Lecture4

Report
‫המחלקה לניהול תעשייתי‬
‫סמסטר א'‪ ,‬תשע"ב‬
‫רגרסיה לינארית‪ ,‬ניתוח שונות ותכנון‬
‫ניסויים סטטיסטיים‬
‫הרצאה ‪4‬‬
‫רגרסיה פשוטה‪ :‬בדיקת השערות על‬
‫מקדם המתאם‪ ,‬בדיקת הנחות המודל‬
‫רווח סמך לתחזית‬
‫מקדם המתאם מדגמי ‪ – R‬נוסחא חלופית‬
‫‪ R2‬כפי למדנו בהרצאה קודמת‪ ,‬הינו מדד סטטיסטי מבוסס על נתוני‬
‫המדגם המודד את החלק היחסי של הסטייה המוסברת ע"י רגרסיה ביחס‬
‫לסטייה הכוללת‪.‬‬
‫לכן ניתן לחשב מקדם המתאם גם בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪SST  SSE SSR‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0  R2  1‬‬
‫‪1 R 1‬‬
‫ככל ש‪ R2 -‬גבוה יותר‪ ,‬כך מודל הרגרסיה הנבנה יותר טוב וקשר בין‬
‫משתנה הב"ת למשתנה התלוי חזק יותר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ הגדרות‬:‫תזכורת‬

n
SST 
:‫סכום ריבועי הסטיות הכולל‬
Sum of Squares Total
yi  y   SSR  SSE
2
i 1

n
SSE 
i 1
yi  yˆ i 2 

n
ei 2
:‫סכום ריבועי הסטיות המדגמיות‬
Sum of Squares of Errors
i 1
:‫סכום ריבועי הסטיות הנובעות מקו הרגרסיה‬
Sum of Squares of Regression

n
SSR 
i 1
yˆ i  y 2  b12

n
xi  x 2
i 1
3
‫בדיקת השערות לגבי מקדם המתאם‬
‫כאשר מקדם המתאם שווה ל‪ ,0-‬אזי גם שיפוע שווה ל‪.0-‬‬
‫לכן במקום לבדוק השערות לגבי שיפוע‪H 0 : 1  0 :‬‬
‫‪H1 : 1  0‬‬
‫ניתן לבצע בדיקת השערות לגבי מקדם המתאם של אוכלוסיה‪:‬‬
‫‪H0 :   0‬‬
‫‪H1 :   0‬‬
‫משמעות של השערת האפס‪ :‬לא קיים קשר ליניארי בין משתנה הב"ת‬
‫למשתנה התלוי‪.‬‬
‫ניתן לבדוק את ההשערות הנ"ל או באמצעות מבחן ‪ T‬או באמצעות ניתוח‬
‫שונות ומבחן ‪.F‬‬
‫מבחן ‪T‬‬
‫‪R n2‬‬
‫‪tstat ‬‬
‫ססטיסטי המבחן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 R‬‬
‫איזור דחייה (דו‪-‬זנבי)‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 2,1‬‬
‫‪tstat  tcrit  t‬‬
‫תזכורת‪ :‬דוגמה‬
‫בוחנים את הקשר בין גודל מנת הייצור לשעות העבודה שיש‬
‫להשקיע כדי לייצר מנה זו‪.‬‬
‫נתונים נתוני המדגם (‪ 10‬תצפיות)‪:‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪73‬‬
‫‪50‬‬
‫‪128‬‬
‫‪170‬‬
‫‪87‬‬
‫‪108‬‬
‫‪135‬‬
‫‪69‬‬
‫‪148‬‬
‫‪132‬‬
‫‪5‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫נחזור לדוגמה ונבדוק השערות למקדם המתאם‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫נבדוק השערות הבאות‪:‬‬
‫‪H0 :   0‬‬
‫‪H1 :   0‬‬
‫מקדם מתאם מדגמי‪:‬‬
‫‪yi  y  yi  y  2‬‬
‫‪SSR 13600‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.9956‬‬
‫‪SST 13660‬‬
‫‪R2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪R  R  b1‬‬
‫‪ 0.9978‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫נבצע בדיקת השערות במבחן ‪:T‬‬
‫‪0.9978 8‬‬
‫‪ 42.58‬‬
‫‪1  0.9956‬‬
‫‪‬‬
‫‪R n2‬‬
‫‪1  R2‬‬
‫‪42.58  tcrit  t8,0.975  2.306‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1369‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪324‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪529‬‬
‫‪4‬‬
‫‪625‬‬
‫‪1681‬‬
‫‪1444‬‬
‫‪484‬‬
‫‪13660‬‬
‫‪tstat ‬‬
‫‪-37‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪18‬‬
‫‪60‬‬
‫‪-23‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪-41‬‬
‫‪38‬‬
‫‪22‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi  x ‬‬
‫‪400‬‬
‫‪900‬‬
‫‪100‬‬
‫‪900‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪400‬‬
‫‪400‬‬
‫‪100‬‬
‫‪3400‬‬
‫‪yi xi  x‬‬
‫‪73‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪128‬‬
‫‪10‬‬
‫‪170‬‬
‫‪30‬‬
‫‪87‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪108‬‬
‫‪0‬‬
‫‪135‬‬
‫‪10‬‬
‫‪69‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪148‬‬
‫‪20‬‬
‫‪132‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪110‬‬
‫‪1366‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪500‬‬
‫‪50‬‬
‫‪340‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫סכומים‬
‫ממוצע‬
‫שונות‬
‫מסקנה‪ :‬נדחה את השערת האפס‬
‫ברמת מובהקות ‪ 5%‬ונאמר שיש‬
‫קשר ליניארי בין משתנה הב"ת‬
‫למשתנה התלוי ושיפוע שונה מ‪.0-‬‬
‫מקדם המתאם מדגמי ‪ – R‬נוסחא חלופית‬
‫‪ R2‬כפי למדנו בהרצאה קודמת‪ ,‬הינו מדד סטטיסטי מבוסס על נתוני‬
‫המדגם המודד את החלק היחסי של הסטייה המוסברת ע"י רגרסיה ביחס‬
‫לסטייה הכוללת‪.‬‬
‫לכן ניתן לחשב מקדם המתאם גם בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪SST  SSE SSR‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0  R2  1‬‬
‫‪1 R 1‬‬
‫ככל ש‪ R2 -‬גבוה יותר‪ ,‬כך מודל הרגרסיה הנבנה יותר טוב וקשר בין‬
‫משתנה הב"ת למשתנה התלוי חזק יותר‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫תזכורת‪ :‬הנחות המודל‬
‫‪, V  xi   0, i .1‬כלומר ‪ xi‬הינו קבוע או משתנה מקרי‬
‫מנוון‪ εi ,‬סופג את כל הרעש‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ε‬הינו משתנה מקרי מפולג נורמלית ‪ , i‬‬
‫‪i ,  j i  j‬‬
‫‪2‬‬
‫בלתי מתואמים (‪.)cov=0‬‬
‫‪ i ~ N  0, ‬‬
‫בדיקת הנחות המודל ברגרסיה פשוטה‬
‫בהינתן משתנה תלוי ומשתנה בלתי תלוי‪ ,‬נבחר מכל אחד מהם‬
‫מדגם מקרי בגודל ‪ .n‬על מנת שנוכל לבחון באופן מדויק ונכון‬
‫האם קיים קשר ליניארי בין שני משתנים אלו באמצאות מודל‬
‫רגרסיה‪ ,‬צריכות להתקיים ההנחות כי ‪ n‬תצפיות הן בלתי‬
‫מתואמות (הנחה ‪ )3‬ומפולגות בהתפלגות נורמלית (הנחה ‪.)2‬‬
‫‪9‬‬
‫בדיקת הנחות המודל‪ :‬בדיקת נורמליות‬
‫על מנת לבדוק הנחה ‪  i ~ N  0,   2‬נצטרך לבנות גראף הנקרא‬
‫‪2‬‬
‫‪ .Normal Probability-Probability (P-P) Plot‬לשם כך נבצע‬
‫צעדים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נחשב שאריות (שגיאות) ‪ei  yi  yˆi‬‬
‫‪ (2‬נסדר שאריות בסדר עולה (נסמן שאריות מסודרת ב‪)  ei -‬‬
‫‪ (3‬ננרמל את השגיאות המסודרות בסדר עולה ע"י חישוב‪MSE :‬‬
‫‪ (4‬נמצא בטבלת ‪ Z‬הסתברות נורמלית המצטברת התיאורטית‪:‬‬
‫‪  ei  MSE‬‬
‫‪‬‬
‫‪ei ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (5‬נחשב הסתברות נורמלית מצטברת האמפירית המתקבלת מהנתונים‪:‬‬
‫‪i  0.5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (6‬נשרטט גרף של הסתברות מצטברת אמפירית בציר ‪ X‬והסתברות‬
‫מצטברת תיאורטית בציר ‪.Y‬‬
‫‪ (7‬קו ישר של ‪ 45‬מעלות (בקירוב) יעיד כי הנתונים באים מהתפלגות‬
‫נורמלית‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫נחזור לדוגמה ונבדוק האם הנחת נורמליות מתקיימת‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫‪MSE  7.5, MSE  2.7386, n  10‬‬
‫נחשב מצטברת אמפירית ומצטברת תיאורטית עבור גראף ‪:Normal P-P‬‬
‫‪ ei ‬‬
‫שאריות בסדר‬
‫מצטברת ‪ i  0.5‬מצטברת ‪  ei  ‬‬
‫‪i‬‬
‫ˆ‬
‫‪ei‬‬
‫‪xi y i y i‬‬
‫אמפירית ‪ 10‬תיאורטית ‪ 7.5   7.5 ‬עולה ‪ei ‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.13666‬‬
‫‪-1.09545‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪70‬‬
‫‪73‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.2326‬‬
‫‪-0.7303‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.2326‬‬
‫‪-0.7303‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪130‬‬
‫‪128‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.35‬‬
‫‪0.2326‬‬
‫‪-0.7303‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪170‬‬
‫‪170‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.45‬‬
‫‪0.3575‬‬
‫‪-0.36515‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪90‬‬
‫‪87‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.55‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪110‬‬
‫‪108‬‬
‫‪50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0.65‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪130‬‬
‫‪135‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.7674‬‬
‫‪0.730297‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪70‬‬
‫‪69‬‬
‫‪30‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0.85‬‬
‫‪0.86334‬‬
‫‪1.095445‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪148‬‬
‫‪70‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0.95‬‬
‫‪0.96606‬‬
‫‪1.825742‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪130‬‬
‫‪132‬‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪‬‬
‫נחזור לדוגמה ונבדוק האם הנחת נורמליות מתקיימת‬
‫נשרטט גראף ‪:Normal P-P‬‬
‫מסקנה‪ :‬ניתן לראות שערכים מסתדרים בקירוב על קו של ‪ 45‬מעלות‪ ,‬לכן‬
‫נאמר שהנחת נורמליות מתקיימת בדוגמה שלנו‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫בדיקת הנחות המודל‪ :‬בדיקת אי‪-‬תלות‬
‫גם בדיקה של הנחה ‪ 3‬נעשית באופן גראפי‪ .‬לשם בניית גראף זה‬
‫נבצע צעדים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נחשב שאריות (שגיאות) ‪ei  yi  yˆi‬‬
‫‪ (2‬נשרטט גרף של שגיאות בציר ‪ X‬וערך החזוי ע"י מודל‬
‫מרגרסיה ‪( yˆi‬ישר המותאם) בציר ‪.Y‬‬
‫‪ (3‬במידה ונראה כי שגיאות מסודרות באופן מקרי ולא על פי‬
‫תבנית מסודרת‪ ,‬ניתן לומר כי מתקיימת הנחת אי‪-‬תלות‪.‬‬
‫מגראף זה נוכל להסיק גם על אחידות שונות השגיאות‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫נחזור לדוגמה ונבדוק האם הנחת אי‪-‬תלות מתקיימת‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫נחשב שגיאות ונבנה גראף‪:‬‬
‫בדיקת אי‪-‬תלות‬
‫‪ei‬‬
‫‪180‬‬
‫‪160‬‬
‫‪3‬‬
‫‪yˆ i‬‬
‫‪70‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪73‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪140‬‬
‫חיזוי ע"י רגרסיה‬
‫‪120‬‬
‫‪100‬‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫שגיאות‬
‫מסקנה מגראף‪ :‬אין תבניות בסידור‬
‫השגיאות‪ ,‬לכן ניתן לומר כי הנחת אי‪-‬תלות‬
‫מתקיימת בניסוי זה‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪130‬‬
‫‪128‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪170‬‬
‫‪170‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪90‬‬
‫‪87‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪110‬‬
‫‪108‬‬
‫‪50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪130‬‬
‫‪135‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪70‬‬
‫‪69‬‬
‫‪30‬‬
‫‪8‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪148‬‬
‫‪70‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪130‬‬
‫‪132‬‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫חיזוי בעזרת משוואת רגרסיה ורווח סמך‬
‫לתחזית‬
‫מטרותינו‪:‬‬
‫‪ .1‬לחשב רווח בר סמך ברמת הביטחון ‪ 1-α‬למספר אינסופי של‬
‫תצפיות עבור ערך ‪ xh‬נתון‪ ,‬כלומר עבור תוחלת )‪.E(yh‬‬
‫(בדוגמה שלנו‪ ,‬תוחלת שעות עבודה המושקעות בייצור מנה‬
‫בגודל ‪.)xh‬‬
‫‪ .2‬לחשב רווח בר סמך לתצפית בודדת ברמת הביטחון ‪1-α‬‬
‫עבור ערך ‪ xh‬נתון‪ ,‬כלומר רווח סמך עבור ‪( .yh‬בדוגמה שלנו‪,‬‬
‫עבור שעות עבודה המושקעות בייצור מנה בגודל מסויים‬
‫אשר יכול להשתנות כל יום)‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לאינסוף תצפיות מחפשים רווח בר סמך לקו רגרסיה של‬
‫אוכלוסיה‪yh  0  1 xh   h :‬‬
‫‪15‬‬
‫רווח בר סמך עבור תוחלת התחזית‬
‫‪E  yˆh   0  1xh  E  yh ‬‬
‫‪yˆh  b0  b1xh‬‬
‫‪ - yˆh‬סטטיסטי שבעזרתו נאמוד רווח בר סמך ברמת הביטחון‬
‫‪ 1-α‬לתוחלת )‪.E(yh‬‬
‫‪ - S y2ˆh‬שונות מדגמית (אמד חסר הטיה לשונות)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xh  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S yˆh  MSE   n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xi  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫רווח סמך לתוחלת התחזית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪P  yˆ h  t‬‬
‫‪ S yˆ h  E  yh   yh  t‬‬
‫‪ S yˆ h   1  ‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫נחזור לדוגמה‬
‫שאלה‪ :‬בנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור תוחלת שעות‬
‫‪2‬‬
‫העבודה שידרשו לייצור מנה בגודל ‪55‬יחידות‪.‬‬
‫‪xi yi  xi  x ‬‬
‫‪30‬‬
‫‪73‬‬
‫‪400‬‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫‪MSE  7.5, n  10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪900‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪128‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪900‬‬
‫‪170‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫‪87‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪108‬‬
‫‪50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪100‬‬
‫‪135‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪400‬‬
‫‪69‬‬
‫‪30‬‬
‫‪8‬‬
‫‪400‬‬
‫‪148‬‬
‫‪70‬‬
‫‪9‬‬
‫‪100‬‬
‫‪132‬‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫‪xh  55‬‬
‫נחשב ‪E  yˆh   0  1xh  0  1 55 : E  yˆh ‬‬
‫נחשב ‪: yˆh‬‬
‫‪yˆh  b0  b1xh  10  2 55  120‬‬
‫נחשב אומד לסטיית תקן של תחזית ˆ‪: S y‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ 1  55  50 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  0.80515‬‬
‫‪3400 ‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xh  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  7.5‬‬
‫‪ MSE   n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xi  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫ˆ‪S y2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪S yˆ  S y2ˆ  0.80515  0.8973‬‬
‫‪h‬‬
‫נמצא בטבלת ‪ T‬ערך ‪: tn2,1‬‬
‫‪17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t8,0.95  1.86‬‬
‫‪h‬‬
‫‪3400‬‬
‫‪500 1100‬‬
‫‪110‬‬
‫‪50‬‬
‫‪i‬‬
‫סכומים‬
‫ממוצעים‬
‫נחזור לדוגמה‬
‫נבנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור תוחלת שעות העבודה‬
‫שידרשו לייצור מנה בגודל ‪55‬יחידות‪:‬‬
‫‪P 120 1.86 0.8973  E  yˆh   120 1.86 0.8973  0.9‬‬
‫‪P 118.3  0  1 55  121.27   0.9‬‬
‫אורך רווח סמך‪121.27-118.3=3.4 :‬‬
‫‪18‬‬
‫נחזור לדוגמה‬
‫שאלה נוספת‪ :‬כעת בנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור תוחלת‬
‫‪2‬‬
‫שעות העבודה שידרשו לייצור מנה בגודל ‪80‬יחידות‪xi yi  xi  x  .‬‬
‫‪30‬‬
‫‪73‬‬
‫‪400‬‬
‫‪xh  80‬‬
‫נחשב ‪E  yˆh   0  1xh  0  1 80 : E  yˆh ‬‬
‫נחשב ‪: yˆh‬‬
‫‪yˆh  b0  b1xh  10  2 80  170‬‬
‫נחשב אומד לסטיית תקן של תחזית ˆ‪: S y‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ 1  80  50 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  2.7353‬‬
‫‪3400 ‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xh  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  7.5‬‬
‫‪ MSE   n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xi  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫ˆ‪S y2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪S yˆ  S y2ˆ  2.7353  1.65387‬‬
‫‪h‬‬
‫נמצא בטבלת ‪ T‬ערך ‪: tn2,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪19‬‬
‫‪t8,0.95  1.86‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪900‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪128‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪900‬‬
‫‪170‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫‪87‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪108‬‬
‫‪50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪100‬‬
‫‪135‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪400‬‬
‫‪69‬‬
‫‪30‬‬
‫‪8‬‬
‫‪400‬‬
‫‪148‬‬
‫‪70‬‬
‫‪9‬‬
‫‪100‬‬
‫‪132‬‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3400‬‬
‫‪500 1100‬‬
‫‪110‬‬
‫‪50‬‬
‫סכומים‬
‫ממוצעים‬
‫נחזור לדוגמה‬
‫נבנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור תוחלת שעות העבודה‬
‫שידרשו לייצור מנה בגודל ‪ 80‬יחידות‪:‬‬
‫‪P 170 1.86 1.65387  E  yˆh   170 1.86 1.65387  0.9‬‬
‫‪P 166.9  0  1 80  173.1  0.9‬‬
‫אורך רווח סמך‪173.1-166.9=6.2 :‬‬
‫‪20‬‬
)yh ‫רווח בר סמך עבור התחזית (תצפית בודדת‬
‫ סטטיסטי שבעזרתו נאמוד רווח בר סמך ברמת הביטחון‬- yh  yˆ h
‫ לתחזית של תצפית בודדת‬1-α
yh   0  1 xh   h
yˆ h  b0  b1 xh
E  yˆh   0  1xh  E  yh   E  yh  yˆ h   0
:)‫שונות מדגמית (אמד חסר הטיה לשונות‬


2
 1

x

x


  MSE  S y2ˆ
S 2  yh  yˆ h   MSE 1   n h
h
2
 n
xi  x 




i 1
:)‫רווח סמך לתחזית (תצפית בודדת‬


ˆ
ˆ
ˆ
P  yˆ h  t
 S  yh  yh   yh  yh  t
 S  yh  y h    1  
n  2,1
n  2,1
21

2
2

‫נחזור לדוגמה‬
‫שאלה‪ :‬בנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור שעות העבודה‬
‫‪2‬‬
‫שידרשו לייצור מנה בגודל ‪ 55‬יחידות‪.‬‬
‫‪xi yi  xi  x ‬‬
‫‪30‬‬
‫‪73‬‬
‫‪400‬‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫‪MSE  7.5, n  10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xh  55‬‬
‫‪900‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב ‪yh  0  1 xh   h  0  1 55   h : yh‬‬
‫‪100‬‬
‫‪128‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪900‬‬
‫‪170‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪100‬‬
‫‪87‬‬
‫‪40‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪108‬‬
‫‪50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪100‬‬
‫‪135‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪400‬‬
‫‪69‬‬
‫‪30‬‬
‫‪8‬‬
‫‪400‬‬
‫‪148‬‬
‫‪70‬‬
‫‪9‬‬
‫‪100‬‬
‫‪132‬‬
‫‪60‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3400‬‬
‫‪500 1100‬‬
‫נחשב ‪: yˆh‬‬
‫‪yˆh  b0  b1xh  10  2 55  120‬‬
‫נחשב אומד לסטיית תקן לתחזית של תצפית בודדת‪:‬‬
‫‪S 2  yh  yˆ h   MSE  S y2ˆ  7.5  0.80515  8.30515‬‬
‫‪h‬‬
‫‪S  yh  yˆ h   S 2  yh  yˆ h   8.30515  2.88187‬‬
‫נמצא בטבלת ‪ T‬ערך ‪: tn2,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪t8,0.95  1.86‬‬
‫‪110‬‬
‫‪50‬‬
‫‪i‬‬
‫סכומים‬
‫ממוצעים‬
‫נחזור לדוגמה‬
‫נבנה רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 90%‬עבור שעות העבודה שידרשו‬
‫לייצור מנה בגודל ‪ 55‬יחידות‪:‬‬
‫‪P 120 1.86 2.88187  yh  120 1.86 2.88187  0.9‬‬
‫‪P 114.6  yh  0  1 55   h  125.4  0.9‬‬
‫אורך רווח סמך‪125.4-114.6=10.8 :‬‬
‫ניתן לראות שעבור תחזית בודדת מתקבל רווח סמך הרבה יותר רחב‬
‫לעומת אורך רווח סמך לתוחלת התחזית לאותו מקרה ‪.xh=55‬‬
‫הערה‪ :‬באופן כללי‪ ,‬סביר להניח שאורך רווח סמך לתחזית של תצפית‬
‫בודדת יגדל בהשוואה לתחזית של אינסוף תצפיות (תוחלת התחזית)‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫סוף נושא "רגרסיה פשוטה"‬
‫‪24‬‬

similar documents