概括平差模型

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误差理论与测量平差基础
第9章 概括平差函数模型
主讲:王华
1
上次课程主要内容回顾
• 函数模型
V  B xˆ  l
n1
nu u1
其中, l  L  F(X 0 ),
n1
C xˆ  Wx  0
su u1
• 随机模型
Wx  (X 0 )
s1
D   02 Q   02 P 1
nn
nn
• 法方程
 N BB

 C
C T   xˆ   W 
0
   

0  K s   Wx 
• 法方程的解
1
1
K S  NCC
CN BB
W  Wx


1
1 T
1
1 T
xˆ  ( N BB
 N BB
C Ncc1CN BB
)W  N BB
C Ncc1Wx
• 观测值和参数的平差值
Lˆ  L  V
Xˆ  X 0  xˆ
2
主要内容
• 基本平差方法的概括函数模型
• 附有限制条件的条件平差原理
• 精度评定
• 各种平差方法的共性与特性
3
1.基本平差方法的概括函数模型
4
一、一般条件方程和限制条件方程
ˆ ) 0
条 件 平 差 函 数 模 型 F(L
ˆ  F(Xˆ )
间接平差函数模型 L
附有参数的条件平差函
数模型
限制条件方程
(9-1-1)
(9-1-2)
ˆ ,X
ˆ ) 0
F(L
(Xˆ ) 0
(9-1-3)
(9-1-4)
一般条件方程:含有观测量或同时含有观测量和未知参数的方程(如前3式)
限制条件方程:仅含有未知参数而无观测量的方程(如最后一式)
观测方程:观测量为未知参数函数所列立的方程(如间接平差)
5
二、参数与平差方法
1. 条件平差:参数个数u=0,r=n-t,条件方程个数c=r+u=r。
2. 附有参数的条件平差:参数个数u,0<u<t,条件方程的个数c=r+u。
3. 间接平差:参数个数u=t,条件方程个数c=r+u=r+t=n。
4. 附有限制条件的间接平差:参数个数u,u>t,u个参数中有t个独立的
参数,有s个不独立的参数,方程个数c=r+u=n+s(r=n-t,u=t+s),即
可列n个观测方程,s个限制条件方程。
5. 独立参数的个数与一般条件方程总数
–
独立参数个数的取值范围:0≤u≤t;
–
方程总数:c=r+u ;
–
一般条件方程个数c的取值范围:r≤c≤n,当u=0时(独立参数的下限),应
列c=r 个一般条件方程(条件平差);当u=t时(独立参数的上限),应列
出c=n 个一般条件方程(间接平差)。
6
三、概括平差函数模型
1. 一般而言,对于任意一个平差问题,观测值的
个数是n,必要观测数是t,则多余观测数是r。
2. 若选用了u个参数,不论u<t、u=t或u>t,也不
论参数是否函数独立,每增加1个参数则相应地
多产生1个方程,故总共应列出r+u个方程。
3. 如果在u个参数中存在s个函数不独立的参数,
或者说,在这u个参数(包括u<t、 u=t或u>t的
情况,但是其中没有t个独立参数的情况)之间
存在s个函数关系式,则应列出s个参数的限制
条件方程和c=r+u-s个观测值和参数的一般条件
方程。
4. 因此,就形成了概括平差的函数模型:
~ ~
F(L, X)  0
c1 n1 u 1
c1
~
( X )  0
s1 u 1
s1
7
概括平差函数模型中一般条件方程与限制条件方程的个数的关系
一般条件方程的个数c与限制条件方程个数s之和等于多余观测数r与所选
参数个数u之和,即
c+s=r+u。
若不相等,则说明所列出的条件方程个数少于或多于应有个数。如果
c+s<r+u,说明少列了某些条件方程,平差后求得的结果无法使几何模型完全
闭合。如果c+s>r+u,说明所列的条件方程存在线性相关的情况,致使解求待
求参数困难。
附有限制条件的条件平差函数模型的自由度
r=c-u+s。
8
2.附有限制条件的条件平差原理
9
一、数学模型
A V  B xˆ  W  0
(9-2-1)
C xˆ  Wx  0
(9-2-2)
cn n1
cu u 1
su u1
式中
s1
c1
c1
s1
W  F ( L, X 0 ), Wx  ( X 0 )
(9-2-3)
且c=r+u-s,s>r,s<u,系数阵秩分别为
R(A)=c,R(B)=u,R(C)=s
即A为行满秩阵,B为列满秩阵,C为行满秩阵,(9-2-1)、(9-2-2)各式条件方
程相互独立。
随机模型
D   02Q   02 P 1
10
二、基础方程及其解
在附有限制条件的条件平差的函数模型中,待求量是n个观测值的改
正数和u个参数,而方程的个数是c+s,由于n+u>c+s,所以有无穷多组解。
为此,在无穷多组解中求出满足的一组解,应当按照求条件极值的方法组
成函数:
  V T PV  2 K T ( AV  Bxˆ  W )  2 K ST ( Cxˆ  Wx )
(9-2-5)
ˆ 求偏导数并令其等于零,得
将上式分别对V和 x

 2V T P  2 K T A  0
V

 2 K T B  2 K ST C  0
xˆ
转置后得:
PV  A K  0
(9-2-6)
B K C KS  0
(9-2-7)
T
nn n1
nc
T
uc
c1
n1
T
c1
us
s1
u1
11
1、附有限制条件的条件平差的基础方程:
A V  B xˆ  W  0
c n n1
c u u1
c1
c1
(9-2-1)
C xˆ  W x  0
(9-2-2)
PV  A K  0
(9-2-6)
B K C KS  0
(9-2-7)
s u u1
s 1
s 1
T
nn n1
nc
T
uc
c1
n1
T
c1
us
s1
u1
此时,方程总数为c+s+n+u个,待求量为n个改正数,u个参数,c个对应于
一般条件方程的联系数,s个对应于限制条件的联系数,未知数的个数等于
方程的个数,故有唯一解。
2、附有限制条件的条件平差的求解过程:
由式 (9-2-6)求得改正数方程:V  QAT K
(9-2-8)
将(9-2-8)代入式 (9-2-1) ,并顾及 N aa  AQAT ,则有
法方程:
 N aa K  Bxˆ  W  0

T
T
 B K  C KS  0

Cxˆ  W x  0

(9-2-10)
12
 N aa K  Bxˆ  W  0
法方程: 
T
T
 B K  C KS  0

Cxˆ  W x  0

1
1
以 N aa 左乘法方程中的第一式,得 K   N aa ( W  Bxˆ )
(9-2-11)
将K代入第二式,得
若令
1
1
BT N aa
Bxˆ  C T K S  BT N aa
W 0
(9-2-12)
1
N bb  B T N aa
B
(9-2-13)
We  B T N aa-1W
u1
uu
(9-2-14)
T
N bb xˆ  C K S  We  0
则有
uu
u1
us
s1
u1

1
ˆ  N bb
x
C T K S  We
解得

(9-2-15)
1
T
将 xˆ  N bb C K S  We  代入式法方程第三式得
1 T
1
CN bb
C K S  CN bb
We  Wx  0
令
则有
(9-2-16)
N cc  CN bb1 C T
s s
1
N cc K S  C N bb
We  W x  0
ss
s1
su
uu
u1
(9-2-18)
s1
13
1
N bb
We  W x  0 ,得
解式 N cc K S  C
su
ss
s1
uu

u1
s1
1
K S   N cc1 W x  CN bb
We

(9-2-19)
将Ks 代入式 xˆ  N bb1 C T K S  We  ,整理得
 

1
xˆ  N bb1 C T  N cc
( Wx  CN bb1We )  We
 ( N
1
bb
1
bb
1
cc
1
bb

1
bb
1
cc
 N C N CN ) We  N C N Wx
T
1
aa
进一步求得 V  QA K  QA N ( W  Bxˆ )
T
T
T
(9-2-20)
(9-2-21)
Xˆ  X 0  xˆ
(9-2-22)
ˆ  L V
L
(9-2-23)
14
3.精度评定
15
一、单位权方差的估计公式
V T PV
V T PV
ˆ 

r
cu s
(9-3-1)
2
0
VT PV的计算:
据
1
V  QAT K  QAT N aa
( W  Bxˆ )
V T PV  V T PQAT K  ( AV )T K   [ AQAT N aa1 ( W  Bxˆ )] T K
 ( Bxˆ  W )T K  W T K  xˆ T B T K
再据 Buc Kc1  Cus
上式,得
T
T
KS  0
s1
u1
,sCu uxˆ1 W x  s01
s 1
将BT K=-CT KS和 xˆ T  W T (C 1 )T 代入
x
(9-3-2)
V T PV  W T K  W xT K S
再将
1
1
K   N aa
( W  Bxˆ ) 和 N bb  B T N aa
B
uu
V T PV  W T N aa1W  W T N aa1 Bxˆ  W xT K S
1
aa
 W N W  W xˆ  W xT K S
T
T
e
,Wu1e
 B T N aa-1W
代入上式,得
(9-3-3)
16
二、协因数阵的计算
1、向量的基本表达式
LL
W  AL  BX 0  A0  AL  W 0
1
1 T
1
1
1 T
ˆ  X0  x
ˆ  X 0  ( N bb
X
 N bb
C N cc1CN bb
)BT N aa
W  N bb
C N cc1Wx
K   N aa1W  N aa1 Bxˆ
1
K S   N cc1Wx  N cc1CN bb
We
We  BT N aa1W
V  QAT K
ˆ  L V
L
17
2、各基本量的协因数阵和互协因数阵
L
W
L
Q
T
QWL
W
AQ
Xˆ
K
 Q Xˆ Xˆ B T
N
1
aa
AQ
-QKKAQ
Xˆ
K
QTXˆ L
Naa
 QXˆ Xˆ B
Q
T
T
Xˆ W
1
cc
C N CN
-QKKNaa
T
QKL
N bb1  N bb1 
T
KS
T
QKW
Q KT
0
0
0
N aa1  N aa1 
BQ Xˆ Xˆ B N
KS
T
1
aa
B N AQ
V
Lˆ
 QVV
Q  QVV
1
cc
1
bb
N CN B
-QAT
T
0
0
BQ Xˆ Xˆ B T
1
 QA T N aa

BQ Xˆ Xˆ
Q KT
T
QVL
QLTˆ L
T
QVW
QLTˆ W
0
1
aa
QAQKK
0
T
QVK
SK
 N cc1 CN bb1 
B T N aa 1
QKK Naa
1
QAT N aa

SW
Lˆ
1
bb
T
N cc1 CN bb1
Q KT S L
V
N
T
QVK
S
1
cc
 QA T N aa1
1
bb
T
BN C N
0
1
cc
QLTˆ Xˆ
QLTˆ K
Q LTˆ K
S
QAT
QKK AQ
QLTˆ V
0
Q  QVV
18
4.各种平差方法的共性与特性
19
一、各种平差函数模型的相同点
1.
待求未知数个数多于方程个数,具有无穷多组解;
2.
为求得唯一解,都采用了最小二乘原理;
3.
对于同一个平差问题,无论采用何种函数模型,其平差结果(平差值及其精度)
相同。
二、当前采用较多的平差方法:间接平差法和附有限制条件的间接平差法
原因:
1. 误差方程形式统一,规律性强,便于计算机程序设计;
2. 所选参数往往是平差后所需的最后成果(平差元素:高程、坐标、观测值的平差
值(角度、方向值、边长等))
20
三、附有限制条件的条件平差函数模型与四种基本平差方法的关系
函数模型:
A V  B xˆ  W  0
(9-2-1)
C xˆ  W x  0
(9-2-2)
c n n1
c u u1
s u u1
s 1
c1
c1
s 1
1、当系数矩阵B=0,C=0时,函数模型为条件平差AV+W=0
V  B xˆ  W  0
2、当系数矩阵C=0时,函数模型为附有参数的条件平差 cA
 n n1 c u u1 c1
c1
3、当系数矩阵A=-I,C=0时,函数模型为间接平差
V  B xˆ  W
n1
c u u1
c1
4、当系数矩阵A=-I时,函数模型为附有限制条件间接平差
 V  B xˆ  W  0
n 1
c u u1
c1
c1
C xˆ  W x  0
s u u1
s 1
s 1
所有其他平差方法的函数模型都是附有限制条件的条件平差的特例,只
要将其系数矩阵A、B、C取“-I”或“0”即可,故将附有限制条件的条件平差称
之为概括平差的函数模型。
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