 
ln( x  1  x 2 )  5
dx.
2
1 x
2

[ln(
x

1

x
)  5]
解
1
1
2x
,

 (1 
)
2
2
2
1 x
x  1 x
2 1 x
原式   ln( x  1  x 2 )  5  d [ln( x  1  x 2 )  5]
3
2
 [ln( x  1  x 2 )  5]2  C .
3
例4 求 
x1
dx.
2
2
x x 1
1
解 令x  ,
(倒代换)
t
1
1
1
1 t
t
原式  
(  2 )dt   
dt
2
1 12
t
1 t
(
)

1
t2 t
1
d (1  t 2 )
2


arcsin
t

1

t
C
 
dt


2
2
1 t
2 1 t

x2  1
1
 arcsin  C .
x
x
例5
求
x
6
dx
x
2
x
3
1 e  e  e
解 令 e  t,
x
6
.
6
x  6 ln t , dx  dt ,
t
1
6
6
原式  
 dt  
dt
3
2
2
1 t  t  t t
t (1  t )(1  t )
6
A
B
Ct  D
设
 

2
t (1  t )(1  t ) t t  1 1  t 2
6  A(1  t )(1  t 2 )  Bt (1  t 2 )  (Ct  D)t (t  1)
解得 A  6,
B  3, C  3,
D  3.
6
3
3t  3
原式   ( 

)dt
2
t 1 t 1 t
3
 6 ln t  3 ln(1  t )  ln(1  t 2 )  3 arctan t  C
2
x
6
x
x
3
 x  3 ln(1  e )  ln(1  e 3 )  3 arctan e 6  C .
2
例6
求  x arctan x ln(1  x 2 )dx .
解   x ln(1  x 2 )dx  1  ln(1  x 2 )d (1  x 2 )
2
1
1 2
2
2
 (1  x ) ln(1  x )  x  C .
2
2
1
1 2
2
2
原式   arctan xd[ (`1  x ) ln(1  x )  x ]
2
2
1
 [(`1  x 2 ) ln(1  x 2 )  x 2 ] arctan x
2
2
1
x
  [ln(1  x 2 ) 
]dx
2
2
1 x
1
 arctan x[(`1  x 2 ) ln(1  x 2 )  x 2  3]
2
x
x
2
 ln(1  x )   C .
2
2
例7
求
dx
.
10
x( 2  x )
解 原式  
1
d ( x 10 )
x 9 dx
  10
10
10
10
10
x
(
2

x
)
x (2  x )
1
 [ln x 10  ln( x 10  2)]  C
20
1
1
 ln x  ln( x 10  2)  C .
2
20
例8
求
3
dx
.
2
4
( x  1) ( x  1)
x 1 4
)  ( x  1) 2 .
解  ( x  1) ( x  1)  (
x1
2
x 1
则有 dt 
dx ,
令t 
,
2
( x  1)
x1
1  43
dx
原式  
  t dt
x 1 4
2
2
3 (
)  ( x  1)
x1
33 x 1
3  13
 C.
 t C 
2 x 1
2
3
2
4
3
x  sin x
例9 求 
dx.
1  cos x
解
x
x
x  2 sin cos
2
2 dx
原式  
2 x
2 cos
2
x
x

dx   tan dx
2
2 x
2 cos
2
x
x
x
 x tan   tan dx   tan dx
2
2
2
x
 x tan  C .
2
f ( x ) f 2 ( x ) f ( x )

]dx.
例10 求  [
3
f ( x )
f  ( x)
解
原式 




f ( x ) f  2 ( x )  f 2 ( x ) f ( x )
dx
3
f  ( x)
f ( x ) f  2 ( x )  f ( x ) f ( x )

dx
2
f ( x )
f  ( x)
f ( x)
f ( x)
d[
]
f ( x ) f ( x )
1 f ( x) 2
 [
]  C.
2 f ( x )
例11
解
求  max{1, x }dx .
设 f ( x )  max{1, x },
  x , x  1

则 f ( x )   1 ,  1  x  1,
 x, x 1

 f ( x )在( ,)上连续, 则必存在原函数F ( x ).
 1 2
  2 x  C 1 , x  1

F ( x )   x  C 2 ,  1  x  1.
1
 x 2  C3 , x  1
又  F ( x )须处处连续,有
2
1 2
lim ( x  C 2 )  lim (  x  C1 )
x  1
x  1
2
1
即  1  C 2    C1 ,
2
1 2
lim ( x  C 3 )  lim ( x  C 2 )
x 1 2
x 1
1
即  C3  1  C2 ,
2
联立并令 C1  C ,
1
可得 C 2  +C , C 3  1  C .
2
 1 2
  2 x  C , x  1

1

故  max{1, x }dx   x   C ,  1  x  1.
2

1 2
 2 x  1  C , x  1

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