Kinematika

Report
Stupně volnosti, kinematický řetězec
 Pohyb a transformace (translace, rotace,
sférický pohyb)
 Přímá a inverzní úloha kinematiky


Varování: vektoryT
Kinematika
Pohyb jednotlivých částí robota bez ohledu
na síly, které jimi pohybují
 Reprezentace polohy a orientace subjektu v
prostoru
 Forward x Inverse kinematics

Stupně volnosti (degrees of freedom, DOF)
Základní směry posunu a rotace
 2D

 3 stupně volnosti , , 

3D
 6 stupňů volnosti , , , , , 
○ Alternativně se používá i notace „poloha , ,  + natočení
k rovinám ,  a k ose nástroje“

Pravidlo pravé ruky
Manipulátory

Polohování předmětu v prostoru
 pro 3D je potřeba aspoň 6 stupňů volnosti
Ramena, zápěstí, chapadla
 Kloubová proměnná (joint variable) 

 údaj o nastavení kloubu
 též zobecněná souřadnice

Poloha  = 1 , 2 , … , 
 DOF = 
Pracovní prostor
 Lokální × globální souřadný systém (LCS, GCS)

Přímá úloha kinematiky (3D)
 = ()
  = 1 , 2 , … , 6
  = , , , , , 

Rotace


′ =  ∙ 
Rotace kolem osy  o úhel :
,

1
0
= 0 
0 
0
−

Rotace postupně kolem os , y,  o úhly , , :
,, =
cos  cos 
− cos  sin 
sin 
sin  sin  cos 
+ cos  sin 
− sin  sin  sin 
+ cos  cos 
− sin  cos 
− cos  sin  cos 
+ sin  sin 
cos  sin  sin 
+ sin  cos 
cos  cos 
Rotace + translace
′ =  ∙  + 
′




=
∙
0⋯0 1
1


′
′
′ =

1
∎ ∎ ∎
∎ ∎ ∎
∎ ∎ ∎
0 0 0




∙


1
1
Spojování systémů

Libovolné
 nemusí být snadné sestavit transformační matici

Denavit-Hartenberg
 Metodika spojování
 Fiktivní pohyby sjednocující dva systémy:
natočit, posunout, posunout, natočit
 Lze zobecnit na libovolnou sekvenci
Denavit-Hartenberg





Očíslování článků 1..n
Očíslování pohyblivých jednotek;  spojuje kloub  − 1 a 
Ortonormální souřadný systém
Osa −1 je osou pohybu kloubu 
kladný směr směřuje do kladného kvadrantu základního systému
Osa  nechť je kolmá na −1 a  :
 −1 a  totožné – koncový bod 0. kloubu rovnoběžně s 
 mimoběžné –  ve společné normále −1 a  ,
kladný směr od −1 k  .
 různoběžné –  kolmá na −1 a  , v průsečíku,
kladný směr tak, aby při rotaci kolem  přešla −1 na  kladně
 z koncového bodu posledního článku buď rovnoběžně s −1 anebo
význačným směrem (např. přívod)
  z koncového bodu posledního článku tak, aby protnula −1 , kladný
směr do pracovního prostoru.

DH transformace

Vztah mezi −1 a  je složená
transformace:
1. Natočení osy −1 kolem osy −1 o úhel 
2. Posunutí osy −1 ve směru osy −1 o
vzdálenost 
3. Posunutí počátku −1 podél osy  o
vzdálenost 
4. Natočení osy −1 kolem osy  o úhel 

DH parametry:  ,  ,  , 
−1,
−1 ,
,
,
DH transformace



−1 = −1, ∙ −1, ∙ , ∙ ,
−1
cos 
sin 
=
0
0
− sin  cos 
cos  cos 
sin 
0
DH parametry:  ,  ,  , 
  úhel mezi osami  kolem −1
  vzdálenost mezi osami 
  vzdálenost mezi osami 
  úhel mezi osami  kolem 
sin  sin 
− cos  sin 
cos 
0
 cos 
 sin 

1
Použití

−1
Univerzální transformace mezi dvěma
sousedními LCS
 Nezávisle na typu kloubu má vždy stejný tvar

 Rotační – proměnná  , ostatní konstanta
 Translační – proměnná  , ostatní konstanta

Přímá kinematická úloha pak je snadná:
V cyklu dosazujeme vždy 1 proměnnou a 3
konstanty
Example I
Z3
Z1
Z0
Y0
O3
Y1
Link 1
Joint 1
Joint 3
O0 X0
Joint 2
Link 2
X3
d2
O1 X1 O2 X2
Y2
a0
a1
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Example II: PUMA 260
1
2
Z1
3
O1
Y1
Z0
1.
Number the joints
2.
Establish base frame
3.
Establish joint axis Zi
4.
Locate origin, (intersect.
of Zi & Zi-1) OR (intersect
of common normal & Zi )
X1
Z 2 Z6
5.
O2
Y3
Z4
Z
X 2 5 6 Y6
O3
Y2

5
O6
Y5
X 3 Y4
t
O5 O X 5 X 6
4
Z3
X4
Establish Xi,Yi
X i  (Zi 1  Zi ) / Zi 1  Zi
Yi  (Zi  X i ) / Zi  X i
4
PUMA 260
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Link Parameters
1
J
2
1
Z1
2
3
O1
3
X1
Z 2 Z6
Y1
O2
Y3
Z4
Z
X 2 5 6 Y6
O3
Y2

5
O6
Z0
Y5
X 3 Y4
O5 O X 5 X 6
4
Z3
X4
Joint distance
4
4
5
6
i:
i
1
2
3
4
5
6
i
a i di
-90 0
13
0
8
0
90
0
-90 0
-l
8
90
0
0
0
0
t
angle from Xi-1 to Xi
about Zi-1
i : angle from Zi-1 to Zi
about Xi
a i : distance from intersection
of Zi-1 & Xi to Oi along Xi
di : distance from Oi-1 to intersection of Zi-1 & Xi along Zi-1
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Example III
(courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)
Example IV
(courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)
Inverzní kinematika
Zadána poloha cílového manipulátoru.
Chceme zjistit, jak nastavit klouby.
 Příklad (2D):

Přímá kinematika:
Dáno 1 , 2 , 3
Hledáme  ,  , 
(courtesy MIT, H.H.Asada)
Inverzní kinematika
Zadána poloha cílového manipulátoru.
Chceme zjistit, jak nastavit klouby.
 Příklad (2D):

Inverzní kinematika:
Dáno  ,  , 
Hledáme 1 , 2 , 3 ,
(courtesy MIT, H.H.Asada)
Obecná inverzní kinematika
Vektorová metoda
 Numerické metody

 Numerické řešení soustavy transcendentních rovnic
 Aproximační metody
 Optimalizační metody
○ Heuristiky
○ Gradientní metody

Řešení pro různé typy kinematických soustav
 Otevřená – bez problémů
 Jednoduché smyčky – často přímo nebo aspoň po úpravě
 Složitější soustavy – problém.

similar documents