SONOMETRO E TUBO DI KUNDT

Report
Noemi Boifava
Eleonora Fava
Beatrice Sterzi
Andrea Trivella
 Introduzione
 Cenni teorici generali
 Materiale utilizzato
 Sonometro:
• studio delle armoniche
• studio al variare della lunghezza
• studio al variare della tensione
• considerazione sul coefficiente di densità lineare
 Tubo di Kundt:
• studio delle armoniche
• confronto tra tubo chiudo ed aperto
• studio al variare della lunghezza (tubo chiuso)
• considerazione sulla velocità del suono
 Analisi di Fourier:
• cenni teorici
• studio delle armoniche nel sonometro
• studio di un’oscillazione casuale in una corda
• studio delle armoniche nel tubo di Kundt
• studio di un’onda prodotta da un flauto
Durante questo esperimento abbiamo studiato le onde meccaniche stazionarie in
una corda tesa (sonometro) e nell’aria (tubo di Kundt). Abbiamo studiato in
entrambi i casi le frequenze delle armoniche. Per il sonometro abbiamo poi studiato
il fenomeno al variare della tensione e della lunghezza della corda.
Per quanto riguarda il tubo di Kundt abbiamo studiato il fenomeno al variare della
lunghezza del tubo e abbiamo confrontato il tubo aperto con il tubo chiuso. Infine
abbiamo studiato grazie a strumenti più sofisticati le onde in un mezzo.
Un’onda sinusoidale che si propaga in
un mezzo può essere scritta come la
parte reale di:
Se l’onda verrà riflessa allora avremo
un’altra onda con equazione:
Le due onde interferiranno
dando origine a:
Imporremo a questo punto delle condizioni al contorno
1) In un sonometro la corda è fissata all’estremità, cioè nelle posizioni x =0, L
l’ampiezza di oscillazione deve essere zero. La prima condizione viene
sempre soddisfatta, la seconda si verifica se:
2) In un tubo aperto la funzione d’onda che dobbiamo considerare è un
coseno, interferendo con la riflessa si ottiene esattamente l’equazione vista
in precedenza sfasata di 90°. Imponendo che l’ampiezza sia massima in
x=0,L si ottiene:
3) In un tubo chiuso bisogna imporre che in x = L l’onda abbia ampiezza
minima, e quindi:
con n dispari, cioè:
Al variare di n otterremo diverse
lunghezze d’onda e diverse
frequenze.
A
fianco
viene
rappresentato il pattern d’onda nel
caso del sonometro.
• Sonometro;
• tubo di Kundt;
• set di masse;
• oscilloscopio,
• frequenzimetro;
• bilancia;
• termometro.
NOTA ALLA STRUMENTAZIONE DEL TUBO DI KUNDT: la strumentazione comprendeva
uno speaker per la sollecitazione ed un microfono per la rilevazione del fenomeno.
Facciamo notare che il microfono è sensibile alla pressione
NOTA ALL’ANALISI DEGLI ERRORI: poiché il fenomeno della risonanza si osserva per un
range di frequenze e non per un preciso valore, l’errore considerato su questa
grandezza è di 2 Hz e non dipende dalla sensibilità degli strumenti ma è insito nel
fenomeno fisico.
In figura è stato rappresentato l’apparato sperimentale nel caso del sonometro
ABSTRACT:
1)
2)
3)
Ricerca armoniche a T ed L fissati
Calcolo della velocità di propagazione dell’onda
Calcolo del coefficiente di densità lineare
PRIMA RACCOLTA DATI
1) RICERCA ARMONICHE: A T ed L fissate variando la frequenza dell’onda entrante
abbiamo cercato le armoniche e trovato la lunghezza d’onda λ dalla relazione
Riportiamo in tabella il valore della frequenza della rispettiva armonica e il
rapporto con la prima armonica. Tale valore è stato confrontato con quello
teorico.
 L= 0,6 m
 m=0,986 kg (V posto)
N armonica
f ± 2(Hz)
N = fn/ f1 ± 0,2
t
1
169
2
347
2,0 ± 0,2
0
3
521
3,08 ± 0,04
2
4
691
4,09 ± 0,05
1,8
5
870
5,15 ± 0,06
2,5
2) CALCOLO DELLA VELOCITA’ NEL MEZZO: La velocità con cui l’onda si propaga
è data dalla relazione v= f λ.
N
armonica
f ± 2 (Hz)
λ (m)
1
169
1,2
2
347
0,6
3
521
0,4
400
4
691
0,3
300
5
870
0,2
800
700
f (Hz)
600
500
200
1.0
Dall’analisi dei dati si ottiene:
1.5
2.0
2.5
1/l (1/m)
3.0
A = -5 ± 10 (Hz)
B = v = 210 ± 5 (m/s)
r = 0,999965
3.5
4.0
3) CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI DENSITA’ LINEARE: La velocità con cui un
onda si propaga dipende dalla tensione applicata e dalla massa della corda per unità di
lunghezza.
Da cui
con T= (48,31 ± 0,05) N
Da ciò si ricava che:
μ (Kg/m)
0,00110
err μ (Kg/m)
4 · 10^(-5)
err rel % μ
3%
SECONDA RACCOLTA DATI
1) RICERCA ARMONICHE: Abbiamo proceduto come in precedenza.
 L = 0,45 m
 T = (123,61 ± 0,05) N
n
f (Hz) ±2 Hz
n = fn/f
t
λ (m)
1
369
2
738
2,0 ± 0,1
0
0,45
3
1108
3,0 0± 0,02
0
0,3
4
1478
4,0 1±0,02
0,5
0,225
5
1852
5,0 2± 0,03
0,7
0,18
0,9
2) CALCOLO DELLA VELOCITA’ NEL MEZZO: La velocità con cui l’onda si propaga
è data dalla relazione v = fλ. La velocità è stata calcolata a partire dalle frequenze di
risonanza e dalle corrispettive lunghezze d’onda.
1800
1600
f (Hz)
1400
1200
1000
A(Hz)
B(m/s)
r
-3±2
333±1
1
800
600
400
2
3
1/λ (1/m)
4
5
3) CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI DENSITA’ LINEARE: procedendo come in
precedenza si ottiene che:
μ (Kg/m)
0,00110
err μ (Kg/m)
0,00008
err rel % μ
7%
CONCLUSIONI
Per quanto riguarda il punto 1) dall’analisi dei dati si vede che l’esperimento è ben
riuscito nella seconda raccolta dati, per la prima raccolta dati solo un dato presenta un
valore di t significativamente lontano da 1,96, questo può essere dovuto ad una
vibrazione dell’apparato di strumentazione. Per quanto riguarda il coefficiente di
densità lineare dedicheremo una sezione di questa presentazione.
ABSTRACT: L’obiettivo principale è quello di riuscire a determinare il coefficiente di
densità lineare utilizzando valori della lunghezza della corda del sonometro diversi
mantenendo però costante il valore della tensione inizialmente applicata. Lo studio è
stato suddiviso in due parti:
1. Calcolo della velocità di propagazione,
2. Calcolo del coefficiente di densità lineare.
RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI
1) CALCOLO DELLA VELOCITA’ DI PROPAGAZIONE: Partendo da fλ=cost e
λ=2L/n, ponendoci nel caso n=2, per ogni L si ricava fL=v dove v rappresenta la
velocità di propagazione dell’onda, L la lunghezza utilizzata e f la frequenza.
Rappresentiamo i dati in tabella e in grafico:
f (Hz)
341
414
461
519
593
693
650
Frequenza (Hz)
L (m)
0,60
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
600
550
500
450
400
350
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
1/Lunghezza (1/m)
Dall’analisi dei dati si ottiene che:
A (Hz)
B(m/s)
R
-9± 3
210 ± 1
0,99991
2.8
3.0
3.2
2) CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI DENSITA’ LINEARE: il valore del
coefficiente di densità lineare è stato stimato a partire dalla nota formula µ = T / v² ,
con T la tensione applicata e v la velocità di propagazione riscontrata.
Essendo:
 T = 48,4 ± 0,1 (N)
 V = 210 ± 1 (m/s)
µ (Ns²/m²)
Errore assoluto
(Ns²/m²)
Errore relativo
percentuale
0,00110
0,00008
7,04 %
CONCLUSIONI: Osserviamo dal coefficiente di correlazione lineare della retta
che le previsioni teoriche sono state soddisfatte, ovvero abbiamo verificato
l’esistenza di una dipendenza lineare della frequenza di una determinata armonica
dalla lunghezza della corda tesa.
Per quanto riguarda la parte sulla determinazione del coefficiente di densità
lineare il risultato verrà discusso in seguito.
ABSTRACT: lo scopo di questa parte del nostro esperimento è stato di studiare la
dipendenza della frequenza dalla tensione.
CENNI TEORICI
Per una qualsiasi onda
vale che:
Se consideriamo la
seconda armonica, si ha
la condizione:
In una corda tesa si ha che:
Esprimendo la
tensione come:
Da cui si ottiene una correlazione lineare la
massa e il quadrato della frequenza.
RACCOLTA DATI ED ELABORAZIONE
f (Hz)
344
0,99
365
1,09
375
1,19
397
1,29
403
1,39
160x10
f ² (Hz ²)
m (kg)
L (m)
σL
(m)
Coefficienti della retta
dei minimi quadrati
Posizione
massa
Analisi
dei dati
0,6
0,001
5
A (kHz2)
10 ± 10
B (kHz2/kg)
110 ± 10
r
0,988
μ (kg/m)
0,0012 ±
0,0001
3
150
Grafico di f 2 in
funzione di m
140
130
120
1.0
1.1m (kg) 1.2
1.3
Analisi dei
dati
CONCLUSIONI: Come si può osservare dalla tabella l'esito dell'esperimento è stato
buono, infatti abbiamo verificato la correlazione lineare tra il quadrato della
frequenza e la massa. Per quanto riguarda il coefficiente di densità lineare il risultato
verrà discusso in seguito. Comunque possiamo subito notare che l’errore su questo
dato è alto. Questo sicuramente dipende da una cattiva raccolta dati, infatti il
coefficiente r è leggermente lontano da 1 e anche dal grafico si può notare come i
dati risultino non perfettamente allineati. Questo è dovuto al fatto che una data
imprecisione su f porta ad una imprecisione doppia su f2. Poiché non è possibile
diminuire l’imprecisione su f (poiché dipende dal fenomeno fisico in sé e non da una
cattiva strumentazione) riteniamo che non sia possibile migliorare la raccolta dati.
In tabella riportiamo i vari valori del coefficiente di densità lineare calcolati in
precedenza con metodologie diverse.
μ (Kg/m)
err μ (Kg/m)
err rel % μ
0,00110
0,00004
3%
0,00110
0,00008
7%
0,00110
0,00008
7,04 %
0,0012
0,0001
8,33%
Evidentemente i primi tre dati sono
confidenti tra loro, il quarto dato è
stato confrontato col primo (poiché
restituisce il peggior valore per t),
ottenendo:
• Diff % = 8,33%
• t = 0,93
I valori risultano confidenti ma abbastanza lontani in termini di differenza percentuale.
Questo significa che l’errore alto del quarto dato* non ha permesso di individuare con
maggior precisione il valore di μ . Di seguito riportiamo la media pesata:
μm (Kg/m)
0,00111
err μm (Kg/m)
0,00003
*Per la discussione dell’errore del quarto dato si rimanda alla sezione studio a tensione variabile.
ABSTRACT:
1)
2)
Ricerca armoniche
Calcolo della velocità di propagazione dell’onda
RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI
1) RICERCA ARMONICHE: Per un tubo aperto la frequenza di risonanza si verifica
quando
In tabella abbiamo riportato i dati
f n ± 2 (Hz)
n sperim
n teorico
t
373
2,0 1± 0,02
2
0,5
559
3,01 ± 0,03
3
0,3
746
4,0 1±0,04
4
0,25
933
5,02 ± 0,05
5
0,4
186
• L = 0,9 m
Dall’analisi dei dati si può dedurre che le armoniche trovate sperimentalmente
sono effettivamente quelle di risonanza del tubo.
2) CALCOLO DELLA VELOCITA’ NEL MEZZO: La velocità con cui l’onda si propaga
è data dalla relazione v= f λ.
900
λ (m)
f ± 2 (Hz)
1
1,85
186
2
0,93
373
3
0,62
559
4
0,46
746
5
0,37
933
800
700
600
f (Hz)
N
500
400
300
200
1.0
A = -0,4 ± 0,4 (Hz)
B = v = 345,3 ± 0,2 (m/s)
r= 0,99824
1.5
1/lunghezza d'onda (1/m)
2.0
2.5
CONFRONTO TRA DATI:
La velocità del suono nel tubo di Kundt trovata sperimentalmente è
v =345,3 ± 0,2 m/s
Confrontando questo dato con il valore teorico ricavato da:
v= 331,5 m/s + 0,607T = 345,5 m/s
(con T= temperatura in gradi Celsius, in laboratorio erano 23°).
Si ottiene:
t
Diff %
1
0,06%
CONCLUSIONI:
Come si può osservare dai parametri di confidenza l’esito dell’esperimento è stato
positivo.
ABSTRACT:
1)
2)
Ricerca armoniche (*)
Calcolo della velocità di propagazione dell’onda
RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI
1) RICERCA ARMONICHE: Dall’armonica fondamentale è stato possibile determinare
tutte le armoniche successive e confrontare dati teorici e sperimentali dalla formula
n = fn/f 1.
(*) Sono presenti solo le armoniche di numero dispari poiché le condizioni al
contorno non consentono l’esistenza delle armoniche di ordine pari.
N°
armonica
Frequenza
(± 2 Hz)
Rapporto
teorico
Rapporto
sperimentale
Confidenza
1
110
3
336
3
3,05 ± 0,06
0,83
5
540
5
4,09 ± 0,09
1
7
757
7
6,9 ±0,1
1
9
997
9
9,1 ±0,2
0,5
2) CALCOLO DELLA VELOCITA’ NEL MEZZO: Dalla relazione fondamentale
fλ = v dove λ = 4L/n abbiamo potuto determinare la velocità di propagazione del suono
mediante la retta f = (v/ 4L)n
In particolare L è stato mantenuto fissato ad un valore pari a L = 0,80 ± 0,01 m.
I dati sono poi stati rappresentati in un grafico.
1000
I dati relativi al grafico sono :
frequnza (Hz)
800
600
A (Hz)
400
10 ± 20
B (Hz)
107 ± 3
R
0,998
200
2
4
6
8
n° armonica
Si è poi confrontato il dato empirico trovato con il valore teorico della velocità
del suono ricavato dalla formula: v = 331,5 + 0,607∙T = 345,5 (con T = 23° C).
I risultati ottenuti sono i seguenti:
Velocità
sperimentale
(m/s)
Errore v
(± m/s)
343
5
Errore
Velocità
Differenza %
percentuale teorica (m/s)
1,46 %
345,5
0,70
Confidenza
0,78
CONCLUSIONI:
I risultati ottenuti sono da considerarsi significativi e soddisfacenti poiché oltre a
verificare i dati teorici attesi presentano margini d’errore bassi e confidenze pienamente
esaurienti.
ABSTRACT:
Lo scopo dell’esperimento è di studiare come il tubo chiuso può essere messo in
corrispondenza con quello aperto. Prima di arrivare al confronto vero e proprio, elementi
essenziali da analizzare sono la ricerca delle armoniche e il calcolo della velocità del
suono all’interno del tubo chiuso (L = 0,90 m).
CENNI TEORICI:
In un tubo aperto abbiamo che:
mentre in un tubo chiuso si ha che:
considerando che la velocità è la stessa è prendendo in considerazione la medesima armonica si
ottiene la condizione:
RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI
1) RICERCA ARMONICHE: abbiamo operato come in precedenza ottenendo i seguenti
risultati:
n
f (Hz)
CONFRONTO
RAPPORTO
T
1
94 ± 2
5/1
5,0±0,1
0
3
281 ± 2
3/1
2,99±0,06
0,17
5
471 ± 2
5/3
1,67±0,014
0,23
I valori trovati sono
delle armoniche.
2) CALCOLO DELLA VELOCITA’ NEL MEZZO: operando come in precedenza
si ottiene:
f (Hz)
400
300
A (Hz)
B (Hz)
R
-1 ± 1
94,3 ± 0,3
0,999986
200
100
1
2
3
n
4
5
v (m/s)
V teo (m/s)
t
Diff %
340 ± 1
345,5
5,5
1,5%
3) CONFRONTO TRA TUBO APERTO E CHIUSO: in seguito rappresentiamo
le armoniche del tubo chiuso in corrispondenza alle corrispettive armoniche del
tubo aperto.
900
f chiuso(Hz) f aperto(Hz)
94 ± 2
187 ± 2
281± 2
559 ± 2
471 ± 2
933 ± 2
f aperto
800
700
600
500
400
300
200
100
200
300
400
f chiuso
A (Hz)
B
r
B teo
T
Diff %
1±2
1,979 ± 0,007
0,999974
2
3
1
CONCLUSIONI
Osserviamo che se basiamo le nostre conclusioni sulle differenze percentuali l’esito
dell’esperimento è da giudicarsi positivo,tuttavia i valori di t nella parte 2) e 3) sono
maggiori di 1,96. Questo è spiegabile dal fatto che l’errore molto piccolo va a falsare
il valore del parametro t e dal fatto che la raccolta è un set di soli tre dati.
ABSTRACT: lo scopo di questa parte del nostro esperimento è stato di studiare la
dipendenza della frequenza della quinta armonica al variare della lunghezza del tubo. È
stata scelta la quinta armonica perché più facile da individuare.
CENNI TEORICI:
Per una qualsiasi onda
vale che:
Per un tubo chiuso la condizione di risonanza
può essere scritta (tenendo conto delle
dimensioni finite) come:
(d indica la lunghezza del diametro)
Ricavando la frequenza e
considerando n=5 si
ottiene:
(#)
Facciamo notare che la formula corretta col diametro è stata utilizzata solo in questa parte dell’esperimento poiché il
diametro va a dare un contributo sempre più significativo quando la lunghezza diminuisce.
RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI
In tabella abbiamo indicato i vari valori raccolti. Abbiamo poi graficato la frequenza f al
variare del reciproco di L+0,4d indicato con D.
L (m)
f (Hz)
d (m)
σd (m)
0,7
546
0,0315
0,0001
0,6
726
0,5
880
0,4
1063
0,3
1422
Analisi
dei dati
Coefficienti della retta
dei minimi quadrati
A (Hz)
-60 ± 60
B (Hzm)
470 ± 25
r
0,988
v (m/s)
370 ± 20
1400
f (Hz)
1200
Analisi dei
dati
1000
Grafico di f in
funzione di 1/D
800
600
1.5
2.0
2.5
1/D (1/m)
3.0
In tabella abbiamo riportato il valore teorico per la velocità del suono, il valore del
parametro di confidenza t e il valore della differenza percentuale.
Vsper
Vteo
t
Diff %
370 ± 20
345,5
1,23
6,62%
Come si può osservare dalla tabella l'esito dell'esperimento è abbastanza buono.
Infatti abbiamo verificato innanzitutto la correlazione lineare che ci aspettavamo,
inoltre il valore della velocità risulta abbastanza vicino a quello teorico. L’unico
parametro a essere alto è la differenza percentuale, questo potrebbe essere un
sintomo del fatto che le approssimazioni di bordo non sono precise
(considerazione ragionevole soprattutto per corte lunghezze del tubo), altra
motivazione è che l’errore così alto non ha permesso una misura più accurata e
quindi più vicina al valore vero della velocità teorica.
In tabella riportiamo i vari valori della velocità del suono calcolati in precedenza
con metodologie diverse.
Ricordiamo che nel confronto col valore teorico il
v (m/s)
err v (m/s)
err rel %
345,3
0,2
0,06 %
343
5
1,46%
340
1
0,29 %
370
20
5,33%
primo dato presenta dei buoni valori per i
parametri di confidenza, il secondo e il terzo dato
presentato delle differenze percentuali basse e un
t alto, il quarto dato che presenta un t basso e
una differenza percentuale alta. Per una
trattazione più approfondita si rimanda alla
singola sezione in cui il dato è stato calcolato.
Abbiamo quindi calcolato la media pesata, utilizzando anche il quarto dato, poiché
sebbene lontano in termini di differenza percentuale presenta un alto errore, e quindi
darà un minor apporto nel calcolo della media.
vm (m/s)
err vm (m/s)
vteo (m/s)
t
Diff %
345,1
0,2
345,5
2
0,12%
Possiamo essere soddisfatti della media pesata infatti la differenza percentuale
risulta bassissima e il valore di t lievemente maggiore di 1,96.
Una qualsiasi funzione può essere scritta tramite una serie infinita di funzioni
trigonometriche fondamentali (per esempio di seni o coseni) tale serie viene detta
trasformata di Fourier. Poiché noi considereremo solo funzioni continue avremo che
la serie converge per tutti i valori compresi nell’intervallo e la sua somma vale il
valore della funzione in ogni punto dell’intervallo. Se il segnale in oggetto è un
segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori, che in
tal caso prende il nome di spettro discreto o spettro a pettine: in analisi armonica, la
frequenza più bassa è detta armonica fondamentale ed è quella che ha peso
maggiore nella ricomposizione finale del segnale, mentre le altre frequenze sono
multiple della fondamentale. La nostra funzione potrà quindi essere scritta come:
Facciamo notare che un’oscillazione reale casuale nel nostro caso dovrebbe
presentare anche uno smorzamento, tuttavia il tempo di registrazione è
talmente breve che tale smorzamento può essere trascurato.
Scopo dell’esperimento è verificare che un’onda sollecitata dal driver-coil nel
sonometro sia un seno perfetto.
Di seguito abbiamo rappresentato graficamente le onde registrate con l’oscilloscopio
e sempre in grafico abbiamo indicato i risultati ottenuti con l’analisi di Fourier. Tali
risultati sono poi stati messi in tabella e abbiamo confrontato le frequenze ottenute
con quelle già determinate in precedenza.
 L = 0,45 m
 T = (123,61 ± 0,05) N
30
25mV
20
20
A (volt)
A (volt)
10
0
15
-10
10
-20
5
-30x10
-3
0
0
5
10
t (s)
15x10
-3
18
20
22
24
f dt
26
28
30x10
-3
14mV
10
A (volt)
12
10
A (volt)
0
8
6
-10
4
2
-20x10
-3
0
0
5
10
15x10
-3
12
t (s)
16
18
20x10
-3
f dt
80mV
4
60
A (volt)
2
A (volt)
14
0
40
-2
20
-4x10
-3
0
0.0
0.5
1.0
1.5x10
-3
2
t (s)
4
6
8
f dt
Ft (±2Hz)
Fs (±2Hz)
Diff Perc %
t
369
367
0,005
0,7
739
734
0,007
1,8
1108
1101
0,006
2,5
10
12x10
-3
I dati ottenuti dall’analisi di Fourier sull’onda stazionaria rilevata nel sonometro
sono confidenti con quelli ricavati teoricamente dal grafico dell’onda stessa. Per
quanto riguarda la quarta armonica, non è stata riportata perché sollecitando il
sonometro, la frequenza di risonanza risultava coincidere con quella della
seconda armonica. Il terzo grafico presenta comunque un andamento
abbastanza irregolare, questo può essere dovuto alla piccola ampiezza di
oscillazione, tuttavia ciò non è andato a intaccare in modo significativo la buona
riuscita dell’esperimento.
Nei grafici sottostanti mostriamo l’analisi di Fourier effettuata sulle onde generate dal sonometro a seguito della
sollecitazione da noi imposta alla corda. I dati seguenti si riferiscono a tre differenti raccolte tutte effettuate
mantenendo la lunghezza della corda fissa a 0,6 m. Le tabelle, invece, mostrano il confronto tra ampiezza e
frequenza dell’onda analizzata con l’oscilloscopio e la scomposizione ottenuta dall’analisi di Fourier. (T= (48,31 ± 0,05)
N)
40x10
-3
Ft ±
30
Ampiezza (V)
Errore
rel.Ft (%)
Errore
rel.FF (%)
D.R.
“T”
(%)
2(Hz)
2(Hz)
169
165
1,18
1,21
2,36
1,41
347
350
0,54
0,57
0,86
1,06
521
530
0,38
0,37
1,72
3,18
691
685
0,29
0,29
0,86
2,12
860
850
0,23
0,23
1,16
3,53
“T”
25
20
20
mV
0
15
10
-20
5
0
0
5
-3
10
15x10
t (s)
40x10
5
-3
-3
10
Frequenza*dt
15x10
40
20
mV
Ampiezza (V)
FF ±
0
-20
Ft ±
FF ±
D.R.
2(Hz)
(%)
30
2(Hz)
20
169
165
2.36
1,41
347
350
0.86
1,06
521
515
1.15
2,12
10
-40
0
0
5
10
t (s)
15x10
-3
0
5
10
Frequenza*dt
15x10
-3
60x10
-3
FF ±
D.R.
2(Hz)
2(Hz)
(%)
169
165
2.36
1,41
521
515
1.15
2,12
860
865
0.58
1,76
1048*
1035
1.24
6.45
Ft ±
30
“T”
20
20
0
mV
Ampiezza (V)
40
-20
10
-40
0
-60
0
5
10
-3
15x10
0
5
t (s)
10
Frequenza*dt
15
20x10
-3
Infine in tabella riportiamo i valori delle ampiezze delle armoniche date dalla scomposizione di
Fourier.
Numero
raccolta
Ampiezza
armonica
principale
(mV)
Ampiezza
seconda
armonica (mV)
Ampiezza
terza
armonica
(mV)
Ampiezza
quarta
armonica
(mV)
Ampiezza
quinta
armonica (mV)
1
0,028
0,003
0,006
0,003
0,004
2
0,044
0,013
0,006
3
0,032
0,010
0,011
Ampiezza
sesta armonica
(mV)
0,005
•Il dato è stato calcolato grazie al coefficiente di densità lineare, poiché questa armonica non era stata osservata sperimentalmente.
Pertanto l’errore su di essa non è 2 Hz ma 0.2.
Come nella slide precedente riportiamo i dati ottenuti dall’analisi di Fourier di due diverse raccolte effettuate in
cui la lunghezza della corda del sonometro era fissa. L=0,350±0,005 m e tensione T = 33,18±0,05 N. I dati teorici
delle armoniche fondamentali sono stati ricavati falla formula f = v∙n/2L dove v = (T/µsper)½ è la velocità del suono
e n il numero dell’armonica.
-3
Ft ±
15
10
10
mV
Ampiezza (V)
20x10
0
5
-10
0
0
2
4
t (s)
0
-3
6
8x10
-3
4
6
FRequenza*dt
Ampiezza
F (mV)
D.R.
“t”
(%)
2(Hz)
247
234
0,017
5,26
6,49
494
484
0,005
2,02
4,98
-3
8
10x10
8
6
5
mV
Ampiezza (V)
10x10
2
FF ±
0,1(n)^
½ (Hz)
0
4
0
0
2
4
t (s)
6
-3
8x10
FF ±
Ampiezza
D.R.
2(Hz)
F (mV)
(%)
247
250
0,009
1,21
1,49
494
500
0,002
1,21
2,99
(Hz)
2
-5
Ft ±
0,1(n)^½
0
2
4
6
8
Frequenza*dt
10
-3
12x10
“t”
L’analisi di Fourier svolta sui dati relativi al sonometro con lunghezza della corda parti a 60 cm,
mostra come le frequenze in cui l’onda è stata scomposta abbiano una bassa differenza relativa
con i dati teorici, sempre inferiore al 3%. Per quanto riguarda il parametro “t” della confidenza
invece, non in tutti i casi questo risulta essere inferiore alla soglia di accettabilità del 1,96. Ciò
significa che per tale raccolte la discrepanza tra il dato teorico e quello sperimentale è ancora
troppo grande, nonostante la soddisfacente differenza percentuale. Per quel che riguarda le
ampiezze, nonostante non sia stato effettuato un confronto diretto dall’analisi dei grafici e dai
dati riportati nelle tabelle, si evince che la somma delle ampiezze date dall’analisi di Fourier
corrisponda circa all’ampiezza dell’onda originale.
I risultati ottenuti nella seconda raccolta dati (L=35 cm) sono soddisfacenti per quanto riguarda
l’ampiezza, ma non per l’analisi delle frequenze. In particolar modo dalla prima delle due
tabelle si può notare che sia la differenza relativa che il parametro “t” risultano molto alti,
mentre nella seconda tabella solo uno dei due dati non risulta confidente con quello teorico.
Osservando la differenza tra i dati ottenuti nelle due raccolte si potrebbe concludere che nella
prima si sia verificato qualche fenomeno esterno che abbia influenzato negativamente
l’esperimento. Inoltre il fatto che le raccolte comprendano pochi periodi porta un’imprecisione
maggiore
sulla
frequenza.
Scopo dell’esperimento è verificare che un’onda sollecitata dallo speaker nel tubo
aperto sia un seno perfetto.
Di seguito abbiamo rappresentato graficamente le onde registrate con l’oscilloscopio
e sempre in grafico abbiamo indicato i risultati ottenuti con l’analisi di Fourier. Tali
risultati sono poi stati messi in tabella e abbiamo confrontato le frequenze ottenute
con quelle già determinate in precedenza (fp).
20
20mV
10
A (V)
15
A
0
10
-10
5
-20x10
-3
0
0
10
20
t (s)
30
-3
40x10
0.00
0.02
0.04
0.06
frequenza*dt
0.08
0.10
0.12
15mV
10
A (V)
A
10
0
5
-10
-20x10
-3
0
0
5
10
15x10
-3
0.00
t (s)
A (V)
0.20
10
A
-10
5
-3
0
0
5
10
15x10
-3
14mV
t (s)
10
12
5
10
A (V)
0.15
15mV
0
15
0.10
frequenza*dt
10
-20x10
0.05
A
0
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
frequenza*dt
8
6
-5
4
-10
-15x10
2
-3
0
0
2
4
t (s)
6
-3
8x10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
frequenza*dt
0.25
0.30
12mV
10
10
5
A (V)
8
A
0
-5
-10x10
6
4
-3
2
0
0
2
4
6
-3
8x10
t (s)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
frequenza*dt
n
fF (Hz) ±2 Hz
A (V)
fp (Hz) ± 2 Hz
Diff %
T
1
187
0,02300
186
0,32 %
0,35
2
367
0,01889
372
1,47 %
1,78
3
576
0,01794
559
2,96 %
7,1
4
734
0,00145
746
1,66 %
4,2
5
934
0,01296
933
0,10 %
0,36
Come si può osservare dai dati in tabella e dai grafici il risultato dell’esperimento è positivo.
Infatti notiamo che le onde registrate sono dei semplici seni e il confronto tra le frequenze
determinate con metodi diversi risulta positivo. Fanno eccezione la terza e la quarta
armonica, ciò può essere dovuto ad un’interferenza esterna, per esempio ad una vibrazione
della strumentazione.
Scopo dell’esperimento è verificare che un’onda sollecitata dallo speaker nel tubo
chiuso sia un seno perfetto.
Per l’analisi dei dati abbiamo proceduto come in precedenza.

1˚ armonica
1.0
0.8
0.5
0.6
V
Ampiezza (Volt)
1.0
0.0
0.4
-0.5
0.2
-1.0
0.0
0
10
20
Tempo (s)
30
40x10
-3
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
3˚ armonica
1.0
0.8
0.5
0.6
0.0
V
Ampiezza (Volt)

0.4
-0.5
0.2
-1.0
0.0
0
5
10
15x10
-3
0.00
Tempo (s)
5˚ armonica
0.10
0.8
1.0
0.6
0.5
V
Ampiezza (Volt)

0.05
dt*f
0.0
-0.5
0.4
0.2
-1.0
0.0
0
5
10
15x10
-3
Tempo (s)
-0.05
0.00
0.05
0.10
dt*f
f t (±2 Hz)
f s (± 2 Hz)
Diff perc %
t
95
93
0,02%
0,71
281
283
0,007%
0,71
485
484
0,002%
0,35
0.15
0.20
0.25
Come ci si aspettava dalla teoria l’analisi di Fourier di un’onda stazionaria formatasi
all’interno del tubo mette in evidenza un solo “picco”, tipico delle onde che hanno
come andatura un seno perfetto. Questo vuol dire che l’onda stazionaria all’interno
del tubo è una sola.
Confrontando poi il valore della frequenza dell’onda ricavata dall’analisi di Fourier si
può dire che questa sia confidente con quella teorica estratta dal grafico dell’onda
stessa. Si può inoltre vedere che sia la differenza percentuale che il t assumono
valori molto piccoli (e in particolare t è sempre inferiore a 1).
f t (±2 Hz)
f s (± 2 Hz)
Diff perc %
t
95
93
0,02%
0,71
281
283
0,007%
0,71
485
484
0,002%
0,35
Una nota musicale corrisponde ad una certa frequenza (per esempio la nota la
corrisponde a circa 440 Hz), tuttavia una nota può suonare in modo diverso a seconda
dello strumento che la produce. Questo è dovuto al fatto che uno strumento musicale
raramente produce un’onda pura ma produce un’onda periodica che è una somma di
seni. In laboratorio abbiamo registrato il segnale di un flauto per poi applicargli l’analisi
di Fourier in modo da trovare le armoniche successive che caratterizzano il timbro del
flauto per la nota scelta.
Di seguito rappresentiamo in grafico l’onda registrata e quella ottenuta dall’analisi di
Fourier, in tabella abbiamo indicato i valori di ampiezza e frequenza.
20
10
A (V)
0
-10
-20
-3
-30x10
0
5
10
t (s)
-3
15x10
Dall’analisi con Igor:
20mV
Zoom
15
Ampiezza
Ampiezza
20mV
10
15
10
5
5
0
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
frequenza*dt
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
frequenza*dt
fn/f1
Rapporto
teorico
Diff %
T
0,007591
2,000 ± 0,009
2
0%
0
1568
0,00427
3,03 ± 0,012
3
1,07 %
2,5
2085
0,002376
4,03 ± 0,016
4
0,80 %
1,88
2602
0,000533
5,03 ±0,02
5
0,64 %
1,5
f (Hz) ± 2 (Hz)
A (V)
517
0,021027
1034
0.10
Dall’analisi dei dati possiamo dire di aver raggiunto l’obiettivo dell’esperimento,
infatti l’onda è risultata essere una somma di più funzioni trigonometriche
elementari con frequenze multiple rispetto ad una fondamentale. La quinta
frequenza è stata evidenziata in rosso poiché di ampiezza poco rilevante, tanto da
poter essere confusa con il rumore di fondo e quindi poco attendibile.
L’argomento potrebbe essere approfondito confrontando la stessa nota eseguita
con strumenti diversi o confrontando più note dello stesso strumento, per
osservare se esiste una somiglianza negli spettri sonori prodotti dallo stesso
strumento.

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