Výroky

Report
Logika
Mgr. Andrea Cahelová
Logika, výroky - video
Definice výroku
• Výrok je každá oznamovací věta, u které má
smysl uvažovat o její pravdivosti
• Označujeme: A, B, C, …
• Výrok: pravdivý – hodnota 1, nepravdivý –
hodnota 0
• Ke každému výroku je možno vytvořit jeho
negaci
• Zapisujeme A´,^A
Příklad: U daných výroků uveďte jejich
pravdivostní hodnotu a vytvořte jejich
negaci
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A: Číslo 3 je prvočíslo
B: Bratislava leží v Egyptě
C: Prešovský kraj
D: Matematika je věda
E: Číslo 22 je dělitelné 2
F: Dobrý den !
G: Existuje sněžný muž Yetti
H: Sinus 300 je – 2,1
I: Máš domácí úlohu?
J: x2 - 5x + 6 = 0
K: Číslo 2 574 364 je dělitelné 4
L: Platí že (a + b)2 = a2 + b2
M: Obsah kruhu je S = π.r2
N: 42 se rovná 18
O: Mám nové auto
P: Není tu.
Řešení
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A: Číslo 3 je prvočíslo (1)
B: Bratislava leží v Egyptě (0)
C: Prešovský kraj
D: Matematika je věda (1)
E: Číslo 22 je dělitelné 2 (1)
F: Dobrý den!
G: Existuje sněžný muž Yetti
H: Sinus 300 je – 2,1 (0)
I: Máš domácí úlohu?
J: x2 - 5x + 6 = 0
K: Číslo 2574364 je dělitelné 4 (1)
L: Platí že (a + b)2 = a2 + b2 (0)
M: Obsah kruhu je S = π.r2 (1)
N: 42 se rovná 18 (0)
O: Mám nové auto (1)
P: Není tu
A': Číslo 3 není prvočíslo (0)
B': Bratislava neleží v Egyptě (1)
C:
D': Matematika není věda (0)
E': Číslo 22 není dělitelné 2 (0)
F:
G : nedá se rozhodnout
H': Sinus 300 není -2,1 (1)
I:
J:
K': Číslo 2574364 není dělitelné 4 (0)
L': Neplatí že ( a + b )2 = a2 + b2 (1)
M': Obsah kruhu není S = π.r2 (0)
N': Není pravda, že 42 se rovná 18 (1)
O': Nemám nové auto (0)
P:
Složené výroky
• Vznikají spojením dvou výroku a) konjunkci (a,
a zároveň), b) disjunkci (nebo), c) implikaci
(plyne, vyplývá), d) ekvivalenci (právě tehdy,
když)
• Negace složených výroků
Příklad: Znegujte následující výroky
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A: Přijde Peter a Marie
B: Prší a je mokro
C: Svítí sluníčko nebo fouká vítr
D: Jestliže se rozzlobíme, budeme zlí
E: Pokud přijde Josef, potom přijde i Eva
F: Mám dobrou náladu právě tehdy, když prší
G: Každý lichoběžník je rovnostranný
H: Existuje aspoň jedno prvočíslo, které je sudé
I: V třídě 1. A alespoň 8 žáků nosí brýle
J:
Řešení:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A‘: Nepřijde Petr nebo Marie
B': Neprší nebo není mokro
C': Nesvítí sluníčko a nefouká vítr
D': Rozlobíme se a nebudeme zlí
E': Josef přijde a Eva nepřijde
F': Mám dobrou náladu a neprší nebo nemám dobrou
náladu a prší
G': Existuje aspoň jeden lichoběžník, který není
rovnostranný
H': Všechny prvočísla jsou sudé
I': V třídě 1. A nanejvýš 7 žáků nosí brýle
J‘:
Příklad: Z daných výroků vytvořte
konjunkce, disjunkce, implikace,
ekvivalence
• A: Číslo 20 je prvočíslo
• B: Číslo 20 končí 0
• A: Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé
• B: Úhlopříčky obdélníka jsou na sebe kolmé
Řešení:
•
•
•
•
Číslo 20 je prvočíslo a končí nulou
Číslo 20 je prvočíslo nebo končí nulou
Pokud je číslo 20 prvočíslo, pak končí nulou
Číslo 20 je prvočíslo právě tehdy, když končí nulou
• Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé a kolmé
• Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé nebo kolmé
• Pokud úhlopříčky obdélníka stejně dlouhé, pak jsou
kolmé
• Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé právě tehdy,
když jsou kolmé
Příklad: Vytvořte následující složené
výroky z výroků P, S, V
• P: Prší
• S: Svítí sluníčko
• V: Fouká vítr
Řešení:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Prší a nefouká vítr
Není pravda, že prší nebo nesvítí sluníčko
Pokud prší a fouká vítr, potom svítí sluníčko
Neprší a nesvítí sluníčko
Prší a svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká vítr
Pokud fouká vítr, potom nesvítí sluníčko
Pokud prší a svítí sluníčko, potom nefouká vítr
Prší nebo svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká vítr
Prší a svítí sluníčko nebo prší a nefouká vítr
Pokud svítí sluníčko, potom neprší a nefouká vítr
Neprší nebo svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká
vítr
• Není pravda, že prší a svítí sluníčko
• Pokud nesvítí sluníčko a prší, potom nefouká vítr
• Není pravda, že pokud neprší a nefouká vítr, potom
svítí sluníčko
Příklad: Zapište do tabulky pravdivostní
hodnotu formule
Pravdivodstní tabulka - video
• Tato formule je tautologie (poslední sloupec
jsou samé nuly.
• Poznámka: v případě, ze v posledním sloupci
vyjdou samé nuly, jedná se o kontradikci.
Kvantifikované výroky
• Máme třídu žáků A, B, C, D
• Žák je členem skupiny třída označujeme jako
PREDIKÁT a zapisujeme T(A)
• Výrok: každý žák patří do třídy můžeme zapsat
pomocí logické spojky a zároveň
Kvantifikované výroky - video
T  A  T B   T C   T D
• Zápis je ale zbytečně složitý
• Jednodušší je využít obecný kvantifikátor
x : T x 
• Obdobně můžeme zapsat i výrok: alespoň
jeden žák patří do třídy pomocí logické spojky
nebo
T  A  T B  T C   T D
• Jednodušší je využít existenční kvatifikátor
x : T x 
• Negace kvantifikovaného výroku:
• Pro každého žáka platí, že patří do třídy
• Negace: existuje alespoň jeden žák, který do
třídy nepatří
• Symbolicky:
x : T x 
negace: x : T ( x)
• Existuje alespoň jeden žák, který patří do třídy
• Negace: Pro každého žáka platí, že nepatří do
třídy
• Symbolicky:
x : T x 
negace: x : T ( x)
Úkol: Přepište výroky symbolicky a
napište jejich negace
1. Pro každé reálné číslo platí, že je dělitelné
sedmi
2. Existuje reálné číslo, které je dělitelné dvěma
Řešení:
1. Existuje reálné číslo, které není dělitelné
sedmi
x  R : Ax
negace: x  R : A( x)
2. Pro reálné přirozené číslo platí, že není
dělitelné dvěma
x  R : Bx
negace: x  R : B( x)
Úkol: Přepište výroky symbolicky
1. Co je drahé, bývá někdy nehodnotné
2. Co je drahé není hodnotné
1. Jsou takoví učitelé jazyků, kteří neumějí latinsky
2. Žádný lakomec není velkorysý
3. Obrazy, které zde visí jsou originály
Řešení: Přepis formule
1. O některém individuu platí, že je drahé a současně
není hodnotné
2. O každém individuu platí, že pokud je drahé, pak není
hodnotné
3. O některém individuu platí, že je učitel jazyků a
současně neumí latinsky
4. O každém individuu platí, že je-li lakomec, pak není
velkorysý
5. O každé individuu platí, že pokud je zde visící obraz,
pak je originálem
Řešení: Symbolicky
1 . x  K   L 
2 . x  K   L 
3 . x  K   L 
4 . x  K   L 
5. xK  L 
Úkol: Přečti následující výrok a
rozhodni, zda je pravdivý
1.
n  N , n  1, k  N , k  n
2.
n  N , p  N , p  n, p n
Řešení
1. Pro všechna přirozená čísla n různá od jedné,
existuje alespoň jedno přirozené číslo k, které
je menší než n, výrok je pravdivý
2. Existuje přirozené číslo n, takové že všechna
přirozená čísla p různá od n, jsou větší než n,
výrok je pravdivý
Úkol: Vytvoř z následující věty pravdivý
a nepravdivý výrok
• Pro reálná čísla x a y platí, že součet jejich
druhých mocnin je roven nule
Řešení:
Pr avdivý:
x  R a y  R, x 2  y 2  0
Existuje alespoň jedna dvojicečísel pro které výraz platí : x  0, y  0
Nepravdivý:
x  R a y  R, x 2  y 2  0
Úkol: Zapište symbolicky a určete zda
závěr plyne z přepokladu
• P1: Všechny velryby jsou savci
• P2: Někteří vodní živočichové jsou savci
• Z: Někteří vodní živočichové jsou savci
• Napíšeme celou formuli ve tvaru:
• P1 ˄ P2 → Z
xK
Řešení:
 L  xM  K   xM  L
•
Formuli upravíme, tak aby se v ní nevyskytovali univerzální kvantifikátory a jiné
logické spojky kromě konjunkce
•
V našem případě upravíme první předpoklad negaci existenčního kvantifikátoru a
opětovnou negaci
xK  L   xM
xK  L  M  K 
xL  M 
 K   xM  L 
Úkol: Přepište symbolicky formule
ověřte, zda z předpokladu plyne závěr
1. Někteří fotbalisté nejsou inteligentní. Všichni fotbalisté jsou
sportovci.
Z: Někteří sportovci nejsou inteligentní.
2. Žádný zdejší žák není komik. Všichni komici jsou umělci.
Z: Žádný zdejší žák není umělec.
3. Všechny přírodní zákony jsou zákony. Všechny zákony jsou vytvářeny
právními institucemi.
Z: Všechny přírodní zákony jsou vytvářeny právními institucemi.
4. Všechny automobily jsou dopravní prostředky. Všechny dopravní
prostředky jsou opatřeny karburátorem.
Z: Některé dopravní prostředky jsou opatřeny karburátorem.
1. Ano
xK  L   xK  M   xM  L 
dvojitá negace xK  M 
x  K   L   K  M 
xL  M 
2. Ne
3. Ano
4. Ne
Úkol: Znegujte tvrzení
•
•
•
•
Příklad:
Všichni učitelé jsou přísní a někteří žáci jsou snaživí.
Negace:
Někteří učitelé nejsou přísní nebo žádní žáci nejsou snaživí.
•
Žádný člověk se neřídí morálními zákony nebo někteří lidé nedodržují právní normy
•
Jestliže žádný člen vlády nedodržuje zákony, potom některý podnikatel krachuje.
•
Jesltiže žádný člen vlády nedodržuje zákony, tehdy a jen tehdy některý podnikatel
krachuje.
• Někteří lidé se řídí morálními zákony a všichni lidé
dodržují právní normy.
• Žádný člen vlády nedodržuje zákony a žádný
podnikatel nekrachuje.
• Žádný člen vlády nedodržuje zákony a žádný
podnikatel nekrachuje nebo některý člen vlády
dodržuje zákony a některý podnikatel krachuje.
1. Každá věc, která leží na stole, je
černá.
• Který z následujících výroků je pravdivý?
1.
2.
3.
4.
5.
Všechny věci jsou černé
O každé věci ležící na stole platí, že je černá
Některé věci, které leží na stole, jsou černé
Některé věci ležící na stole nejsou černé
Každá věc na stole je černá
Alespoň jedno zvíře běhá po čtyřech.
• 1 a 3 předchozí
• Který z následujících výroků je pravdivý?
1.
2.
3.
4.
5.
O některý zvířatech platí, že běhají po čtyřech
Všechna zvířata běhají po čtyřech
Ani jedno zvíře neběhá po čtyřech
Alespoň jedno vodní zvíře běhá po čtyřech
Jedno zvíře běhá po čtyřech
Někteří Češi jsou hokejisté
• 1 a 5 předchozí
• Který z následujících výroků je negací zadání?
1.
2.
3.
4.
5.
Někteří Češi nejsou hokejisté
Všichni Češi jsou hokejisté
Žádní Češi nejsou hokejisté
Alespoň jeden Čech není hokejista
Žádný Čech není hokejista
Všechny rostliny jsou anorganické
• 3a5
• Který z následujících výroků je negací zadání?
1.
2.
3.
4.
5.
Některé rostliny nejsou anorganické
Všechny rostliny nejsou anorganické
Některé rostliny jsou anorganické
O každé rostlině platí, že není anorganická
O některé rostlině platí, že není anorganická
Všechny pneumatiky jsou gumové.
Každá guma je pružná. Některý druh
gumy je černý.
• 1a5
• Který z následujících výroků je určitě pravdivý?
1.
2.
3.
4.
5.
Všechny pneumatiky jsou pružné a černé
Všechny pneumatiky jsou černé
Jen některé pneumatiky jsou gumové
Všechny pneumatiky jsou pružné
Všechny pneumatiky jsou pružné a gumové
• 4a5

similar documents