제 1 장 기본 개념

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자료 구조
제 1 장 : 기본 개념
이형원
강릉대학교 컴퓨터공학과
학습 내용
소프트웨어 개발 단계
알고리즘이란 무엇인가 ?
데이터 추상화
알고리즘의 성능 분석 방법
2
시스템 생명 주기
1. 타당성 조사(feasibility study)
2. 계획(planning)
3. 요구 사항 분석(requirement analysis)
 요구사항에 기초하여 무엇을 개발할 것인가 결정
 문제를 실제 다룰수 있을 정도의 작은 단위로 나눔
4. 설계(design)
 data objects와 operations을 설계
 구현에 관한 사항은 뒤로 미룸
5. 코딩(coding)
3
 data object에 대한 표현을 선택, algorithm 구현
시스템 생명 주기(계속)
6. 검증(verification)
 정확성 증명 : 수학적 기법 이용
• time consuming, difficult to develop for large projects
• 증명된 algorithm/program은 확실 --> 오류를 줄임
 테스트 : 프로그램의 정확한 수행 검증
• 모든 가능한 경우를 포함하는 테스트 data가 필요
• 논리적 오류 & running time
• 단위 테스트, 통합 테스트
 발견된 오류를 제거 : 분석, 설계 단계가 중요
• spaghetti code vs. structured code
– readability & understandability
– error from error correction
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알고리즘
특정 일을 수행하는 명령어들의 유한 집합
algorithm의 조건
⑴ 입력 : 외부에서 제공되는 데이타가 0개 이상
⑵ 출력 : 적어도 한가지의 결과를 생성
⑶ 명확성 : 각 명령은 모호성이 없어야 함
⑷ 유한성 : ① 한정된 수의 단계 후 반드시 종료
② 수행 시간의 현실적인 유한성
⑸ 유효성 : 모든 명령은 실행 가능해야 함
기술 방법
 자연어(명확성 유의), 다이어그램, 의사 코드, HLL
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예제 [이진탐색] : 요구 사항
요구 사항
 list[0] ≤ list[1] ≤ ...≤ list[n-1] where list[i] is integer
 정수 searchnum이 배열 list에 있는지 검사
• searchnum에 대해 list[i] = searchnum인 인덱스 i를 반환
• 없는 경우는 -1 반환
선형탐색 vs. 이진탐색
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예제 [이진탐색] :알고리즘 1
while (there are more integers to check) {
middle = (left + right) / 2;
if (searchnum < list[middle]) right = middle - 1;
else if (searchnum == list[middle]) return
middle;
else left = middle + 1;
}
 비교 연산 : 함수 or 매크로
#define COMPARE(x,y) ((x) < (y)) ? -1 : ((x) == (y))7 ? 0 :
1)
예제 [이진탐색] :알고리즘 2
int binsearch(int list[], int searchnum, int left, int right)
{
int middle;
while (left<=right) {
middle = (left + right)/2;
switch (COMPARE(list[middle], searchnum))
{
case -1: left = middle + 1; break;
case 0: return middle;
case 1: right = middle - 1;
}
}
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return -1;
순환 알고리즘 : 정의와 특성
순환 : 자기 자신을 사용하는 알고리즘
 예) 계단 오르기
더 이상 계단이 없으면 멈춤
계단을 하나 올라감
계단 오르기
 종류
• direct recursion : 함수의 수행이 완료되기 전에 자신을 다시 호출
• indirect recursion : 호출 함수를 다시 호출하는 다른 함수를 호출
 특성
• 배정/if-else/while문으로 작성가능한 어떤 program도 순환 사용 가
능
• 문제 자체가 순환적으로 정의된 경우 유용
– Fibonacci 수 : Fn = Fn-1 + Fn-2 where F0 = 0 , F1 = 1, and n  2
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– factorial : n! = n * (n-1)!
순환 알고리즘 : 예제 [이진 탐색]
int binsearch(int list[], int searchnum, int left, int right) {
int middle;
if (left <= right) {
middle = (left + right) / 2;
switch (COMPARE(list[middle], searchnum)) {
case -1: return binsearch(list, searchnum, middle+1,
right);
case 0: return middle;
case 1: return binsearch(list, searchnum, left,
middle-1);
}
}
return -1;
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}
데이타 추상화 : data type의 종류
C 언어의 data type
 기본 data type : char, int, float, double
 키워드 : short, long, unsigned
 자료의 그룹화(user-defined data type) : 배열, 구
조
• int list[5]
• struct student {
char last_name;
int student_id;
char grade;
};
 포인터 data type
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데이타 추상화 : What is data
type ?
객체(data)와 그 객체에 작동하는 연산의 집합
 예) data type int
• 객체 : {0, ±1, ±2, ±3, ...., INT_MAX, INT_MIN}
• 연산 : +, -, *, /, %, 배정, 테스트
 객체의 표현
• char 형 : 1 바이트 비트열
• int 형 : 2 또는 4 바이트(2 바이트 경우 INT_MAX = 215-1)
• 구체적 내용을 사용자가 모르도록 하는 것이 좋은 방법
 객체 구현 내용에 대한 알고리즘의 독립성
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데이타 추상화 : ADT
Abstract Data Type(ADT)
 data type의 논리적 정의
• 객체와 연산의 본질(what)에 대한 명세만 정의
• 객체의 표현과 연산의 구현(how)은 배제
명 시 적
지 원
C++/JAVA(class)
 ADT 연산의 명세
언 어
:
Ada(package),
• 함수의 이름, 매개 변수형, 결과형, 기능
• 내부적 표현/구현에 대한 자세한 설명은 필요 없음
 구현에 독립
• 이를 바탕으로 알고리즘 작성
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데이터 추상화 : 예
structure Natural_Number
objects : 0 ~ 컴퓨터상의 최대 정수 값(INT_MAX)까지
순서화된 정수의 부분 범위이다.
functions : x, y  Nat_Number and TRUE, FALSE 
Boolean
Nat_No Zero()
Boolean Is_Zero(x)
Nat_No Add(x, y)
::= 0
::= if (x) then FALSE else return TRUE
::= if ((x+y)<=INT_MAX) return x+y
else return INT_MAX
::= if (x==y) return TRUE else return
Boolean Equal(x,y)
FALSE
Nat_No Succesor(x) ::= if (x==INT_MAX) return x else return
x+1
Nat_No Subtract(x,y) ::= if (x<y) return 0 else return x-y 14
end Natural_Number
성능 분석
프로그램 판단의 기준




프로그램이 원래의 명세와 부합하는가 ?
정확하게 작동하는가 ?
프로그램의 코드가 읽기 쉬운가 ?
…..
nonquantitative
성능 평가(performance evaluation)
 성능 분석(복잡도 이론): 컴퓨터에 관계없이 시간/공간 추산
• 공간 복잡도 : 프로그램을 실행시켜 완료하는 데 필요한 공간의 양
• 시간 복잡도 : 프로그램을 실행시켜 완료하는 데 필요한 시간의 양
 성능 측정: 실제로 컴퓨터에서의 수행 시간을 얻음
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공간 복잡도
프로그램에 필요한 공간
 고정 공간 요구
• Program 입출력의 횟수나 크기에 관계없는 memory 요
구
– 명령어 공간(코드저장을 위한 공간)
– 단순 변수, 고정 크기의 구조화 변수, 상수들을 위한 공간
 가변 공간 요구 SP(I)
• 문제의 특정 인스탄스 I에 따라 변하는 memory 요구
• 인스탄스 특성 : 입출력의 횟수/크기/값
예) 입력이 n개의 요소를 갖는 배열 : n
• 공간 복잡도 분석 : 가변 공간 요구에만 관심
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공간 복잡도 : 예제 abc
float abc(float a, float b, float c) {
return a+b+b*c + (a+b-c) / (a+b) + 4.00;
}
Q. Sabc(I) = ?
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공간 복잡도 : 예제 sum
float sum(float list[], int n) {
float tempsum = 0; int i;
for (i = 0; i < n; i++) tempsum += list[i];
return tempsum;
}
Q. Ssum(I) = Ssum(n) = ?
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공간 복잡도 : 예제 rsum
float rsum(float list[], int n) {
if (n) return rsum(list, n-1) + list[n-1];
return 0;
}
 반복 함수보다 overhead가 큼 Q. Why ?
 Srsum(n) = 한 번의 순환 호출을 위해 요구되는 공간 * n
= 2개의 매개 변수, 복귀 주소를 위한 바이트 수 *
n
= (list[]의 주소 + sizeof(n) + 복귀주소) * n
= (2 + 2 + 2) * n = 6n
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시간 복잡도
실행 시간의 획득 방법
1) 시스템 클럭을 사용
2) 프로그램 단계 수(program step count)를 계산
• 실행 시간이 인스턴스 특성에 관계없이 구문적으로 또
는 의미적으로 뜻을 갖는 프로그램의 단위
ex) a = 2
1 step !!
a = 2*b+3*c/d-e+f/g/a/b/c
• 한단계 실행에 필요한 시간이 인스턴스 특성에 독립적
이어야 함
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시간 복잡도 : 단계수 계산
전역 변수 count의 삽입
 예제 1.9 [수치 값 리스트의 합산을 위한 반복 호출]
float sum(float list[], int n) {
float tempsum = 0;
int i;
for (i = 0; i < n; i++) {
tempsum += list[i];
}
return tempsum;
}
Q. 단계수 ?
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시간 복잡도 : 단계수 계산 (계속)
예제 1.10 [수치 값 리스트의 합산을 위한 순환 호출]
float rsum(float list[], int n){
count++;
/* if문을 위한 문장 */
if (n) {
count++;
/* 반환과 rsum의 호출을 위한 문장 */
return rsum(list, n-1) + list[n-1];
}
count++;
return list[0];
}
Q. 단계수 ?
Q. Titerative > Trecursive ??
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시간 복잡도 : 단계수 계산 (계속)
예제 1.11 [행렬의 덧셈]
void add(int a[][MAX_SIZE], int b[][MAX_SIZE],
int c[][MAX_SIZE], int rows, int cols) {
int i, j;
for (i=0; i<rows; i++) { count++; /* i for루프문을 위한 문장
*/
for (j=0; j<cols; j++) { count++; /* j for루프문을 위한 문장
*/
c[i][j] = a[i][j] + b[i][j]; count++; /* 배정문을 위한 문장 */
} count++;
/* for루프에 대한 마지막 j */
} count++;
/* for루프에 대한 마지막 i */
}
단계수 = rows(2cols + 2) +1 = 2rows cols + 2rows +
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시간 복잡도 : 단계수의 문제점
단계수 이용의 목적
 동일 기능의 두 프로그램의 시간 복잡도 비교
 인스턴스 특성의 변화에 따른 실행 시간 증가 예
측
But 단계수 결정은
• 어렵다
프로그램내에 코드를 삽입
• 부정확하다.
x= y 와 x= y+z+(x/y)*w-x/y는 같은 단계
정확한 실행 시간은 측정해야 알 수 있음
∴ 간단하고 유용한 복잡도 결정 방법이 필요
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점근 표기법 Ο, Ω, Θ
가정 : f and g are nonnegative functions
f(n)=Ο(g(n)) iff  c,n0 > 0, s.t f(n) ≤ cg(n)  n≥n0
 n ≥ 3, 3n + 3 ≤ 4 n ∴ 3n + 3 = Ο(n)
n0 f(n)
c g(n)
n ≥ 5, 10n2 + 4n + 2 ≤ 11n2 ∴ 10n2 + 4n + 2 = Ο(n2)
n ≥ 2, 3n + 3 ≤ 3n2 ∴ 3n + 3 = Ο(n2)
3n + 3 ≠Ο(1) 10n2 + 4n + 2 ≠ Ο(n)
 least upper bound에 사용 : Q. 3n + 3 =Ο(n) or Ο(n2) ?
 ‘=’ means "is", not "equal”
 Ο(1)<Ο(log n)<Ο(n)<Ο(n log n)<Ο(n2)<Ο(n3)<Ο(2n)
 if f(n) = amnm + am-1nm-1 + ...+ a1n + a0,, then f(n) = Ο(nm)
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점근 표기법 Ο, Ω, Θ(계속)
f(n)=Ω(g(n)) iff  c,n0 > 0, s.t f(n)≥cg(n) 
n≥n0
 n ≥ 1, 3n + 2 ≥ 3n ∴ 3n + 2 = Ω(n)
n ≥ 1, 10n2 + 4n + 2 ≥ n2 ∴ 100n2 + 4n + 2 =
Ω(n2)
n ≥ 1, 6*2n + n2 ≥ 2n ∴ 6*2n + n2 = Ω(2n)
 greatest lower bound: Q. 3n+2=Ω(n) or Ω(1) ?
 if f(n) = amnm+…+a1n+a0, and am>0, then
f(n)=Ω(nm)
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점근 표기법 Ο, Ω, Θ(계속)
f(n)=Θ(g(n))
iff c1,c2,n0>0, s.t c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) n≥n0
 n ≥ 2, 3n ≤ 3n + 2 ≤ 4n ∴ 3n + 2 = Θ(n)
10n2 + 4n + 2 = Θ(n2) ≠ Ο(n) ≠ Ο(n3)
 both upper and lower bound
 if f(n) = amnm+…+a1n+a0, and am>0, then
f(n)=Ω(nm)
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점근 표기법 Ο, Ω, Θ(계속)
결론
 보통 big oh 표기법만으로 복잡도를 표시(관행)
 계수는 모두 1
 점근 복잡도는 정확한 단계수의 계산없이 쉽게 구함
단계수 ==> 점근 복잡도
 in program 1.10, Tsum(n) = 2n+3 ---> Tsum(n) = Θ(n)
 in program 1.11, Trsum(n) = 2n+2 ---> Trsum(n) = Θ(n)
 in program 1.14,
Tadd(rows,cols) = 2rows cols + 2rows + 1 =
Θ(rows.cols)
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점근 표기법 Ο, Ω, Θ(계속)
프로그램 ==> 점근 복잡도
 예제 [행렬 덧셈의 복잡도]
문 장
void add(int a[][MAX_SIZE] …)
{
int I, j;
for (I=0; I < rows; I++)
for (j=0; j < cols; j++)
c[I][j] = a[I][j] + b[I][j];
}
합 계
점근적 복잡도
0
0
0
Θ(rows)
Θ(rows cols)
Θ(rows cols)
0
Θ(rows cols)
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실용적인 복잡도
복잡도 함수의 용도
 한 program의 인스턴스 특성 변화에 따른 변화 예
측
 같은 작업을 수행하는 두 개의 program 비교
• P : Θ(n), Q : Θ(n2) --> 충분히 큰 n에 대해 P가 빠르다.
P : 106n msec, Q : n2 msec에 수행 & n ≤ 106
 Q를 선택
함수들과 n의 관계: 그림 1.7, 그림 1.8, 그림
1.9
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성능 측정 : 그림 1.10
Assignment
n!을 구하는 프로그램
 반복문과 순환문을 이용하여 각각 작성
 n = 100, 200, 300, …, 3000에 대해 실행 시간을
측정
 점근 복잡도 계산
fibonacci 수 Fn을 구하는 프로그램
 반복문과 순환문을 이용하여 각각 작성
 n= 50, 100, 150, …, 1000에 대해 실행 시간을 측
정
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 점근 복잡도 계산

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