Logika

Report
AZ INFORMATIKA LOGIKAI
ALAPJAI
INCK401
Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor
Gyakorlatvezető: Kovács Zita
2014/2015. I. félév
2. gyakorlat
Tartalom
 Logikai
műveletek - ismétlés
 Formalizálás
 A logika feladata
 Példák helyes és helytelen következtetésekre
 Feladatok az induktív definíció alkalmazására

Érvelések
Következtetés


Premissza:
 a következtetés valamely kiinduló állítása (lásd kicsit
később)
 azon állítások, amelyek igazságának feltételezése
mellett kívánjuk a konklúzió igazságát biztosítani
Konklúzió:
 a következtetés eredményeként kapott állítás
 a következtetés kimenete (outputja)
A logika feladata



A premisszák és a konklúzió közötti összefüggés
tanulmányozása.
Helyes következtetés: ha a premisszák igaz volta
esetén a konklúzió is igaz.
Például:
 premissza1:
Erika Sándornak a felesége.
 premissza2: Katalin Sándornak az édesanyja.
 konklúzió: Katalin Erikának az anyósa.
 pótpremissza: Ha x y-nak a felesége és z y-nak az
édesanyja, akkor z x-nek az anyósa.
Helytelen (hibás) következtetés

(P1): Ha a benzin elfogyott, az autó megáll.
(P2): Nem fogyott el a benzin.
(K): Az autó nem áll meg.

Betűk használatával (mint a matematikában):


 Ha
A, akkor B.
 Nem A.
 Nem B.
Logika - Hofi

p://www.youtube.com/watch?v=AEZikzeji2A
Következtetés logikai vizsgálata


logikai szavak:
 nem
¬
negáció
 és
∧
konjunkció
 vagy
∨
diszjunkció
 ha… akkor…
⊃
implikáció
 minden
∀
univerzális kvantor
 van
∃
egzisztenciális kvantor
a mondatrészek, szavak jelentése közömbös, helyettük:
 atomi formulák
 termek
Formalizálás


Állítás: Egy kijelentő mondat állítás, ha egyértelmű
információt hordoz és igazságértékkel bír.
Egy állítás igaz, ha az információtartalom a
valóságnak
megfelelő,
egyébként
hamis,
függetlenül tudásunktól.
Ítélet (állítás)


Ítéleten olyan értelmes, zárt kijelentő mondatot értünk, amely
egyértelműen igaz vagy hamis.
A fenti definícióban az egyértelműségi követelmény klasszikus és
bővebb megfogalmazásban a következő feltételek teljesülését
jelenti:




Egy ítélet nem lehet egyszerre igaz és hamis. (ellentmondástalanság elve)
Nincs olyan ítélet, amely se nem igaz, se nem hamis. (kizárt harmadik
elve)
Ha egy ítélet nem hamis (nem igaz, hogy nem igaz), akkor az az ítélet
igaz. (kettős tagadás elve)
Összefoglalva, ítélet vagy igaz és ekkor nem hamis, vagy hamis és
ekkor nem igaz, más lehetőség (másféle ítélet) nincs.
Formalizálás
Állítás
Most esik az eső
Debrecenben.
5<3
Karunk dékánja 50 éves.
Nem állítás
Esik.
x<3
Karunk tanára 50 éves.
Formalizálás
Gyakran az egyszerű állítások szerkezetét is fel
kell tárnunk:
 Dezső postás.
 Amália és Bella testvérek.
 Az Erzsébet híd összeköti Budát Pesttel.
predikátum + objektumnevek
A negáció



¬p
0
1
1
0
igazságtáblázata
Tipikus természetes nyelvi alakja: 'Nem igaz, hogy
...'
Legyen A∈Form. ¬A kiolvasása:
 Nem
igaz, hogy A.
 Non A.
 Negáció A.

p
Kettős negáció törvénye: ¬¬A⇔A
Példák
A: „Alfréd diák.”
 Alfréd nem diák: ¬A

É: „Éva szőke.”
 Éva nem szőke: ¬É

A konjunkció



∧
0
1
0
0
0
1
0
1
igazságtáblázata
Tipikus természetes nyelvi alakja: ... és ...
Legyen A,B∈Form. (A∧B) kiolvasása:
A
és B.
 A konjunkció B.
A konjunkció tulajdonságai





Felcserélhető (kommutatív): (A∧B)⇔(B∧A)
Csoportosítható (asszociatív): (A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)
Idempotens: (A∧A)⇔A
(A∧B)⊨A, (A∧B)⊨B
Az ellentmondás törvénye: ⊨¬(A∧¬A)
Példák
A: „Amália kertész.”
 B: „Bella kertész.”
 Amália és Bella kertészek: A∧B

P: „Péntek van.”
 L: „Logikát tanulunk.”
 Péntek van és logikát tanulunk: P∧L

A diszjunkció



∨
0
1
0
0
1
1
1
1
igazságtáblázata
Tipikus természetes nyelvi alakja: ... vagy ...
(megengedő értelemben)
Legyen A,B∈Form. (A∨B) kiolvasása:
A
vagy B.
 A diszjunkció B.
A diszjunkció tulajdonságai






Felcserélhető (kommutatív): (A∨B)⇔(B∨A)
Csoportosítható (asszociatív): (A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C)
Idempotens: (A∨A)⇔A
A⊨(A∨B)
{(A∨B),¬A}⊨B
A kizárt harmadik törvénye. ⊨(A∨¬A)
Példák
E: „Esik az eső.”
 F: „Fúj a szél.”
 Esik az eső, vagy fúj a szél: E∨F

S: „Sikeres félévet zárok logikából”
 Sikeres félévet zárok logikából vagy nem
zárok sikeres félévet logikából: S∨¬S

Az implikáció



⊃
0
1
0
1
1
1
0
1
igazságtáblázata
Tipikus természetes nyelvi alakja: Ha ..., akkor ...
Legyen A,B∈Form. (A⊃B) kiolvasása:
 Ha
A, akkor B.
 Amennyiben A, úgy B.
 A implikáció B.
 A implikálja B-t.
Az implikáció tulajdonságai







⊨(A⊃A)
Modus ponens (leválasztási szabály): {(A⊃B),A}⊨B
Modus tollens (indirekt cáfolás
sémája):{(A⊃B),¬B}⊨¬A
Láncszabály: {(A⊃B),(B⊃C)}⊨(A⊃C)
Redukció ad abszurdum: {(A⊃B),(A⊃¬B)}⊨¬A
¬A⊨(A⊃B)
B⊨(A⊃B)
Az implikáció tulajdonságai







Áthelyezési törvény: ((A∧B)⊃C)⇔(A⊃(B⊃C))
Kontrapozíció: (A⊃B)⇔(¬B⊃¬A)
(A⊃¬A)⊨¬A
(¬A⊃A)⊨A
(A⊃(B⊃C))⇔((A⊃B)⊃(A⊃C))
⊨(A⊃(¬A⊃B))
((A∨B)⊃C)⇔((A⊃C)∧(B⊃C))
Példák
M: „Megtanulom a leckét.
 Ö: „Ötösre felelek.”
 Ha megtanulom a leckét, akkor ötösre felelek:
M⊃Ö

E: „Esik a hó.”
 T: „Tél van.”
 Ha esik a hó, akkor tél van: E⊃T

≡
0
1
0
1
0
1
0
igazságtáblázata
Tipikus természetes nyelvi alakja: ... akkor és csak
akkor, ha ...
Legyen A,B∈Form. (A≡B) kiolvasása:
1
A (materiális) ekvivalencia



A akkor és csak akkor, ha B.
 A ekvivalens B(-vel).
 A materiálisan ekvivalens B(-vel).


A materiális jelzőt gyakran elhagyjuk. Szerepeltetését
pusztán az indokolja, hogy megkülönböztessük a
(materiális) ekvivalencia műveletét a logikai
ekvivalencia relációjától.
A (materiális) ekvivalencia tulajdonságai




⊨(A≡A)
⊨¬(A≡¬A)
Kommutatív: (A≡B)⇔(B≡A)
Asszociatív: (A≡(B≡C))⇔((A≡B)≡C)
Példák
P: „A kettő prímszám.”
 O: „Hat osztható hárommal.”
 A kettő prímszám akkor és csak akkor, ha a
hat osztható hárommal: P≡O

Formalizálás
Univerzális kvantor:
 Amália mindegyik testvére lány.
Egzisztenciális kvantor:
 Amáliának van testvére.
A konjunkció és a diszjunkció

Kétoldali disztributivitás:
 (A∨(B∧C))⇔((A∨B)∧(A∨C))
(A diszjunkció disztributív a
konjunkcióra nézve.)
 (A∧(B∨C))⇔((A∧B)∨(A∧C)) (A konjunkció disztributiv a
diszjunkcióra nézve.)

Elnyelési tulajdonság:
 (A∧(B∨A))⇔A
 (A∨(B∧A))⇔A
A konjunkció és a diszjunkció
De Morgan törvények
 Mit állítunk akkor, amikor egy konjunkciót
tagadunk?

 ¬(A∧B)⇔(¬A∨¬B)

Mit állítunk akkor, amikor egy diszjunkciót
tagadunk?
 ¬(A∨B)⇔(¬A∧¬B)
Az első De Morgan törvény bizonyítása
A
B
¬A
¬B
(¬A∨¬B)
(A∧B)
¬(A∧B)
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
A második De Morgan törvény bizonyítása
A
B
¬A
¬B
(¬A∧¬B)
(A∨B)
¬(A∨B)
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
Nulladrendű nyelv – Formalizálás
1.
2.
3.
4.
5.
Péter nem ment haza.
Éva nem szőke.
Nem igaz, hogy Péter nem ment haza.
Nem áll, hogy nem igaz, hogy Éva nem szőke.
Péter vagy nem ment haza, vagy nem maradt
otthon, de nem áll, hogy otthon van.
Elsőrendű nyelv - Formalizálás
1.
2.
3.
4.
Gábor pék.
Ha Gábor pék, akkor Kriszta is az.
Vannak pékek.
Minden ember pék.
Elsőrendű nyelv - Formalizálás
K(x) jelentse azt, hogy „x – használtautó kereskedő”
T(x) jelentse azt, hogy „x – tisztességes ember”
Mit jelentenek ekkor a
a)
∃xK(x)
b)
∀x(K(x) ⊃¬T(x))
c)
∃x(K(x)∧T(x))
d)
∃x(T(x) ⊃K(x))
formulák?
Az alábbi állításokban vezessünk be új változókat és jelöljük ki a
kvantorokat! Használjuk szükség szerint a negációjelet!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Mindenki szeret valakit.
Mindenkit szeret valaki.
Mindenki szeret mindenkit.
Mindenki szereti önmagát.
Van, aki mindenkit szeret.
Van, akit mindenki szeret.
Van, aki szereti önmagát.
Senki sem szeret mindenkit.
Induktív definíció I.
Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós
módszer. Elsősorban halmazok, függvények és
sorozatok definiálására használható.
A definíció két fő részből áll:
A
bázis megadása
 A szabály, vagy szabályok megadása
Rekurzív (induktív) definíció*
A fogalom definíciója olyan, hogy definiáljuk a fogalom
egy részfogalmát, részhalmazát, majd a további
definíciónál erre a már definiált részhalmazra is
hivatkozunk.
Leggyakrabban sorozatok definiálására használjuk,
például "a1 := 2; an+1 := 2an" nem más, mint rekurzív
definíció az {an} := 2n sorozatra. Így először az első tag
mibenlétét (mint a sorozat egy részhalmazát) definiáljuk,
majd megmutatjuk, az előző tagok ismeretében hogyan
lehet a következőket kiszámolni.
*http://hu.wikipedia.org/wiki/Meghatározás
Rekurzív (induktív) definíció*
Az első lépést bázisnak, a másodikat bővítési
szabálynak szokás nevezni, és a definíció (általában
implicit módon) tartalmaz egy ún. záradékot is, ami
azért felelős, hogy más ne tartozzon a fogalom alá.[4]
*http://hu.wikipedia.org/wiki/Meghatározás
[4]
Röviden és informálisan tehát az an sorozat rekurzív
definíciója:



Bázis: A 2 eleme az an sorozatnak.
Bővítési szabály: Ha valami eleme az an
sorozatnak, akkor a kétszerese is eleme az an
sorozatnak.
Záradék: Más nem eleme az an sorozatnak.
Példa 1.
A hárommal osztható természetes számok halmazát
(jelöljük ezt A-val) például megadhatjuk az alábbi
induktív definícióval:
Bázis: 3 eleme A-nak
Bővítési szabály: Ha valami eleme az A-nak, akkor a
3-mal növelt szám is eleme A-nak.
Példa 2.
Az ab- jelsorozatok halmazát az alábbi induktív
defínicóval adhatjuk meg:
Bázis: a
b
Bővítési szabályok: X->Xa
X->Xb
(ahol X tetszőleges jel)










Idenpotencia
AA=AAA=A
Kommutativitás
AB=BAAB=BA
Asszociativitás
(A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)
Disztributivitás
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B) 
(A  C)
De Morgan-képletek
A B  A B A B  A B
http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf
Feladatok
1.
Adjuk meg az a-val kezdődő és b-re végződő
jelsorozatok halmazát induktív definícióval!
Segédletek logikából



Dr. Mihálydeák Tamás:

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html

http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf
Dr. Várterész Magda:

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf

http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf
Lengyel Zoltán:

http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf

similar documents