PERTEMUAN KE-4-Eksponensial

Report
MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma
Oleh :
KBK MATEMATIKA TERAPAN
Eksponen
Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x, y, w
2. Tentukan x dan z
Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x dan y
2. Tentukan x, y dan z
Aturan Dasar Eksponen
Aturan
1. b  b  b
x
b
x y
2. y  b
b
x
y
 
3. b
x
y
b
x y
xy
4.  ab   a b
x
x x
x
x
a
a
5.    x
b
b
Contoh
21/ 2  25/ 2  26 / 2  23  8
12
5
=5
12-3
3
5
8 
1/ 3
6
8
=5
9
6 / 3
8
2
3 3
3
2
m

2
m

8
m
 
3
1/ 3
 8 
 
 27 
81/ 3
2
 1/ 3 
3
27
1

64
Contoh:
1. Sederhanakan permasalahan
3x y 
2 1/ 2
x3 y 7
4
34 x8 y 2 81x5
 3 7  5
y
x y
2. Selesaikan persamaan
43 x 1  24 x 2
23 x1
4 x 2
2
2
26 x2  24 x2
6x  2  4x  2
2 x  4
x  2
Latihan
Soal Latihan
1. Tentukan x & y
2. Hitung
Latihan
3. Hitung
Fungsi Eksponensial
Suatu fungsi eksponensial dengan
basis b and eksponen x
b  0, b  1
f ( x)  b x
Co:
f ( x)  3
x
x
1
0
1
2
y  f ( x)
y
1
3
1
3
9
(0,1)
Domain: Real
Range : y > 0
Sifat Fungsi Eksponensial
f ( x)  b
x
b  0, b  1
1. Domain:
 , 
2. Range:
(0,¥)
3. Melewati titik
(0, 1).
4. Kontinu di seluruh domain.
5. Jika b > 1, fungsi naik pada  , 
Jika b < 1, fungsi turun pada  , 
Fungsi Eksponensial
()
y= b
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg
x
Logaritma
Logaritma dari x dengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai
y = logb x
jika dan hanya jika
Contoh.
log 3 81  4
log 7 1  0
log1/ 3 9  2
log 5 5  1
x=b
y
( x > 0)
Contoh
Selesaikan persamaan berikut
a.
b.
log2 x  5
x  2  32
5
log 27 3  x
3  27 x
3  33 x
1  3x
1
x
3

am  an  m  n

Aturan Logaritma
1. l og b mn  logb m  logb n
m
2. logb    logb m  logb n
n
3. logb mn  n logb m
4. logb 1  0
5. logb b  1
Notasi:
Logaritma Umum
log x  log10 x
Logaritma Natural
ln x  log e x
x
e & ln x
( x > 0)
e ln x = x
x
ln e = x
(untuk seluruh x real)
Contoh: Selesaikan
1 2 x 1
e
 10
3
e2 x1  30
2 x  1  ln(30) ln utk ruas kiri & kanan
ln(30)  1
x
 1.2
2
Contoh
Sederhanakan:
25x7 y
log5
z
 log5 25  log5 x7  log5 y  log5 z1/ 2
1
 2  7 log 5 x  log 5 y  log 5 z
2
Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya
b  0, b  1
f ( x)  logb x
1. Domain:
2. Range:
(0,¥)
 , 
3. Melewati titik
4. Kontinyu pada
(1, 0).
(0,¥)
5. Jika b > 1, fungsi naik pada
Jika b < 1, fungsi turun pada
(0,¥)
(0,¥)
Grafik Fungsi Logaritmik
Ex.
f ( x)  log3 x
f ( x)  log1/ 3 x
1
y 
 3
y 3
x
x
(1,0)
y  log3 x
y  log1/ 3 x
Fungsi Logaritma
()
y= b
x
Û log y = x log b
log y
Ûx=
log b
Û x = log b y
Fungsi Logaritma
adalah Invers dari Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritma basis e
y = loge x = ln x
e= 2.718281828
nb: Konstanta “e”
e=Konstanta Napier (e=Euler)
nb: Konstanta “e”
Luas daerah
di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x
antara x=1 dan x=e:
e
ò
1
dx
= ln e = 1
x
APLIKASI
Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma
Pertumbuhan
Eksponensial
Contoh: Film
“Pay It Forward” (th 2000)
Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang
lain. Jika orang yg ditolong merasakan
manfaatnya, maka dia juga harus menolong
orang lain, dst…
RUMUS yg mana?
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh:
Pada awal tahun kita menabung A rupiah dengan
bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank.
Berapakah jumlah uang kita pada
akan datang?
waktu yang
Untuk membuat model matematika dari masalah
ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang
mempengaruhinya, misalnya
• suku bunga (interest rate) dan
• waktu.
Pertumbuhan Eksponensial
Model waktu diskrit:
Jika masalah kita sederhanakan dengan asumsi
suku bunga konstan “r” per tahun.
Waktu (t) sebagai variabel mengikuti bilangan
bulat tak negatif t=0,1,2,3,… dan
G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah
tahun ke t, maka kita mendapatkan:
(
G(t) = A 1+ r
)
t
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang 100 jt di bank dengan bunga r (8%)
(
)
100 1+ 0.08
T=0
Rp. 100 jt
T=1
1
(
)
100 1+ 0.08
2
T=2
( )
G(t) = A 1+ r
(
)
100 1+ 0.08
T=3
t
3
Pertumbuhan Eksponensial
(
)
G(t) = 100 1+ 0.08
t = 1,2,… ,20
t
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang sejumlah 100 juta di bank
dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap
r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan)
nt
æ rö
G(t) = Aç1+ ÷
è nø
æ 0.08 ö
100 ç1+
÷
12 ø
è
æ 0.08 ö
100 ç1+
÷
12 ø
è
T=1
T=2
12
T=0
Rp. 100 M
24
æ 0.08 ö
100 ç1+
÷
12 ø
è
36
T=3
Pertumbuhan Eksponensial

similar documents