Problemas resueltos

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Problemas Resueltos de
Cálculo de Áreas
Cálculo de áreas
f
1
El área encerrada por la función f entre
las abscisas a y b (azul en la imagen) es:
b
A   f  x  dx
a
b
a
Nota: En este caso f no toma valores
negativos en el intervalo.
2
Si la función f toma valores negativos en
algún intervalo, la integral correspondiente
a dicho intervalo será negativa, luego para
calcular el área encerrada entre la función y
el eje X habrá que cambiarla de signo.
f
a
b
Por tanto, en general el área encerrada la gráfica de la función y el
eje x en el intervalo [a,b], con a < b, es b
 f  x  dx.
a
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas
resueltos
Problemas
1
La gráfica de la función f se muestra en
la figura de la derecha. ¿Para que
valores de t la integral:
t
f
a
 f  x  dx
0
es el área de una región comprendida
entre la gráfica y el eje X?
2
Calcular el área comprendida entre las
gráficas de las funciones f(x) = 3x3 – 3x +1
y g(x) = -2x3 + 2x + 1.
3
-1
1
Hallar el área encerrada por la
curva de ecuación:
y2 – x2 + x4 = 0.
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
b
Problemas de Cálculo de Áreas
1
La gráfica de la función f se muestra en
la figura de la derecha. ¿Para que
valores de t la integral:
t
f
a
b
 f  x  dx
0
es el área de una
región comprendida
entre la gráfica y el eje X?
Solución
t
Si 0  x  b, f(x) ≥ 0. Por tanto, si 0  t  b, la integral
es el área de la región comprendida entre la gráfica de la
función f y el eje X entre 0 y t.
 f  x  dx
0
Si a  x  0, f(x)  0. Por tanto el área de la región comprendida
entre la gráfica de la función y el eje X en el intervalo [t,0], a  t  0,
0
0
0
t
será
 f  x  dx     f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.
t
t
t
0
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
Problemas de Cálculo de Áreas
1
La gráfica de la función f se muestra en
la figura de la derecha. ¿Para que
valores de t la integral:
f
a
b
t
 f  x  dx
0
es el área de una
región comprendida
entre la gráfica y el eje X?
Solución
t
Hemos concluido que para a  t  b, la integral :  f  x  dx
0
es el área de la región comprendida entre la gráfica de la
función f y el eje x entre 0 y t.
Si t ≥ b ó t  a al ser la función negativa el área
encerrada por la curva y el eje de las X será la integral
cambiada de signo.
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
Área encerrada entre dos curvas
2
Calcular el área comprendida entre las gráficas de las curvas
de ecuaciones f(x) = 3x3 – 3x +1 y g(x) = -2x3 + 2x + 1.
Solución
Los puntos de intersección de las gráficas
de las funciones f y g son las soluciones de
la ecuación: f(x) = g(x).
f(x) = g(x)  3x3 – 3x +1 = -2x3 + 2x + 1
 5x3 – 5x = 0  x = 0, 1.
1
Por tanto, el área de la región en cuestion será:
 f  x   g  x  dx.
1
Para eliminar el valor absoluto, dividiremos el intervalo de integración
en dos subintervalos: uno donde f(x) ≥ g(x) y otro para la zona
donde g(x) ≥ f(x). Es decir, los intervalos:[-1,0], y [0,1].
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
Área encerrada entre dos curvas
Calcular el área comprendida entre las gráficas de las curvas
de ecuaciones f(x) = 3x3 – 3x +1 y g(x) = -2x3 + 2x + 1.
2
Solución
Para calcular la integral:
1
 f  x   g  x  dx
1
observamos que f(x) ≥ g(x) si -1  x  0, y
g(x) ≥ f(x) if 0  x  1.
Por tanto:
1
0
1
1
1
0
 f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx   g  x   f  x  dx
0

 5 x
1
3

 5x dx 
1
 5 x  5 x 
0
3
  x 4 x2  0  x2 x 4  1  5
dx  5  


 
  .
2  1  2
4 0 2
 4


Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
Área encerrada por una curva
3
Hallar el área encerrada por la curva de ecuación:
y2 – x2 + x4 = 0.
Solución
Es muy útil hacer en primer lugar un boceto de la
figura. Para ello, despejamos la y, obteniendo:
y   x 1  x2 .
y   x 1  x2
y  x 1  x2
-1
1
Gráfica de la curva y2 – x2 + x4 = 0
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
Área encerrada por una curva
Hallar el área encerrada por la curva de ecuación:
y2 – x2 + x4 = 0.
3
Solución
Por simetría, el área de la región en cuestión es
cuatro veces el de el área representada en amarillo.
y  x 1  x2
Cambio de
Variable:
t = 1 – x2 .
1
Conclusión
1
0
A  4 x 1  x dx  4
0
2
1
0
1
3
2
t
 dt 
t 


2
tdt

2
tdt

2

1
0
3
 2 
2
Primeras aplicaciones de la integral/Áreas/Problemas resueltos
1

0
4
.
3
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa

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