`귀납적 사고`의 수업 적용

Report
귀납적 사고
유아교육과 오유나 (09257117)
발표 순서
1. ‘귀납적 사고’란?
2. ‘귀납적 사고’의 종류
3. ‘귀납적 사고’의 한계 & 유의점
4. ‘귀납적 사고’의 지도 발문
5. ‘귀납적 사고’의 수업 적용 예시
Page  2
‘귀납적 사고’란 ?
귀납
 개별적인 어떤 현상을 관찰하고, 이를 통해
어떤 원리를 유도해 내는 것
 특수한 사실이나 원리로부터 일반적이고
보편적인 명제 및 법칙을 유도해 내는 것.
소크라테스는 죽었다.
석가모니도 죽었다.
공자도 죽었다.
히틀러도 죽었다.
마릴린 먼로도 죽었다.
마이클 잭슨도 죽었다.
.
Page  3
.
개별적 사실
모든 인간은 죽는다 !
일반적 법칙
‘수학에서의 귀납적 사고’란 ?
귀납적 사고
 1. 어떤 문제를 해결하고자 하나 해결 방법을 몰라 해결이
불가능 할 때,
 2. 일반적인 규칙이나 성질을 알아내어
 3. 문제를 해결하는 사고 과정
‘예시’
•또는, 해결 결과를 이용하여 일반적 규칙/성질을 알아내려는
경우 이용되는 사고 방법
Page  4
‘수학에서의 귀납적 사고’란 ?
귀납적 사고
 1. 어떤 문제를 해결하고자 하나 해결 방법을 몰라 해결이
불가능 할 때,
 2. 일반적인 규칙이나 성질을 알아내어
 3. 문제를 해결하는 사고 과정
‘예시’
•또는, 해결 결과를 이용하여 일반적 규칙/성질을 알아내려는
경우 이용되는 사고 방법
Page  5
‘수학에서의 귀납적 사고’란 ?
예시
1
11
12
1121
122111
112213
12221131
Page  6
‘개미’수열
‘귀납적 사고’의 종류
불완전 귀납법
완전 귀납법
완전귀납법
귀납법
완전
S1,S2,S3,
S류의 전체이다.
: 가능한
모든…,Sn은
사례를 고찰한
후 어떤 주장을 함.
S1은 P이다. S2는 P이다. S3는 P이다….Sn은
=수학적
P이다. 귀납법
그러므로,
모든 S는
: =>
자연수
n과 관련된
명제P이다.
p(n)이 모든 자연수에 대해
. 성립한다는 것을 증명하는 방법
 불완전 귀납법
<수학적
귀납법>
: 일부분만의
고찰 결과로부터
1. p(1)이 성립한다.
보다
넓은자연수
영역에k에
이르는
일반적인
주장함
.
2.
임의의
대하여,
p(k)가원리나
참이면규칙을
p(k+1)도
참이다.
Page  7
‘귀납적 사고’의 한계 & 유의점
 모든 사례를 완전히 조사 X
-> 반례가 나타나면 언제든지 깨질 수 있는 불안함 O
세계 여러 지역의 백조를 관찰 한 후, ‘백조는 희다’라고 결론 지음
(일반적 진리로 여김)
그러나, 오스트리아에서 검은 백조를 발견. (반례)
• 불완전 귀납 추리의 결론은 필연적 지식이 아니라,
진리일 가능성이 높은 경험적 지식이다.
=> 개연적으로 확실성의 정도가 높다.
Page  8
‘귀납적 사고’의 유의점
1. 성급하게 일반화하지 않도록 한다.
2. 결론은 증명, 확인하는 절차를 거쳐야 한다.
귀납적 추론이 거짓인 결론을 도출할 수도 있다는 점 때문에
수학 학습에서 이의 활용을 회피한다면
=> 새로운 사실의 발견에 이르기 어렵다.
수학적 사실은 먼저 추측되어지고 그 다음에 증명되어진다. 이 책에서는
그것이 정상적임을 보이려고 한다. 만일 수학학습이 수학의 발견과 관련이
있는 것이라면, 학생은 마땅히 그런 기회를 가져야 한다. 즉 문제를 풀 때
적당한 수준에서 수학적 사실을 먼저 추측하고 그 다음에 증명하여야
한다.(Polya, 1968 : 160)
Page  9
‘귀납적 사고’의 지도 발문
 문제를 어떤 방법으로 해결할 수 있을 것 같니? (문제인식)
 간단한 경우부터 생각해 보는 것은 어떻겠니? (규칙 찾기)
 자료를 모아서 공통점을 알아보렴. (규칙 찾기)
 자료에서 어떤 규칙이 있을 것 같니? (규칙 찾기)
 자료의 이것과 저것은 어떤 점에서 같니? (규칙 찾기)
 어떤 추측이 가능하겠니? (규칙 찾기)
 이와 비슷한 경우를 더 알아보면 어떻게 되겠니? (규칙 찾기)
 추측한 사실이 왜 그런지 설명할 수 있니? (규칙 찾기)
 다른 관점에서 해결 할 수 있을까? (결론 증명/확인)
 추측한 사실이 다른 경우에도 항상 적용되니? (결론
증명/확인)
Page  10
‘귀납적 사고’의 수업 적용
<귀납적 사고 과정>
A. 해결 방법을 모르는 상황
B. 일반적 규칙 찾아내기
C. 문제 해결
예시
1
 1,2,3,3,4,5,4,5,6,7, … 과 같은 수의 배열에서 80번째 수는
?
1. 수의 배열을 관찰
2. (1)
(2,3)
(3,4,5)
(4,5,6,7,) … 과 같이 그룹 짓기
1. 그룹의 맨 처음 수만큼의 자연수가 그 수 부터 시작하여
차례대로 들어 있다는 규칙을 귀납적 사고에 의해 발견
Page  11
‘귀납적 사고’의 수업 적용
예시
2
4-나 (5). 사각형과 도형 만들기-6차시
대각선
- 다각형의 변의 수와 대각선 수와의 관계
문제 : 10각형의 대각선 수는?
1. 여러 다각형 도형이 그려진 학습지를 나누어 준다.
2. 아동들이 직접 대각선을 그려보게 한다.
3. (교사 발문) “대각선 수가 모두 같나요?”
(교사 발문) “어떤 경우에 대각선 수가 같나요?”
Page  12
‘귀납적 사고’의 수업 적용
4. (교사) “다각형과 대각선 수 사이에 어떤 추측을 할
수 있나요?” (규칙찾기)
변의 수
3
4
5
6
…
대각선 수
0
2
5
9
…
=>(학생1) “삼각형에서 변의 수가 하나씩 늘어날 때마다
대각선 수는 2,3,4,5,씩 차례대로 늘어나요.”
=>(학생2) “변의 수에서 3을 빼고 난 수를 두 번 더하고
1이 나올 때까지 하나씩 빼고 계속 더하면 되요”
5. (교사)“여러분이 추측한 사실로 10각형의 대각선 수를
알아 볼 수 있나요?”(문제 해결)
6. (교사)“직접 10각형에 대각선을 그려서 추측한 사실을
확인해 봅시다.”(결론을 증명/확인)
Page  13
< 탐구 문제 >
개정 4학년 교과서 5.혼합 계산 – 3차시 ‘덧셈, 뺄셈, 곱셈이 섞여 있는 식의
계산 순서’ 지도 시, 교과서 p80에 나오는 다음 문제를 활용하여 학생들에게
귀납적 사고로 ‘덧셈,뺄셈,곱셈이 섞여 있는 식은 곱셈을 먼저 계산해야 함’을
이해하게 지도하는 방안을 논해보시오.
자동차 50대를 주차할 수 있는 주차장이 있습니다. 어제 저녁에 자동차가
7대에 4줄로 주차되어 있었습니다. 오늘 아침에 자동차 14대가 주차장 밖으로
나갔습니다. 이 주차장에 자동차를 몇 대 더 주차할 수 있는지 알아봅시다.
참고 도서: 개정 4-1 수학 교과서. P80
개정 4-1 수학 교사용 지도서 p244
발표 ppt 슬라이드 10~13
Page  14
참고문헌
 초등수학 교육의 이해, 강문봉, 경문사
 재미있는 영재들의 수학 퍼즐, 박부성, 자음과 모음
 박경미의 수학 콘서트, 박경미, 동아시아
 파스칼이 들려주는 수학적 귀납법 이야기, 김정하, 자음과 모음
 재미있는 수학여행 2 (논리의 세계), 김용운&김용국, 김영사
 아동의 귀납적 추론능력을 향상시키기 위한 지도방법에 관한 연구,
안승학, 인천교육대학교 교육대학원, 1999
 http://www.yeongnam.com/yeongnam/html/edu/essay/article.shtml?i
d=20080609.010300756300001
Page  15
Page  16
‘수학에서의 귀납적 사고’란 ?
예시
‘콘웨이’수열
<귀납적 사고 과정>
A. 해결 방법을 모르는 상황
B. 일반적 규칙 찾아내기
C. 문제 해결
1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,10
수열은 1,1로 주어져서
,11,?
시작한다.
세 번째 항= 바로 앞 항이 1이므로,
앞에서 첫 번째 항(1)과 뒤에서 첫 번째 항(1)을 더한다.
네 번째 항= 바로 앞 항이 2이므로,
앞에서 두 번째 항(1)과 뒤에서 두 번째 항(1)을 더한다.
Page  17
‘콘웨이 수열’에 귀납적 사고 적용
12
1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,10,
11,?
다섯
번째 항 = 바로 앞 항이 2이므로,
앞에서 두 번째 항(1)과 뒤에서 두 번째 항(2)를 더한
것.
<일반적 규칙>
n+1번째 항 = n번째 항의 수를 k라 할
때,
앞에서 k번째 항 + 뒤에서 k번째 항
Page  18
<귀납적 사고 과정>
A. 해결 방법을 모르는 상황
B. 일반적 규칙 찾아내기
C. 문제 해결
목차
1. ‘귀납적 사고’란 ?
2. ‘귀납적 사고’의 종류
3. ‘귀납적 사고’의 한계 & 유의점
4. ‘귀납적 사고’의 지도 발문
5. ‘귀납적 사고’의 수업 적용 예시
6.
Page  19
참고문헌

similar documents