vectores_n-dimensional

Report
UPC
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.)
MA112 (EPE)
1
Competencias:
1. Define el espacio Rn y sus propiedades
2. Explica el concepto de combinación
lineal de vectores de Rn.
3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD.
4. Explica el concepto de coordenadas de
un vector respecto a una base B de Rn.
2
ESPACIO VECTORIAL Rn
INTRODUCCIÓN
Se dá este nombre por que el conjunto de vectores
de Rn ( en particular R2 o R3 ) junto con las
operaciones de adición y multiplicación por un
escalar satisfacen una serie de axiomas. Así todo
conjunto de entes matemáticos que cumplan estos
axiomas se dice que es un espacio vectorial , esto
permite extender muchas propiedades a una gran
3
variedad de elementos matemáticos.
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
Sean x,y,z vectores de Rn ;  ,  escalares.
Rn es un espacio vectorial, ya que satisface
los sigientes axiomas
1. x+y está en Rn.
2. .x está en Rn.
3.x+y=y+x
4 . (x + y) +z = x+ (y + z)
4
5 . Existe un vector 0 de Rn tal que :
0 + x= x+ 0= x
6 . Para todo x de Rn existe un
elemento –x en Rn tal que: x +(-x)= 0
7. 1. x= x
8 .  (. x)= (  ).x
9 . ( +  ).x=.x+ . x
10 . (x + y)= .x +.y
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VECTORES
Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
Definamos el vector como un
segmento de recta dirigido.
Sean P y Q dos puntos del
espacio. El segmento de recta
dirigido PQ, es el segmento de
recta que va del punto inicial P
al punto final Q.
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OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectores
z
B
R = A+B
y
x
Método del triángulo
A
B
Método del
paralelogramo.
R = A+B
A
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VECTOR n - DIMENSIONAL
Definición:
A los n números reales
( a1 , a 2 ,..., a n )
ordenados le llamaremos n-upla
o vector n-dimensional.
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IGUALDAD
u
(a 1 , a2 , ... , an )
v
(b1 , b 2 , ... , b n)
u
v
a1= b1
a = b2
2
an= b n
9
SUMA
(a 1 , a 2 , ... , a n) + (b 1 , b 2 , ... , b n)
(a1+ b1, a2+ b2, ... , a n+ bn)
PRODUCTO POR UN ESCALAR
C
(a 1 , a 2 , ... , a n) ( Ca 1 , C a 2, ... , C a n )
c
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PRODUCTO ESCALAR
u
(a1 ,a2 ,... ,an )
v
(b1 , b 2 ,..., bn)
u.v
a 1 b1 + a 2 b2 + ... + an bn
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PRODUCTO ESCALAR
 
 
u  v  u v cos 

u


v
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OBSERVACIONES:
1. El producto escalar de dos vectores es un
número real.
2. El producto escalar es positivo si
0   

2
y negativo si

 
2
13


3. Si u y v tienen la misma dirección y sentido
  0
y
a.b=a
b
4. Si los vectores son perpendiculares
el producto escalar es cero y viceversa.
5. a . a = a
2
14
Módulo de un vector en R3
Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 se
define a la norma o módulo de a :

a 
a1  a 2  a 3
z
p(a1,a2,a3)
2

a
2
2
a3
a2
y
a1
x
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Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

1 u

( a1 , a 2 , a 3 )
a

ua   

a
a
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten
representar cualquier otro vector como una
combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores
canónicos y se representan por



i  (1, 0 , 0 ) , j  ( 0 ,1, 0 ) y k  ( 0 , 0 ,1)
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VECTORES UNITARIOS I, J , K
Los vectores i, j y k son unitarios y están
dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z
respectivamente.
z
k
j
y
i
x
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Definición
Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus
componentes son proporcionales. Ejemplo:
Dado:
 
u // v


u  ( a1 , a 2 , a 3 ) v  ( b1 , b 2 , b3 )
a1

b1


u k v
a2
b2

a3
k
b3
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COMBINACION LINEAL
Dados los vectores V1, V2,..., Vn de R
y sean a 1 , a 2 ,..,a n escalares .
La expresión
n
a 1V 1+ a 2V2+... + a nVn
Se llama combinación lineal de V1 , V2,.. ,
Vn
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EJEMPLOS:
1. Expresar el vector u =(- 3;4) como
combinación lineal de los vectores a=(1;2)
y b=(3;1).
Solución: Se quiere que u = ma +n b
es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1)
de donde: m=3 , n =-2
luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)
20
y
3a
u
u=3a-2b
a
b
x
-2 b
NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b
siempre va a estar en el plano formado por ellos y
en consecuencia cualquier vector del plano puede
obtenerse (generarse) como la combinación lineal
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de dos vectores no paralelos.
INDEPENDENCIA LINEAl
Antes de dar la definición, veamos los
siguientes ejemplos geométricos.
1. Dados los vectores paralelos a y b
a
b
Se tiene : a = t b
Como a es una combinación lineal de b es
decir a depende de b luego el conjunto { a , b}
se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.
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2. Dados dos vectores no paralelos a y b
a
b
Como ninguno de ellos puede estar en
terminos del otro como combinación
lineal ,es decir, son independientes cada
uno , se dice que el conjunto {a,b} es
LINEALMENTE INDEPENDIENTE
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3. Dados los vectores a , b y c
Donde:
c=3a+2b
ó
a = - 2/3b+1/3c ó
b =- 3/2a+1/2c
Como cualquiera de los vectores se puede
expresar en terminos del los otros como
combinación lineal se dice que el conjunto
{a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE24
4. Dado el conjunto de vectores {a,b,c}
contenido en el plano P
z
b
a
c
y
P
x
25
¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c}
?
4.
z
¿Se podra expresar el
vector b en terminos
de a y c ?
c
a
y
P
x
b
26 ?
¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c}
INDEPENDENCIA LINEAL
v , v ,..., v
1 2
k
: VECTORES DE R
n
, El conjunto
{v1, v2,..., vk } se llama LINEALMENTE
INDEPENDIENTE si dada la ecuación
=a =0
a v + a v2 +...+ ak vk = 0 entonces a1=1a2= ...
2
k
1 1 2
y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE
si en a v + a v +...+ a v = 0
1 1
2 2
k k
un a i no es cero.
al menos
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PROPIEDADES
1. Si {v1 , v2 ,..., vk } es un conjunto L.I. de
vectores de Rn, y si u  Rn entonces
existe un conjunto único de escalares
{a1,a 2,...,a k} tales que
u = a 1 v1 + a 2 v 2+...+ a kv k
Es decir el vector u se expresa de forma única
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2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto
de vectores en Rn, donde k > n.
Entonces V es linealmente dependiente.
Nota :Un conjunto S de vectores linealmente
independientes de Rn contine a lo sumo n
vectores.
29
3. k=n y det(v1,v2, ...vk ) = 0
{ v1,v2, ...vk } es LI
4. 0  V
Rn
V es LD
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BASE DE Rn
Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk}
n
de vectores de R se llama base de
n
n
R , si cada elemento de R se puede
expresar de manera única como
combinación lineal de v1, v2 ,..., vk.
PROPIEDAD:
Todo conjunto de n vectores linealmente
independientes de Rn es una base de Rn.
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TEOREMA
Un conjunto finito de vectores
{V1 ,V2 ,...,Vn } de Rn es una BASE de
Rn si:
1. {V1 ,V2 ,..,Vn} es linealmente
independiente.
2. {V1 ,V2 ,..,Vn} genera a Rn.
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PROPIEDAD:
Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn}
de Rn es una BASE si y sólo si
det(v1,v2, ...vk ) = 0
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Definición: El número de elementos
n
de cualquier base de R se llama
dimensión del espacio vectorial Rn.
n
R
NOTA: En un espacio
su
dimensión es n.
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COORDENADAS DE UN VECTOR EN Rn
Sea B = { v1 , v 2 ,..., v n } una BASE de
Rn
SEA U Rn donde U = c1V1 + c 2V2 +... +c nV n
UB = ( c1, c2, ... , cn )
COORDENADAS DE U EN BASE B
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