دریافت فایل

Report
‫فصل ‪4‬‬
‫مديريت سرمايه گذاري پيشرفته‬
‫‪Portfolio optimization model‬‬
‫‪Markvytz‬‬
‫بهينه سازي پرتفوي مدل ماركويتز‬
‫استاد محترم آقاي دكتر فضل زاده‬
‫ارائه‪ :‬ريش سفيد و مختاری‬
‫مقدمه‬
‫الزمه بكارگيري ‪,‬عملي بازده مورد انتظار و ريسك سرمايه گذاري‬
‫توانائي محاسبه هر يك از اين متغييرها براي پرتفوي مي باشد‪.‬‬
‫لذا ابتدا به چگونگي محاسبه بازده مورد انتظار مي پردازيم با توجه‬
‫به رويكرد نظريه نوين پرتفوي در تعين ريسك پرتفوي دانستن‬
‫مفاهيمي چون كوواريانس و ضريب همبستگي ضروري است در‬
‫نهايت چگونگي استخراج مرز كارا و تعين پرتفوي حداقل واريانس‬
‫كلي و بهينه سازي پرتفوي بحث خواهد شد ‪.‬‬
‫هدف از حل مسائل انتخاب سبد سرمايه گذاري (پرتفوي )‬
‫آن است كه از بين يك مجموعه دارايي هاي در دسترس‪،‬‬
‫پرتفويي انتخاب شود كه افزون بر كمينه سازي ريسك‬
‫پرتفوي‪ ،‬يك سطح حداقلي از بازده پرتفوي را نيز براي‬
‫سرمايه گذار برآورده كند‪ .‬رويكرد حل اين گونه مسائل آن‬
‫است كه ماكزيمم سازي بازده را تنها پارامتر در نظر‬
‫نگرفته‪ ،‬بلكه تنوع بخشي ‪ 1‬پرتفوي را نيزمدل پايه اي‬
‫مسئله به منزله ي معيار ديگر سرمايه گذاري مطرح مي‬
‫كند‪.‬‬
‫بازده مورد انتظار‬
‫بازده پرتفوي دارائي ها برابر متوسط موزون بازده تك تك دارائي‬
‫هاست ‪ .‬وزن بكار گرفته شده براي هر بازده نسبتي از سرمايه‬
‫گذاري انجام شده در دارائي مذكور خواهد بود اگر ‪ rj‬بازده ‪j‬‬
‫امين دارائي و ‪ xj‬نسبتي از وجوه سرمايه گذاري شده در ‪j‬امين‬
‫دارائي باشد لذا بازده كل پرتفوي برابر است با ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x r‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪x r‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬فرمول نسبت وجوه سرمايه گذاری شده‬
‫ميزان سرمايه گذاری در دارايی ام‬
‫کل مبلغ سرمايه گذاری در پرتفوی‬
‫=‪Xj‬‬
‫بازده مورد انتظار پرتفوي نيز متوسط موزون بازده مورد انتظار تك‬
‫تك دارائي هاست‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  E  E‬‬
‫‪E ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪x‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪j‬‬
‫‪r‬‬
‫‪j‬‬
‫‪x‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪x r‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪ j 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪p‬‬
‫برای مثال‪ :‬جدول زير نشان دهنده بازده ‪ 2‬سهم در يك پرتفوي است بازده‬
‫كل پرتفوي را مشخص كنيد‬
‫وزن هر سهم در پرتفوي‬
‫بازده هر‬
‫سهم ‪rj‬‬
‫سهم ‪j‬‬
‫‪%50‬‬
‫‪%20‬‬
‫الف‬
‫‪%50‬‬
‫‪%10‬‬
‫ب‬
‫‪rp= )%50()%20( + )%50()%10( = %15‬‬
‫مثال‪ :‬بازده مورد انتظاريک پورتفوی سه سهمی بصورت زير محاسبه ميشود‪:‬‬
‫متوسط بازده مورد‬
‫انتظار آخر دوره‬
‫بازده مورد انتظار هر‬
‫سهم در آخر دوره‬
‫نسبت‬
‫تعداد سهام موجود‬
‫در پرتفوی‬
‫سهام‬
‫‪11/62‬‬
‫‪46/48‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪100‬‬
‫‪A‬‬
‫‪21/805‬‬
‫‪43/61‬‬
‫‪50%‬‬
‫‪200‬‬
‫‪B‬‬
‫‪19/785‬‬
‫‪79/14‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪100‬‬
‫‪C‬‬
‫‪11/62+21/805+19/785=53/21%‬‬
‫ریسک پرتفوی الزمه درک ریسک پرتفوی آشنائی با مفاهیم انحراف‬
‫معیار پرتفوی ‪,‬کوواریانس و ضریب همبستگی است‬
‫واریانس پرتفوی‪:‬‬
‫نشان ميدهيم كه عبارتست از ارزش مورد انتظار‬
‫واريانس پرتفوي را با‬
‫مجذور انحرافات بازده پرتفوي‪ ,‬از ميانگين بازده مورد انتظار پرتفوي‪.‬‬
‫باجايگذاري بازده پرتفوي و متوسط بازده مورد انتظارپرتفوي در عبارت‬
‫فوق براي دو سهم ‪A,B‬خواهيم داشت‬
‫با توجه به اينكه ارزش مورد انتظار مجموع چند‬
‫بازده برابر است با مجموع ارزش مورد انتظار هر‬
‫بازده و ارزش مورد انتظار ضرب يك عدد ثابت در‬
‫بازده برابر است با حاصلضرب عدد ثابت در بازده‬
‫مورد انتظار‬
‫در آمار‬
‫عبارت‬
‫كوواريانس ناميده ميشود لذا خواهيم داشت‪:‬‬
‫اين رابطه نشان دهنده ريسك پرتفوي ‪ 2‬سهمي است‬
‫کوواریانس چيست؟‬
‫کوواريانس شاخصی برای تغييرات يک متغير با‬
‫متغير ديگر است (سرمد‪ .)80 :1388،‬كوواريانس‬
‫مشابه واريانس است ولي در كوواريانس انحراف از‬
‫ميانگين را به طور همزمان براي دو متغير‬
‫‪X,Y‬محاسبه مي كنيم‬
‫کوواریانس‬
‫اندازه کوواریانس چیزی بیشتر از رابطه بین بازده های ‪2‬سهم‬
‫نمی باشد‪.‬ومقیاسی از چگونگی حرکت بازدهی دارائیها با یکدیگر‬
‫است‪.‬‬
‫مثال‬
‫نرخ بازده دو سهم ‪A,B‬در یک دوره ‪5‬ماهه به شرح زیر است‬
‫میانگین‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ماه‬
‫‪2%‬‬
‫‪4%‬‬
‫‪-4%‬‬
‫‪8%‬‬
‫‪-2%‬‬
‫‪4%‬‬
‫سهم ‪A‬‬
‫‪3%‬‬
‫‪8%‬‬
‫‪-4%‬‬
‫‪6%‬‬
‫‪3%‬‬
‫‪2%‬‬
‫سهم ‪B‬‬
‫ابتدا انحراف این ‪2‬بازده را نسبت به میانگین بازده شان محاسبه میکنیم‬
‫‪1)(4%-2%)(2%-3%)=-/0001‬‬
‫‪2)(-2%-2%)(3%-3%)=0‬‬
‫‪3)(-4%-2%)(6%-3%)=./0018‬‬
‫‪4)(-4%-2%)(-4%-3%)=./0042‬‬
‫‪5)(4%-2%)(8%-3%)=./0010‬‬
‫‪/0068‬‬
‫نتیجه حاصله را بر تعداد ماهها منهای ‪1‬تقسیم میکنیم تا مقدار کوواریانس بدست آید‬
‫‪COVA,B=./00068/(5-1)=./0017‬‬
‫وقتی نتایج خوب برای ‪2‬سهم تواما اتفاق بیفتد اندازه آن بسیار بزرگ خواهد بود‬
‫و نیز وقتی نتایج بد برای هر ‪2‬سهم با هم اتفاق بیفتد باز حالت فوق صادق است ‪.‬و‬
‫در نهایت کوواریانس و واریانس پرتفوی مقادیر بزرگی خواهند داشت ‪.‬‬
‫در مقابل چنانچه یک نتیجه خوب برای یک دارائی همراه با نتیجه بد برای دارائی‬
‫دیگر رخ دهد کوواریانس منفی میشود کوواریانس مقیاسی از چگونگی حرکت‬
‫بازدهی دارائیها با یکدیگر است ‪.‬کوواريانس به دليل اين که يکی از اطالعات اساسی‬
‫به منظور محاسبه واريانس پرتفوی سهم می باشد‪،‬يکی از بهترين معيارهاست‬
‫‪.‬هرچندکه اندازه کوواريانس ‪،‬ماهيت کامل توزيع مشترک روابط بين دوسرمايه‬
‫گذاری را نمايش نمی دهد ‪،‬ليکن ‪،‬می توان بااستانداردنمودن آن‪،‬معياربهتری به نام‬
‫«ضريب همبستگی»رابه دست آورد‪.‬‬
‫ضریب همبستگی‬
‫با تقسيم كوواريانس بين دو دارائي بر حاصل ضرب واريانس ‪ 2‬دارائي‬
‫متغييري با همان خواص كوواريانس اما با دامنه محدود ]‪[1,-1‬بدست‬
‫مي آيداين مقياس ‪,‬ضريب همبستگي است ‪.‬‬
‫كوواريانس بين دو متغيير تصادفي برابر است با حاصلضرب‬
‫ضريب همبستگي دو متغير تصادفي در انحراف معيارشان ‪:‬‬
‫ضريب همبستگي ‪,‬كوواريانس را به منظور تسهيل امكان‬
‫مقايسه ارزشهاي زوجهاي مرتب تصادفي مجددا مقياس‬
‫بندي ميكند‪.‬‬
‫مثال)جدول صفحه بعد بازدهي احتمالي چند سهام فرضي‬
‫را نشان ميدهد ميانگين ‪,‬واريانس و انحراف معيار تك تك‬
‫سهام و كل پرتفوي را مشخص كنيد‬
‫فرض ميشود كه احتمال وقوع هر يك از حاالت مختلف‬
‫بازده براي هر سهم برابر باشد ‪.‬‬
‫‪1‬ضريب همبستگي‬
‫‪-1‬ضريب همبستگي‬
‫‪A,B 24‬كوواريانس‬
‫‪A,C 36‬كوواريانس‬
‫بهينه سازي پرتفوي مدل ماركويتز‬
‫هري ماركويتز در سال ‪ 1952‬مدل پيشنهادي خود را براي انتخاب پرتفوي ارائه‬
‫داد ‪ .‬از برجسته ترين نكات مورد توجه در مدل ماركويتز توجه به ريسك‬
‫سرمايه گذاري نه تنها بر اساس انحراف معيار يك سهم بلكه بر اساس ريسك‬
‫مجموعه سرمايه گذاري است ‪.‬‬
‫مفروضات مدل ماركويتز ‪:‬‬
‫‪ _1‬سرمايه گذاران ريسك گريزند و داراي مطلوبيت مورد انتظار افزايشي‪ ,‬و‬
‫منحني نهائي ثروت آنها كاهنده است ‪.‬‬
‫‪ _2‬منحني هاي بي تفاوتي سرمايه گذاران تابعي از نرخ بازده و واريانس مورد‬
‫انتظار است ‪.‬‬
‫‪ _3‬هرگونه سرمايه گذاري تا بينهايت قابل تقسيم است‪.‬‬
‫‪ _4‬سرمايه گذاران افق زماني يك دوره اي داشته و اين براي همه آنها مشابه است‬
‫‪_5‬سرمايه گذاران در يك سطح مشخصي از ريسك بازده باالتري را ترجيح‬
‫ميدهندو برعكس‪.‬‬
‫بطور مثال سرمايه گذاري بازده مورد انتظار باال(مطلوب)و عدم‬
‫اطمينان بازده (نامطلوب)به عنوان ‪ 2‬عامل مهم در تصميم گيري خود در‬
‫نظر دارد وي ‪N‬ورقه بهادار را پيش روي دارد لذا بازده ورقه را با‬
‫ميانگين و واريانس آن در نظر داردبعالوه اگر كوواريانس بين بازده دو‬
‫سهم باشد ‪ .‬اگر سرمايه گذار مقداري پول براي سرمايه گذاري بين ‪N‬‬
‫سهم داشته باشد سوال اينست كه مبلغ سرمايه گذاري چگونه بين ‪N‬ورقه‬
‫تخصيص يابد تا پرتفوي حاصله حداكثر مطلوبيت مورد انتظار را داشته‬
‫باشد‪.‬‬
‫ماكويتز پيشنهاد داد پاسخ سوال فوق بايد در دو مرحله انجام گيرد‪:‬‬
‫‪)1‬تعيين مجموعه پرتفوي كارا‬
‫‪)2‬انتخاب از مجموعه كارا‬
‫تعين پرتفوي كارا‬
‫ماركويتز بازده كل پرتفوي را به صورت ميانگين موزون بيان ميكند‬
‫‪ XI‬كسري از كل منابع سرمايه گذاري شده در سهم ‪I‬و ‪ Ri‬بازده سهم ‪I‬‬
‫است‪Ri .‬متغير تصادفي اند لذا ‪RP‬هم متغير تصادفي خواهد بود و‬
‫ارزش انتظاري و واريانس معادله فوق به شرح زير خواهد بود‪.‬‬
‫بازده موردانتظاريک پرتفوی دوسهمی به صورت زير است‪:‬‬
‫ازآنجا که فرض براین است که سرمایه گذارتمامی وجوه‬
‫خود راسرمایه گذاری نماید‪،‬بازده موردانتظار پرتفوی دو‬
‫سهمی بدین صورت خواهدبود‪:‬‬
‫توجه نماييدبازده موردانتظارپرتفوی ‪،‬برابرمتوسط‬
‫موزون بازده موردانتظارتک تک اوراق بهاداراست که‬
‫مجموع وزن آنهادرپرتفوی برابريک است‪.‬‬
‫انحراف معياربازده یک پرتفوی دو سهمی‬
‫بصورت زیراست‪:‬‬
‫می دانيم که ضريب همبستگی دردامنه ‪+1‬و‪-1‬قرارميگيرد‪.‬ارزش ‪+1‬يعنی‬
‫تغييرات دو سهام‪،‬هميشه و بطورکامل موافق يکديگراست‪.‬و ارزش ‪ -1‬به منزله‬
‫حرکت کامالًمتضادمی باشد‪.‬‬
‫‪:‬بازده موردانتظارو انحراف معياردوسهم فرضی درجدول زيرآمده‪:‬‬
‫معادله ريسک پرتفوی به صورت‬
‫زيرخواهدبود‪:‬‬
‫درحاليکه بازده موردانتظارپرتفوی برابراست با‪:‬‬
‫بنابراين درحالت‪P=+1‬ريسک وبازده پرتفوی برابرباترکيب خطی ريسک و بازده هرورقه‬
‫سهام‪،‬خواهدبود‪:‬‬
‫درنمووودارزيرهردوی روابووط قبلووی نشووان داده شووده انوود‪.‬نتيجووه ميگيووريم کووه بورای‬
‫هوورارزش ‪XC‬بووين صووفرو‪1‬هرانوودازه کووه درجووه همبسووتگی کمترباشوود‪،‬انحراف‬
‫معيوووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووارپرتفوی نيزکمترخواهووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووودبود‪.‬‬
‫يعنی انحراف معيار‪،‬به کمتورين مقودارخود‪P=-1‬موی رسودوبيش تورين مقودار آن‬
‫در‪ P=+1‬به دست می آيد‪.‬ضريب همبستگی باارزشهای متوسط‪،‬بايستی منحنوی‬
‫هماننوود‪SOC‬داشووته باشوود‪.‬کووه تمووامی پرتفويهووای دو سووهمی باارزشووهای متوسووط‬
‫ازضووووووووووووووووووووووريب همبسووووووووووووووووووووووتگی دردرون آن واقووووووووووووووووووووووع شووووووووووووووووووووووووند‪.‬‬
‫مرزکارادرحالت فروش استقراضی غيرمجاز‪:‬‬
‫يک سرمايه گذار‪،‬بازده بيشتررابه کمتر‪،‬وريسک کمتررابه بيشترترجيح می‬
‫دهد‪.‬بنابراين‪،‬اگرپرتفويهايی را بيابيم که‪:‬‬
‫‪-1‬بازده بيشتررابه ازاءريسک يکسان ارائه نمايدو يا‬
‫‪-2‬ريسک کمتری را به ازاءبازده يکسان ارائه نمايد ‪ ،‬خواهيم توانست‬
‫تمامی پرتفويهايی راکه سرمايه گذار‪،‬متمايل به نگهداری آن است تعيين‬
‫نماييم‪.‬نمودارزيررادرنظربگيريد‪:‬‬
‫‪ ‬توجه نماييد که پرتفوی ‪B‬توسط تمامی سرمايه گذاران بر پرتفوی ‪A‬‬
‫ترجيح داده می شود‪،‬چون بازده بيشتری را با سطح ريسک برابر با ‪A‬‬
‫فراهم می سازد‪.‬همچنين پرتفوی ‪C‬برپرتفوی ‪A‬ترجيح داده می‬
‫شود‪،‬چون ريسک کمتری را در سطح مشابهی از بازده فراهم می‬
‫سازد‪.‬تا بدين جا نمی توانيم چرتفويی را بيابيم که بر پرتفوی ‪C‬يا‬
‫پرتفوی ‪B‬غالب باشد‪.‬آنچه تا اينجا بديهی است اين است که مجموعه‬
‫پرتفويهای مناسب نمی تواند از پرتفويهای درون فضای مشخص شده‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪ ‬مجموعه بديلهای ممکن را بيشتر از اين نيز می توان محدود نمود در‬
‫فضای ريسک بازده می خواهيم تا حدممکن در جهت افزايش بازده و‬
‫کاهش ريسک حرکت نماييم ‪.‬نقطه ‪D‬را که يک نقطه مرزی است و بر‬
‫روی مرز قرار دارد در نظر بگيريد ‪ .‬می توانيم نقطه ‪D‬را حذف‬
‫نماييم زيرا که پرتفويی به نام ‪E‬وجوددارد که بازده بيشتری را با سطح‬
‫ريسک مشابه با‪D‬ارائه می نمايد‪.‬اين قاعده برای هر پرتفوی ديگری‬
‫نيز صادق خواهدبود‪.‬توجه نماييد که نقطه ‪C‬نمی تواند حذف شود زيرا‬
‫که چنان پرتفويی وجودنداردکه ريسک کمتری را به ازای بازده مشابه‬
‫‪،‬يابازده بيشتری را به ازای ريسک مشابه با نقطه ‪،C‬داشته باشد‪.‬نقطه‬
‫‪C‬را«پرتفوی حداقل واريانس کلی » می نامند‪.‬‬
‫نقطه ‪ B‬نشان دهنده پرتفويی است که بيشترين بازده مورد انتظاررا نسبت‬
‫به تمامی پرتفويهاداراست ‪.‬بنابراين مرزکاراشامل منحنی محاط تمامی‬
‫پرتفويهايی است که بين پرتفوی حداقل واريانس کلی (نقطه‪)C‬و پرتفوی‬
‫حداکثر بازده مورد انتظارنقطه ‪B‬قرار می گيرند‪.‬اين مجموعه مرز کارا‬
‫ناميده می شود‪.‬‬
‫مرز کارا بصورت يک تابع مقعرترسيم شده است‪.‬‬
‫مرزکارای حاصله را که درآن از فروش استقراض استفاده‬
‫نشده است ‪،‬مرزکاراباعدم فروش استقراضی می نامند‪.‬‬
‫مرزکارا درحالت فروش استقراضی مجاز‪:‬‬
‫دربازارهای سرمايه يشرفته‪،‬سرمايه گذارمی تواند پيشنهاد فروش‬
‫سهامی را بنمايد‪،‬که مالک آن نيست‪.‬اين عمل را فروش‬
‫استقراضی می نامند‪.‬‬
‫مرزکارادرحالت امکان فروش استقراضی در نمودارزيرنمايش‬
‫داده شده است‪:‬‬
‫دراين حالت پرتفويهايی وجود داردکه نرخهای بازده موردانتظار‬
‫نامحدود دارندو اين حالت غيرعادی نيست‪.‬زيراکه دراين حالت‬
‫هرکسی می توانداوراق بهاداررابابازده موردانتظارپايين بفروشد و‬
‫وجوه حاصله رابرای خريدسهام با بازده موردانتظارباال صرف‬
‫نمايد‪.‬درنمودارصفحه قبل فرض شده است که ضريب همبستگی بين‬
‫دو پرتفوی‪C‬و‪0/5،S‬باشد‪،‬تمامی پرتفويهايی که بازده بيشتری‬
‫رانسبت به پرتفوی حداقل واريانس کلی‪،‬ارائه می نمايند‪،‬درطول‬
‫منحنی مقعر‪،‬قرار می گيرند‪.‬دليل اين حالت به طورقياسی همان‬
‫است که برای حالت غيرمجازبودن فروش استقراضی مطرح‬
‫گرديد‪.‬‬
‫انتخاب پرتفوی بهينه‬

similar documents