Présentation RDM

Report
Comportement du solides
déformable
Résistance des matériaux (RDM)
Chaîne d’information
ACQUERIR
ALIMENTER
TRAITER
DISTRIBUER
COMMUNIQUER
CONVERTIR
Chaîne d’énergie
TRANSMETTRE
AGIR
Suite
I But de la RDM
Suite
La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la
déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées).
Cela permet donc de :
•Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce
•Choisir le matériau constituant la pièce
•Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la
limite à la résistance élastique du matériau)
•Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce
•Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un
certain nombre de cycles de déformation)
•Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des
dimensions, des matériaux, ...
I But de la RDM
Contraintes subies
par l’aile d’avion
Déformations subies
par l’aile d’avion
Suite
I But de la RDM
Vérification de la résistance d’une aile d’avion
Suite
I But de la RDM
Suite
Répartition des contraintes dans la pièce sous charges
II Les hypothèses de la RDM
Suite
1 La géométrie des pièces :
Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides
dont une dimension est très supérieure aux deux autres).
Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on
utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.
II Les hypothèses de la RDM
Suite
2 Les matériaux étudiées:
Ils doivent être :
Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les
mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est
pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux
composites...etc.
Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes
caractéristiques (composition) en tout point.
Continus : pas de fissure, pas de creux ...
II Les hypothèses de la RDM
Suite
3 Les charges appliquées:
Les charges sont contenues dans le plan de symétrie
Plan de symétrie
Elles sont concentrées ou réparties
II Les hypothèses de la RDM
Suite
4 Les déformations :
- Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et
perpendiculaires à la ligne moyenne).
- Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions
de la poutre
III Torseur de cohésion
1 Principe de calcul:
Suite
III Torseur de cohésion

ℎ =


Suite
III Torseur de cohésion
Suite
Deux conventions d’écriture sont possibles.
Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la
partie (2) sur la partie (1) ;
Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la
partie (1) sur la partie (2).
III Torseur de cohésion
Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.
 = 2/1
ℎ =

 = ,2/1
Suite
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (1).
ℎ +  1 → 1 +  3 → 1 = 0
ℎ = − /1
Suite
III Torseur de cohésion
Suite
Equilibre du tronçon (1).
Définition 1 :
Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite
de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même
point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section
droite, somme précédée du signe -.
III Torseur de cohésion
Equilibre du tronçon (2).
Rappel : principe des actions réciproques :
2/1 = − 1/2
1/2 +  2 → 2 +  4 → 2 = 0
− 2/1 + /2 = 0
− ℎ = − /2
ℎ = /2
Suite
III Torseur de cohésion
Suite
Equilibre du tronçon (2).
Définition 2 :
Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite
de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même
point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section
droite, somme précédée du signe +.
III Torseur de cohésion
Suite
2 Exemple de calcul:
Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force  de longueur l = 4,2 m
Détermination du torseur de cohésion :
On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB].
Zone [AC] : a = 1,2m
ous allons déterminer le torseur de
cohésion au centre de surface G1 d’une
section de poutre située entre A et C,
repérée par l’abscisse x.
Le torseur de cohésion au point G1 se
détermine en effectuant la somme des
A.M. agissant à gauche de la coupure,
somme précédée du signe « - »
N
III Torseur de cohésion
2 Exemple de calcul:
Zone [AC] : a = 1,2m
Suite
III Torseur de cohésion
2 Exemple de calcul:
Zone [CB] : b = 3 m
Pour la détermination de ce torseur de
cohésion, il est préférable d’utiliser la
définition 2
Suite
Suite
III Torseur de cohésion
3 Composantes du torseur de cohésion

ℎ =


=
(,,)







(,,)
N : effort normal
Mt : moment (ou couple) de torsion
Ty : Effort tranchant suivant y
Mfy : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y
Tz : Effort tranchant suivant z
Mfz : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z
III Les différentes
sollicitations simples
Suite
Une poutre peut être soumise à plusieurs
sollicitations qui dépendent de la nature et
de la direction des actions mécaniques.
III Les différentes
Suite
sollicitations simples
y
N
Traction
N
x
N 0



T ( coh ): 0 0 

 0 0
G , R
N>0
N
Exemples:
Tirant
Biellette
Courroie
N
III Les différentes
Suite
sollicitations simples
N
y
Compression
N
x
N 0



T ( coh ): 0 0 

 0 0
G , R
N<0
N
Exemples:
Tirant
Biellette
Ressort
N
III Les différentes
Suite
sollicitations simples
y
T
Cisaillement
x
0 0



T ( coh ):Ty 0 

Tz 0 
G , R
T
T/2
T/2
T
Exemples:
Axe
Clavette
Goupille
Rivet
III Les différentes
Suite
sollicitations simples
Torsion
y
Mt
Mt
x
 0 Mt 
T ( coh ): 0 0 
 0 0  G , R
Mt
Mt
Exemples:
Arbre de
transmission
Tuyauterie
III Les différentes
Suite
sollicitations simples
y
T
Flexion
x
 0 0
T ( coh ):Ty 0
 0 Mfz
d


 G , R
Exemples:
Arbre
Axe
Plongeoir
T Aile d’avion
IV Traction
Suite
1 Essai de Traction:
L’essai de traction est une expérimentation qui a
pour objet la détermination des caractéristiques de
résistance du matériau testé.
IV Traction
On applique progressivement et
lentement à une éprouvette, de
formes
et
de
dimensions
normalisées, un effort de traction
croissant dont l’intensité varie de
0 à F jusqu’à la rupture..
Le
tableau
ci-contre
montre
l’évolution de la déformation de
l’éprouvette en fonction de la charge
appliquée
Suite
IV Traction
Suite
2 Résultats de l’essai
F(N)
F
r
Fe
Point de rupture
Fe Charge limite élastique
Fr : Charge limite à la rupture
Zone de
Zone de déformation plastique
déformation
élastique
Allongement en mm
Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée
IV Traction
Résistance élastique Re
Re 
Fe
So
Suite
avec
Re en MPa,
Fe en N,
So section de la pièce en mm2
Résistance à la rupture Rr
Rr 
Fr
So
avec
Rr en MPa,
Fr en N,
So section de la pièce en mm2.
IV Traction
Coefficient d’allongement A%
A% 
Lu  Lo
Lo
 100
avec
Lu longueur ultime après rupture,
Lo longueur initiale.
Allongement relatif 
L  L
Lo
avec
L allongement total de la poutre;
Lo longueur d’origine;
L allongement relatif suivant l’axe
Suite
Suite
IV Traction
Coefficient de Poisson
Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections
droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce
coefficient est noté  et appelé coefficient de Poisson.

L
Lo
en notant
 d  d
do
 
d
do
on obtient
 d    L
Ce coefficient caractérise la déformation transversale.
Suite
V Contrainte
1
Définition
contrainte :
du
vecteur
Une coupure est effectuée au niveau de la surface S (le
plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne
moyenne).
Considérons un point M de cette surface et dS un
élément de section droite aussi petit que possible
entourant le point M.
Soit l’effort élémentaire transmis par dS exercé par la
matière de la partie droite sur la partie gauche de la
poutre.
On appelle vecteur contrainte au point M pour la
coupure de normale le vecteur :
C ( M , n ) 

d F E 2  E1
dS
Unités : en MPa ou N/mm2. La contrainte est homogène à
une pression.
Suite
V Contrainte
2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :
Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite S de
normale .
Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) :
C ( M , x )  

: Contrainte normale (projection
du vecteur contrainte sur la normale à la
coupure).
M
M
: Contrainte tangentielle
(projection du vecteur contrainte dans le
plan YZ).
M
M
Suite
V Contrainte
3 Contrainte en traction:
Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte
tangentielle  est nulle et la contrainte normale  vaux :
M
M
avec
en N/mm²(MPa),
F en N,
S en mm².
L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone
élastique entre la contrainte  et l’allongement relatif .
Loi de Hooke :
F
S
  E
avec E module de Young en N/mm². (aciers E = 210000Mpa)
Suite
V Contrainte
4 Condition de résistance
Pendant toute la durée de son service, une pièce doit
conserver un comportement élastique. Cette condition
s'exprime par l'inégalité suivante :
 max i  R e
Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la
contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc
à exprimer la condition de résistance par :
Re
 max i 
 R pe
s
avec
Re: résistance limite élastique en MPa
s: coefficient de sécurité (s>1)
Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa
Suite
V Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques,
elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges,
rainures, filetages…). On définit un coefficient de
concentration de contrainte appelé Kt tel que :
La contrainte maximale a pour valeur :

 K .
max i
Avec :  max i = contrainte atteinte au voisinage
singularité
 nom = contrainte moyenne nominale calculée
t
nom
de
la
V Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
Suite
V Contrainte
5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt
Les valeurs de Kt sont expérimentales.
Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : Kt = 2.5
Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.
Suite
V Cisaillement
1 Relation sollicitation - Contrainte
 
T
S
T : effort tranchant en N
S : surface de la section en m2
La contrainte tangentielle engendrée est
identique dans toute la section
2 Loi de comportement élastique
  G .
G : module de Coulomb en Pa
 
y
x
: glissement transversal relatif (sans unité)
Suite
Suite
V Torsion
1 Relation sollicitation - Contrainte
 
Mt
Mt : moment de torsion en Nm
IG : moment quadratique polaire

IG
de la section en m4
 : distance au centre de la
section en m
2 Moment quadratique polaire
y
S
M

(S)
O
z
x
Le moment quadratique polaire
de la surface (S) par rapport au
point O est :
Io =  2 . S
(S )
V Torsion
Quelques expressions usuelles
3 Loi de comportement élastique
Mt  G    I G
G : module de Coulomb en Pa
 

angle de torsion unitaire en rad/m
x
IG : moment quadratique polaire de la
section en m4
Suite
Suite
V Flexion
1 Relation sollicitation - Contrainte
 
Mf
z
Mfz : moment de flexion en Nm
IGz : moment quadratique de la
y
section par rapport à l’axe (Gz)
en m4
y : distance par rapport à l’axe (Gz)
en m
I Gz
La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz)
(fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.
2 Moment quadratique par rapport à un axe
y
S
O
M
y
(S)
x
V Flexion
Quelques expressions usuelles
3 Loi de comportement élastique
Mf
z
 E  I Gz  f ' '
Mfz : moment de flexion en Nm
E : module de Young en Pa
IGz : moment quadratique par rapport à
l’axe z de la section en m4
f : flèche (écart verticale par rapport à la
position sans sollicitation) en m
f’’ : dérivée seconde de la flèche par
rapport à l’abscisse x
Fin

similar documents