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ÁLGEBRA LINEAR
Professora: Itaciane T.B. Tomasini
email:[email protected]
Formação: Engenharia Agrícola –UFV, MG.
Matemática –UNIUBE, MG.
Especialização : Matemática- Faculdade da Região dos
Lagos, RJ.
Álgebra Linear
O desenvolvimento da Álgebra Linear tem
origem nos estudos de Sistemas de Equações
Lineares. Atualmente, é uma área da
matemática, que estuda vetores, espaços
vetoriais, transformações lineares, matrizes
e sistemas de equações lineares que são
utilizados nas técnicas que são essenciais para
os cientistas. Desta forma, embora seja
Álgebra Linear um campo abstrato da
Matemática, ela tem um grande número de
aplicações nas ciências e na Matemática.
Plano de Ensino
• Objetivos
Desenvolver os conceitos fundamentais da
Álgebra Linear. Habilitar o estudante para a
compreensão e utilização de métodos básicos
necessários à resolução de problemas que
podem ser modelados matematicamente
fornecendo subsídios teóricos matemáticos
para a aplicação da Álgebra Linear na
Engenharia.
Unidade 1
•
•
•
•
•
•
• 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E
MATRIZES
1.1. Sistemas de Equações : Introdução
1.2. Solução Sistemas de equações Lineares
pelo método da eliminação
1.3. Matrizes: Definição
1.4. Tipos especiais de matrizes
1.5. Operações com matrizes
1.4. Solução Sistemas de equações Lineares
pelo método: Método de Gauss
Unidade 2
• 2. DETERMINANTES E MATRIZ
INVERSA
• 2.1. Introdução: Conceitos
preliminares. Propriedades
• 2.2 métodos de cálculos do
determinante: Desenvolvimento de
Laplace, Regra de Cramer e Método da
triangulação
• 2.3. Matriz Inversa: Definição e
propriedades
• Unidade 3
• 3. ESPAÇOS VETORIAIS
• 3.1. Vetores no plano e no espaço:
representação geométrica, comprimento, vetor
unitário
• 3.2. Operações com vetores no plano e no
espaço
• 3.3. Definição e propriedades de espaço vetorial
• 3.4. Subespaços Vetoriais: Definição
• 3.5. Combinação Linear: Definição
• 3.5.Dependência e Independência Linear
• 3.6. Base e Dimensão de Espaço vetorial
• Unidade 4
• 4.TRANSFORMAÇÕES LINEARES
• 4.1. Transformações Lineares: Definição
• 4.2. Transformação do Plano no Plano
BIBLIOGRAFIA
• BOLDRINI, José Luiz. ET AL. Álgebra Linear. 3ed. São
Paulo: Harper How do Brasil, 1980.
• DAVID, c. Geometria Analítica. 2ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 1977.
• KOLMAN, B. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Livros técnicos e
científicos, 1987.
• LIPSCHULTZ, s. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3ed.
(coleção Schaum). São Paulo: Makron Books, 1994.
• LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. Vol.1.
3ed. São Paulo: Harbra Itda.
Distribuição das notas:
Nesta disciplina o aluno terá que atingir
60% de 100 pontos distribuídos em duas
provas valendo 35 pontos cada uma e
atividades
diversas
(pesquisas
e
apresentações, lista de exercícios,
participação, etc.) no valor de 30 pontos.
• 1- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Muitos problemas que ocorrem em engenharia
e nas ciências físicas, assim como nas ciências
naturais e sociais, envolvem equações
lineares. Uma equação linear é uma
equação do tipo a1x1+ a2x2 + a3x3 +...anxn = b.
que expressa b em termos das variáveis
(incógnitas) x1, x2, x3,...xn e das constantes a1,
a2, a3,..an . Em muitas aplicações, dados os
valores de b e das constantes a1, a2, a3,..an .
é preciso determinar os valores das incógnitas
x1, x2, x3,...xn que satisfazem a equação.
• Por exemplo, uma solução para a equação
linear 2x - y + 3z = 9
• é dada por x =1, y = 2 e z = 3 (verifique),
• mas x = 5 , y = 4 e z =1 também é uma solução
(verifique).
• De uma maneira geral, um sistema linear de m
equações com n incógnitas, ou simplesmente
um sistema linear, é uma coleção de m
equações lineares, cada uma delas envolvendo
n incógnitas. Denotamos tal sistema linear da
seguinte forma:
• onde aij e bj são números reais dados. O
objetivo é determinar os valores das
incógnitas x1 , x2, ..., xn que satisfaçam todas
as equações de .
• Em aij os índices i e j são utilizados da
seguinte maneira: o índice i indica qual
equação estamos considerando e o índice j
está associado à incógnita que estamos
considerando, ou seja, i indica a i - ésima
equação e j indica a j -ésima incógnita (xj ).
•
•
•
•
•
•
Exemplo 1:
Considere o sistema linear:
X – 3Y = -3
2X + Y = 8
Qual a solução desse sistema? RESOLVA
Para resolvermos esse sistema podemos
utilizar o método de eliminação.
• Após resolvê-lo percebemos que ele tem uma
única solução e pode ser representado
geometricamente pelo gráfico abaixo. A
intersecção nas retas ocorre nos ponto (3, 2)
que representa a solução do sistema.
(3,2)
• Exemplo 2:
• Um nutricionista está planejando uma refeição
contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do
alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades
de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama
do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2
unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Cada
grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3
unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a
refeição precisa conter exatamente 25 unidades de
proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de
carboidrato, quantas gramas de cada tipo de alimento
devem ser usados?
• RESOLVA NO CADERNO
• REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO SISTEMA:
• Cada equação representa um plano e a solução
do sistema é a intersecção destes três planos
num único plano.
• Outros Exemplos:
• Resolva o seguinte sistema de equações
lineares:
• x +2y -3z =-4
x + 2y =10
• 2x +y -3z = 4
2x – 2y = -4
3x + 5y = 20
• Com os exemplos feitos até agora, podemos
perceber que o método de eliminação
consiste na aplicação repetida de algumas
operações:
• i. troca de ordem das equações;
• ii. multiplicação de uma das equações por
uma constante diferente de zero;
• iii. adição de uma equação a um múltiplo de
outra equação.
• É importante observarmos que o método de
eliminação fornece outro sistema que possui
exatamente a mesma solução do sistema
original. Descrevemos o método de forma
bastante geral, sem a preocupação de
explicitarmos a forma de escolher a incógnita a
ser eliminada em cada passo do processo de
solução. Mais adiante, faremos uma descrição
sistemática deste método. Porém, antes disso,
introduziremos, na próxima seção a noção de
matriz. Isto simplificará muito a nossa notação
e fornecerá ferramentas que permitem resolver
muitos problemas importantes.
• Exercícios propostos
• 1) Resolva cada sistema linear abaixo usando o
método de eliminação:
a) 3x + 5y =1
b) x + y + z = 1
2x
+ z =-4
2x + 5y -2z = 3
5x + y – z =o
c) x + 3y = -4
2x + 5y = -8
x + 3y = -5
2) Uma refinaria produz combustível com baixo e
com alto teor de enxofre. Cada tonelada de
combustível com baixo teor de enxofre necessita
de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos
no setor de refinaria, por outro lado, cada
tonelada de combustível com alto teor de
enxofre necessita de 4 minutos no setor de
mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se
o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o
setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas
e cada tipo de combustível devem ser
produzidos de modo que esses dois setores não
fiquem ociosos?
Matrizes
Descrevemos o método de eliminação para resolver
sistemas lineares. Examinando este método com mais
cuidado, podemos observar que apenas os números
em frente das incógnitas x1 , x2 , ... , xn estão sendo
modificados ao efetuarmos as operações necessárias.
Dessa forma, podemos pensar em uma maneira de
representar um sistema linear sem ter que ficar
repetindo as incógnitas. Nesta seção, vamos definir um
objeto que vai nos permitir escrever um sistema linear
de uma forma mais compacta. Esse objeto é uma
matriz. Chamamos de matriz uma tabela de elementos
dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao
recolhermos os dados referentes às notas de três
alunos em uma etapa escolar, podemos dispô-los na
seguinte tabela:
AULA 2
Matemática
Química
Física
Aluno1
8
7
9
Aluno2
6
8
5
Aluno3
7
6
8
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas,
resulta na matriz:
8
7
9
6
8
5
7
6
8
• Outros exemplos de matrizes:
2x
-1
2
3
0
x
1
3
3
1
Os elementos de uma matriz podem ser
números (reais ou complexos), funções, ou
ainda outras matrizes.
Representaremos uma matriz de m linhas e n
colunas por:
=
• * “m” linhas e
a ij
“n” colunas denotada por Amxn
• * a ij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima
coluna.
Usaremos sempre letras maiúsculas para
denotar matrizes, e quando quisermos
especificar a ordem de uma matriz A (isto é,
o número de linhas e colunas), escrevemos
Amxn .
A matriz a seguir é uma matriz
de ordem 2×3 com elementos naturais
Nesse exemplo, o elemento a12 é 2, o
número na primeira linha e segunda coluna
do quadro.
• Qual é o elemento a11,
a22, a23?
* Duas matrizes A e B são iguais, se elas têm
o mesmo número de linhas e colunas, e
todos os seus elementos correspondentes
são iguais (a ij = b ij)
Tipos especiais de matrizes
Algumas matrizes recebem nomes especiais
devido a quantidade de linhas ou colunas, ou
ainda pela natureza de seus elementos.
• Matriz quadrada
* m=n
* diagonal principal
*Ordem
• Matriz Nula
* aij = 0, para todo e j.
• Matriz Coluna
*n=1
• Matriz Linha
*m=1
• Matriz Diagonal
* m=n onde aij =o, para i≠j, isto é que os
elementos que não estão na diagonal são nulos.
• Matriz Identidade Quadrada
*É aquela em que aii = 1 e aij =0, para i≠j
• Matriz Triangular Superior
* m=n e aij =o , para i > j
• Matriz Triangular Inferior
* m=n e aij =o , para i < j
• Matriz Simétrica
* m=n e aij= aji
• Matriz transposta
• Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se
transposta de A e indica-se por At a matriz que se
obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas
colunas de A. A operação de obtenção de uma
matriz transposta de A é denominada transposição
da matriz. Observe o exemplo:
• Note que A é do tipo 3 x 2 e At é do tipo 2 x 3 e
que, a matriz transposta , a primeira linha
corresponde à primeira coluna da matriz original e
a segunda linha à segunda coluna, também da
matriz original.
• Igualdade de matrizes
• Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do
mesmo tipo e se os elementos correspondentes
forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) são
matrizes do tipo m x n, então:
• Exemplo: determine x e y para que as matrizes
A e B sejam iguais
• Adição de matrizes
• Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B,
denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida
adicionando-se os elementos correspondentes de
A e B.
• Exemplo:
• *Dada as matrizes A e B determine A+B.
• Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo
tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
• - Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neutro: A+O = O+A = A
• Matriz oposta
• Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja
soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:
• A oposta de A será:
• Multiplicação por um Número Real
• Multiplicar um número por uma matriz A é obter a
matriz KA, cujos elementos são os elementos de A
multiplicados todos por K.
AULA 3
Multiplicação de matrizesMultiplicação de duas matrizes é bem
definida apenas se o número de colunas
da matriz da esquerda é o mesmo
número de linhas da matriz da direita.
Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por
p, então seu produto AB é a matriz m por p (m
linhas e p colunas).
Exemplo 1:
Exemplo 2
Problemas onde podemos aplicar multiplicação de
matrizes:
A) Em um projeto de pesquisa sobre dieta
participam adultos e crianças de ambos os sexos.
A distribuição dos participantes no projeto é dada
pela matriz
A quantidade de gramas de proteína, gordura e
carboidrato consumidos diariamente pelas crianças
e adultos é dado ela matriz
A quantidade total (em gramas) de proteína,
gordura e carboidrato consumidos diariamente por
homens e mulheres é dado pelo produto das
matrizes A e B:
A primeira linha da matriz AB fornece os números
que representam as quantidades totais consumidas
diariamente por homens e os números da segunda
linha representam as quantidades totais
consumidas diariamente por mulheres. A primeira
coluna representa o consumo de proteína, a
segunda o consumo de gordura e a terceira o
consumo de carboidrato. Portanto, a quantidade
total de carboidrato consumido diariamente por
mulheres é de 8000 gramas e o por homens é de
5200 gramas.
Observe que nos produtos de matrizes efetuados
nos dois exemplos acima, cada um dos elementos
da matriz-resultado é obtido a partir de uma linha
da primeira matriz e uma coluna da segunda.
Agora faça você o problema seguinte utilizando
multiplicação de matrizes.
B) Suponhamos que um professor utilize quatro
tipos de avaliação para determinar a média de
uma disciplina: listas de exercícios, seminário,
uma prova oral e uma prova final. Seus pesos são
de 10%, 30%, 30% e 30%, respectivamente. Se as
notas de um estudante forem 90, 80, 50 e 60,
respectivamente, calcular sua média na disciplina
AULA 4
• Propriedades do produto de matrizes:
• Sejam as matrizes A, B e C, de forma que o
produto entre elas esteja bem definido. Então,
valem as seguintes propriedades:
• i. A.I = I.A = A (existência do elemento neutro da
multiplicação de matrizes)
• ii. A.(B+ C) = A.B + A.C (distributividade)
• iii. (A.B).C = A.(B .C) (associatividade)
• iv. (A.B)T = BT .AT
• v. 0.A = A.0 = 0
Exemplificando a propriedade i
Exemplificando a propriedade iii
• Propriedade iv
• Dadas as matrizes
Temos que:
EXERCÍCIOS
1) Sejam as matrizes
Calcule se possível:
a)A.B b) A+B c) B.C
g) -2At + 3D h) D.C
2) Seja A=
o
valor de x.
d)Dt
e) Dt.C
f) 3(B-D)
.Se A=At então determine
3) Seja A=
uma matriz quadrada de ordem 2
tal que aij= 2i – j e seja B=
. Calcule a matriz
X tal que X + 2A = B.
AULA 5
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES
• Nos estudos anteriores abordamos o assunto
sistemas lineares, descrevendo de forma rápida
o método de eliminação para a solução de tais
sistemas. Nesta seção iremos formalizar o
método de eliminação, obtendo dessa forma,
uma metodologia bastante útil na resolução de
sistemas lineares. Como sabemos um sistema
de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto do tipo:
Ou de uma forma compacta A.X=B onde,
• Podemos escrever o sistema na forma matricial:
Onde,
Matriz
dos
coeficientes
Matriz das
incógnitas
Matriz dos termos
independentes
Podemos também associar ao sistema uma matriz,
chamada matriz ampliada do sistema:
Usaremos esta matriz ampliada na solução dos
sistemas lineares.
Vejamos um exemplo. Considere o sistema:
• A matriz aumenta do sistema é:
• Agora faremos as seguintes operações:
• *troca-se a linha 1 pela linha 2:
• *no lugar da linha 2 coloca-se a linha 2 mais a linha
1 vezes -2
Essa nova matriz representa o sistema:
Cuja a solução é: y=-1 e x=3.(-1) +6= 3
• Segue que a solução do sistema linear inicial também é
y = −1 e x = 3 . Utilizamos aqui o método da
eliminação(que já discutimos antes), para resolver o
sistema, porém em uma linguagem mais compacta e
mais simples. Neste exemplo, vimos que dois sistemas
lineares diferentes têm as mesmas soluções.
• Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se,
e somente se, toda solução de qualquer um dos
sistemas também é solução do outro.
• Mais adiante vamos determinar uma forma de
encontrar um sistema linear equivalente a outro, cuja
solução é facilmente encontrada. Para isso, precisamos
manipular a matriz aumentada do sistema, através de
operações elementares sobre as linhas dessa matriz. A
seguir, definimos as operações elementares sobre as
linhas de uma matriz.
Uma operação elementar sobre as linhas de uma
matriz é uma das seguintes operações:
• i. Trocar a posição de duas linhas de uma matriz
• ii. Multiplicar uma linha de uma matriz por um
escalar diferente de zero
• iii. Substituir uma linha de uma matriz por ela
mesma somada a um múltiplo escalar de outra
linha
• A aplicação dessas operações em um sistema linear
não modifica a solução do sistema.
• “Dois sistemas lineares que possuem matrizes
ampliadas equivalentes são equivalentes”
• Então, dado um sistema linear Ax=b, como resolvêlo ?
* 1º passo: determinamos sua matriz aumentada
[A|b]
* 2º passo: realizamos operações elementares sobre
as linhas dessa matriz até encontrar uma nova
matriz cujas soluções do sistema associado sejam
facilmente encontradas. Note que isso nada mais é
do que um processo de eliminação.
* 3º passo: resolvemos o sistema equivalente obtido.
• A forma como se realiza o 2º passo origina os
métodos de eliminação de Gauss e de GaussJordan. Definiremos a seguir, o método de GaussJordan.
Método de Gauss-Jordan
• Este método consiste na aplicação de operações
elementares sobre as linhas da matriz aumentada
até transformá-la em uma matriz na forma
escalonada reduzida. Não se preocupe. Uma matriz
na forma escalonada reduzida será definida daqui a
pouco. O importante é que o novo sistema linear
obtido (equivalente ao sistema original) é
facilmente resolvido.
• Considere, inicialmente, o seguinte sistema de
equações lineares
Matriz ampliada:
Realizamos agora um número finito de operações elementares sobre
as linhas dessa matriz até encontrar uma matriz cuja solução do
sistema associado seja de fácil resolução. Vejamos:
(troca-se a linha 1 pela linha 2)
Essa é a matriz aumentada do
sistema linear:
• que fornece a solução do sistema original. Logo, a
solução do sistema
Observamos neste exemplo que a matriz dos
coeficientes foi transformada na matriz identidade.
Obtemos então uma nova matriz ampliada cujo
sistema associado é de fácil solução. Essa nova
matriz ampliada é um exemplo de matriz na forma
escalonada reduzida.
• Definição 1.8: Uma matriz A = [aij] m×n está na
forma escalonada reduzida se:
• i. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas
não nulas;
• ii. O primeiro elemento não nulo de uma linha
(chamado de pivô) é igual a 1.
• iii. O pivô de cada linha não nula ocorre a direita
do pivô da linha de cima;
• iv. Cada coluna que contém o primeiro elemento
não nulo de uma linha, o pivô, tem todos os seus
outros elementos iguais a zero.
• Quando a matriz está na forma escalonada o
método de solução de sistemas lineares utilizado é
conhecido como o Método de Gauss ou eliminação
de Gauss.
Exemplo 1:
• Exemplo 2
Exemplo 3
Em geral, em um sistema linear com m equações e n
incógnitas pode ter:
i. Uma única solução;
ii. Infinitas soluções;
iii. Nenhuma solução.
Observação 1: Quando um sistema tem uma única
solução, dizemos que é um sistema possível e
determinado; quando tem infinitas soluções,
dizemos que é um sistema possível e
indeterminado e quando não tem nenhuma
solução, dizemos que o sistema é impossível.
Observação 2: Para encontrarmos a solução de um
sistema linear não precisamos, necessariamente,
transformar a matriz aumentada do sistema na sua
forma escalonada reduzida, mas se a matriz está
nesta forma, o sistema associado é o mais simples
possível. Este método é conhecido como método de
Gauss ou eliminação de Gauss. O método de Gauss é
um dos mais adotados quando se faz uso do
computador, devido ao menor número de operações
que envolve.
AULA 6
Se o termo independente de todas as equações do
sistema for nulo, isto é, b1  b' 2  ...  b' n  0 o sistema
linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
2 x  y  z  0

x  y  4z  0
5 x  2 y  3 z  0

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é
x = y = z = 0. Esta solução chama-se solução trivial do
sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir
outra solução em que as incógnitas não são todas
nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
• Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma
solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o
exemplo:
y

 3 x  2  2
S2 : 
 S  1,  2 
  x  y  1

3
 x  3 y  5
S1 : 
 S  1, 2 
2 x  y  4
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)},
S1 e S2 são equivalentes.
Exercícios Propostos:
1.Seja o sistema
 2 x1  3 x 2  x 3  0

S 1 :  x1  2 x 2  x 3  5
 x  x  x  2
1
2
3

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b)Verifique se (0,0,0) é solução de S.
3 x  y  k 2  9

x  2 y  k  3
2. Seja o sistema:
sistema seja homogêneo.
Calcule k para que o
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os
sistemas  x  y  1 e  mx  ny   1

2 x  y  5

 nx  my  2
4. Expresse matricialmente os sistemas:
a)  2 x  y  5

x  3y  0
b)
2a  b  c  1

c0
a
  3 a  5b  c  2

5. A expressão matricial de um sistema S é:
2

3
 5 a   4
 .   

1  b   7 
Determine as equações de S.
6.Escalone, classifique e resolva os sistemas
lineares abaixo:
a)
b)  x  y  z  2
2 x  3 y  z  1

3 x  3 y  z  8
2 y  z  0

x  y  z  3
c) 
2 x  3 y  z  0

2 x  3 y  2 z  5
7. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do
sistema  x  y  3 , então ABC vale:

x  z  4
 y  4 z  10

a)-5
b) 8
c) -6
d) -10
e) 5
DETERMINANTE
• Determinante é uma função que associa a cada
matriz quadrada um número. Como estamos
considerando neste fascículo, somente matrizes
reais, então os determinantes calculados serão
todos números reais. Denotamos o determinante
da matriz A por detA ou
. A definição do
determinante é dada de maneira recursiva, isto é, o
determinante de uma de uma matriz de ordem n é
definido em termos do determinante de matrizes de
ordem menores do que n. Inicialmente, vamos
definir o determinante de matrizes 1×1 e 2× 2 .
Em seguida, veremos que o cálculo de determinante
de matrizes de ordem 3 utiliza determinantes de
matrizes de ordem 2 e 1. Vejamos: Se A = [ a11] é uma
matriz 1×1, definimos o determinante de A por detA =
a11 . Se
é uma matriz 2× 2 , o determinante
de A é dado por
ou seja, detA é o
produto dos elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal secundária da
matriz.
EXEMPLOS: vamos calcular o determinante de:
• Determinante de 3a Ordem
• Para o cálculo de determinantes de ordem 3
podemos utilizar uma regra prática, conhecida
como Regra de Sarrus, que só se aplica a
determinantes de ordem 3.
• passo 1: Repetimos as duas primeiras colunas ao
lado da terceira:
• passo 2:
• Devemos encontrar a soma do produto dos
elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos
das paralelas a essa diagonal:
• passo 3:
• Encontramos a soma do produto dos elementos
da diagonal secundária com os dois produtos
obtidos pela multiplicação dos elementos das
paralelas a essa diagonal:
• Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro,
podemos escrever o determinante como:
• Exemplo: Calcule o determinante da matriz:
• Agora, vamos à definição de determinante de uma
matriz qualquer nxn.
• Seja a matriz quadrada A = [aij] n×n . O determinante
de A, denotado por detA ou , é definido por
Onde,
• é o cofator do elemento aij . A expressão (2.6) é
chamada desenvolvimento em cofatores em relação a
linha i ou desenvolvimento de Laplace. Uma forma
análoga é válida para as colunas, ou seja, podemos
calcular o determinante usando o desenvolvimento em
cofatores em relação a uma coluna.
• Considere o exemplo: o determinante da matriz A
usando a terceira coluna é dado por:
Propriedades dos Determinantes
i. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz quadrada A são iguais a zero então detA =
0.
ii. O determinante de uma matriz quadrada A é igual
ao determinante de sua transposta, ou seja, detA =
det(AT ) .
iii. O determinante de uma matriz quadrada A que
tem duas linhas ou duas colunas iguais é zero.
iv.
v. Multiplicando uma linha de uma matriz por uma
constante diferente de zero o determinante fica
multiplicado por essa constante.
vi. Trocando-se a posição de duas linhas de uma
matriz, o determinante dessa matriz muda de sinal.
vii. O determinante não se altera se a uma linha de
uma matriz for somada outra linha multiplicada por
uma constante.
viii. O determinante de um produto é o produto dos
determinantes, ou seja, det(AB) = detAdetB .
ix. O determinante de uma matriz triangular é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
EXEMPLOS:Calcule
os
determinantes
analisando as propriedades.
a)
c)
b)
d)
abaixo
e) L1=L3
f)
Observe que as matrizes se diferem apenas na
segunda linha. Obtemos uma matriz C tal que:
g) Considere as matrizes:
Calcule e compare
h)
e
Multiplicando a primeira linha de A pela constante K=
-5 obtemos a matriz B.
Calcule e compare o detA e detB.
i)
Trocando as linhas de posição obtemos a matriz B,
calcule e compare o detA com o detB.
j)
Realizando a seguinte operação:
obtemos uma matriz B
Compare detA com detB.
l) Calcule e compare detA.detB com det(A.B)
m)
• Método da Triangularização
• A propriedade (ix) é essencial para determinarmos
outra forma de calcular o determinante de uma
matriz, chamada de método da Triangularização.
Este método consiste em aplicarmos as operações
elementares (propriedades (v), (vi) e (vii)) sobre as
linhas da matriz até que esta se transforme em uma
matriz triangular superior. Daí, o determinante da
matriz é facilmente calculado. É importante saber o
que cada operação elementar promove no
determinante de uma matriz. O quadro abaixo
exibe as mudanças que ocorrem no determinante
quando operações elementares são realizadas.
Operação Elementar
Mudança ocorrida no
determinante
O determinante muda
de sinal
O determinante fica
multiplicado
pela
constante
Trocar a posição de duas
linhas (Li
Lj)
Multiplicar uma linha de
uma matriz por uma
constante diferente de
zero (Li
KLi)
Substituir uma linha de O determinante não
uma matriz por ela muda
mesma somada a um
múltiplo escalar de outra
linha (Li
Li + KLj)
• Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz
A usando o método da triangulação:
• Devemos transformar “A” numa matriz triangular
superior. Isso é feito via operações elementares.
Devemos também tomar cuidado para registrarmos
as mudanças ocorridas no determinante em cada
passo do processo. A primeira operação elementar
a ser realizada em A é a permutação das linhas 2 e 3
( L2 L3).
• Como essa operação resulta numa mudança de
sinal do determinante de A, então devemos
multiplicar o determinante da matriz obtida por -1.
Isso resulta em
• detA= (-1) det
A próxima operação elementar é:
Como sabemos, essa operação
determinante. Portanto,
não
afeta
o
detA= (-1) det
Agora, fazemos
. Neste caso o determinante
fica multiplicado por . Então, devemos multiplicálo por 4 para não haver alteração no determinante
de A. Dessa forma,
detA= (-1).4.
Agora realizando a operação
não altera o determinante, obtemos:
que
detA= (-1).4.
Note que este último determinante é facilmente
calculado, pois temos uma matriz triangular.
Portanto:
detA=(-1).4.15/4 = -15
• Observações:
• Podemos resumir o procedimento do cálculo do
determinante de uma matriz pelo método da
Triangularização da seguinte forma:
i. Quando utilizamos a operação elementar de troca
de duas linhas, o determinante fica multiplicado
por -1. Assim, devemos multiplicar o determinante
da matriz que estamos calculando por -1 para que
o determinante não fique alterado;
ii. Analogamente a i, quando utilizamos a operação
elementar de multiplicação de uma linha por uma
constante o determinante fica multiplicado pela
constante. Assim, devemos multiplicar o
determinante pelo inverso da constante para que o
determinante que estamos calculando não fique
alterado;
iii. Quando utilizamos a operação elementar de
somar a uma linha outra linha multiplicada
por
uma constante, o determinante não muda. Neste
caso, nada é feito.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Calcule usando o método da triangulação o
determinante das matrizes:
A=
B=
2) Dadas as matrizes A=
Calcule:
a) detA+detB
b) det(A+B)
c) detAdetB
d) Det(AB)
B=
4) Admita que det
a) det
b) det
= 3 calcule:
c)det
d)det
e)
Agora que você já conhece e sabe calcular
determinantes voltemos aos sistemas.
Solução de sistemas lineares - REGRA DE CRAMER
A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n
equações e n incógnitas são dados por frações cujo
denominador é o determinante D dos coeficientes das
incógnitas e o numerador é o determinante Dxi (que si
obtém substituindo os coeficientes do xi pelos termos
independentes), ou seja:
xi = Dxi / D
• Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra
de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
Calculando os determinantes:
• Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2,
4) }.
Resolva o sistema a seguir usando a regra de Cramer:
a) x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
b)
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x+y+z=5
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir
uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que
satisfaça
AB=BA=In
• Onde In é a matriz identidade de ordem n, dizemos
que B é a inversa de A e que A é inversível (ou
invertível). Se essa matriz B não existir, dizemos que
A é não inversível (ou não invertível).
• Com base na definição acima, segue-se que se AB =
BA = I, então A é também uma inversa de B.
• Exemplo 1:
Sejam
Como
e
concluímos que B é uma inversa de A e que A é
inversível. Uma inversa de uma matriz, se existir, é
única. De fato, se B e C são ambas inversas de A,
então :
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
Como uma matriz inversível A possui somente uma
inversa, falaremos a partir de agora “na” inversa de
A. Representaremos a inversa de A, se existir, por −1
Assim,
AA−1 = A−1A = In .
Exemplo 2:
Considere a matriz
Queremos determinar a inversa de A. Se A admite
uma inversa, então existe uma matriz
tal que AB = BA = I2 . Fazemos então
Esta última igualdade resulta em dois sistemas
lineares, cada um com duas equações e duas
incógnitas:
e
• Ambos os sistemas não tem solução (Faça as
contas!!!). Portanto, a matriz A não admite inversa.
Isso mostra que nem toda matriz possui inversa.
• Exemplo 3:
• Considere a matriz
• Se A admite uma inversa então existe uma matriz
Tal que AB=BA=I2. Então:
• Esta última igualdade resulta em dois sistemas
lineares cada um com duas equações e duas
incógnita:
e
Resolvendo cada um dos sistemas obtemos:
Portanto a matriz A é inversível e sua inversa é:
• Verifique se :
• Vimos no exemplo 3 que para determinar a inversa
de uma matriz de ordem 2 foi necessário resolver
dois sistemas lineares, cada um com duas equações
e duas incógnitas. Se quisermos encontrar a inversa
de uma matriz de ordem 3, usando o mesmo
procedimento do exemplo 3, teremos que resolver
três sistemas lineares, cada um com três equações e
três incógnitas. Percebe como este procedimento
não é muito amigável para determinarmos a inversa
de uma matriz? Pois, para encontrar a inversa de
uma matriz de ordem n é necessário resolver n
sistemas lineares, cada um com n equações e n
incógnitas. Imagine n=5 ou n=6 ou até mesmo n de
ordem superior.
• Devemos então, encontrar outro procedimento
mais eficiente para calcular a inversa de uma matriz.
Esse “novo” método faz uso das operações
elementares sobre as linhas de uma matriz, já vistas
anteriormente.
• Um Método Prático Para Determinar A−1
Vamos agora desenvolver um procedimento para
determinar a inversa de uma matriz. No capítulo 1
foi visto que Duas matrizes A e B são equivalentes
se B é obtida de A aplicando-se uma sequência
finita de operações elementares sobre as linhas de
A.No desenvolvimento deste método precisamos do
seguinte resultado.
• “Seja A uma matriz de ordem n. Então A é
inversível se, e somente se, A é equivalente a
matriz In. Além disso, se A é inversível, a mesma
sequência de operações elementares que
transformam A em In, transformam In na inversa
de A”.
• O resultado acima afirma que realizando um
número finito de operações elementares sobre as
linhas de uma matriz quadrada A ela pode ser
transformada na matriz identidade. O importante é
que se A é inversível, a mesma sucessão de
operações elementares que transformam A em In,
transformam In na inversa de A. Isso é a base para o
nosso novo procedimento para inversão de
matrizes.
• Vamos calcular a inversa (caso seja possível) da matriz
• Coloque a matriz A e a matriz identidade de ordem 3
lado a lado:
• Agora, realizamos operações elementares sobre as
linhas da matriz [A|I] até que A se transforme na matriz
identidade. As mesmas operações elementares que
transformam A em I, transforma I no bloco direito na
matriz inversa de A. Vejamos:
Portanto A é inversível e sua inversa é:
Vamos calcular a inversa da matriz:
a)
b)
OBS:Uma matriz quadrada de ordem n, A, admite
inversa se, e somente se, detA≠0.
Exercícios :
1)Calcule se existir a inversa das matrizes:
2) Em cada um dos casos abaixo calcule a
multiplicação e verifique se B é inversa de A.
a)
b)
c)
d)
3) Sejam as matrizes A e B, determine A-1, B-1,
(AB)-1.
4) Pesquise um terceiro método de calcular a matriz
inversa (cofatores e determinantes), explique e de
exemplos.

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