Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor.

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VERSOR DE UM VETOR; VETORES PARALELOS;
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE
UM VETOR.
AULA 5
VERSOR DE UM VETOR
Se o vetor  não é nulo, o seu versor é um vetor unitário, isto é, de comprimento
igual a unidade, e que apresenta a mesma direção e o mesmo sentido de .
O versor de um vetor  é escrito:


.
VETORES PARALELOS
Se os vetores  = (x1, y1, z1) e  = (x2, y2, z2) são paralelos, então
 = α
ou
// ⇔
1
2
=
1
2
=
1
2
Exemplo
Verificar se os vetores  = (4, −2, 3) e  = (−12, 6, −9) são paralelos.
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Seja o vetor  = x + y + z não-nulo.
z
Ângulos diretores de  são os ângulos ,  e
 que  forma com os vetores ,  e ,
respectivamente.



Cossenos diretores de  são os cossenos de
seus ângulos diretores, isto é, cos , cos  e
cos .




x
y
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula:
cos  =
∙
 
=
,, ∙ 1,0,0
 (1)
=


cos  =
∙
 
=
,, ∙ 0,1,0
 (1)
=


cos  =
∙
=
,, ∙ 0,0,1
 (1)
=


 
Observação: Os cossenos diretores de  são precisamente as componentes do
versor de .
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Exemplo
Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores de  = 2 – 2 + .
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Considere um ponto A(x1, y1, z1) no ℝ3 e uma direção =(a, b, c). Quer-se
descrever os pontos da reta r que possui a direção  e passa pelo ponto A. Só
existe uma reta que passa por A e tem a direção de .
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
ℝ3
z
Um ponto P pertence a r se o vetor 
(determinado pelos pontos A(x1, y1, z1) e P(x, y,
z) é paralelo a  = (a, b, c).
Sendo  // , então:
= t
(t é algum número real)
P – A = t
( = P – A)
P = A + t
Escrevendo-se P = A + t em coordenadas, vem:
P
A

r
O
r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)
 é chamado de vetor diretor da reta r e t de
parâmetro.
x
y
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Exemplo 1
Qual a equação vetorial da reta r que passa por A(1, –1, 4) e tem a direção de  = (2,
3, 2)?
Exemplo 2
Sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = (1, –1, 4) + t(2, 3, 2),
determinar o parâmetro t.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
A partir da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), obtêm-se as
equações paramétricas.
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct)
(propriedade da multiplicação de escalar por vetor)
ou ainda
(x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct)
(propriedade da soma)
ou então
 = 1 + 
r:  = 1 + 
 = 1 + 
igualdade)
(condição de
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Exemplo
Dado o ponto A(2, 3, –4) e o vetor  = (1, –2, 3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de .
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se os pontos D(4, –1, 2) e E(5, –4, 3) pertencem a r.
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Das equações paramétricas
x = x1 + at,
y = y1 + bt,
z = z1 + ct
Supondo abc ≠ 0, vem
t=
 − 1
,

t=
 − 1
,

t=
 − 1

Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as
igualdades
 − 1

=
 − 1

=
 − 1

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Exemplo
Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, –5) e tem a
direção do vetor  = (2, 2, –1)?
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
z
r1
Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos
vetores 1 e 2 , respectivamente.

Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o
menor ângulo formado pelos vetores
1 (vetor diretor de r1) e 2 (vetor diretor de
r2). Chamando  o referido ângulo, então:
cos θ =
1 • 2
1 2
, com 0 ≤ θ ≤
r2
1


2
x
2
y
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Exemplo
Calcular o ângulo entre as retas
x=3+t
r1: y = t
z = –1 – 2t
e
r2 :
+2
−2
=
−3
1
=

1
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Seja um ponto P no ℝ3 e uma reta r, cuja
distância entre eles quer-se calcular.
Considere um ponto A e um vetor diretor 
pertencentes à reta.
ℝ3
Os pontos A e P determinam o vetor . Os
vetores  e  formam um paralelogramo,
cuja altura d é também a distância de P até r,
denota-se por d(P,r).
O cálculo da área desse paralelogramo pode
ser obtido por duas maneiras já conhecidas:
a) A = (base)(altura) =  d
b) A = AP x 
Comparando a) e b), tem-se:
d = d(P,r) =
|AP x |
||
P
d
A
⊡

r
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Exemplo
x = −1 + 2t
Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta r1: y = 2 – t
z = 3 – 2t
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
r1
Sejam duas retas coplanares r1 e r2, tem-se
três posições possíveis entre elas.
a) r1 e r2 são concorrentes:
Neste caso: d(r1, r2) = 0
r2
b) r1 e r2 são coincidentes:
Neste caso: d(r1, r2) = 0
r1 = r2
c)
r1 e r2 são paralelas:
Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) com P ∈ r2
ou d(P, r2) com P ∈ r1.
P
d
⊡
r1
r2
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Sejam duas retas não-coplanares r1 e r2 (retas reversas). Quer-se calcular a
distância entre elas.
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Seja r1 a reta determinada pelo ponto A1 e o
vetor diretor  1 e r2, determinada pelo ponto
A2 e o vetor diretor  2.
Os pontos A1 e A2 formam um terceiro vetor
12. Esses três vetores não-coplanares  1,  2,
12 determinam um paralelepípedo, cuja
altura é a distância entre r1 e r2.
O volume desse paralelepípedo pode ser
calculado por :
a) V = (área da base)(altura) = |  1 x  2|d
b) V = |( 1,  2, 12)|
Comparando a) e b), tem-se:
d(r1, r2) =
|(1 ,2 ,12)|
|1 x 2 |
2
A2
r2
d
⊡
r1
A1
1
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Exemplo
x = −1 + t
Calcular a distância entre as retas r1: y = 3 – 2t
z = −1 – t
e
y=x–3
r2: z = −x + 1
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Seja um plano  contendo um ponto
A(x1, y1, z1), ortogonal a um vetor  = (a,
b, c),  ≠ 0, chamado de vetor normal
ao plano.

O ponto P(x, y, z) representa qualquer
ponto pertencente ao plano, enquanto
que A representa um ponto conhecido.
Com o ponto A e o ponto P, podemos montar
um vetor ortogonal a . O produto escalar
entre eles é igual a zero, isto é,
 •  = 0
ou
(P – A) •  = 0
A equação se transforma em:
ax + by + cz + d = 0
P

A
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Exemplo 1
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, –1) e tem como vetor
normal  = (2, 3, 4). Encontre também suas intersecções com os eixos coordenados
e faça um esboço do plano.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Exemplo 2
Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, –1, 6) e R(5,
2, 0)
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
ÂNGULO DE DOIS PLANOS
Sejam os planos 1 e 2 com vetores normais 1 e 2 , respectivamente
1
2
2


1
Chama-se ângulo de dois planos 1 e 2 o menor ângulo que um vetor normal a 1
forma com um vetor normal a 2 . Sendo  este ângulo, tem-se
cos  =
1 ∙ 2
1 2
com 0 ≤  ≤

2
ÂNGULO DE DOIS PLANOS
Exemplo
Determinar o ângulo entre os planos 1 : 2x + y – z + 3 = 0 e 2 : x + y – 4 = 0.
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO
Sejam uma reta r com a direção do vetor  e um plano , sendo  um vetor normal a
.
I) r //  ⇔  ⊥  ⇔  ∙  = 0
II) r ⊥  ⇔  //  ⇔  = α

r
r





INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja
determinar.
1
r
1
2
∙
2
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS
Exemplo
Sejam os planos não-paralelos 1 : 5x – y + z – 5 = 0 e 2 : x + y + 2z – 7 = 0
REFERÊNCIA
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2000.

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