اعداد صحیح و گویا

Report
‫اعداد گوای و حصیح‬
‫اعداد گویا‬
‫اعداد صحیح‬
‫اعداد گوای‬
‫عدد گوای چیست؟‬
‫عدد گوای چیست؟‬
‫‪ ‬گوای صفت فاعیل از مصدر گفنت می ابشد و در راییض هر عدد کرسی ای هر عددی که بتوان آن را به‬
‫شلک یک کرس نوشت را یک عدد گوای می انممی‪ .‬مانند ‪ -25/0 ،- 2/3، +3 ، 0 ، -2‬که به ترتیب به شلک‬
‫کرسهای می توان نوشت‪.‬‬
‫‪ ‬به طور لکی هر عددی که بتوان آن را به صورت کرس نوشت‪ ،‬به طوری که صورت و خمرج آن متعلق به‬
‫اعداد حصیح ابش ند و خمرج آن خمالف صفر ابشد یک عدد گوای می گویند‪.‬‬
‫‪ ‬مجموعه اعداد گوای را اب حرف ‪Q‬حرف اول لکمه ی ‪Quotient‬به معین «خارج قسمت» منایش می دهند‬
‫اعداد گوای‬
‫• اعداد گوای حاصل تقس می دو عدد حصیح بر یکدیگرست‪ ،‬به رشطی که عدد ّدوم (مقسوم علیه) صفر نباشد‪ .‬به بیان دیگر‪،‬‬
‫هر عدد گوای را میتوان به شلک ‪a/b‬ای نوشت (که ‪a‬و ‪b‬اعداد حصیحاند)‪.‬‬
‫• در رایضیات‪ ،‬مجموعه اعداد گوای را‪ ،‬معوم ًا‪ ،‬اب منایش میدهند‪ .‬به عنوان مجموعهای شامرا (ای قابل شامرش)‪ ،‬ویل انمتناهی‪،‬‬
‫مجموع ٔه اعداد گوای‪ ،‬خود‪ ،‬زیرمجموعهایست چگال از مجموع ٔه بزرگتر و معومیتر اعداد حقیقی‪.‬‬
‫• به عنوان یک اشتباه نسبت ًا راجئ‪ ،‬گاهی اعداد کرسی را اب اعداد گوای یکی میدانند‪ .‬این در حایلست که‪ ،‬اعداد گوای فقط‬
‫کرسهایی هستند که از تقس می دو عدد حصیح حاصلآمده ابشد‪ .‬به عنوان منونه‪ ،‬نسبت کرس هست‪ ،‬ویل‪ ،‬گوای نیست‪.‬‬
:
.
.
:
:
.
.
.
.
2-
.
:
)
(
.
3-
4-
.
x
:
.
5-
.
x
:
:
.
7-
.
:
.
8-
‫ج‬
‫ج‬
‫ت ت ی عق‬
‫نک‬
‫کلی ی ت ن ج‬
‫‬‫ ال ت ‪+‬‬‫‪.‬‬
‫‪ -‬کس‬
‫ کس‬‫ست‪.‬‬
‫ک ص ت‬
‫‪ -‬کس‬
‫ک ص ت‬
‫ ج‬‫ت م‬‫هست ‪.‬‬
‫ز گ ز‬
‫طقی آن ه‬
‫کس‬
‫فی فت ی ش ک خ ج صف‬
‫ت‬
‫کس‬
‫پشت خط کس‬
‫پشت ص ت پشت خ ج‬
‫یت‬
‫خ ج‬
‫صف‬
‫خ ج‬
‫ط عی‬
‫ش‬
‫ی ش ک خ ش ن کس‬
‫ک ‪.‬پس‬
‫کس تع فی ت‬
‫ص ت ز ن ضی شت‪:‬‬
‫حس ی‬
‫خل ط‬
‫کس‬
‫ش ه ن صف ست‬
‫ش‬
‫صف‬
‫صح ح ه گی ز‬
‫ت‬
‫ضی‬
‫ط‬
‫ش‪.‬‬
‫تعلق‬
‫ع ن تع ف ش ه ست‪.‬‬
‫ج‬
‫ک ه‬
‫ش‬
‫هست ‪.‬‬
‫ک‬
‫ه گی‬
‫اعداد گنگ‬
‫• ‪-‬در ریاضیات اگر عددی گویا نباشد یعنی نمی توان ان را به صورت یک کسر معنادار نوشت که‬
‫در این صورت به انها اعداد گنگ یا اصم گ فته می شود‪ .‬اعداد گنگ یا اصم یا متناوب اعدادی‬
‫هستند که به هیچ وجه به یک عدد کسری معنادار تبدیل نمی شوند چرا که این اعداد پایان و‬
‫انتهای ی ندارند و همواره در حال تولید و تکرار اعداد می باشند پس نمی توانند در یک جا به‬
‫صورت کسری نوشته شوند!‬
‫اعداد حصیح‬
‫ح‬
‫اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به انها اضافه شده است‪ .‬به عبارت دیگر به مج ٔ‬
‫موعه اعداد زیر ‪،‬‬
‫اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و ان را با ‪Z‬نمایش میدهند‪:‬‬
‫{ ‪Z = }... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...‬‬
‫درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است‪ .‬این اعداد همانند اعداد‬
‫طبیعی جزء مجموعههای شمارش پذیر نامتناهی است‪ .‬شاخهای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگیهای اعداد‬
‫صحیح میپردازدنظریه اعداد نام دارد‪.‬‬
‫صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است‪،‬یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح‪ ،‬یک‬
‫عدد صحیح است‪ .‬و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر میباشند بنابراین بر خالف اعداد طبیعی نسبت به‬
‫عمل تفریق نیز بسته اند‪.‬ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد‪،‬پس‬
‫نمیتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد‪.‬‬
‫• اعداد صحیح به مجموعه? اعداد طبیعی مثبت‪ ،‬اعداد طبیعی منفی‪ ،‬و عدد صفر گفته می‌شود‪ .‬در ریاضی‌ات‪،‬‬
‫ً‬
‫معموال این مجموعه را با ‪Z‬یا (ابتدای کلمه آملانی ‪Zahlen‬به معنی اعداد) نشان می‌دهند‪ .‬همانند مجموعه?‬
‫اعداد طبیعی‪ ،‬مجموعه? اعداد صحیح نیز یک مجموعه? شمارای نامتناهی‌ست‪.‬‬
‫• شاخه‌ای‌ از ریاضیات که به مطالعه? اعداد صحیح می‌پردازد‪ ،‬نظریه? اعداد نام دارد‪.‬‬
‫خواص جربی‬
‫• هامنند اعداد طبیعی‪Z ،‬نزی نسبت به دو معل مجع و رضب بس ته است‪ .‬این بدان معناست که حاصل مجع و حاصل رضب دو عدد حصیح‪ ،‬خود‪ ،‬یک عدد‬
‫حصیح است‪ .‬بر خالف مجموعه? اعداد طبیعی‪ ،‬از آجنا که اعداد حصیح منفی‪ ،‬و به ویژه‪ ،‬عدد صفر مه به ‪Z‬تعلق دارند‪ ،‬این مجموعه‪ ،‬نسبت به معل تفریق نزی‬
‫بس ته است‪ .‬اما ‪Z‬حتت معل تقس می بس ته نیست‪ ،‬زیرا خارج قسمت تقس می دو عدد حصیح‪ ،‬لزوما عددی حصیح خنواهد بود‪.‬‬
‫• بریخ از خو ّاص اسایس مربوط به معل ّیات مجع و رضب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا ‪ ،a،b‬و ‪c‬اعداد حصیح دلخواه هستند‬
‫مجع رضب‬
‫• بس ته بودن‪a + b :‬یک عدد حصیح است ‪a × b‬یک عدد حصیح است‬
‫رشکت پذیری‪a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c :‬‬
‫تعویض پذیری‪a + b = b + a a × b = b × a :‬‬
‫وجود یک عنرص واحد‪a + 0 = a a × 1 = a :‬‬
‫وجود یک عنرص عکس‪a + (?a) = 0 :‬‬
‫توزیع پذیری‪a × (b + c) = (a × b) + (a × c) :‬‬
‫نداشنت مقسوم علیههای صفر‪ :‬اگر ‪ ،ab = 0‬آنگاه ‪a = 0‬ای ‪b = 0‬‬
‫• مطابق ابال‪ ،‬خو ّاص بس ته بودن‪ ،‬رشکت پذیری و جابه جایی (ای تعویض پذیری) نسبت به هر دو معل رضب و مجع‪ ،‬وجود عضو هامین (واحد‪،‬‬
‫ای ی ّکه) نسبت به مجع و رضب‪ ،‬وجود عضو معکوس فقط نسبت به معل مجع‪ ،‬و خاصیّت توزیع پذیری رضب نسبت به مجع از امهیت‬
‫برخوردارند‪.‬‬
‫• در مبحث جرب جمرد‪ ،‬پنج خاصیّت ّاول در مورد مجع‪ ،‬نشان میدهد که مجموعه? ‪Z‬به‬
‫مهراه معل مجع یک گروه آبیل است‪ .‬ا ّما‪ ،‬از آن جا که نسبت ‪Z‬به رضب عضو وارون‬
‫(ای معکوس) ندارد‪ ،‬مجموعه? اعداد حصیح‪ ،‬به مهراه معل رضب‪ ،‬گروه منیسازد‪.‬‬
‫• مجموعه? ویژگهیای ذکر شده حایک از این است که ‪ ،‬به مهراه معل ّیات رضب و مجع‪ ،‬یک‬
‫حلقه است‪ ،‬ا ّما‪ ،‬به دلیل نداشنت وارون رضیب‪ ،‬میدان نیست‪ .‬مجموعه? اعداد گوای را‬
‫ابید کوچکترین میداین دانست که اعداد حصیح را در بر میگرید‪.‬‬
‫• اگرچه تقس می معمویل در اعداد حصیح تعریف شده نیست‪ ،‬خاصیّت هم ّمی در مورد تقس می وجود دارد که به‬
‫الگوریمت تقس می مشهور است‪ .‬یعین به ازاء هر دو عدد حصیح و دلخواه ‪a‬و ‪b) b‬خمالف صفر)‪q ،‬و ‪r‬‬
‫منحرص به فردی متعلق به مجموعه اعداد حصیح وجود دارد‪ ،‬به طوریکه‪a = q.b + r :‬که در این جا‪q ،‬‬
‫خارج قسمت و ‪r‬ابقامینده تقس می ‪a‬بر ‪b‬است‪ .‬این اکر اساس الگوریمت اقلیدس برای حماس به بزرگترین‬
‫مقسوم علیه مشرتک را تشکیل میدهد‪.‬‬
‫• مجع اعداد حصیح‪:‬در مجع اعداد حصیح ابتدا به عالمت اعداد حصیح نگاه می کنمی در این صورت سه حالت پیش میآید‬
‫عالمت هردو عدد ‪+‬ابشد‪ :‬در این صورت دو عدد را مجع و سپس عالمت‪+‬را می گذارمی‪.‬‬
‫•‬
‫عالمت هردو عدد ـ ابشد‪ :‬در این صورت دو عدد را مجع و سپس عالمت ـ را می گذارمی‪.‬‬
‫•‬
‫عالمت یکی ‪ +‬ودیگری ـ ابشد‪:‬در این صورت دو عدد را از مه تفریق کرده و عالمت عدد‬
‫•‬
‫بزرگرت را میگذارمی‪.‬‬
‫• تفریق‪:‬در تفریق اعداد حصیح ابتدا ابید به عالمت دقت کنید ویل بعد معل خمترص کردن را اجنام دهید‪.........‬‬
‫• خمترص کردن‪:‬برداشنت پارانزت ها و عالمت های اضایف را خمترص کردن می گویند‪.‬برای هبرت فهمیدن خمترص‬
‫کردن ابید مجالت زیر را به خویب درک کنید زیرا در رضب و تقس می اعداد حصیح و گوای و بس یاری چزی های دیگر نزی به درد خبور است‪.‬‬
‫مثبت در مثبت=مثبت‬
‫• منفی در منفی = مثبت‬
‫• منفی در مثبت = منفی‬
‫مثبت در منفی=منفی‬
‫تقس می اعداد حصیح‪:‬‬
‫• در تقس می اعداد حصیح مه ابتدا به عالمت دو عدد نگاه می کنمی و سپس دو عدد را اب مه تقس می می کنمی اگر دو عدد‬
‫در مه تقس می شدند که هیچ ویل اگر نشدند ات جایی که ایدمه ابید عدد اول رو در صورت کرسی بنویس می و عدد‬
‫دوم را در خمرج آن کرس قرار دهمی و بعد عالمت کرس رو در مست چپ بذارمی‪.‬‬

similar documents