Escoamento uniforme

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Escoamentos uniforme
e gradualmente variado
Por definição, o escoamento uniforme
(EU) ocorre quando:
•A profundidade, a área molhada, a velocidade, a
rugosidade e a forma da seção transversal
permanecem constantes;
•A linha de energia, a superfície da água e o fundo do
canal são paralelos
O EU pode ocorrer em canais muito
longos, retos e prismáticos
Nestes canais, a perda de carga
devida ao escoamento turbulento
é balanceada exatamente pelo
decréscimo de energia potencial
Equações básicas
Continuidade, quantidade de
movimento e energia
Idealizações:
1) Escoamento permanente e uniforme;
2) Escoamento à profundidade
constante (profundidade normal);
3) Escoamento incompressível;
4) Escoamento paralelo e à declividade baixa
Continuidade
U1A1ρ1  U2A2ρ2
Como A1 = A2
U1A1  U2A2
U1  U2
Quantidade de movimento
Escoamento paralelo  distribuição
de pressão hidrostática
Inclinação do canal pequena  q ≈ 0  q ≈ senq ≈ tgq
≈ Sb
Rx  ρQU2  U1 
Resultante das
forças em x
FS x  FB x  ρQU2  U1 
forças de
superfície
forças de
corpo
Da equação da continuidade FS x  FB x  0
força de corpo  peso 
componente  Wsenq
força de superfície  força de
atrito Ff
A força de pressão líquida é zero -Ff  Wsenθ  0
Ff  Wsenθ
Ff  τ wAsup
Para o caso do escoamento permanente,
incompressível e uniforme
2
U1
2
U2
p1
p2
 z1 

 z2 
 ΔH
γ
2g
γ
2g
y1  z1 
2
U1
2g
 y2  z2 
2
U2
2g
 ΔH
Para o escoamento permanente, incompressível e
uniforme
ΔH  z1  z2  LSb
•Perda de carga = desnível
•As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do
canal paralelas
Equações de
resistência
Equação de Chézy e de
Manning
Equação de Chézy (1769)
Assumindo tw proporcional à U2:
Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado
Substituindo na equação da QM e sabendo que
W=gAL (Aárea molhada)
1
γ
U 
k 
2
RS
U  C RS
onde C = (g/k)1/2
Equação de Manning (1889)
2
1
De natureza completamente empírica U  R 3 S
No Sistema Internacional (SI)
n
Relação entre C e n no SI:
1 16
C R
n
Estimação do
coeficiente de
resistência
Aspectos teóricos e
práticos
A dificuldade primária no uso das
equações é a determinação de C e n
Supondo que os mesmos se comportem como o
fator de atrito de Darcy-Weisbach
2
LU
ΔH  f
 SL
D 2g
Substituindo D por  4R
(lembrar que, para conduto
circular, R=D/4)
Equação da energia
f U2
S
4R 2g
nR
C
1
6
f
8g
8g
f
C e n  dependem de f  depende de
Re e de e
Mas é muito mais difícil determinar e em canais
A partir de um valor de Re  f constante 
aplicação das equações em escoamentos HR
Por causa
dessa
dificuldade 
utilizamos
valores
médios de n
Procura-se um coeficiente constante que leve em
conta os fatores que o influenciam
•Rugosidade da superfície
•Vegetação
•Irregularidade do canal
•Obstrução
•Alinhamento do canal
•Erosão e sedimentação
•Cota e descarga
Método do SCS:
incrementação
O Soil Conservation Service (SCS)
desenvolveu um método que parte de
um valor básico de n
O valor básico é tabelado e serve para um canal
reto, uniforme e liso  depois feitas correções no
valor básico, considerando os fatores mencionados
Também chamado método de Cowan
n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5
Grau de meandrização
básico
Vegetação: densidade, altura,...
Variações de
seção
Obstruções: matacões,
transversal raízes, troncos,...
Irregularidades: erosões,
assoreamentos, depressões,...
Ver Quadro 9.2, pág. 240 – Fund. de
Eng. Hidráulica
Tabela de valores de n
Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui
uma relação extensa de valores, função do tipo de
canal e das condições deste
Versões resumidas em todos os livros de hidráulica
As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de
Hidráulica, de Eurico Trindade Neves
Valores de n para Condutos Livres
Fechados
Natureza das Paredes
Condições
Muito boas
Boas
Regulares
Más
Tubos de ferro fundido sem revestimento
0,012
0,013
0,014
0,015
Idem, com revestimento de alcatrão
0,011
0,012*
0,013*
-
Tubos de ferro galvanizado
0,013
0,014
0,015
0,017
Tubos de bronze ou de vidro
0,009
0,010
0,011
0,013
Condutos de barro vitrificado, de esgotos
0,011
0,013*
0,015
0,017
Condutos de barro, de drenagem
0,011
0,012*
0,014*
0,017
Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento; condutos
0,012
0,013
0,015*
0,017
Superfícies de cimento alisado
0,010
0,011
0,012
0,013
Superfícies de argamassa de cimento
0,011
0,012
0,013*
0,015
Tubos de concreto
0,012
0,013
0,015
0,016
de esgotos, de tijolos
* Valores aconselhados para projetos
Valores de n para Condutos Livres
Artificiais Aberto
Condições
Natureza das Paredes
Muito
boas
Boas
Regulares
Más
Condutos de aduelas de madeira
0,010
0,011
0,012
0,013
Calhas de pranchas de madeira aplainada
0,010
0,012*
0,013
0,014
Idem, não aplainada
0,011
0,013*
0,014
0,015
Idem, com pranchões
0,012
0,015*
0,016
-
Canais com revestimento de concreto
0,012
0,014*
0,016
0,018
Alvenaria de pedra argamassada
0,017
0,020
0,025
0,030
Alvenaria de pedra seca
0,025
0,033
0,033
0,035
Alvenaria de pedra aparelhada
0,013
0,014
0,015
0,017
Calhas metálicas lisas (semicirculares)
0,011
0,012
0,013
0,015
0,0225
0,025
0,0275
0,030
0,017
0,020
0,0225*
0,025
Idem corrugadas
Canais de terra, retilíneos e uniformes
* Valores aconselhados para projetos
Valores de n para Condutos Livres
Artificiais Aberto (continuação)
Condições
Natureza das Paredes
Muito boas
Boas
Regulares
Más
Canais abertos em rocha, uniformes
0,025
0,030
0,033*
0,035
Idem, irregulares; ou de paredes de pedras
0,035
0,040
0,045
-
Canais dragados
0,025
0,0275*
0,030
0,033
0,0225
0,025*
0,0275
0,030
0,025
0,030
0,035*
0,040
0,028
0,030
0,033
0,035
Canais curvilíneos e lamosos
Canais com leito pedregoso e vegetação nos
taludes
Canais com fundo de terra e taludes
empedrados
* Valores aconselhados para projetos
Valores de n para Condutos Livres
Naturais Abertos (Arroios e Rios)
Arroios e Rios
Condições
Muito boas
Boas
Regulares
Más
(a) Limpos, retilíneos e uniformes
0,025
0,0275
0,030
0,033
(b) Idem a (a), porém com vegetação e pedras
0,030
0,033
0,035
0,040
(c) Com meandros, bancos e poços pouco profundos, limpos
0,035
0,040
0,045
0,050
(d) Idem a (c), águas baixas, declividades fracas
0,040
0,045
0,050
0,055
(e) Idem a (c), com vegetação e pedras
0,033
0,035
0,040
0,045
(f) Idem a (d), com pedras
0,045
0,050
0,055
0,060
(g) Com margens espraiadas, pouca vegetação
0,050
0,060
0,070
0,080
(h) Com margens espraiadas, muita vegetação
0,075
0,100
0,125
0,150
Outros métodos
Medição de velocidades e Características das
Seções
- Determinação das cotas de fundo, das características
hidráulicas e da velocidade média de duas seções,
separadas de uma distância ∆x
- Aplicação da equação da energia para cálculo da
declividade da linha de energia

U12  
U 22 
 z1  y1 
 -  z2  y2 

2
g
2
g
 

J
x
- Cálculo de n médio por
2
Rh J
n
U
3
1
2
Estimativa a partir da Granulometria
Equação de Meyer-Peter e Muller (1986), aplicável em leitos
com proporção significativa e material graúdo
n  0,038d
16
90
Canais de rugosidade
composta
Algumas vezes temos que estimar o
valor de n equivalente ou
representativo de uma seção, cuja
rugosidade varia ao longo do perímetro
O que se faz então é dividir o perímetro em N
partes, cada uma das quais com seu valor de n
Depois, calcula-se o n equivalente ne
2
3
 N
Pini3/2 

 i1

ne  

P






Horton (1933)  mais utilizada
Einstein e Banks (1950)
U1 = U2 = ... = UM
Ponderação pelo perímetro
molhado
Ver exemplo 9.6, pág 243 –
Fund. Eng. Hidr.

Descarga normal em canais
de seção composta
Quando o escoamento atinge a planície de
inundação, P aumenta mais rapidamente
que A  R, V e Q decrescem
Esta situação é computacionalmente correta, mas
não fisicamente: o método anterior pode fornecer
estimativa ruim  superestimar n
Alternativas:
1) Ponderar n pela área de cada subseção;
2) Calcular a condutância hidráulica em cada
2
subseção e depois somá-las
AR3
K
n
N
Ponderação pela área
ne 
n A
i1
i
A
Soma de condutâncias hidráulicas
Q K S
K
N
K
i1
A1R12/3
K1 
n1
i
i
Ver exemplo 9.7, pág
245 – Fund. Eng. Hidr.
AiRi2/3
Ki 
ni
A2R22/3
K2 
n2
Coeficientes de Coriolis e Boussineq para
seções compostas (Chadwick e Morfett, 1993)
2


  Ai  m 3
Ki
i 1



3 
2
m
A

 i 1 i
  Ki 
 i 1 
m
m
A
i
2
K
  i 1 2  i
 m
 i 1 Ai
  Ki 
 i 1 
m
Cálculos com o
escoamento
permanente e uniforme
Dois casos práticos:
1) Verificação do funcionamento
hidráulico
2) Dimensionamento hidráulico
Caso 1  Qual a capacidade de condução de um canal
de determinada forma, declividade e rugosidade,
sabendo qual é a profundidade?
Caso 2  Quais as dimensões que deve ter o canal,
de determinada forma, rugosidade e declividade
para conduzir uma determinada vazão?
Qual a profundidade normal (yN ou y0)?
1) Verificação do funcionamento
hidráulico
U
R
2
3
n
S
2
AR
Q
n
3
S
Exemplo 9.1 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 230
Um canal trapezoidal revestido com grama, com inclinação dos taludes de
1(V):2(H), base de 7,00m e declividade de 0,06%, apresenta um coeficiente de
rugosidade de Manning 0,025. determinar a vazão transportada, em regime
uniforme, sabendo-se que nesta situação a profundidade normal é de 5,00m.
Exemplo 9.2 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 231
Calcular a capacidade de vazão e determinar o regime de escoamento do ribeirão
Arrudas, em Belo Horizonte, sabendo-se que a declividade média neste trecho é de
0,0026 m/m, sendo seu coeficiente de rugosidade avalizado em 0,022.
2) Dimensionamento hidráulico
R
U
2
3
S
n
2
AR
Q
n
3
S
Condutância hidráulica
ou fator de condução
Determinação da profundidade normal por tentativa
e erro ou gráficos
2
AR
Q
n
3
S
Função de yN
AR
2
3

nQ
S
constante
Supondo um canal trapezoidal
A = (b + zy)y
P = b + 2y (1+z2)1/2
AR
2
3
A
 A 
P
5
b  2y 3 y
5
2
3
3
 b  2y 1  z 2 




2
3
5
A3
 23
P

y
1
z
b
nQ
S
Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os lados
Ou constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto
desejado que satisfaça o lado direito
Pode-se utilizar de gráficos
adimensionais. Por exemplo, para um
canal de seção trapezoidal:
yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b
Métodos numéricos também podem ser usados
(Newton, Bisecção,...)
As calculadoras científicas
atuais podem também
resolver este tipo de
problema
Exercício: calcular yN de um canal
trapezoidal: largura de fundo de 3m,
declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem
que ter a capacidade de transportar
7,1m3/s. O talude é de 1,5:1
Valor da constante
nQ
S
 23,08
Em uma planilha,
faz-se variar y
y
2,30
2,32
A(m2)
14,84
15,03
P(m) R(m)
9,22 1,61
9,27 1,62
AR2/3
20,37
20,75
2,34
2,36
2,38
2,40
15,23
15,43
15,64
15,84
9,33
9,38
9,44
9,49
1,63
1,65
1,66
1,67
21,13
21,51
21,90
22,29
2,42
2,44
16,04
16,25
9,54
9,60
1,68
1,69
22,68
23,08
Gráficos Auxiliares
Exemplo 9.3 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 233
Um canal trapezoidal, com largura de base de 3m e taludes
laterais 1:1, transporta 15m3/s. Pede-se calcular a
profundidade de escoamento, sabendo-se que a rugosidade é
de 0,0135 e a declividade é de 0,005m/m.
Exemplo 9.4 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 234
Determinar a curva auxiliar de cálculo (y x AR2/3) para uma
seção tipo Sudecap, com largura de 12m, profundidade total
de 5m e taludes da base triangular de 1:3. Calcular a
profundidade de escoamento para uma vazão de 100m3/s,
supondo uma declividade de 0,1%.
Seções Circulares
Muito utilizadas em redes de esgoto e drenagem pluvial
Cálculo hidráulico facilitado através do uso de tabelas
auxiliares e das equações:
0,1 8 3 1 2
Qp 
D I
n
y
0,4 2 3 1 2
Up 
D I
n
y
Exemplo 9.5 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 236
Dimensionar uma galeria circular em tubos pré-moldados de
concreto para uma vazão de 1200 l/s, implantada com
declividade de 1,5%, sendo que o tirante de água está limitado
a 80% do diâmetro e a velocidade máxima de escoamento é
4,5m/s
Seções de perímetro
molhado mínimo e vazão
máxima
O dimensionamento de um canal tem
por objetivos:
1) Determinar a forma geométrica
2) Determinar as dimensões
Procedimento simples rápido do ponto de vista
hidráulico
Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e
econômicos
Presença de avenidas construídas ou projetadas
Limitação de profundidade (lençol freático, etc.)
...
As seções de perímetros molhados
mínimos ou vazão máxima
Procuram eficiência hidráulica e
econômica (superfície de revestimento é
mínima)
Entretanto, o resultado pode ser:
1) Seções profundas  custos  de escavação
maiores, de rebaixamento de NA, não compensando
a economia no revestimento
2) velocidades médias incompatíveis com o
revestimento
3) Seções com b << y  dificuldades construtivas
Trapézio de perímetro molhado mínimo
A área e o perímetro molhados são:
A = (b + zy)y
P = b + 2y (1+z2)1/2
Utilizando a razão de aspecto
m = b/y
A  (m  zy)y2 Isolando y


P  m2 1z y

P  m2 1z
2
2

A
mz
y
1
z
b
substituindo na fórmula de P
Derivada de P em relação a
m e igualando a zero

m  2 1  z2  z


Ou ainda b  2y 1  z2  z

Para um canal retangular b  2y
y
b
y
y
Exemplo 13.1 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 331
Dimensionar um canal retangular em concreto (n=0,015), com
declividade de 0,0018 m/m, para funcionar em condições de
máxima eficiência conduzindo 50m3/s
Algumas
recomendações de
projeto
1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do
canal  nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado
2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível
máximo de projeto, sobretudo para canais fechados
3) Preferir o método de soma de condutâncias
hidráulicas para cálculo de seções compostas
Q K S
K
N
K
i1
i
Ki 
2/3
AiRi
ni
As subseções são divididas por linhas
verticais imaginárias, não computadas
para o cálculo de Pi
A2R22/3
K2 
n2
A1R12/3
K1 
n1
4) A velocidade média  num intervalo que evite
deposições e erosões (tabela a seguir)
5) Observar a inclinação máxima dos taludes
Exemplo 9.1 – Hidráulica Básica (Porto), pág. 279
Exemplo 9.2 – Hidráulica Básica (Porto), pág. 280
Exemplo 9.3 – Hidráulica Básica (Porto), pág. 281

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