3.2

Report
3.4 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
z
z
y
y 
GalileiTransformation:




r
v
r
u



E

r
v 
A
r
S °

von einem
Stern

E

r
u
r
c
E1 WS14/15
v  v  u
r r
r
c  c  u
c
Licht

x  x  ut

Die Lichtgeschwindigkeit ist in
allen Bezugssystemen Konstant,
unabhängig von deren Relativgeschwindigkeit zur Lichtquelle
E1 WS14/15
Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider
g-Quanten, obwohl sich deren Quelle mit
nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt!
E1 WS14/15
Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit
E1 WS14/15
3.5 Lorentz-Transformation
Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0
S
z
y
O


x

E1 WS14/15
3.5 Lorentz-Transformation
Ergebnis vieler Experimente: c = c‘
Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0
S‘
z‘
S
z
r
r
r t   c  t
y
O

x
x  y  z c t
2
 O‘
v  v x 
2
2
2
2
2
2
2
A
r t   
c  t 

Linearer Ansatz: x  k  x - v  t 
y  y
x‘



2
x   y   z   c  t 
y‘


2



E1 WS14/15

z  z
t  a t - bx 
 k
2
x - 2 vxt  v t
2
2 2
k - b a c
2
2
2
2
 y  z  c a
2
2
x - 2 k v - ba c
2
2
2
 sein
Muss zu jedem Zeitpunkt identische
mit
=> Koeffizientenvergleich

x 
1- v
2
c
2
2
2
t - 2bxt  b x
2
2
xt  y  z
2
 a - k v
2
2
2 2 2
k - b a c  1 

2
2 2
k v - ba c 0  

2
2 2
2
a - k v c  1
x - vt
2
2
a k 

y  y 

E1 WS14/15

2
2
c
2
c t
2
2
1
1- v
bv c
z  z 
2
2
c
2
2
t 
t - vx c
1- v
2
2
c
2
mit g  1 - v
2
2
c
-1 2

LorentzTransformation
t  g t - vx c




2
2
2
2
2

ct
x

c
t
Invariant für s 
 
  - x 

Geschwindigkeit des
 A in S und S‘
Körpers
x  g  x  v t 
y  y 
x  g  x - vt 
y  y
z  z
2

z  z 
t  g t  v x  c
2

dx dy dz 
u   ,
,

dt dt dt 
d x  d y  d z 
u  
,
,

d t  d t  d t 
dx
 

d x  dt
v u 
x
u 



 g 
- v g 1  2 
x
 dt
 
d t  dt d t 
c 


d x 
E1 WS14/15

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten
für v II x
u x  v
ux 
u v
1  x2
c
ux - v
u x 
u v
1 - x2
c
dito
u 

y

u 

z

uy

u x v 
g 1 
- 2 

c 
uz
 vu x 
g 1 
- 2 

c 
uy 
uz 
E1 WS14/15
u 
y


v u 
x
g 1  2 

c 
u 
z


v u 
x
g 1  2 

c 
3.6 Spezielle Relativitätstheorie
Einsteins Postulate:
(1905, Annalen der Physik)
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt
für alle physikalischen Gesetze
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in
allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c,
unabhängig von der Bewegung des Beobachters
Poincare
E1 WS14/15
Lorentz
Zum Problem der Gleichzeitigkeit
Ruhendes System
t
tan  1  1 c
S


O

A
B
C
 


tA

tan   v


 

C


Für jeden Beobachter ist die
Gleichzeitigkeit zweier
Ereignisse an verschiedenen
Raumpunkten abhängig vom
verwendeten Bezugssystem
 E
t A
x 


x A
xA

x
=> geneigte x‘, t‘ Achsen

t 

tan   1 v
Wenn alle Inertialsysteme
äquivalent sind müssen im
bewegten System A‘ und C‘
den Blitz gleichzeitig sehen!
O‘ bewege sich mit v=vx
 
t


A B



A 1
x

x   x
C 1
t1

 
t   const
t2
C1 
1
A1
t1
ABC ruhen in S‘,
t bewegen sich also in S!
x
E1 WS14/15
Zur Transformation der Geschwindigkeiten
Punkt A bewege sich mit u bzgl O und u‘ bezgl. O‘
Der Beobachter in O misst
t 
t
ux 
A2
t2
t 2
t1

t
1




A1


x 2
x1

x 1 
x2
t 2 - t1
Der Beobachter in O‘ misst
x 

x 2 - x1
x

E1 WS14/15
u x 
x 2 - x 1
t 2 - t 1
 ux
=> Lorentztransformation
der Geschwindigkeiten
ct
Weltlinie

Gleichzeitigkeit
45 

tan   c /v


x
A B



Lichtblitz

Minkowski-Diagramme
(Raum-Zeit-Koordinaten)
(4er-Koordinaten)

ct 
ct
 
v=-vx

tan   c / v





v=vx




Weiters Intertialsystem S‘,
das sich mit v=vx relativ
zu S bewegt
c t (Weltline von O ' )


x 
g



tan  v / c
weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2
x
x 


=> g-= arctan (c/v) – arctan (v/c)
E1 WS14/15
ct
Minkowski-Diagramme
(Raum-Zeit-Koordinaten)
(4er-Koordinaten)
Weltlinie

Gleichzeitigkeit
45 


Lichtblitz



Nicht nur die Lagen, auch die
Skalen der Achsen sind in
S und S‘ verschieden!
tan   c /v
x
A B

Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich =>

 
ct

x - ct   1
2
2
A‘ B‘

AB

2
2
OBdA wählen wir s2=-1
t=0 => OA = 1
aber auch t‘=0 => OB = 1

O
2
zwischen Intertialsystemen
x 

2
s2 invariant bei der Transformation
c t 

s  ct  - x  c t  - x 
2
x
=> Skalen
verschieden!
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/
Zur Lorentz-Kontraktion der Längen
ct
ct 
L

Weltlinien

P  P P
t1  
t1
1
1
Längenmessung durch
gleichzeitiges festlegen
der beiden Koordinaten!
Gleichzeitigkeit
P 2
x 
2
L  P1 P2  x 2 - x 1

x 1
 



x 2
x1


x
x2

L

Lorentz-Transformation:



für


L  P1 P2   x 2  - x 1
x1  g 
x1 - vt 1  x 2   g  x 2 - vt 2 

t1  t 2
 x 2  - x1  g x 2 - x 1 
g 1
 L  g  L  L  L  weil

Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint
dem ruhenden Beobachter verkürzt


Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr
Spiegel
Uhr wird jetzt mit v bewegt
B
Für den Beobachter in S durchläuft
das Licht den Weg ABC

L
mit AN = NC = v ∆t/2
1 2
2 

  t 
2
AB  BC  2  L  v
 
 2  


Blitz -
C
lampe
A
Detektor
vt
N
Zeitnormal in S:

∆to=2L/c


 c   t 
  t 


2L
c
2
-v
2

1 2
aber im ruhenden System:  t  2 L c
Bewegte Uhren laufen
langsamer!
  t 

E1 WS14/15
t
1 - v
2
c
2

1 2
 g  t

Zum Myon-Zerfall
Lebensdauer ruhender Myonen ≈ 5
-

-
 
e     e
10-6 s
Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei
einer mittleren Lebensdauer der Bruchteil
dN/N = -dt/> N(t) = N0 e-t/


D1
h1
 h  h1 -h 2
-
 N (h 2 )  a  N (h1 )  e
-  t 
mit  t  ( h 1 - h 2 ) v
a<1 berücksichtigt den Verlust durch
Streuung an Luftmolekülen


Ausgiebige Messungen ergaben
≈ 45 10-6s

mit = g => g= 9 => v = 0.994 c
Berg
D 2
h2

E1 WS14/15
Zwillingsparadoxon
Invariantes Wegelement:
ds  c dt - dx  c d t  - d x 
2
2
2
2
P2
Reisezeit B:
ct

Weltlinie
P2
t2  T
von B

 ds  c  dt

 ds 

0
Weltlinie
0
 T 2
cT
c T 
2
2
c - v  dt 

2g
2
0
P2
xu

x
 ds 
T
c - v
2
2
P1

 dt 
T 2

T  T g  T



 cT
P1 P 2 : dx  -v  dt
von A

2
T
0
P1
P1
x  vt

2
Reisezeit A: 0 P 1 : dx  v  dt
x  x u - v t - T 2 


t1  T 2
2
E1 WS14/15


cT
2g

c T 
2
Raumzeitereignise und Kausalität
E=mc2 folgt aus der allgemeinen
Relativitätstheorie => Später
ct
x  -ct
x  ct
Lichtgeschwindigkeit obere
Grenze für Signalübertragung!
Zukunft



anderswo
-x




B 
C
A   
anderswo
x

Vergangenheit
Im 4-dimensionalen MinkowskyRaum stellt der Lichtkegel eine
3d-Hyperfläche dar
-ct

=> Wirkung nur innerhalb des
Lichtkegels! A kann mit B aber
nicht mit C kausal verknüpft sein

E1 WS14/15
Zum Dopplereffekt
x  vt  c  t 
ct
t t2   t2
x 1  c t1 - t 0 
von B ausgesandte
Signale



2 . Lichtpuls


1 . Lichtpuls
 x 2 , t
2

 x1 , t1 
t t1   t1
Weltlinie
von A

x

E1 WS14/15
c
x
v
 x 0  v  t1
x 2  c t 2 - t 0 -    x 0  vt 2


t 2 - t1 
c
x 2 - x1 
c-v
vc
c-v


v


 t 2 - t1  g  t 2 - t1  - 2  x 2 - x 1   g  1     


c
-1 2
2
g  1   
1 -  
1

 f 
 f 0 


1   
1 2
1   
  


1



1 2
ct
x  -ct


B




A  

anderswo


Zukunft

-x
x  ct
C

anderswo
x

Vergangenheit
-ct
E1 WS14/15
mit   v c
L  P1 P2   x 2  - x 1
L  P1 P2  x 2 - x 1
ct
c t 

tan   c / v




v=vx



x 
g

tan  v / c
weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2
x




x 


=> g-= arctan (c/v) – arctan (v/c)
E1 WS14/15
Zur Zeitdilatation
Uhr ruht im System S in O und schickt im Zeitabstand ∆t zwei Lichtpulse
ct 
ct
t 2
t2
 t

t1
t


x  c t -  t 


x  c t -  t 
B
B
Lichtsignale
x  ct

x  c t 



Lorentz-Transformation liefert
die Zeitpunkte t‘1 und t‘2, zu
denen ein bewegter Beobachter
in x‘0 die Lichtpulse misst

t 1  g t 1 - v  x 0 c
Weltlinie

A  A 
t1
t 2   g t 2 - v  x 0 c
für x 
0
 
für x 0
Bewegte Uhren laufen langsamer

x 

x0

E1 WS14/15
2


  t   t 2  - t 1  g   t
Weltlinie

2
x


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