Fundamentos básicos

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Instituto Federal da Bahia – IFBA
Professor: Lissandro
TENSÕES E CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
BALANCEADOS
Sistemas de potência são alimentados por geradores trifásicos. De
maneira ideal, os geradores suprem energia para cargas trifásicas
balanceadas, o que significa cargas com impedância idênticas nas
três fases.
A figura a seguir mostra um gerador conectado em estrela
suprindo uma carga em estrela balanceada. Para essa análise, as
impedâncias das conexões entre os terminais do gerador e da
carga, como também a impedância da conexão entre (0) e (n) são
desprezadas.
1 de
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A figura mostra um sistema simples trifásico equilibrado.
2 de
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O circuito equivalente de um gerador trifásico consiste de uma
força eletromotriz (fem) em cada uma das três fases. Os pontos a’,
b’ e c’ são pontos fictícios, desde que a fem gerada em cada fase
não pode ser separada da impedância de cada fase.
As fem’s possuem o mesmo módulo e são deslocadas de 120º uma
em relação a outra. Se o módulo de cada fem é 100 V, então
podemos concluir que:
E a '0  1000o
E b'0  100  120o
E c'0  100120o
Isto fornece a sequência de fase (abc).
3 de
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OBS: O diagrama do circuito não fornece nenhuma indicação da
sequência de fase, mas a figura a seguir mostra a sequência de
fase (abc).
Nos terminais do gerador e neste caso nos terminais da carga
também, tem-se que:
Va 0  E a '0  Zd Ian
Vb0  E b'0  Zd I bn
Vc0  E c'0  Zd Icn
4 de
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Desde que (0) e (n) estão no mesmo potencial, então:
Va 0  E a '0  Zd Ian  Van
Vb0  E b'0  Zd I bn  Vbn
Vc0  E c'0  Zd Icn  Vcn
As correntes de linha (iguais as correntes de fase para conexão
estrela) são:
E a '0
Van
Ian 

Zd  Z R Z R
E b'0
Vbn
I bn 

Zd  Z R Z R
E c'0
Vcn
Icn 

Zd  Z R Z R
5 de
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Desde queE
a '0
, E b'0 , E c'0
possuem o mesmo módulo e estão
defasadas por 120º e desde que as impedâncias vistas por essas fems são
iguais, então as correntes também possuem o mesmo módulo e estão
defasadas de 120º entre si.
As correntes e tensões são classificadas como balanceadas.
A figura a seguir mostra as três correntes de um sistema balanceado.
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Desde que a soma das três correntes é nula, então a corrente do
neutro será nula também, entre a conexão do neutro do gerador e
o neutro da carga.
Consequentemente a conexão entre (o) e (n) pode ter qualquer
impedância, ou até mesmo está em aberto e (n) e (o) estarão no
mesmo potencial. Se a carga não for balanceada, a soma das
correntes não será nula e uma corrente In fluirá entre (o) e (n).
OBS: Para condição desbalanceada, (n) e (o) não estarão no
mesmo potencial ao não ser que eles estejam conectados por uma
impedância nula.
7 de
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OPERADOR (a)
O deslocamentos de fase nas tensões e correntes podem ser
indicados através do operador (a) definido por:

a  1120  1
o
j 2
3
  0,5  j0,866
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Diagrama fasorial das tensões de linha em relação as tensões
fase neutro
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Diagrama fasorial das tensões de linha em relação as tensões
fase neutro
As tensões de linha no circuito (link) são: Vab , Vbc, Vca .
A tensão de linha Vab é dada por:
Vab  Van  Vnb  Van  Vbn
Iremos usar a tensão Van como fasor de referência:
Vab  Van  Vnb  Van  Vbn
Vbn  a 2 Van
Vab  Van  a 2 Van  1  a 2  Van
1  a  330
2
Vab 

o

330o Van
10 de
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As outras tensões de linha são encontradas de maneira similar.
OBS: O módulo das tensões de linha de um circuito trifásico é
sempre igual a 3 vezes o módulo das tensões fase-neutro para
um circuito trifásico balanceado.
A figura abaixo mostra uma forma de mostrar as tensões de linha
e as tensões de fase.
Observe na figura acima que a ordem pela qual os vértices a, b, c
do triângulo se estabelece para um observador quando o triângulo
é rotacionado sobre o ponto (n) indica a sequência de fase (abc).
11 de
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Cargas balanceadas em delta
Ica
Tomando como referência o fasor Iab :
Ia  Iab  Ica
Ia  Iab  aIab  1  a  Iab
Ia 

Iab

3  30o Iab
Ibc
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Cargas balanceadas em delta
13 de
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Resolvendo circuitos trifásicos balanceados
Na solução de um circuito trifásico equilibrado (balanceado) não
é necessário trabalhar com o diagrama de circuito trifásico
completo conforme figura abaixo:
14 de
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Para resolver o circuito anterior, um condutor neutro de
impedância nula (condutor ideal) é considerado presente e conduz
a soma das correntes nas três fases, a qual é nula para condições
balanceadas. A solução do circuito se dá pela aplicação da lei de
Kirchhoff no circuito fechado que inclui uma fase e o neutro.
Tal caminho fechado é apresentado na figura abaixo:
Este circuito é denominado de equivalente monofásico ou por
fase do circuito trifásico completo do slide anterior
15 de
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Os cálculos realizados para este circuito fechado pode ser
ampliado para as outras duas fases mantendo-se o módulo da
corrente e defasando o ângulo de fase em 120º.
Cargas em delta devem ser transformadas em estrela equivalente
com base na transformação delta-estrela.
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Considere agora um sistema similar ao abordado anteriormente,
desprezando a impedância interna da fonte.
A figura mostra uma fonte de tensão trifásica conectada em
estrela alimentando um carga balanceada conectada em estrela.
Nesse caso desprezamos a impedância da linha entre a fonte e a
carga e também a impedância do condutor neutro entre os pontos
(n) e (N). A carga trifásica é balanceada o que significa que as
impedâncias em todas as três fases são idênticas.
18 de
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Um exemplo de tensões fase neutro trifásica balanceadas é
fornecido a seguir:
E an  100o
E bn  10  120o
E cn  10120o
Elas são balanceadas, pois possuem mesmo módulo e são
defasadas de 120º entre quaisquer duas fases.
A sequência de fase é chamada de sequência positiva quando
E anse adianta a Ebn e Ebn se adianta a Ecn. Outra denominação é (abc).
A sequência de fase é chamada de sequência negativa quando E an
se adianta a Ecn por 120º e Ecn se adianta a Ebn por 120º.Tem-se
então a sequência de fase (acb).
19 de
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Um exemplo de tensões fase neutro trifásica balanceadas é
fornecido a seguir:
E an  100o
E bn  10  120o
E cn  10120o
Para o exemplo numérico acima, as tensões de linha
correspondentes são calculadas facilmente.
E ab  E an  E bn
E bc  E bn  E cn
E ab  100o  10  120o
E ab  10  120o  10120o
E ab  3 1030o 
E ab  3 10  90o 
20 de
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A tensão de linha Eca é calculada de maneira semelhante.
E ca  E cn  E an
E ca  10  120o  100o
E ca  3 10150o 
Conclusão:
Em um sistema trifásico equilibrado (balanceado) conectado em
estrela com fonte de tensão trifásica balanceada, as tensões fasefase (de linha) são
3 vezes as tensões fase-neutro e estão
adiantadas de 30º.
E ab  3E an    30o 
E bc  3E bn    30o 
E ca  3E cn    30o 
21 de
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Os diagramas fasoriais correspondentes são:
Observe um detalhe na construção do diagrama fasorial. As
tensões de linha formam um triângulo equilátero cujos vértices
correspondem as respectivas fases. As tensões fase-neutro
começam no vértice e terminam no ponto (n) que é o neutro.
22 de
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Qual será a resultante da soma das tensões de linha? Será sempre
zero independentemente se o sistema for balanceado ou não?
Corrente de linha
Desde que a impedância entre o neutro da fonte e da carga é
desprezada, então EnN=0. As correntes de linha podem ser escritas
por inspeção a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das tensões
para cada fase.
E an
E bn
E cn
Ia 
 Ib 
 Ic 
Zest
Zest
Zest
Por exemplo, se cada fase possui uma impedância Zest  230
o
23 de
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As correntes resultam em:
100o
o
Ia 

5


30
230o
o
10  120
o
Ib 

5


150
230o
10120o
o
Ic 

5

90
230o
A corrente de neutro é calculada somando-se as correntes de
linha.
I N  Ia  I b  Ic  0
24 de
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Desde que as correntes de linha formam um triângulo fechado,
sua soma que é a corrente de neutro é zero. Em geral, a soma de
qualquer conjunto trifásico de fasores balanceados é zero, desde
que estes formam um triângulo fechado.
Embora a impedância do condutor é considerada nula, a corrente
de neutro será sempre zero (no caso balanceado) para qualquer
impedância do neutro entre valor nulo e infinito(circuito aberto).
Isso somente é válido se o sistema for balanceado.
Se o sistema não for balanceado, o que poderá ocorrer se as
tensões da fonte, impedâncias da carga, ou impedâncias das fases
forem desequilibradas – nesse caso as correntes de linha não
serão balanceadas e a corrente de neutro poderá fluir entre os
pontos (n) e (N).
25 de
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Cargas balanceadas em delta - Exemplo
Como as impedâncias das linhas são desprezadas, a tensão de
linha da fonte é igual a tensão de linha da carga.
As correntes que circulam no delta são:
I AB
E AB
E BC
E CA

 I BC 
 ICA 
Zd
Zd
Zd
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Sendo as tensões de linha iguais a do problema anterior, as
correntes no delta podem ser calculadas facilmente:
E ab  310    30o 
E bc  310    90o 
E ca  310    150o 
I AB
31030
E AB
o
0

3,464



530o
Zd
I BC
310  120o
E BC
o
120


3,464



o
530
Zd
ICA
310  150o
E CA
o
120


3,464



o
530
Zd
o
27 de
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As correntes de linha podem ser encontradas a partir de cada nó
da carga em delta.
Ia  I AB  ICA
o

 3,4640  3,464120 
o
Ia  3  3,464  30o 
I b  I BC  I AB  3,464  120o  3,4640o 
I b  3  3,464  150o 
Ic  ICA  I BC  3,464120o  3,464  120o 
Ic  3  3,464  90o 
28 de
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A soma das correntes de linha (Ia +Ib +Ic) é sempre zero para uma
carga conectada em delta até mesmo se o sistema for
desequilibrado, desde que não existe condutor neutro.
Conclusão para cargas conectadas em delta:
As correntes de linha para uma carga conectada em delta
alimentada por uma fonte de sequência positiva balanceada são 3
as correntes no delta e se atrasam por 30º.
Ia  3I AB  30o
I b  3I BC  30o
Ic  3ICA   30o
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Conversão delta-estrela equivalente para cargas balanceadas
Se tensões balanceadas forem aplicadas as duas cargas, do ponto
de vista dos terminais, as correntes de linha serão iguais, ou seja:
 E AB
o
I A  3I AB  30  3 
  30 
 Zd

o
IA 

3

3E AN 30   30
o
Zd
o
E AB
E AN E AN



Zd
Zest
3
  30o
3
Zest
30 de
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Exemplo: Uma fonte de tensão de sequência positiva conectada
em estrela com Eab = 480<0o é aplicada em uma carga balanceada
com impedância igual a 30<40º. A impedância da linha entre a
fonte e a carga é igual 1<85º para cada fase. Encontre as correntes
de linha, as correntes no delta e as tensões nos terminais da carga.
Solução: De imediato, deve-se transformar a carga conectada em
delta para estrela equivalente. Com essa transformação, podemos
encontrar as correntes de linha do sistema equivalente que são
iguais as correntes de linha do sistema original (carga em delta).
Após encontrar as correntes de linha, as correntes no delta são
facilmente deslocando as correntes de linha correspondentes por
30º e dividindo por 3 .
31 de
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O sistema equivalente é mostrado a seguir:
Observe que a conexão entre o neutro da fonte e da carga não
possui nenhuma influência no cálculo das corrente de linha, pois
como se trata de um sistema balanceado, a corrente de neutro é
nula. Normalmente, coloca-se um condutor fictício de impedância
nula para completar o circuito.
32 de
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O circuito equivalente por fase após a conversão da carga em
delta para estrela equivalente é mostrado a seguir:
Observe que o fasor de referência é a tensão de linha Eab.
E ab  4800o
480
E an 
  30o
3
A tensão de fase correspondente está atrasada de 30º em relação à
tensão fase-fase (de linha).
33 de
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A corrente de linha da fase (a) é dada por:
480
  30o
E an
3
o
IA 


25,83


73,78
ZL  ZY 185o  30 40o
3
o
o
I B  25,83  193,78  25,83166,22
IC  25,83  46,22o
As correntes no delta são:
I AB
I AB
1
1
o

I A   30 
25,83  73,78o  30o 
3
3
 14,91  43,78o
I BC  14,91196,22o
ICA  14,9176,22o
34 de
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As tensões de linha nos terminais da carga podem ser encontradas
da seguinte maneira. Com base no circuito equivalente.
E An 
E an
 ZL  I A
tensão da fonte
E An
E An
480

  30o  185o  25,83  73,78o 
3
 258, 26  33,79o
E Bn  258, 26206, 21o
E AB  E An  E Bn
E AB  258, 26  33,79o  258, 26206, 21o
E AB  447,32  3,79o
E BC  447,32236, 21o
E CA  447,32116, 21o
35 de
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DIAGRAMA FASE-NEUTRO EQUIVALENTE
Quando os cálculos forem efetuados em circuitos trifásicos
balanceados, apenas uma fase precisa ser analisada. Cargas em
delta podem ser convertidas em cargas em estrela e todos os
neutros da fonte e da carga podem ser conectados através de um
condutor de impedância nula sem alterar a solução do problema.
Normalmente a fase escolhida para a solução é a fase (a). As
tensões e correntes nas outras duas fases possuem mesmo módulo
e são deslocadas de +-120º em relação à fase (a).
Obs: Os dados nominais dos equipamentos trifásicos são
especificados em função da tensão de linha (valor rms) e da
potência aparente trifásica total.
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Potência em circuitos trifásicos balanceados
A potência total fornecida por um gerador trifásico ou absorvida
por uma carga trifásica é encontrado somando-se a potência em
cada uma três fases. Em um circuito balanceado isto é o mesmo
que multiplicar a potência de qualquer fase por três.
Se o módulo das tensões de fase Vp para uma carga conectada
em estrela é :
Vp  Van  Vbn  Vcn
E o módulo das correntes de fase I p para uma carga conectada em
estrela é:
I p  Ian  I bn  Icn
37 de
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A potência trifásica total é dada por:
P  3 Vp I p cos   
Se os módulos das tensões e das correntes de linha são calculados
por:
VL 
IL 
Vp
3
Ip
3
P  3 VL  I L  cos   
Q  3 VL  I L  sen   
S  P 2  Q 2  3 VL  I L
38 de
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Quantidade por unidade (pu)
Linhas de transmissão de potência são operadas em níveis de
tensão onde o kV é a unidade mais conveniente para expressar a
tensão. Devido a grande quantidade de potência transmitida, kW e
kVA ou MVA são termos comuns. No entanto, essas quantidades
juntamente com a corrente elétrica ou impedância são geralmente
calculadas como um percentual ou por unidade de um valor base
ou valor de referência para cada grandeza.
O valor por unidade (pu) de qualquer quantidade é definido
como a razão entre a quantidade e o seu valor base.
Tensão, corrente, potência aparente e impedância podem ser
selecionadas para valor base. Escolhendo duas delas, as duas
restantes podem ser especificadas facilmente.
39 de
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Por exemplo, se for especificado como valor base a tensão e a
corrente, então a impedância base e a potência aparente base
podem ser determinadas. A impedância base é aquela que possui
uma queda de tensão igual a tensão base quando a corrente
fluindo na impedância é igual ao valor base da corrente. A
equação é dada por:
Vb
Zb 
Ib
A potência aparente base é dada por:
Sb  Vb  I b
Normalmente, especifica-se a potência base em MVA e a tensão
base em kV.
40 de
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Para sistemas monofásicos ou sistemas trifásicos onde o termo
corrente se refere a corrente de linha e onde o termo tensão se
refere a tensão fase-neutro e onde o termo kVA se refere ao
kVA/fase, as seguintes fórmulas relacionam as quantidades:
41 de
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Os símbolos denotam o seguinte:
LN – Fase-neutro
1ϕ – Por fase
Quando as equações forem aplicadas a circuitos trifásicos, os
símbolos são colocados.
Desde que circuitos trifásicos balanceados são resolvidos
utilizando o equivalente por fase com retorno pelo neutro, as
bases para as quantidades no diagrama impedância são a potência
aparente por fase e a tensão base fase-neutro.
Base para
circuitos
trifásicos
TENSÃO FASE-NEUTRO
POTÊNICA APARENTE POR FASE
42 de
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Entretanto, dados em sistemas trifásicos são fornecidos a partir da
potência aparente total (trifásica) em kVA ou MVA e da tensão de
linha em kV. Por causa dessa prática, pode causar confusão na
relação entre o valor pu da tensão de linha e o valor em pu da
tensão de fase (fase-neutro). Contudo como se trata de um sistema
trifásico balanceado pode-se afirmar que:
O valor em pu da tensão fase-neutro em relação a tensão faseneutro base é igual ao valor em pu da tensão de linha em
relação a uma dada tensão de linha base.
43 de
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DEDUÇÃO:
Vfn
V  b
Vfn
pu
fn
Vff
V  b
Vff
pu
ff
Vff  3Vfn
Vffb  3Vfnb
Vff
3Vfn Vfn
pu
V  b 


V
fn
b
b
Vff
V
3Vfn
fn
pu
ff
OBS: ISTO SOMENTE É VÁLIDO PARA CIRCUITOS
TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (BALANCEADOS).
44 de
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Semelhante ao caso da tensão, o valor da potência trifásica em pu
em relação a potência trifásica base é igual ao valor em pu da
potência por fase em relação a uma dada potência por fase base.
Convenção para sistemas trifásicos equilibrados
Ao especificar um valor base em um sistema trifásico, garante-se
que esse valor corresponde a tensão de linha e ao especificar um
valor para a potência aparente base, garante-se que esse valor
corresponde a potência trifásica total.
BASE
SISTEMAS
TRIFÁSICOS
POTÊNCIA TRIFÁSICA APARENTE TOTAL: S3ϕ
TENSÃO DE LINHA: Vb
45 de
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Fórmulas para corrente base e impedância base.
Sb
Ib 
3Vb
Vb2
Zb 
Sb
Mudança de base de quantidades em pu.
Algumas vezes a impedância em pu de um componente do
sistema é calculada em uma base diferente daquela parte do
sistema que o componente está localizado. Desde que todas as
impedâncias em qualquer parte do sistema devem estar numa
mesma base quando os cálculos forem realizados, então é
necessário ter um meio de converter as impedâncias em pu de
uma base para outra.
46 de
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A impedância em pu calculada na nova base é:
2
 Vbv   Sbn 
Z  Zpu  
 

 Vbn   Sbv 
'
pu
DIAGRAMA POR FASE OU UNIFILAR
Desde que um circuito trifásico balanceado é sempre resolvido
utilizando o circuito equivalente por fase ou monofásico composto por
uma das três fases e retorno pelo neutro, é raramente necessário mostrar
mais do que uma fase e o retorno pelo neutro quando desenhamos um
diagrama de circuito.
Geralmente o diagrama do circuito é simplificado através da omissão do
caminho de retorno pelo neutro e relacionando os componentes através
de símbolos padronizados do que utilizar os seus circuitos equivalentes.
Os parâmetros do circuito não são mostrados e uma linha de
transmissão é mostrado como um traço (linha) entre duas extremidades.
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Tal diagrama é denominado de diagrama unifilar ou por fase.
Ele indica como os componentes e linhas de transmissão são
conectados através de símbolos padronizados. O objetivo do
diagrama unifilar é fornecer de maneira sucinta informação sobre
o sistema.
48 de
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Símbolos da ANSI
49 de
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A figura abaixo mostra um diagrama unifilar de um sistema de
potência simples.
50 de
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Diagrama de impedância e reatância
Para calcular a performance do sistema em condições de carga ou
no caso de ocorrência de uma falta, o diagrama unifilar é utilizado
para desenhar o circuito equivalente monofásico ou por fase do
sistema. A figura a seguir combina os circuitos equivalentes para
vários componentes para formar o diagrama de impedância do
sistema.
51 de
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O diagrama impedância não inclui as impedâncias limitadoras de
corrente mostradas no diagrama unifilar entre o neutro do gerador
e a terra, pois nenhuma corrente flui na terra em condição
balanceada e os neutros do geradores estão no mesmo potencial
do neutro do sistema.
Desde que a corrente shunt do transformador é pequena quando
compara com a corrente de plena carga, admitância shunt do
transformador é normalmente desprezada.
Para certos estudos, tais como análise de faltas a resistência
também é omitida já que a reatância indutiva do sistema é muito
maior do que a resistência. Cargas que não envolve máquinas
rotativas possui um pequeno efeito sobre o cálculo de faltas e são
usualmente omitidas.
53 de
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Cargas de motores síncronos, entretanto, são sempre incluídas no
cálculo de faltas pois suas fems contribuem para a corrente de
curto-circuito.
O diagrama deve conter os motores de indução já que uma fem
gerada em série com uma reatância indutiva se o diagrama é
utilizado para determinar a corrente de falta imediatamente após a
ocorrência de uma falta. Muitas vezes o motor de indução é
ignorado no cálculo da corrente a partir de poucos ciclos após a
ocorrência da falta já que sua contribuição de corrente diminui
muito rapidamente após o motor ter sido colocado em curto.
No caso do estudo de corrente de falta, o diagrama de impedância
pode ser simplificado e levar em conta apenas as reatâncias dos
componentes do sistema de potência.
54 de
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Diagrama de reatância
Para estudo de faltas, o seguinte diagrama é válido.
Os diagramas de impedância e de reatância por fase apresentados
são denominados de diagrama de sequência positiva por fase
desde que eles mostram impedâncias para correntes balanceadas
em uma fase de um sistema trifásico simétrico.
55 de
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Os diagramas de impedância e de reatância por
fase apresentados são denominados de diagrama
de sequência positiva por fase desde que eles
mostram impedâncias para correntes balanceadas
em uma fase de um sistema trifásico simétrico.
56 de
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MODELAGEM DE TRANSFORMADORES
TÓPICOS PRINCIPAIS
A figura abaixo mostra dois enrolamentos que são colocados em
um núcleo de ferro para formar um transformador monofásico.
57 de
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Inicialmente assumimos que o fluxo varia de forma senoidal e que
o transformador é ideal:
- A permeabilidade no núcleo é infinita;
- Todo fluxo está confinado no núcleo que significa que ele enlaça
todas as espiras de ambos enrolamentos;
- As perdas no núcleo e a resistência dos enrolamentos são
desprezíveis;
Com base nas considerações acima:
d
v1  e1  N1
dt
d
v2  e2  N 2
dt
A direção do fluxo é estabelecida pela regra da mão direita.
58 de
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Desde que foi assumida variação senoidal do fluxo, então
podemos converter as tensões para a forma fasorial.
V1 E1 N1


V2 E 2 N 2
CONVENÇÃO DOS PONTOS
Usualmente não conhecemos a maneira pela qual as bobinas estão
enroladas. Uma maneira de provê informação sobre a disposição
do enrolamentos é colocar um ponto no terminal de cada
enrolamento de maneira que todos os terminais pontuados tenham
potencial positivo no mesmo instante.
59 de
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Bobinas mutuamente acopladas
Considere a ilustração de um transformador a seguir:
60 de
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Considere que a corrente na bobina 2 tem uma direção que produz
fluxo no mesmo sentido do fluxo produzido pela corrente da
bobina 1.
A corrente i1 agindo sozinha produz um fluxo ϕ11 que tem uma
componente mútua ϕ21 que enlaça ambas bobinas e uma pequena
componente de dispersão que enlaça somente a bobina 1. O fluxo
concatenado da bobina 1 devido à corrente i1 agindo sozinha é
dado por:
11  N111  L11i1
Em que L11 é a indutância própria da bobina 1.
61 de
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Com base na mesma condição da corrente i1 agindo sozinha, temse que o fluxo concatenado da bobina 2
 21  N 221  L 21i1
Em que L21 é a indutância mútua entre as bobinas. De maneira
similar, veremos o que acontece quando a corrente i2 circula
sozinha. Ela produz um fluxo ϕ22 que possui duas componentes:
um fluxo de dispersão ϕL2 que enlaça apenas a bobina 2 e um
fluxo mútuo ϕ12 que enlaça ambas as bobinas. O fluxo
concatenado da bobina 2 devido a corrente i2 sozinha:
 22  N 222  L 22i 2
E o fluxo concatenado da bobina 1 devido a corrente i2 sozinha é:
12  N112  L12i 2
62 de
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Quando ambas correntes agem simultaneamente, os fluxos
concatenados são:
1  11  12  L11i1  L12i 2
 2   21   22  L 21i1  L 22i 2
A direção das correntes e a orientação das bobinas determinam o
sinal da indutância mútua que é positivo, pois i1 e i2 produzem
fluxo no mesmo sentido.
Quando os fluxos concatenados variam no tempo, as queda de
tensão nas bobinas na direção das correntes circulantes são:
d1
di1
di 2
v1  r1i1 
 r1i1  L11
 L12
dt
dt
dt
d 2
di1
di 2
v1  r2i 2 
 r2i 2  L 21
 L 22
dt
dt
dt
63 de
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Observe que os sinais positivos das equações são usualmente
associado a bobina que está absorvendo potência de uma fonte
como se a bobina fosse uma carga.
d1
di1
di 2
v1  r1i1 
 r1i1  L11
 L12
dt
dt
dt
d 2
di1
di 2
v 2  r2i 2 
 r2i 2  L 21
 L 22
dt
dt
dt
Agora se a queda de tensão através da bobina 2 é modificada
para:
d 2
di1
di 2
v   v 2   r2i 2 
  r2i 2  L 21
 L 22
dt
dt
dt
,
2
Nesse caso os sinas indicam que a bobina estão atuando como
gerador, ou seja, a bobina está suprindo potência.
64 de
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Considerando operação em regime permanente, com tensões e
corrente ac nas bobinas resulta em:
V1   r1  jL11  I1   jL12  I 2
z11
z12
V2   jL 21  I1   r2  jL 22  I 2
z 21
z 22
Escrevendo de forma matricial resulta em:
 V1   z11 z12   I1 
V   z
 I 
z
 2   21 22   2 
65 de
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Um importante circuito equivalente para bobinas mutuamente acopladas
é mostrado abaixo:
DEDUÇÃO:
V1   r1  jL11  I1   jL12  I 2
z11
z12
V2   jL 21  I1   r2  jL 22  I 2
z 21
z 22
A corrente no lado da bobina 2 será substituída por
tensão por (aV2).
I2
a
ea
66 de
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Um importante circuito equivalente para bobinas mutuamente acopladas
é mostrado abaixo:
DEDUÇÃO:
V1   r1  jL11  I1   jL12  I 2
z11
z12
V2   jL 21  I1   r2  jL 22  I 2
z 21
z 22
A corrente no lado da bobina 2 será substituída por
tensão por (aV2).
I2
a
ea
67 de
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Um importante circuito equivalente para bobinas mutuamente
acopladas é mostrado abaixo:
As indutâncias do circuito equivalente são denominadas de
indutância de dispersão:

N111 N1 N 221 N1 
Ld1  L11  aL 21 


11  21 
i1
N 2 i1
i1 


d1



L12 N 222 N 2 N112 N 2 
Ld 2  L 22 



22  12 
a
i2
N1 i 2
i2 


d2


68 de
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Em que d1 e  d 2 são os fluxos de dispersão das duas bobinas (1 e
2).
Com a = N1 / N2 a indutância shunt (aL21) é chamada de
indutância magnetizante associada com o fluxo mútuo ϕ21 que
enlaça as bobinas devido a corrente i1.
Então:
N1 N 221 N1
L m  aL 21 

21
N 2 i1
i1
Definindo as reatâncias de dispersão e suscepitância magnetizante
shunt através de:
x1  Ld1
x 2  L d 2
Bm   aL 21 
1
69 de
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O circuito equivalente do transformador é mostrado abaixo:
Circuito equivalente do transformador monofásico
O circuito equivalente da figura acima se aproxima das
características físicas de um transformador real. Entretanto, ele
possui três deficiências:
- Não reflete qualquer transformação de corrente ou tensão;
- Não fornece isolação elétrica entre o primário e o secundário;
- Não leva em consideração as perdas no núcleo;
70 de
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Quando uma tensão senoidal é aplicada ao enrolamento primário
de um transformador real com o enrolamento secundário em
aberto, uma pequena corrente denominada de corrente de
excitação flui. A maior parcela dessa corrente é chamada de
corrente magnetizante que corresponde a corrente que circula
pela susceptância magnetizante Bm. A corrente magnetizante
produz o fluxo no núcleo. A outra componente da corrente de
excitação que leva em conta as perdas no núcleo se adianta em
relação a parcela magnetizante por 90º não está representada no
circuito equivalente. Com o secundário em aberto, o circuito
primário do transformador é altamente indutivo devido ao núcleo
de ferro.
71 de
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O circuito equivalente completo é mostrado abaixo:
O transformador ideal pode ser omitido da figura acima se todas
as quantidades são referidas ao lado de alta ou ao lado de baixa
tensão do transformador. As quantidades incluem as tensões,
correntes e impedâncias.
72 de
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O transformador ideal pode ser omitido da figura acima se todas
as quantidades são referidas ao lado de alta ou ao lado de baixa
tensão do transformador. As quantidades incluem as tensões,
correntes e impedâncias. Por exemplo, esse é o caso da figura
abaixo:
Geralmente, a corrente de excitação é desprezada porque ela é
pequena quando comparada com a corrente da carga. Todas as
impedâncias e tensões na parte do circuito conectada aos
terminais do secundário devem ser referidas ao lado primário.
73 de
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Com o ramo shunt desprezado, o circuito equivalente simplificado
do transformador referido ao lado (1) é mostrado abaixo.
Em que:
R1  r1  a 2 r2
X1  x1  a x 2
2
74 de
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Circuito equivalente do transformador em pu
A partir da figura acima, podemos chegar no circuito equivalente
simplificado do transformador monofásico em pu. Todas as
quantidades foram referidas ao lado primário (lado 1) do
transformador.
V1  I1 (R 1  jX1 )  aV2
 VN1 VB1 N1 I 2 
V  V  N  I 
B2
2
1 
 N2
2
Z



N
 1  1  
 Z2  N 2  
75 de
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Continuando a dedução, tem-se que:
V1  I1 (R1  jX1 )  aV2
V1 I1Z1 aV2
V1
I1Z1
aV2





VB1 VB1 VB1
VB1 I B1ZB1 aVB2
V1
I1 Z1
V2


 V1pu  I1pu Z1pu  V2pu
VB1 I B1 ZB1 VB2
Z1pu  Z2pu  Zpu
I1pu  I 2pu  I pu
V1pu  I pu Zpu  V2pu
76 de
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Impedância em pu em circuito de transformador monofásico
Os valores ôhmicos de resistência e de reatância de dispersão de
um transformador dependem se eles são medidos do lado de alta
ou do lado de baixa tensão. Quando esse valor é expressado em
pu, a potência base equivale a potência nominal do transformador
e a tensão base escolhida dependerá se o valor ôhmico
equivalente foi encontrado referido ao lado de baixa ou ao lado de
alta tensão.
Entretanto, a impedância em pu do transformador é a mesma
independentemente dos diferentes valores ôhmicos encontrados.
77 de
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Exemplo: Um transformador monofásico 110/440 V; 2,5 kVA. A
reatância de dispersão medida do lado de baixa tensão é igual a
0,06 Ω. Encontre a reatância de dispersão em pu.
Solução:
Considerando lado (1) como lado de alta tensão e lado (2) como
lado de baixa tensão, tem-se que:
X 2  x 2  x1'  0,06 
A reatância referida ao lado de alta tensão é:
X 2  x 2  x1'  0,06 
X1
 a 2  X1  a 2  X 2
X2
2
 440 
X1  
  0,06  0,96 
 110 
78 de
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A impedância base referida ao lado de baixa tensão é:
2
Vb2
1102
Zb2 

 4,84
Sb
2500
O valor em pu do transformador é:
X 2pu
X 2 0,06


 0,0124 pu
Zb2 4,84
A reatância do transformador referida ao lado de alta tensão é:
2
 440 
X1  X 2  
  0,96 
 110 
79 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
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A impedância base referida ao lado de alta tensão é:
Vb12 4402
Zb1 

 77,44
Sb 2500
2
 440 
2
Zb1  Zb2  

4,84

4
 77,44 

 110 
O valor em pu da reatância do transformador é:
X1pu
X1
0,96


 0,0124 pu
Zb1 77,44
Conclui-se que:
X1pu  X 2pu  X pu
80 de
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Professor: Lissandro
Uma grande vantagem na realização dos cálculos em pu consiste
na escolha de diferentes bases para circuitos conectados através
de um transformador. Para adquirir essa vantagem em um sistema
monofásico, as tensões bases para circuitos conectados através do
transformador devem ter a mesma razão que a razão de espiras
dos enrolamentos do transformador.
Quando este sistema é utilizado, não ocorre nenhuma
transformação de tensão em pu e a corrente terá o mesmo
valor em pu em ambos lados do transformador.
81 de
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Transformadores trifásicos
Três transformadores monofásicos idênticos podem ser
conectados para formar um transformador trifásico. Três
enrolamentos de um mesmo nível de tensão podem ser conectados
em estrela e os outros três com outro nível de tensão podem ser
conectados para formar a ligação delta. Tal transformador é dito
ser conectado em estrela-delta ou delta-estrela. Outras conexões
possíveis são a estrela-estrela e a delta-delta.
Ao invés de se utilizar três transformadores monofásicos, utilizase uma unidade trifásica com os seis enrolamentos montados na
mesma estrutura de ferro.
82 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
Professor: Lissandro
A figura abaixo mostra como três transformadores monofásicos
podem ser conectados para formar a unidade trifásica.
83 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
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84 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
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No desenho anterior, enrolamentos que são desenhados em
direções paralelas estão relacionado com o mesmo transformador
monofásico ou com a mesma coluna do núcleo no caso de um
transformador trifásico. Por exemplo, o enrolamento (A-N) está
ligado pelo mesmo fluxo magnético que o enrolamento (a-n) e a
tensão VAN está em fase com a tensão Van.
85 de
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Transformadores trifásicos: deslocamento de fase e circuitos
equivalentes
Em transformadores do tipo estrela-delta ocorre deslocamento de
fase. A figura abaixo é um diagrama de um transformador estreladelta com em que o lado estrela corresponde ao lado de alta
tensão do transformador.
86 de
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Professor: Lissandro
A seguir, os diagramas de sequência positiva das componentes de
tensão,
87 de
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Professor: Lissandro
A seguir, o diagramas de sequência negativa das componentes de
tensão.
OBS: O fasor VA2 não está necessariamente em fase com o fasor
VA1 da sequência positiva, porém está em fase com o fasor Vab2.
88 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
Professor: Lissandro
Algumas observações:
O enrolamento AN é a fase do lado conectado em estrela, o qual
está ligado magneticamente com o enrolamento de fase (ab) no
lado conectado em delta. Observe que a localização dos pontos
mostra que que VAN está em fase com Vab independentemente da
sequência de fase. Se H1 é o terminal para o qual a fase A é
conectada, normalmente se conecta a fase B no terminal (H2) e a
fase C no terminal H3.
89 de
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O padrão americano estabelece que os terminais H1 e X1 em
transformadores conectados em estrela-delta que as tensões de
sequência positiva medida de H1 para o neutro esteja adiantada de
30º em relação à tensão medida de X1 para o neutro
independentemente se o enrolamento estrela ou o delta seja o
enrolamento de alta tensão.
De maneira similar, a tensão entre H1 e o neutro deve estar
atrasada de 30º em relação a tensão entre X1 e o neutro quanto um
conjunto trifásico balanceado de tensões de sequência negativa é
aplicado no enrolamento de alta.
90 de
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Se N1 e N2 representam os números de espiras dos enrolamentos
de alta e baixa tensão respectivamente, então conforme figura
abaixo:
 N1  1
 N1 
V
N1
1
1
1
o

 VA  
V

V


3V

30
A
a
 ab


V
N2
N
N
 2
 2
1
A
1
ab
 N1  2
 N1 
VA2 N1
2
2
2
o

 VA  
 Vab  VA  
  3Va   30
2
Vab N 2
 N2 
 N2 
91 de
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Do mesmo modo para as correntes em ambas linhas dos lados de
alta e baixa tensão.
 N2 
1
o
I 

3I

30
a

N
 1
1
A
 N2 
2
o
I 
  3Ia   30
 N1 
2
A
Em pu as fórmulas das tensões e das correntes em ambos lados do
transformador são:
1
A(pu )
I
2
A(pu )
I
I
I
1
a (pu )
2
a (pu )
30
1
1
o
VA(pu

V

30
)
a (pu )
o
  30
o
2
2
o
VA(pu

V


30
)
a (pu )
92 de
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Professor: Lissandro
A figura a seguir mostra um gerador trifásico 300 MVA, 23 kV,
suprindo um sistema de carga cuja potência é 240 MVA, fator de
potência igual a 0,9 em atraso numa tensão igual a 230 kV através
de um transformador elevador de 330 MVA, 23 kV delta/ 230 kV
estrela com reatância de dispersão igual a 11%. Desprezando a
corrente magnetizante e escolhendo valores bases na carga igual a
100 MVA e 230 kV, encontre as correntes IA, IB e IC suprida para a
carga em pu com VA como referência. Especificando a própria
base do circuito do gerador, determine Ia, Ib e Ic do gerador e sua
tensão terminal.
93 de
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Variação de taps e transformadores reguladores
Transformadores que fornecem um pequeno ajuste no módulo da
tensão, usualmente na faixa de +- 10% e outros que deslocam o
ângulo de fase das tensões de linha são importantes componentes
do sistema de potência. Alguns transformadores regulam ambos o
módulo e o ângulo de fase.
Quase todos os transformadores possuem taps (derivações) nos
enrolamentos para ajustar a relação de transformação pela
variação dos taps quando o transformador é desligado. Existem
transformadores que fazem essa mudança de forma automática.
São os transformadores do tipo LTC (load tap changing).
94 de
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A figura abaixo mostra um transformador regulador para controle
do módulo da tensão.
95 de
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A figura abaixo mostra um transformador regulador para controle
do ângulo de fase.
96 de
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Equações nodais
A conexão formada entre dois ou mais elementos a partir de seus
terminais é denominada de nó. A formulação das equações
determinada sobre cada nó de um circuito pela aplicação da lei de
corrente de Kirchhoff é a base de algumas soluções
computacionais para sistemas de potência. Para investigar as
equações nodais, começaremos com um circuito simples.
Notação:
As fontes de corrente são conectadas no nó (3) e no nó (4) e
todos os outros elementos são representados por admitâncias. A
notação de subscrito simples é usada para especificar a tensão de
cada nó com relação ao nó de referência.
97 de
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O circuito é mostrado abaixo.
98 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
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Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente no nó (1) resulta em:
Nó (1)
 V1  V2  Yd   V1  V3  Yc   V1  V4  Yf
0
Nó (3)
 V3  Ya   V3  V1  Yc   V3  V2  Yb  I3
Arrumando as duas equações resulta em:
 Yd  V2   Yc  V3   Yf  V4   Yd  Yc  Yf  V1  0
 Yc  V1   Yb  V2   Ya  Yc  Yb  V3  I3
99 de
Instituto Federal da Bahia – IFBA
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O formato geral para as equações nodais de um sistema de quatro
barras é:
 Y11 Y12
Y Y
22
 21
 Y31 Y32
Y Y
42
 41
Y13
Y23
Y33
Y43
Y14   I1   V1 
Y24   I 2   V2 
    
Y34   I3   V3 
Y44   I 4   V4 
YBUS
A matriz acima é denominada de matriz admitância de
barra. As regras para formação de matriz são:
 Os elementos da diagonal Yii equivalem a soma de
todas as admitâncias conectadas diretamente ao nó (i)
100 de
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 Os elementos fora da diagonal Yij são iguais ao
negativo da admitância conectada entre o nó (i) e o nó
(j).
A matriz admitância de barra do sistema é:
101 de
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O inverso da matriz admitância de barra é denominada
de matriz impedância de barra.
102 de

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