제 3 장 카르노 맵 K-map : Karnaugh Map 1) 카르노 맵 소개

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제 3 장 카르노 맵
(K-map : Karnaugh Map)
1) 카르노 맵 소개
2) 카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식
3) 무정의 (Don’t Care)
4) 합의 곱
5) 5변수와 6변수 맵
6) 다중출력 문제
1
카르노 맵(K-map: Karnaugh map)
• 각 정사각형은 함수의 최소항들을 나타낸다.
2
Plotting Functions
3
3 변수 맵
4
예제 3.1
m0+m1:
m4+m6:
m7+m5:
m0+m4:
m1+m5:
ABC + ABC =AB
ABC + ABC =AC
ABC + ABC =AC
ABC + ABC =BC
ABC + ABC =BC
5
수직 배열 맵(Vertical Map)
A
BC 0
00
1
A
BC 0
00 1
1
A
BC 0
00
1
01
1
11
11
1
10
10
01
01
11
10
1
AB
AC
6
라벨이 붙여진 맵(Map with Columns labeled)
B
B
AB
00 01 11
AB
C 00 01 11
0
1
10
C
0
0
2
6
4
1
1
3
7
5
C
1
1
A
10
1
1
C
A
AB
AC
7
4 변수 맵
8
2 개의 1로 이루어진 그룹
9
4 개로 이루어진 그룹
10
8 개로 이루어진 그룹
A
D
11
예제 3.3
F = AB' + AC + A'BC'
• 곱의 합으로 표현되는 함수식을 맵에 나타내는 방법
F = AB'(C' + C) + AC(B' + B) + A'BC'
= AB'C' + AB'C + AB'C + ABC + A'BC'
= m4 + m5 + m5 + m7 + m2
= m2 + m4 + m5 + m7
(중복 제거 및 순서화)
12
내포항 (Implicant)
• 함수에 대한 곱의 합 식에서 사용되는 곱 항
– 임의의 곱의 합식은 내포항들의 합
• 내포항은 1, 2, 4, 8, ..(2의 지수승) 개의 1로 구성
13
내포항 예
최소항
2개로 구성된 그룹
4 개로 구성된 그룹
A'B'C'D'
A'CD
CD
A'B'CD
BCD
A'BCD
ACD
ABC'D'
B'CD
ABC'D
ABC'
ABCD
ABD
AB'CD
------------------------------------------------------총 14개의 내포항
14
주 내포항 (Prime Implicant : PI)
• 다른 내포항에 완전히 포함되지 않는 하나의 내포항이다
• F의 주내포항 : A'B'C'D', ABC', ABD, CD
15
주 내포항 (Prime Implicant : PI)
• 대수적 의미
– 임의의 문자 변수가 주 내포항에서 제거되면 더 이상 내포항
이 아닌 내포항을 의미
– A'B'C'D'는 B'C'D', A'C'D', A'B'D', A'B'C'가 내포항이 아니기
때문에 주 내포항
16
Cover
• F에 대한 임의의 곱의 합 식은 내포항들의 합
• F의 각 1들은 적어도 한 개의 내포항에 포함되도록 충분한
내포항들을 선택해야 한다.
• 이런 곱의 합식을 F 의 커버(cover)라 한다.
• 내포항 ABD는 m13과 m15를 커버
17
예제 3.4
• 함수 G
– 3 개의 최소항 -> 적어도 2개의 항이 필요
– G = ABD + ABC
• 함수 H
– 최소식 H = BC'D + ABC
– 내포항 ABD 는 다른 항에 의해 커버되는 1만을 커버
18
필수 주 내포항 (Essential Prime Implicant : EPI)
• 다른 주 내포항에 포함되지 않는 적어도 1개의 1을 포함하는 주
내포항이다.
A'B'C'D', ABC', CD는 필수 주 내포항
A'B'C'D'
ABC'
CD
•필수(Essential) : 주어진 함수에 대한 최소화된 곱의 합 형태의
어떤 수식에도 이 주 내포항은 포함되어야 한다는 뜻
19
카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식
• N-변수 맵에서, 각각의 사각형은 n 개의 인접한 사각형을 가짐
• 고립되었다는 것은 1을 갖는 인접한 정사각형들의 수가 적은 (또
는 없는) 것을 의미한다.
3, 4변수 맵의 인접한 사각형
20
맵 방법 1
1. 모든 필수 주 내포항들을 찾음.
•
맵 상에서 필수 주 내포항들을 묶음
•
필수 주 내포항으로 만드는 최소항들에 * 표시를 한다.
– 일반적으로 가장 고립된 1들로부터 시작하는 것이 빠르다.
2. 함수를 커버하는 '충분한' 다른 주 내포항들을 찾음.(2 가지 기준)
• 선택된 주 내포항에 의해 될수록 많은 새로운(아직 커버되지 않
은) 1을 커버하는 주 내포항을 선택.
• 고립되고 커버되지 않은 1을 남겨놓지 않도록 함.
21
예제 3.5 필수 주 내포항에 의해서만 커버
F = A'B'C'D' + ABC' + …
F = A'B'C'D' + ABC' + CD
22
예제 3.6 필수 주 내포항과 주 내포항에 의해 커버
• 필수 주 내포항
– 가장 고립된 m11 -> wyz
– m0, m12, m8 -> y'z'
• 주 내포항
– 남은 2개의 1은 w'xz 에 의해
커버
• 주 내포항 w'xy', xyz 는 새로운 1
을 커버하지 않기 때문에 중복
• 최소곱의 합 식
f = y'z' + w y z + w'xz
23
예제 3.8 f(a, b, c, d) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14)
• 필수 주 내포항: a'd' + bd' + a'bc + ab'd
• 1개의 1(m8)이 남음
• 4개로 이루어진 그룹(c'd')과 2개로 이루어진 그룹(ab'c')에 커버
• 최소 식
f = a'd' + bd' + a'bc + ab'd + c'd'
24
예제 3.10 특이한 경우
•
최소 해
G = A'BC' + A'CD + ABC + AC'D
25
예제 3.11 여러 개의 최소 해
g(w, x, y, z) = m(2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15)
g = xz + wz + …
g = xz + wz + w'yz' + wx'y
g = xz + wz + x'yz' + w'xy
g = xz + wz + w'yz' + x'yz'
26
예제 3.12 다소 복잡한 경우
• F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + …(가운데 맵)
• 커버되지 않은 3개의 1:
•
B'D', AB', B'C 중 임의의 2개로 커버
최소 식
F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + AB'
F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + B'C
F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + AB' + B'C
27
예제 3.13 여러 개의 최소 해
•
m10 과 m15
f = b'd + bd + …
• 커버되지 않은 1: 3개
• 최소 해: 4가지
a' d ' ac' d 
f  b' d 'bd  


a
'
b
ab
'
c
'
 


28
맵 방법 2
1. 모든 주 내포항들을 원으로 묶음
2. 모든 필수 주 내포항들을 선택
• 단지 한 번 원으로 묶인 1을 찾음으로써 쉽게 선택이 가능
3. 맵 방법 1 에 기술한 것처럼 충분한 다른 주 내포항들을 선택
• 이들 주 내포항들은 이미 단계 1에서 지정됨
29
예제 3.15 복잡한 경우
• 가운데 맵 : 모든 주 내포항
• m3와 m5 -> A'B' 와 C'D 필수 주 내포항
• 남은 4개의 1을 커버: 적어도 2개 이상의 항이 필요
- B'D'는 2개의 새로운 1을 포함
- B'C' 는 단지 1개를 포함
- 남은 1을 커버하기 위하여 ABC가 필요
• 최소 해
F = A'B' + C'D + B'D' + ABC
30
예제 3.16 필수 주 내포항의 cover가 작은 경우
G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 7, 8, 11, 12, 13, 15)
•필수 주 내포항 : YZ
- 5개의 1이 남음
•주 내포항: W'X'Z, X'Y'Z', WXY',
W'X'Y', WY'Z' , WXZ
• 적어도 3개의 항이 더 필요
31
예제 3.16 계속
• 최소해
F = YZ + W'X'Z (dotted circle) + X'Y'Z' + WXY'
F = YZ + W'X'Y' + X'Y'Z' + WXY'
F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXY'
F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXZ
32
예제 3.17 필수 주 내포항이 없는 경우
• a'c'd' 로 시작하는 경우의 해
f = a'c'd' + bc'd + acd + b'cd'
33
예제 3.17 (계속)
• a'c'd' 와 abd를 선택하는 경우 (가운데 맵)  5개의 항
• a'c'd' 와 a'b'd'를 선택하는 경우 (가운데 맵)->5개의 항
• a'b'd' 로 시작 (세번째 맵)
f = a'b'd' + a'bc' + abd + ab'c
34
예제 3.18 필수 주 내포항이 없고 복잡한 경우
G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15)
• m0를 커버하는 C'D' 로 시작, 그리고 B'D, BC
• m13을 커버하는 3가지(AB 또는 AC' 또는 AD )
F = C'D' + B'D + BC + { AB 또는 AC' 또는 AD }
35
예제 3.18 (계속)
• m0를 커버하는 B'C' 로 시작하는 경우, BD', CD
• 앞에서 처럼 m13을 커버하는 3가지(AB 또는 AC' 또는 AD )
• 총 6 개의 최소 해가 존재
 AB 
C ' D' B ' D  BC  

F 

AC
'
 

B
'
C
'

BD
'

CD
  AD 



36
예제 3.19
• 1개의 필수 주 내포항과 10개의 1이 남음
• 모든 주 내포항 : 가운데 맵
• 주 내포항들을 2개씩 그룹핑함
• 7 개의 항 이내로 간소화가 불가능하고, 32개의 다른 해가 존재
f = a'b'c'd' + a'cd + bc'd + a b'd + a bc' + a'bc + a cd'
= a'b'c'd' + a'cd + bc'd + ab'd + abd' + bcd' + ab'c
=…
37
Don’t Care (무정의)
• 무정의를 가진 함수에 대한 최소 해를 구하는 방법
• 정의 변경
• 주 내포항 : 다른 더 큰 사각형에 포함되지 않은 1, 2, 4, 8, .. 개
의 1 또는 ×의 사각형이다.
- ×(무정의)도 1과 같이 동등하게 다룬다.
• 필수 주 내포항 : 다른 주 내포항에 의해 커버되지 않는 1을 적
어도 한 개를 커버하는 주 내포항이다. 무정의(×)는 주 내포항
을 필수로 만들지는 않는다.
• 최소 해를 구할 때 무정의 중에 어떤 것은 포함되고 어떤 것은 포
함되지 않음
38
예제 3.20
F(A, B, C, D) = m(1, 7, 10, 11, 13) + d(5, 8, 15)
• 최소해 (가운데 맵)
F = BD + A'C'D + AB'C
• 모든 무정의를 1로 고려하는 경우 (오른쪽 맵)
F = BD + A'C'D + AB'C + AB'D'
F = BD + A'C'D + ACD + AB'D'
• 모든 무정의를 ‘0’으로 고려한 경우
F = A'B'C'D + A'BCD + ABC'D + AB'C
39
예제 3.21 모든 해의 대수적 표현이 동일하지 않은 경우
• 2 개의 필수 주 내포항 x'z 와 w'yz (가운데 맵)
• 4 개의 무정의로 이루어진 w'x'는 주 내포항이지만, 필수는 아님
• 모두 무정의로만 이루어진 주 내포항은 사용할 수 없음
• 최소화 해
g1 = x'z + w'yz + w'y'z' + wxy'
(m0 = 1)
g2 = x'z + w'yz + xy'z' + wxy'
(m0 = 0)
g3 = x'z + w'yz + xy'z' + wy'z
(m0 = 0)
g2 와 g3 는 대수학적으로 같은 함수이지만 g1 과는
다르다.
40
예제 3.22
• 첫번째 맵 : 유일한 필수 주 내포항 c'd'와 ab, 3 개의 1이 남음
• 두번째 맵 : b'd'를 이용한 2개의 해
• 세번째 맵 : ad'를 이용한 해
g1 = c'd' + ab + b'd' + a'cd
g2 = c'd' + ab + b'd' + a'b'c
g3 = c'd' + ab + ad' + a'b'c
• 동일성을 검증 : 무정의들이 처리된 값을 표로 구현
• g1 ≠ g2 = g3
41
맵 방법 3
1. 맵 방법 1 또는 2를 사용하여 모든 필수 주 내포항을 찾음
2. 필수 주 내포항에 포함되는 모든 1들을 X 로 대치
포함되지 않고 남아있는 1 을 구별하기 위함
3. 맵 방법 1과 2 에서 처럼 다른 주 내포항들을 충분히 선택
42
예제 3.23 F(A, B, C, D) = m(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)
• 처음에 필수 주 내포항 A'B와 CD를 찾음
• 두번째 맵 : 포함된 모든 1을 무정의로 변환
• 나머지 1들은 AC와 B'C'D' 에 의해 커버
• 최소화 해
F = A'B + CD + AC + B'C'D'
43
합의 곱
 합의 곱 형태의 최소화
1. 함수의 보수를 맵에 표현
• 함수에 대한 맵이 이미 존재하는 경우, 모든 0을 1로, 모든 1을 0
으로 대치. X 는 변환하지 않음
2. 앞에서 사용한 방법을 이용하여 함수의 보수에 대한 최소화 곱의 합
식을 찾음
3. 합의 곱 식을 만들기 위하여, 2 에서 구한 곱의 합 수식에 보수를 취함
(드모르강의 정리 (대수적 속성 P11)을 이용)
44
예제 3.25 합의 곱
f (a, b, c, d) = m(0, 1, 4, 5, 10, 11, 14)
 f '(a, b, c, d) = m(2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15)
 f 에 대한 최소 곱의 합 식
f = a'c' + ab'c + acd'
 f 에 대한 최소 합의 곱 식
• f' = ac' + a'c + abd
 f = (a'+c)(a+c')(a'+b'+d')
• f' = ac' + a'c + bcd
 f = (a'+c)(a+c')(b'+c'+d')
45
5, 6 변수 맵
• 5변수 맵은 25 = 32개로 구성
• 16개의 정사각형을 2개층(layer)구조로 나타냄
• 5변수 맵(2-layer)
46
• 6변수 맵의 경우도 16개의 정사각형의 맵이 4개층 구조로 그려짐
• 4변수 맵과 동일
47
 5 변수 함수에 대한 맵핑
F(A, B, C, D, E) = m(4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 27, 28, 31)
48
•
•
•
1들 중에서 인접한 층에서 대응하는 정사각형에 1이 없는 것
이러한 1을 포함한 주 내포항은 그 층에만 속하게 된다(따라서, 4변수
맵 문제가 된다.).
이와 같은 예로, m4, m9, m16, m28의 경우가 있다
•
F = A'B'C + A'BE + AB'C'E' + ABCD'E' + …
49
•
양쪽의 레이어 상에 1을 커버하는 필수 주 내포항
•
최종 해
(계속)
F = ABC + ABE + ABCE + ABCDE + BDE
50
다중 출력 문제
•
•
다중 출력을 가진 시스템을 설계하는 경우가 많음
3개의 입력 A, B, C와 2개의 출력 F, G
– 2개의 문제로 나누어서 취급
– 하나의 시스템: 게이트들의 공유가능 -> 비용 줄임.
51
예제 3.32
F(A, B, C) = m(0, 2, 6, 7)
G(A, B, C) = m(1, 3, 6, 7)
• 각 함수에 대해 아래와 같은 식을 얻을 수 있음
F = AC + AB
G = AC + AB
52
(예제 3.32 계속)
•
우측: 두개의 독립된 문제
•
좌측: 항(AB) 공유함으로써 게이트 수가 줄어듬.
53
예제 3.33
F(A, B, C) = m(0, 1, 6)
G(A, B, C) = m(2, 3, 6)
독립된 문제(위쪽 맵) : F = AB + ABC
공유(아래쪽 맵) :
F = AB + ABC
G = AB + BC
G = AB + ABC
54
(예제 3.33 계속)
•
•
독립된 문제:
F = AB + ABC
G = AB + BC (6 게이트: 4 AND, 2 OR, 13 inputs)
공유:
F = AB + ABC
G = AB + ABC (5 게이트: 3 AND, 2 OR, 11 inputs)
55
예제 3.34
F(A, B, C) = m(2, 3, 7)
G(A, B, C) = m(4, 5, 7)
• 독립된 문제 해
f = ab + bc
g = ab + ac
•공유항 이용
f = ab + abc
g = ab + abc
56
예제 3.35
F(A, B, C, D) = m(4, 5, 6, 8, 12, 13)
G(A, B, C, D) = m(0, 2, 5, 6, 7, 13, 14, 15)
• 하나의 함수에서만 1인 것(적색)들에서 필수 주 내포항 찾음
57
(예제 3.35 계속)
• 공유항 이용
F = ACD + ABD + BCD
G = ABD + BC + BCD
(20 inputs, 7 게이트)
58
(예제 3.35 계속)
•
독립함수로 풀면
F = ACD + ABD + BC
G = ABD + BC + BD
(21 inputs, 8 게이트)
59
예제 3.36
F(A, B, C, D) = m(0, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11)
G(A, B, C, D) = m(0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13)
• 각 함수(F, G)의 독립 해 (분리하여 풀음)
F = AC + AD + BC
G = AC + CD + AB
(18 inputs, 8 게이트)
• 먼저 공유되지 않는 1들에서 필수 주 내포항 묶음
60
(예제 3.36 계속)
ACD 와 ABC 를 공유
(16 inputs, 6 게이트)
• F = AC + ACD + ABC
• G = AC + ACD + ABC
61
예제 3.37
F(W, X, Y, Z) = m(2, 3, 7, 9, 10, 11, 13)
G(W, X, Y, Z) = m(1, 5, 7, 9, 13, 14, 15)
* mark : 공유안되는 필 수 주내포항
62
(예제 3.37 계속)
F = XY + WYZ + W XYZ
G = YZ + WXY + WXYZ
(7 게이트,20 inputs)
• F, G를 분리하여 구한 해
F = XY + WYZ + WYZ
G = YZ + WXY + XZ
(8 게이트, 21 inputs)
63
예제 3.38
 분리된 문제로 해를 구하는 경우
F = AB + BD + BC
G = C + ABD
H = BC + ABC + ( ABD or ACD)
(10 게이트, 25 inputs)
64
(예제 3.38 계속)
 공유하여 구한 해
F = BC + ABC + ABD + ABD
G = C + ABD
H = BC + ABC + ABD
(8 게이트, 22 inputs)
65
예제 3.40 : 무정의를 가진 시스템의 예
F(A, B, C, D) = m(2, 3, 4, 6, 9, 11, 12) + d(0, 1, 14, 15)
G(A, B, C, D) = m(2, 6, 10, 11, 12) + d(0, 1, 14, 15)
• BD: 공유안되는 필수 주 내포항
66
(예제 3.40 계속)
• ABD 을 공유
F = BD + ABD + AD
G = AC + ABD + CD
(17 inputs, 7 게이트)
67
(예제 3.40 계속)
• ACD 를 공유
F = BD + ACD + BD
G = AC + ABD + ACD (18 inputs, 7 게이트)
68

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