spesifikasi model_q

Report
Anggota kelompok 5 :
Desy Putma H.
Gunawan Prabowo
Luk Luk Alfiana
Nur Indah
Tatik Dwi Lestari
(M0109018)
(M0109033)
(M0109043)
(M0109055)
(M0109066)
Subyek :

Bagaimana kita memilih nilai yang sesuai untuk p, d dan
q untuk deret runtun waktu yang diberikan?

Bagaimana kita mengestimasi parameter dari model
ARIMA(p, d, q) ?

Bagaimana kita mengecek kesesuaian model yang
terpilih?
memutuskan nilai p, d dan q.
mengestimasi parameterparameter ,  dan 2 dalam model
Jika model tidak
sesuai ???
Cek kesesuaian
memilih model yang lain
mengestimasi parameter-parameter
model yang baru
mengeceknya kesesuaiannya
SIFAT-SIFAT FUNGSI AUTOKORELASI SAMPEL

Estimasi fungsi autokorelasi, untuk deret observasi, Z1, Z2 ,
..., Zn, yaitu:
 rk
adalah fungsi autokorelasi sampel yang merupakan
penaksir dari ρk
Penaksir yang baik :
1. tak bias
2. variansi minimum
3. konstan
Diperlukan sampel yang cukup besar
Misal :
Asumsi
Mean nol, dan variansi berhingga
Untuk sembarang nilai m, distribusi bersama:
Distribusi bersama normal
mean nol , variansi cii, dan covariances cij,
Untuk n besar
mendekati dist.normal
mean:
variansi: ckk/n
jadi.,
penaksir tak bias
Berarti,
Note:
• Variansi berbanding terbalik
dengan ukuran sampel.
• Tetapi, korelasinya akan konstan
untuk n besar.
BEBERAPA KASUS KHUSUS
yang lebih besar
{Zt} ~ white noiseuntuk
, makalag-lag
var (rk)≈1/n
Ingat !
Jadi,
Ø2k 0,
Untuk Ø± 1 , maka var (rk)  ∞
{Zt} ~AR(1)
ρk = Øk untuk k=0,1,2,…
Ø= ±1  var (r1) ≈ 1/n
Untuk n cukup besar maka var (r1)= 0
r1  ρ1 (r1 penaksir yang cukup baik untuk ρ1)
Untuk AR(1)
0<i≤j
TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI
DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Φ.
MODEL AR(1)
UNTUK MODEL MA(1)
TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI
DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Θ.
MODEL MA(1)
terlihat dari tabel bahwa autocorrelations sampel sangat berkorelasi
dan standar deviasi dari rk untuk k> 1 lebih besar dari pada untuk k = 1.
Model MA(q)
Kapan kita mengatakan rk=0?
UntukJika
itu dilakukan
uji hipotesisMA(q) maka:
Zt dapat dimodelkan
H0: ρk(i)
=0ρk = 0
H1: ρk≠0
Jika (ii)
ada satu set data, rk dapat
dihitung, kemudian akan dilihat untuk
lag ke Jika
berapa
dapat
Hork
benar
( dianggap
) makanol.
Uji hipotesis:
Gunakan
untuk menguji hipotesis tersebut:
FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL
(PACF)
MA(q)
ρk=0, untuk k>q
Maka rk merupakan indikator yang baik dari order proses.
AR(p)
ρk ≠0, setelah sejumlah lag, maka fungsi autokorelasi tidak
dapat digunakan untuk menentukan orde(p).
 = Corr  , − |− , − , … , −+
 adalah koefisien korelasi dalam distribusi bivariat dari
 , − tergantung pada −1 , −2 , … , − +1
Zt normal
Bagaimana jika Zt tidak berdist.
Normal?
Jika Zt tidak berdist. Normal maka fungsi autokorelasi parsial pada lag k
dapat ditentukan menggunakan korelasi antara kesalahan prediksi
 =  ( − 1 −1 − 2 −2 − ⋯ − −1 −+1 , − − 1 −+1 − 2 −+2 − ⋯ −
−1 −1 )
Korelasi residu (PACF antara )
Telah diket bahwa
Untuk menetukan
dan
Cov( − 1 −1 , −2 − 1 −1 ) = 0 (2 − 1 2 − 1 2 + 1 2 ) = 0 (2 − 1 2 )
dimana
Var ( − 1 −1 ) = Var (−2 − 1 −1 )
= 0 (1 + 1 2 − 21 2 ) = 0 (1 − 1 2 )
Pertimbangkansekaranguntuk model AR (1). Ingat bahwa  =  
sehingga
22 =
 2 − 2
1− 2
=0
Pertimbangkan bentuk umum AR (p). Ini akan ditampilkan dalam Bab 9 bahwa prediktor
linier terbaik dari dalam hal −1 , −2 , … , − , … , −+1 untuk k>p dalam halnya
1 −1 + 2 −2 + ⋯ +  −
Juga, predictor terbaik dari − akan
ℎ(−+1 , −+2 , … , −1 ), misalnya. Jadi
menjadi
beberapa
fungsi
Cov  − 1  −1 − 2  −2 − ⋯ −  − ,  − − ℎ(−+1 , −+2 , … ,  −1 )
= Cov  , − − ℎ( −+1 , −+2 , … , −1 )
= 0 (karena tidak tergantung −1 , −2 , …)
Jadi untuk model AR(p),
 = 0untukk>p
(6-16)
Untuk bentuk MA(1), Persamaan (6-15) dengan cepat menghasilkan
22 =
(6-17)
− 2
1+ 2 + 2
Penjabaran 22 =
=
1− 1 2
− 1 2
1− 1 2
 1 , 2 = 0
 1 , 1 =
−
1+ 2
− 2
1+2 2 + 4
2
1−
1+ 2 + 4
=
=
 2 − 1 2
− 2
1+ 2 + 2
Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus ini
 =
−(  )(1− 2 )
1− 2( +1)
untukk≥ 1
(6-18)
Perhatikan bahwa autokorelasi parsial dari model MA(1) adalah
tidak nol tetapi pada dasarnya meluruh secara eksponensial ke
nol, bukan seperti autokorelasi untuk model AR (1).
PACF MA(q) mirip dengan ACF AR(q)
Bagaimana menentukan fungsi autokorelasi dari AR(q)?
Bentuk umum dari PACF proses stasioner adalah:
 = 1  −1 + 2  −2 + ⋯ +   −
j = 1, 2, . . . , k
(6-19)
Lebih eksplisit,
1 = 1 + 2 1 + ⋯ +  −1
2 = 1 1 + 2 + ⋯ +  −2
.
.
(6-20)
 = 1 −1 + 2  −2 + ⋯ + 
Di sini kita menggunakan 1 , 2 , … ,  seperti yang diberikan dan untuk memecahkan, 1 , 2 , … , 
yang tidak diketahui (membuang semua kecuali  ).
6.3 FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL SAMPLE
Persamaan (6-20) dapat diselesaikan secara rekursif sebagai berikut:
 =
−1
  −  =1
  −1 ,   −
(6-21)
−1 
1−  =1
 −1 ,  
Dimana  = −1 , −   −1 , −
untuk  = 1, 2, … ,  − 1
Sebagai contoh, penggunaan 11 = 1 untuk memulai, kita harus
22 =
 2 − 11  1
1− 11  1
=
 2 − 12
1− 12
(Seperti sebelumnya) dengan 21 = 11 − 22 11
Kemudian
33 =
(diperlukan untuk k = 3)
 3 − 21  2 − 22  1
1− 21  1 − 22  2
Dengan demikian kita dapat menghitung nilai numerik sebanyak untuk  yang diinginkan.
Sebagaimana dinyatakan, persamaan ini memberi kita autocorrelations parsial teoritis, tetapi
dengan mengganti ρ dengan r, kita mendapatkan 
Untuk menilai besarnya kemungkinan autocorrelations parsial, Quenouille (1949) telah
menunjukkan bahwa, di bawah hipotesis bahwa AR (p) model benar, autocorrelations parsial
diperkirakan pada tertinggal lebih besar dari p sekitar secara independen terdistribusi normal
dengan nol berarti dan varians 1 . Dengan demikian ± 2  dapat digunakan sebagai batas
kritis pada  untuk k > p untuk menguji hipotesis dari (p) model AR.
RUNTUN YANG DISIMULASI
Untuk mengilustrasikan teori bagian 6.1 dan 6.2, kita akan
menganggap sampel fungsi autokorelasi dan sampel fungsi
autokorelasi parsial dari beberapa runtun waktu yang
disimulasi.
EXHIBIT 6.1 sampel fungsi autokorelasi (ACF) untuk white noise dgn
n=121
A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r w hite no is e
Dari pers. 6.3 dapat
dihitung standar
deviasi dari rk yaitu
1/√n=1/ √121
=0.09
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
Sehingga interval
konvidensi 95% dari rk
adalah ±0.18
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Dari gambar tersebut maka jelas bahwa korelasi(rk) dari 21 sampel
diatas terletak diantara +0.18 dan -0.18
EXHIBIT 6.2 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk white
noise dengan n=121
P a r tia l A uto c o r r e la tio n F unc tio n fo r w hite no is e
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
Disini tidak ada
lagi dari 21 nilai
PACF yang
melampaui
batas.
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Karena white noise dapat dianggap sbg AR(p) dgn p=0 (Quenouille’s (1949) )
maka
dapat digunakan untuk menduga signifikansi dari estimasi.
EXHIBIT 6.3 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1) dengan ∅=0.9
dan disimulasi n sebanyak 59
A uto c o r r e l a tio n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1 .0
0 .8
A ut o c o r r e la t io n
0 .6
0 .4
0 .2
0 .0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-1 .0
2
4
6
8
10
12
14
16
La g
dari table 6.1 standar deviasi r1 kira-kira
Pada umumnya,
plot menunjukkan
kecenderungan
eksponensial
kemudian
menghilang
dengan
meningkatnya lag.
, dan r2
Nilai yg diestimasi ρk = Øk untuk k=0,1,2,… maka ρ1 =0.9 dan ρ2 =0.81.
EXHIBIT 6.4 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1)
dengan ∅=0.9 dan n=59
P a r tia l A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
La g
Interval kon vidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√59=0.26
EXHIBIT 6.5 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1)
dengan ∅=0.4 dan n=119
A uto c o r r e l a tio n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
ρk = Ø k
Maka ρ1 =0.4
dan ρ2 =0.16
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
Yang telah
diestimasi dengan
r1 =0.409 dan
r2 =0.198
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
La g
12
14
16
18
20
EXHIBIT 6.6 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1)
dengan ∅=0.4 dan n=119
P a r tia l A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
Terdapat satu nilai autokorelasi parsial
yang tidak signifikan yaitu lag pertama
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Interval kon vidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√119=0.183
EXHIBIT 6.7 sampel fungsi autokorelasi (ACF)untuk runtun AR(1)
dengan ∅=-0.7 dan n=119
A uto c o r r e l a tio n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Dari gambar terlihat adanya osilasi (variasi periodik terhadap waktu)
dalam ACF ketika nilai ∅=-0.7
EXHIBIT 6.8 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk runtun AR(1)
dengan ∅=-0.7 dan n=119
P a r tia l A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r A R ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
La g
12
14
16
18
20
EXHIBIT 6.9 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(2) dengan
∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119
A uto c o r r e l a tio n F unc tio n fo r A R ( 2 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Menunjukkan adanya damped sine wave (lembah gelombang sinus) dengan
12 periode dan damping factor=0.866. dan mengosilasi dengan periode
kira-kira 11 atau 12
EXHIBIT 6.10 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk AR(2)
dengan ∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119
P a r tia l A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r A R ( 2 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
La g
Interval konvidensi 95% adalah sebesar
20
EXHIBIT 6.11 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun MA(1) dengan
θ=0.9 denga n=120
A uto c o r r e l a tio n F unc tio n fo r M A ( 1 )
dari table 6.2
standar deviasi
dari r1 kira-kira
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
konfidensi 95% dari r1
-0.8
sebesar
-1.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
La g
Untuk lag lebih besar dari 1, table 6.2 memberikan
r1 = -0.519
standar deviasi dari rk yaitu
Dan interval konvidensinya sebesar
EXHIBIT 6.12 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun MA(1)
dengan θ=0.9 dengan n=120
P a r tia l A uto c o r r e la ti o n F unc tio n fo r M A ( 1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
La g
12
14
16
18
20
EXHIBIT 6.13 sampel fungsi autokorelasi untuk runtuk ARMA(1.1) dengan
∅=0.8 dan θ=0.4 dengan n=99
A uto c o r r e la tio n F unc tio n fo r A R M A ( 1 ,1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the a uto co r r e la tio ns )
1.0
0.8
A ut o c o r r e la t io n
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
La g
12
14
16
18
EXHIBIT 6.14 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk ARMA(1.1)
dengan ∅=0.8 dan θ=0.4 dengan n=99
P a r tia l A uto c o r r e la tio n F unc tio n fo r A R M A ( 1 ,1 )
(w ith 5 % s ignifica nce lim its fo r the pa r tia l a uto co r r e la tio ns )
1.0
Pa r t ia l A ut o c o r r e la t io n
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
2
4
6
8
10
La g
12
14
16
18
NONSTATIONARY
model ARMA
ACF
Time series plot
Definisi fungsi autokorelasi secara implisit
mengasumsikan stasioneritas
Misalnya:
Menggunakan hasil deviasi yang di lag kan dari mean dari pembilang
dan penyebut mengasumsikan variansi yang konstan
tidak jelas apakah ACF mengestimasi untuk proses nonstasioner
Namun demikian,untuk series nonstasioner , ACF biasanya menghilang
dengan cepat. Nilai rk tidak harus terlalu tinggi bahkan untuk lag yang
rendah,tetapi harus sering muncul.
Exhibit 6.15 memberikan sampel ACF untuk IMA(1,1
dengan =0.4
6.15 Fungsi Autokorelasi sampel untuk runtun IMA(1,1) yang di difference
satu kali dengan =0.4
Kemudian dibuat plot
memeriksa stasioneritas
time
series
Zt
untuk
Jika differencing pertama dan sampel ACF nya belum sesuai
stasioneritas model ARMA , maka didiferencing lagi kemudian
menghitung kembali ACF sampai sesuai dengan proses stasioner
ARMA.
Selain
menggunakan
differensing
juga
bisa
menggunakan transformasi logaritma atau bisa juga
menggunakan transformasi pangkat agar dapat
mencapai stasioner.
OVERDIFFERENCING



Dari latihan 2.6 pada chapter 1 kita mengetahui difference dari proses
stasioner juga stasioner. Dan difference dari proses tidak stasioner bisa
menghasilkan proses stasioner.
Namun, differensing yang berlebihan cenderung menghasilkan korelasi
yang besar dalam model dan mungkin membuat model yang relatif
sederhana menjadi kompleks.
Dengan contoh, andaikan series observasi random walk maka:
Wt = Zt – Zt-1 = at

Jika didifferencing sekali maka peroleh
Wt = at – at-1
Yang merupakan model MA(1) dengan
= 1.
Zt = at –
at-1
SPESIFIKASI DARI BEBERAPA
RUNTUN WAKTU AKTUAL

Misalkan sekarang spesifikasi model untuk beberapa runtun
Misalkan
beberapa
runtun waktu
aktual.
waktusekarang
aktual.spesifikasi
Kembalimodel
padauntuk
tingkat
pengangguran
kuartalan
Kembali pada data tingkat pengangguran kuartalan pada bab 1.
pada bab 1.

Runtun
waktu
Exhibit
1.1. Plot menunjukkan
Runtun
waktu
diplotdiplot
dalam dalam
Exhibit 1.1.
Plot menunjukkan
perubahan atas
waktu
dan kita mengharapkan
korelasi
pada lag rendah.
perubahan
atas waktu dan
kitapositif
mengharapkan
korelasi positif
pada lag rendah.

Hal ini dalam ACF sampel yang diberikan dalam Exhibit 6.17
yang menyarankan pendekatan model AR(2). Dalam hal ini
n=121 dan 2/n =  0,18 sehingga tidak ada nilai PACF yang
berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag melampaui 2.

Dengan korelasi kuat pada lag 1, kita akan memutuskan juga
untuk menganggap model non stasioner dengan d=1 tetapi
AR(2) nampak menjadi pilihan pertama kita.
Time series plot untuk data tingkat pengangguran kuartalan
Exhibit 6.17
ACF dari data tingkat pengangguran kuartalan
Terdapat penurunan secara exponensial dari plot ACF diatas
PACF dari data tingkat pengangguran kuartalan
tidak ada nilai PACF yang berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag
melampaui 2. Jadi berdasarkan ACF dan PACF dapat disimpulkan bahwa
modelnya adalah AR(2)
Time series plot untuk data AA railroad bond yield
Plot time series dalam Exhibit 5.2 secara kuat menunjukkan model tidak
stasioner.
Exhibit 6.19
ACF dari data AA Railroad
Exhibit 6.20 menunjukkan ACF dari diferensing pertama
Exhibit 6.21 menunjukkan PACF dari diferensing pertama
Exhibit 6.20 dan Exhibit 6.21 menunjukkan ACF dan PACF dari
diferensi pertama dari mirip model AR(1).
Hal itu berarti model yang dispesifikasi untuk deret runtun waktu aslinya
adalah ARI(1,1).
METODE SPESIFIKASI YANG LAIN

Sejumlah pendekatan yang lain untuk spesifikasi model
telah diinvestigasi oleh Box dan Jenkins.

Salah satunya yang diteliti oleh Akaike dengan
mengusulkan AIC (Akaike Information Criteria). Di sini
kita menyeleksi model yang meminimalkan
AIC = - 2 log(maximum likelihood) + 2 k
dengan k adalah total banyak parameter AR dan MA
dalam model.

similar documents