bandas de energía. dieléctricos, semiconductores y metales.

Report
Física del Estado Sólido
Dra. Mónica Trejo Duran
Bandas de energía






Los electrones en un átomo solo toman ciertos valores de energía discretos.
En un sólido cada nivel atómico se junta en muchos niveles de energía cercanos
formando bandas de energía.
De acuerdo con el principio de exclusión de Pauli solamente dos electrones (con
diferente spin) pueden ocupar un nivel de energía atómico con un conjunto de
números cuánticos n, l y m.
2N electrones deben ocupar una banda de energía conteniendo N niveles de
energía. Al igual que en los átomos los niveles de energía más bajos se llenan
primero y los más altos quedan vacíos, así las bandas de energía más bajas son
llenados y las bandas de más alta energía están vacías.
Las bandas de energía permitidas están separadas por estados o bandas de
energía prohibidas.
Las bandas vacías o parcialmente llenas se llaman bandas de conducción y las
bandas completamente llenas por electrones de valencia se llaman bandas de
valencia.
Electrón libre
Banda de
Conducción
 gap
Banda
de
Valencia
Cuando el mínimo de la banda de
conducción y el máximo de la banda de
valencia están en  ≠ 0  ′ diferentes
Cuando el mínimo de la
banda de conducción y el
máximo de la banda de
valencia están en  = 0
Banda de
Conducción
Banda
de
Valencia

MASA EFECTIVA.


Cerca del mínimo de conducción la dependencia de la energía del electrón en el
vector de onda puede ser aproximada a una función parabólica similar a la del
electrón en el espacio libre. Sin embargo, la curvatura de esta dependencia es
diferente a la del espacio libre, así como las direcciones cristalográficas son
diferentes y la curvatura depende de la dirección.
Para encontrar su forma se introduce el tensor de masa efectiva son componentes
definidos como:
1
1  2 
=
, ℏ2  
Donde  y  son las proyecciones del vector de onda  .

Cuando E() depende solamente de la magnitud de  y no de la dirección de , este
1
tensor se reduce a la masa efectiva



Para el caso del Arsenio de Galio (Ga As)
Para el caso de Silicio (Si)
ℏ2  2
  =  +
2
ℏ2 2 2
  =  +
+
2  
Donde  y  son componentes transversales (t) y longitudinales (l) del vector 


 masa efectiva longitudinal
 masa efectiva transversal
Primera zona de Brillouin de FCC
Puntos de simetría Γ, Χ, L
Líneas de simetría Δ, Λ, Σ
Dependencia angular de () dibujando
superficie en el espacio  correspondiente a la
misma energía del electrón.
Superficies esféricas de igual energía (GaAs).
Mínima energía en el punto Γ
Superficies elipsoidales de igual energía (Si).
Iguales
Mínima energía en el punto Χ
E
Valle
L
recordar que [001] y [010]
[111] y [111]
son equivalentes para la simétrica cúbica
•
En todos los semiconductores cúbicos el punto
más alto de la banda de valencia esta localizado
en el punto Γ de la 1ª zona de Brillouin ( = 0,0,0)
Valle X

Δ
[111]
• Hay dos bandas de valencia llamadas bandas
huecos ligeros y huecos pesados que tienen la Hoyos
misma energía en el punto  = 0
(son ligeros
degenerados). Mientras que la tercera banda
separada de las otras dos se llama banda split-off
[001]
Γ = 
Hoyos
pesados
Banda Split-off
Arseniuro de Galio
E
Cuando
iluminamos
con
luz
un
semiconductor, un electrón de la banda de
valencia toma energía del fotón y
experimenta una transición a la banda de
Valle
X conducción. A esta transición se llama
transición interbanda o absorción de
fotones.
Valle
L
Γ
[111]

Banda
Split-off
Δ
[001]
Hoyos
ligeros
Hoyos
pesados
• Cuando un campo eléctrico es ampliado a
semiconductor (ejemplo: GaAs), los portadores
de carga gana energía del campo eléctrico y
ocupan estados de energía más altos.
Campo eléctrico bajo
• Los electrones primero ocupan estados de
energía en el mínimo más bajo de la banda de
conducción (mínimo Γ).
Silicio
Campo eléctrico alto
Los electrones primero ocupan estados de energía en el mínimo más alto (L)
de la banda de conducción.
FUNCIONESDE DISTRIBUCIÓN Y DENSIDAD DE ESTADOS.





El número de niveles llenos en la banda de conducción y de niveles desocupados en
la banda de Valencia depende de la temperatura.
A más altas temperaturas más electrones adquieren suficiente energía térmica para
pasar a estados de energía más altos en la banda de conducción.
Ahora calcularemos la concentración de electrones en la banda de conducción.
Consideremos un sistema con una gran cantidad de partículas (N) como un gas de
moléculas, donde cada partícula puede tomar ciertos valores de energía 1 , 1 ,…,  .
Si tenemos que el número de estados es mucho más grande que el número de
partículas entonces la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto estado es
mucho menor que uno.
La probabilidad de encontrar una partícula en el estado con energía Ei está dado por.

  =


 es el número de partículas en
el estado 
La energía promedio de las partículas es:
<  >=

 


En equilibrio la probabilidad de tener partículas en 2 estados de energía  y  están
relacionados por los factores de Boltzmann.
 −
 
=  β 
( )


Esta ecuación significa que la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto
estado de energía  , decrece exponencialmente con  .
Para un espectro continuo de energía, la probabilidad de encontrar una partícula entre
 y  +  está dado por:
  = 

β 

Donde f es llamada Función de Distribución de Boltzmann.


Para electrones, el principio de Exclusión de Pauli establece que no más de dos
electrones pueden ocupar un nivel de energía dado. Los electrones tienden a ocupar
primero los estados con más bajas energías.
Así, todos los estados con energías bajas son llamados exactamente en la misma
forma. Así que para bajas energías, la función de probabilidad electrónica f, debe ser
igual a uno ya que todos esos estados están ocupados.

La función de distribución electrónica es:
1
  =
1+
−
β 
 → Función de distribución de Fermi-Dirac.

La energía  es llamada Energía de Fermi o Nivel de Fermi y se define como la
1
energía por la cual   = . Cuando  >  por algunos β  ,   ≪ 1 y la
2
distribución de Fermi- Dirac se reduce a la distribución de Boltzmann. Cuando E es
mucho menos que  por algunos β ,   = 1 de acuerdo con el principio de
Exclusión de Pauli.

Cuando  → 0   → función escalón
  = 1
  = 0


 −  ()
  < 
  > 
La  
nos permite encontrar la
probabilidad de que un estado esté
lleno.
Mas adelante veremos cómo encontrar
 , por lo pronto supondremos que la
conocemos.

La concentración total de electrones en la banda de conducción será:
 = concentración [m−3 ]
  = nº de ocupación
=


  = densidad de estados de
de volumen por unidad de energía
[m−3 J −1 ]
    
 ,  energía inferior y superior
de la banda de conducción
1 
  =
= 4
 
  β 
 = 2
2ℏ2
 =
 − 
β 
3
2
3
 2
ℏ2

∞
1
−  2
=

     =  1 ( )
2
Densidad efectiva de estados para la banda de conducción
1 
2
2
=

∞
0
1
2
1 +   −

Integral de Fermi
ELECTRONES Y HUECOS EN SEMICONDUCTORES.

Para entender y describir la operación de un dispositivo semiconductor necesitamos
conocer cómo los portadores de corriente eléctrica (electrones y huecos) están
distribuidos en un material semiconductor en energía y espacio, cómo cambian sus
concentraciones y cómo se mueven los electrones y huecos en un campo eléctrico
ampliado y las ecuaciones básicas que describen el movimiento.
E


Los cambios en el nivel de ocupación electrónica en la banda de valencia son más
fácilmente entendibles identificando el movimiento del nivel de energía del hueco.
Donde hueco = partícula ficticia, ausencia de electrón, vacante de energía (+q) si e= -q
La función de ocupación de Fermi-Dirac para huecos es:
1
  = 1 −   =
1+

 −
β 
La dependencia de la energía en la banda de valencia del vector de onda es:
ℏ2  2
  =  +
2

 masa efectiva del hueco y  tope de la banda de Valencia.

La densidad de estados de energía permitidos por unidad de volumen en una banda de
valencia parabólica (Densidad de estados de huecos):
2
  = 4
ℎ2

3
2
 − 
1
2
La concentración de huecos:
∞
=

Donde:
 = 2
 β 
2ℏ2
3
2
     =  1 ( )
2
Densidad efectiva de estados para la banda de valencia
 − 
 =
β 


Los huecos ligeros tienen masa efectiva  y los huecos pesados tienen masa efectiva
ℎ
Así para la banda de huecos, la densidad efectiva de estados está dada por:
 β 
 = 2
2ℏ2
3
2
ℎ
ℎ β 
=2
2ℏ2
3
2
Así:
 =  + ℎ
ℎ β 
=2
2ℏ2
3
2
 β 
+2
2ℏ2
3
2
=
3
2
ℎ
+
2
3 3
2

densidad de estados
de masa efectiva
CONCENTRACIONES DE ELECTRONES Y HUECOS.

Cuando el nivel de Fermi,  , está en el gap de energía y  −  ,  −  es más
grande que varias energías β , el semiconductor se dice que es no degenerado.
Cuando  −  > 3β 
1
2
De donde  =  
 −
 − 
≈  β 
β 
 −
β 
Y sí  −  > 3β 
 =  
 −
β 



Como puede verse las concentraciones n y p en un semiconductor no degenerado son
mucho más pequeños que la densidad efectiva de estados, Nc y Nv , en la banda de
conducción y de valencia respectivamente.
Cuando el nivel de Fermi en la banda de conducción es  −  > 3β  o el nivel de
Fermi en la banda de valencia es  −  > 3β  el semiconductor es llamado
Degenerado.
Para un semiconductor degenerado tipo n
4  − 
1 ≈ 3
β 

2
3
2
1 2 ( −  )
≈ 2
3
ℏ2
Y para un tipo P
≈

1 2 ( −  )
3 2
ℏ2
3
2
3
2
Nivel de Fermi para un semiconductor degenerado
Tipo n
 −  =
ℏ2
Tipo p
2
2
3  3
2
 −  =
ℏ2
2
2
3  3
2
CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS.
n
distancia
distancia
Tipo n
Densidad de estados
Función de distribución

1
No degenerado

0.5

energía


energía

1

Degenerado
0.5

energía


energía
Densidad de electrones por unidad de energía
(tipo n)
No degenerado



energía
Degenerado

energía
Tipo p
Densidad de estados
Función de distribución

1

No degenerado
0.5
energía
 

energía


1
Degenerado
0.5
energía



energía
Densidad de electrones por unidad de energía
(tipo p)
No degenerado
Degenerado




energía

energía


Para un semiconductor no degenerado
 =   

− 
β
donde =  − 
Es la energía gap. Esta ecuación se puede reescribir
 = 2
Donde
 =

1 − 
  2  2β 
← Ley de acción − masa
← Concentración intrínseca de portadores



El producto np para un semiconductor no degenerado es independientemente del
nivel de Fermi y está determinado por la densidad de estados en la banda de
valencia y conducción, la energía gap y la temperatura.
La ley de acción – masa es válida en equilibrio térmico.
Si se quiere realizar una estimación aproximada de la dependencia de  con
respecto a  , asumamos que  = 0.3 y  = 0.6 con los que podremos
calcular  y  tenemos que
 = 1.34x1021 ⋅


3
2
K ⋅

−2 
β
−3
Para 300 K, la gráfica de esta ecuación se muestra en la figura siguiente. (para Si  =
1.11 eV, para GaAs  = 1.42 eV)
Algunas constantes importantes
ℎ = 6.626x10−34 J ⋅ s
ℏ = 1.054x10−34 J ⋅ s
β =
1.7806x10−23
J
eV
−5
= 8.6133x10
K
K
• La concentración de portadores es
pequeña comparada con la
concentración de electrones de
valencia en un semiconductor
1023 cm−3
• De la ley de acción-masa,
tenemos np~[107 − 1010 ]
SEMICONDUCTORES INTRÍNSECOS, DOPADOS Y COMPENSADOS.
Donadores y Aceptores.


En un semiconductor puro neutral, la concentración de electrones cargados
negativamente debe ser igual a los huecos cargados positivamente, en este caso se
dice que es intrínseco.
Como  =  entonces
 =  =  =

1 − 
  2  2β 
Y el nivel de Fermi es llamado Nivel de Fermi intrínseco ( )
 =
 3


 +  3
+ β  ln
=  −
+ β  ln
2
4

2 4

Donde  ~1 eV y β  ~ 26 eV a temperatura ambiente (300 K).

Como son cualidades pequeñas,  queda aproximadamente a la mitad del gap.




distancia





Cuando se introducen en un semiconductor dopantes:
Donadores (tipo n, electrones) o aceptores (tipo p, huecos) se les llama
semiconductores extrínsecos.
Para el Silicio los donadores o impurezas introducen niveles de energía dentro del gap
muy cercanas al mínimo de la banda de conducción. Estos son Antimonio (Sb), Fósforo
(P), y Arsénico (As)
Un donador es neutral cuando ocupado por un electrón después de donado a la banda
de conducción queda cargado positivamente.
Para el silicio los aceptores son Boro (B), Aluminio (Al), Galio (Ga) y Indio (In) ya que
pierde un electrón de valencia para formar 4 enlaces con un vecino de silicio cercanos.
Así el átomo provee un nivel vacío disponible de energía por un electrón, crea un
hueco.

Los niveles de energía de los aceptores superficiales están arriba y cerca del máximo
de la banda de valencia. Un aceptor está negativamente cargado cuando es ocupado
por un electrón y se hace neutral después de aceptar un electrón de la banda de
valencia.











distancia
distancia
Donador
Aceptor
Las energías  −  para donadores y  −  para aceptores son llamadas Energía
de ionización donador o aceptor.
Los donadores y aceptores más llamados superficiales cuando sus energías de
ionización son más pequeñas o cercanas a la energía térmica β .
Los donadores y aceptores superficiales están cerca de ser totalmente ionizados, esto
es, todas cercanas a ellos proporcionan electrones a la banda de conducción y huecos
a la banda de valencia respectivamente.

La siguiente figura muestra el modelo que puede ser usando para estimar la energía
de ionización del donador  −  .
Modelo del átomo de hidrógeno.
Es
Si
Si

−
+
Eo
0
me
vacio
+
+
+
vacío
Átomo de hidrógeno
Donador
Átomo de hidrógeno


2
  4
=
=
80  32 2 02 ℏ2

40 ℏ2
=
  2

= 2

− 
 = 1,2, …
Energía de Bohr  = 13.6 eV = 2.18x10−18 J
Radio de Bohr  = 0.52917 Å

La energía del estado base está determinado por la energía de Bohr donde la
permisividad del espacio libre es reemplazada por la permisividad dieléctrica del
semiconductor y  es remplazada por  ( masa efectiva del electrón.)
0
 −  ≈

2

  4
0
≈ 13.6
 32 2 02 ℏ2

2

(eV)

 = 0
=3
−1
=2
GaAs
 = 0.067
 = 12.9 0
−5
−6

=1
Nivel base del donador
El radio también se modifica

40 ℏ2  0
=
  2   
 
→  (Å) = 0.52917
 0
GaAs  = 102 Å

Para una concentración  de átomos donadores, la concentración de donadores
ionizados (o vacíos) + está dada por:

+ =
1 +  
 −
β 
Donde  es el nivel de energía donador y  es llamado factor de degeneración de
donadores. La razón de las concentraciones de vacíos + y llenos (0 =  − + ) es.
 −
0
β 
+ =  


Similarmente, para núcleos aceptores

−
1 −

β
0 = 


donde  es el nivel de energía aceptor y  el factor de degeneración de aceptor.
0
 −  ≈

2

  4
 32 2 02 ℏ2
CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS.

Un semiconductor uniforme en un campo eléctrico cero debe ser neutral ya que la
carga eléctrica más un campo eléctrico. La posición del nivel de Fermi puede
encontrarse de condición de neutralidad.


+ +
−
−
−=0
+ concentración de donadores ionizados
− concentración de aceptores ionizados
Cuando el semiconductor es dopado solamente por donadores − = 0 tenemos
 =  + +

Ahora encontramos la concentración de electrones (n indica tipo de conductibilidad)
 =

2
+ + 42 + +
Para los donadores ionizados superficiales + ≈  así que:
 ≈

1
2
1
2
2 + 42 + 
La concentración de huecos en un material tipo n es:
2
 =


En la mayoría de los casos en los semiconductores tipo n, + ≈  ≫  así que
 ≈ 
 ≈
2

 ≈  − β  ln



Para un semiconductor tipo P, la condición de carga neutral es:
 =  + −


Cuando − ≈ 
1
 =
2
− 2 + 42 + −
1
 ≈
2
2 + 42 + 
Cuando− ≈  ≫ 
 ≈ 
 ≈
2


 ≈  + β  ln

(Valido solo para semiconductores no degenerados)

Cuando ambos donadores y aceptores están presentes en un semiconductor se dice
que esta compensado.
En un semiconductor compensado, el tipo de conductividad (p o n) es determinada por
la gran concentración de impurezas.


Si ,  >  la densidad efectiva donador es
 =  − 

Si  > 

 =  − 
-
-
+
+
Electrones en la
banda de conducción
+
+

+
+
+


-
-
-
-
+
+
 < 
 > 

+
-

-
-
-
Huecos en la
banda de valencia
-
-
+
+
Si las impurezas están totalmente ionizadas podemos usar la ecuación  y  para
concentración de portadores de n y p si sustituimos  por  y  por 
La razón de compensación se define como:

,

=

,

 < 
 > 
 ≈ 0.05 o más grande
Ejemplo

El silicio es dopado con átomos de fósforo (concentración 1016 átomos/cm−3 ) y átomos
de Boro (5x1016 átomos/cm−3 )
Calcule la concentración de electrones y huecos en este material a 600 K
 = 1x1016 cm−3 (Fósforo → )
 = 5x1016 cm−3 (Boro → )
Como se puede ver, dado que el Boro es un aceptor, el material es tipo P.
La concentración efectiva de aceptores es: 5x1016 − 1x1016 = 4x1016 cm−3
Ya que a 600 K todos los aceptores están ionizados  ≈ 4x1016 cm−3
La concentración de electrones (lo que se nos pide) se calcula de  =
conocer 
A 300 K, β  = 0.02584 eV, por tanto
 =

1 − 
  2  2β 
Necesitamos conocer  y 
2

, sólo nos falta
•
Por tanto
 = 2
  β 
2ℏ2
3
2
  β 
 = 2
2ℏ2
3
2
• De diapositivas anteriores tenemos
 = 0.3
 = 0.6
Donde  es la masa del electrón libre, por tanto
 = 2.04x1057
 = 5.76x1057
Aplicando la fórmula  = 1.1 eV
 =

1 − 
  2  2β 
=
2.04x1057
5.76x1057
1
2
1.1
−
 2(0.02584)
≈ 1010 cm−3
Debemos aplicar una regla de tres puesto que como el problema nos pide para T=600 K no
conocemos  y  por tanto
 =
1010
600
300
3
2
1.1
1.1
−
 2(0.02584)  2(0.05168)
≈ 1.3x1015 cm−3
2
1.3x1015
=
=

4x1016
2
≈ 4.23x1013 cm−3
MOVILIDAD DE ELECTRONES Y HUECOS Y VELOCIDADES DE ARRASTRE.




Los electrones y huecos (en la banda de conducción y banda de valencia) son capaces
de moverse en un semiconductor.
Ellos portan la unidad de carga elemental  = 1.602x10−19 C son llamados
fundamentalmente portadores de carga o portadores libres. En ausencia de campo
eléctrico los portadores de carga experimentan movimiento término aleatorio caótico.
La energía cinética promedio por movimiento térmico por electrón es
La velocidad térmica del electrón es:
2
 ℎ
2


3
 
2 β
3
= β 
2
→ ℎ
3β 
=

1
2
ℎ
3β 
=

1
2
Aunque tienen velocidad el promedio de movimiento es cero.
La velocidad de arrastre de un electrón  causada por un campo eléctrico, se
sobrepone a este movimiento térmico caótico.

De la segunda ley de Newton



= −

un electrón en un campo eléctrico
En un semiconductor se sustituye la masa efectiva


= −


Pero hay colisiones causadas por vibraciones de átomos cercanos, impurezas
imperfecciones del cristal



= − − 




 →   
 → tiempo de relajación del momento del electrón
Para campos eléctricos bajos  es independiente de 
Se define al camino libre promedio como el camino que recorre el electrón antes de
chocar con otros núcleos o electrones
 = ℎ 
 ~ 10−12  10−14 

e
A bajas frecuencias ω ≪
1

y por tanto
 ~ 1500 Å   = 300 K


≈ 0 por lo que


 = −
→  = −
 =  



Donde hemos definido  , la movilidad del electrón. (El signo negativo indica el
sentido opuesto al campo eléctrico
 =
Ejemplo



La movilidad del electrón en el GaAs a T= 77 K y T= 300 K es igual a
cm2
9,000

cm2
300,000

y
respectivamente. La masa efectiva del electrón ( ) es 0.067  . Encuentre
el camino promedio libre a esas temperaturas.
Solución
 =
 

 = ℎ 
3β 
=

 77 K = 3 ⋅
1
2



8.6133x10−5
= 3β 
⋅ 77 ⋅ 0.067
1
2


9.11x10−28
1
2
 300 K = 3 ⋅ 8.6133x10−5 ⋅ 300 ⋅ 0.067 9.11x10−28
300,000
= 2.67
1.602x10−19
1
300,000
2
= 1,570 Å
1.602x10−19

La densidad de corriente del electrón está dada por
j = − =  

El tiempo de relajación del momento está dado aproximadamente por
1
1
1
1
≈
+
+
+⋯
   
De donde
 = dispersión impurezas ionizadas
 = dispersión impurezas neutrales
 = dispersión vibraciones de red



Similarmente ocurre para huecos.
Ya que a bajos campos eléctricos  y  son independientes del campo eléctrico, la
velocidad de arrastre del electrón  es proporcional al campo eléctrico.
Para altos campos eléctricos, cuando los electrones ganan una energía considerable
del campo eléctrico,  y en ciertos casos  son funciones fuertemente ligadas a la
energía del electrón, por ende, al campo eléctrico. Para este caso la ecuación de
balance de energía queda

 − 0
= −  ⋅  −





 y  son funciones de 
3
Aquí  es la energía del electrón y 0 = β 0 es la energía del electrón bajo
2
equilibrio térmico, 0 es la temperatura del semiconductor y  es el tiempo de
relajación efectiva (10−11 a 10−13 s)

= 0 →  = 0 +   ⋅ 

2 
 = 0 +
  ⋅ 
3 β 



3
2
Se introduce el término temperatura del electrón tal que  = β n
Para campos eléctricos grandes  ≫ 0 . En este caso los electrones son llamados
electrones calientes
Los electrones calientes transfieren energía como vibraciones térmicas a la red
cristalina, tales vibraciones pueden moldearse como oscilaciones armónicas con una
cierta frecuencia.
El electrón es acelerado en el campo eléctrico hasta que gana suficiente energía para
excitar a la red
 2
=  − 0 ≈ ℏ
2


Donde   es la máxima velocidad de arrastre del electrón. Entonces ocurre el
proceso de dispersión y los electrones pierden todo el exceso de energía y toda la
velocidad de arrastre
El promedio de la velocidad de arrastre  =
campo eléctrico
 ≈
 
2
es entonces independiente del
ℏ
= 
2
Donde  es llamada velocidad de saturación del electrón  ≈ 105
de arrastre es casi constante para campos eléctricos altos
m
s
Así la velocidad
En algunos semiconductores vemos que

 =
< 0 →  ↑,  ↓

Excepto en el Si.
Velocidad del electrón vs hueco en Si
La velocidad de huecos es considerablemente menor que la
velocidad del electrón en casi todos los semiconductores
Fórmulas de velocidades de huecos y electrones
 
 =
 
1 + 

 =
2
 
 
1+ 

Fórmulas de movilidades de huecos y electrones
 =  +





= 88
300
−0.57

= 54
300
−0.57
2

2

 −2.33 2
= 1250
300

 −2.33 2
= 407
300



1+

 =  +

1.26x1017

300
2.4
 = 2.35x1017

300
2.4
 =

 = 0.88
300
 =

−3
−3
−0.146
2.4x107
1+


1+


600
0.8


 =  + 
DIFUSIÓN
 El proceso de difusión está relacionado con el movimiento térmico aleatorio.


Para ilustrarlo usamos un modelo unidimensional simple que supone que los
portadores deben moverse aleatoriamente de izquierda a derecha, con igual
probabilidad.
Consideremos las regiones adyacentes de longitud  , donde  = ℎ  es el
camino libre medio en la dirección x y  es la componente x de la velocidad térmica
de  . Supongamos que la región izquierda tiene más electrones que la derecha. En
promedio la mitad de los electrones se moverá de izquierda a derecha y viceversa y
entonces el flujo neto de difusión el cual tiende a igualar la concentración de
electrones en las dos regiones
Concentración

Concentración
ℎ
Proceso de difusión

La densidad de corriente de difusión (fluyendo de izquierda a derecha) puede
calcularse como

  − ℎ
 ℎ − 
 Δ
=−
=
=

2
2
DondeΔ = ℎ − 

 
=
2
ℎ
 ℎ
=
2
Son los números de electrones que cruzan la frontera entre regiones en direcciones
opuestas.

Si  es pequeña comparada con una distancia característica de la variación de la
concentración de electrones () entonces
Δ = 2


 
Obtenemos

 2

=
= 
 

Donde el coeficiente de difusión es
2 2

2

2
 =
=
= 



Ya que
2
2
2
2
  ℎ
ℎ
 ℎ
 ℎ
 3
=
+
+
= β 
2
2
2
2
2
2
ℎ
β 
=

De donde obtenemos
2
 = ℎ
 =

La movilidad a campos bajos , está dada por

 =

β 


Y
 =
β 

(Relación de Einstein)
Ejemplo: Las movilidades de electrones y huecos en Si a temperatura ambiente (T=300 K)
son 1000
2

y 300
y huecos.
Solución
T=300 K
β 
= 0.02584 eV


2

respectivamente. Calcule los coeficientes de difusión de electrones
β 
2
 =
= 0.02584 ∗ 1000 ≈ 25.8


β 
2
 =
= 0.02584 ∗ 300 ≈ 7.75


Bajo condiciones de equilibrio (j=0) un dopamiento no uniforme deja un campo
eléctrico
β  

 
 = −
→
=−
 

β  
 → Campo eléctrico Built-in (se aplica en Transitores BJT

Ejemplo: La concentración de electrones en un dispositivo de longitud 1 μm varía
linealmente con la distancia desde 1016 cm−3 a 1.1x1017 cm−3 . Grafica el campo
eléctrico built-in como una función de la distancia a T= 300 K
Solución

Para un perfil lineal  = 0 + ∆ y el campo eléctrico built-in está dado por

β  
β 
1
kV
 = −
=−
= −0.258

0
 
0.1 +  μm cm
∆ +  
El signo negativo indica que el campo va en dirección negativa de x
Distancia (μm)
Ecuaciones Básicas de Semiconductor
Modelo Difusión-Arrastre
 El máximo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia
corresponden a energías potenciales de electrones y huecos respectivamente
 = − + 
 = − −  + 

Cuando un campo eléctrico es aplicado a un semiconductor, las bandas se «inclinan»
y los electrones y huecos se mueven en direcciones opuestas creando una corriente
eléctrica.
E
n
e
r
g
í
a

-
electrón
+
hueco
Distancia

En un campo eléctrico bajo, la conductividad de densidad de corriente para
electrones y huecos están dados por la suma de la densidad de corriente de arrastre
(αE) y la densidad de corriente de difusión (αn)
 =    +  
 =    −  

En un semiconductor  = 0,  = 0 y estas ecuaciones se reducen a
 =   =  
 =   =  

Así que la densidad de corriente total es
 = 
Donde  =  + 

La corriente eléctrica I está dada por
=
Donde
R= resistencia
S= sección de cruce
L= Longitud
U= voltaje aplicado


 =



=




Para campos eléctricos grandes, los portadores adquieren energía del campo
eléctrico y la energía del portador es más grande que la energía térmica promedio
3
 . Como una consecuencia, la velocidad de los electrones y los huecos no son
2 β
proporcionalmente grandes al campo eléctrico cuando éste es alto.
Los coeficientes de difusión dependen de .
Ya que las velocidades de arrastre del electrón y el hueco dependen de , las
siguientes ecuaciones fenomenológicas son frecuentemente usadas para modelar un
dispositivo semiconductor.
 =  −  +   
 =    −   
Ecuaciones Difusión − Arrastre
Modelo Difusión − Arrastre
Donde   ,   ,   ,   se suponen que son las mismas funciones del campo
eléctrico como las obtenidas por condiciones de estado estable.


Este modelo de difusión y arrastre no describe lo que ocurre realmente . Es un modelo
burdo.
El campo eléctrico en si mismo depende de la distribución de cargas en el
semiconductor (llamado espacio de carga). La dependencia del campo eléctrico en la
densidad del espacio de carga  está descrita por la ecuación de Poisson
⋅ =
Donde


 =  + − − −  +  +   − 
 y  son las densidades de carga de cualquier otra impureza cargada que esté
presente en el semiconductor. Frecuentemente esas impurezas son despreciadas así que
 ≈  + − − −  + 

Para un semiconductor uniforme bajo condiciones de equilibrio térmico las relaciones
son sencillas.
≈


+
−
−
2
≈

  
Pero los semiconductores rara vez son uniformes y usualmente operan bajo
condiciones de no equilibrio.
Razón de Generación (G).- Este proceso describe el fenómeno que ocurre cuando un
fotón absorbido promueve un electrón de la banda de valencia hacia la banda de
conducción, creando en ambas un electrón un la banda de conducción y un hueco en
la banda de valencia (par electrón-hueco). Esta razón es igual a la concentración de
pares electrón-hueco producidos en 1 segundo .


Razón de recombinación (R).- Cuando un electrón de la banda de conducción cae
hacia un espacio vacante en la banda de valencia , los pares electrón-hueco son
destruidos. A este proceso se le llama Recombinación R que es igual a la
concentración de pares electrón-hueco recombinados en 1 segundo.
En un semiconductor uniforme
 
=
=−
 


En estado estacionario
=
La razón de recombinación es
=
 − 

Donde  es la concentración de portadores minoritarios (huecos) en un semiconductor
tipo n,  es la concentración de huecos en equilibrio y  es el tiempo de
recombinación o tiempo de vida de un hueco
 =  + 

Para un semiconductor no uniforme
 1
=  ⋅  +  − 
 
 1
=  ⋅  +  − 
 
Ecuaciones de continuidad
-
-
Estado
estacionario

-
-
-
-
-
-
Volumen incrementado
dos  − recombinados
4  − dejaron la
b de valencia
Note que en un semiconductor no uniforme, el exceso de concentración de electrones
o huecos debe existir aún cuando la razón de generación sea cero, los portadores
adicionales vienen de fuera (por ejemplo, los contactos)
Ejemplo
Encuentre el perfil de campo eléctrico en un semiconductor tipo P con una movilidad de
cm2
huecos μ = 100
y una concentración de huecos p0 = 1015 cm−3 con una densidad de
Vs
A
corriente j = 1 2 . La región tipo P es cercana a una región altamente dopada (con pb =
cm

1
= −  ⋅ Jp + G − R


1
1 dj
0 = −  ⋅ Jp → 0 = −

 dx
pero j = qpμp E
p = 0, n = 0
d
Así que
qpμp E = 0
dx
qpμp E = 
Tenemos 2 incógnitas  yE, pero la ecuación de Poisson dice

⋅ =

  =   − 0 [ ]
E   − 0
=



Sustiyendo  = qpμ
p
E 

=
− 0
  qpμp 
Introduciendo un campo adimensional  =
0 =
Ec. Diferencial con C. I E 0 =

0
qμp Pp
y coordenadas adimensionales  =

 0
y 0 =
qμ0 P0
qP0
 1 − 
=



 
= 
1−

0
Integrando
1−
 −  − ln
=
1 − 
 0
 =
0
Para valores dados de parámetros
V
0 = 6242 , x0 = 9x10−9 m
m
El perfil del campo queda
Campo eléctrico
V
cm
60
40
20
10
20
Distancia (nm)
Ejemplo
La razón de generación G, en un semiconductor tipo n es uniforme e igual a 1020 cm−3 s−1 .
El semiconductor es dopado con donadores superficiales con concentración  =
1015 cm−3 . El tiempo de vida de un hueco es de 1μs.
¿Cuál es la concentración de electrones en el estado estable?
Solución
Los electrones y los huecos son generados en pares, el exceso de concentración de
electrones y huecos ∆n y ∆p son iguales .
De la ecuación
 =  + 
∆p =  = 1020 x 10−6 = 1014 cm−3
Suponiendo que todos los donadores superficiales están ionizados tenemos
 =  + ∆n = 1.1x1015 cm−3
Semiconductor Cuasi neutral


Cuando los electrones y huecos son generados en pares en un semiconductor
uniforme, el semiconductor permanece neutral o cuasi neutral. Un ejemplo sería una
pieza de semiconductor tipo n donde los portadores extras son generados por luz.
Esta situación ocurre en un diodo semiconductor, en un transistor unión bipolar, en
una celda solar y en otros dispositivos.
Aplicamos la ecuación básica de un semiconductor a un semiconductor cuasi neutral.
Por simplicidad, consideremos una situación de estado estable.
1 
+G−R=0
 
1 
+G−R=0
 
Sustituyendo en la ecuación para densidad de corriente
 2 



+
μ

+
μ

+− =0

 
 2


 2 



− μ 
− μ 
+− =0
 2



Bajo la suposición que el semiconductor es un cuasi metal tenemos
 − 0 ≈  − 0

Ya que


≈


y
 2 

≈
2 

las ecuaciones se simplifican
 2 


− μ 
+− =0
 2


Donde
μ  D + μ  D
 =
μ  + μ 
μ =

μ μ ( −  )
μ  + μ 
Coeficiente de Difusión ambipolar
Movilidad ambipolar
Cuando  ≫  ,  ≈  , μ ≈ μ
 2 


−
μ

+− =0

 2

Ecuación de Continuidad para portadores minoritarios
huecos en una muestra tipo n bajo condiciones de estado
estable y cuasi neutral
Densidades de desplazamiento y corriente total

Las ecuaciones de continuidad dan paso a una útil ecuación para semiconductor


 −  +  ⋅  +  = 0

De ρ =  + − − −  + 



ρ
− =


Derivando la ecuación de Poisson con respecto al tiempo encontramos
 ⋅
ρ
= 



Integrando sobre el espacio, obtenemos

  =  +  + 




Densidad total de corriente
Densidad de desplazamiento de corriente

La corriente total es la integral de la densidad de corriente sobre una sección
transversal de la muestra
=
 


Para una muestra con sección transversal constante S y una densidad de corriente
uniforme obtenemos
I = jS

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