logaritma - WordPress.com

Report
BAB 8
FUNGSI,
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
LOGARITMA
HOME
NEXT
LOGARITMA
1. FUNGSI LOGARITMA
- DEFINISI LOGARITMA
- GRAFIK
2. PERSAMAAN LOGARITMA
- BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARITMA
- PENYELESAIAN
3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
- BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
- PENYELESAIAN
BACK
HOME
NEXT
PENDAHULUAN
Di kelas X, kalian telah mempelajari logaritma. Pada
pokok bahasan ini, kalian akan mempelajari labih
lanjut tentang logaritma. Konsep – konsep dasar
yang kita peroleh di kelas X akan digunakan disini.
Materi yang akan kita bahas pada bab ini adalah
fungsi
logaritma,
persamaan
logaritma
dan
pertidaksamaan logaritma.
BACK
HOME
NEXT
PETA KONSEP
FUNGSI, PERSAMAAN, DAN
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
BACK
FUNGSI
LOGARITMA
PERSAMAAN
LOGARITMA
FUNGSI
LOGARITMA
DEFINISI
BENTUK-BENTUK
PERSAMAAN
LOGARIMA
BENTUK-BENTUK
PERTIDAKSAMAAN
LOGARIMA
GRAFIK
PENYELESAIAN
PENYELESAIAN
HOME
NEXT
- DEFINISI
Logaritma adalah invers atau balikan dari
perpangkatan (eksponen). Oleh karena itu,
apabila terdapat fungsi eksponen f yang
memetakan bilangan real x ke ax (ditulis
f(x)= ax bilangan real x ke alog x (ditulis
g(x)= alog x .
BACK
HOME
NEXT
Misal :
Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3x dengan daerah asal Df =
{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Hubungan antara x dan y = f(x) = 3x
dapat disajikan dalam tabel berikut.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
Terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x)
= 3x . Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa fungsi
eksponen f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. Maka
terdapat fungsi invers f-1 , seperti pada tabel :
BACK
x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
HOME
NEXT
Misalkan fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x),
dengan demikian dapat ditentukan sebagai berikut.
y = f(x) = 3x
↔ log y = x log 3
↔ x = log y/log 3
↔ x = 3log y
↔ f-1 (y)= 3log y
↔ f-1 (x)= 3log x
Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1 (x)= 3log x yang
merupakan logaritma dengan bilangan pokok 3.
Dari uraian di atas, pengertian fungsi logaritma adalah
suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real
dengan aturan g(x) = alog x, x>0, a>0 dan a≠1 merupakan
fungsi logaritma.
BACK
HOME
NEXT
Contoh :
1. Diketahui f(x) = 4log (x2 – 8x + 16). Tentukan titik potong
kurva fungsi f dengan sumbu-sumbu berikut.
a. Sumbu X
b. Sumbu Y
Penyelesaian :
a. Titik potong dengan sumbu X
Syaratnya f(x) = 0.
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16)
↔ 0 = 4log (x2 – 8x + 16)
↔ 4log (x2 – 8x + 16) = 4log 1
↔ x2 – 8x + 16 = 1
↔ x2 – 8x + 15 = 0
↔ (x – 5)(x – 3) = 0
↔ x = 5 atau x = 3
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5,0) dan (3,0)
BACK
HOME
NEXT
b. Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya, x = 0.
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16)
= 4log ((0)2 – 8(0) + 16)
= 4log 16
= 4log 42
=2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2)
BACK
HOME
NEXT
1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma :
Langkah 1 :
Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) =
alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y
mudah ditentukan.
Langkah 2 :
Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah
1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik
tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh
grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x
BACK
HOME
NEXT
Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat
menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 3log x !
Penyelesaian :
Tabel fungsi y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut :
BACK
x
….
9
3
1
1/3
1/9
1/27
….
y = f(x) = 3log x
….
2
1
0
-1
-2
-3
….
HOME
NEXT
Y
Grafiknya adalah :
(9,2)
y = 3log x
(3,1)
(1,0)
X
Dari penjelasan di atas, nampak bahwa fungsi logaritma y =
f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena
untuk x1 ≤ x2 maka alog x1 ≤ alog x2. dalam bentuk
pertidaksamaan, dapat ditulis sebagai berikut.
√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)
√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)
BACK
HOME
NEXT
2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Langkah 1 :
Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) =
alog x , yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y
mudah ditentukan.
Langkah 2 :
Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1
pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik
tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh
grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x
Dengan memerhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = alog
x, untuk 0 < x < 1 , kita dapat mengetahui sifat-sifat
fungsi logaritma f tersebut.
BACK
HOME
NEXT
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x !
Penyelesaian :
Terlebih dahulu dibuat tabel f(x) = 1/2log x.
X
…. 1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
….
y = f(x) = 1/2log x
….
2
1
0
-1
-2
-3
….
3
Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang
diperoleh
pada
tabel
di
atas,
kemudian
menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita
dapatkan grafik fungsi logaritma f(x) = 1/2log x seperti
pada gambar berikut.
BACK
HOME
NEXT
Grafiknya adalah :
Y
Y
1
2
4
8
X
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
BACK
HOME
2
4
8
X
(2,-1)
(4,-2)
(8,-3)
y = 1/2log x
NEXT
Fungsi logaritma f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1
adalah fungsi turun karena jika x1 ≤ x2 maka
alog x1 ≥ alog x2. dalam bentuk pertidaksamaan,
kita dapat menuliskannya sebagai berikut.
√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)
√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)
BACK
HOME
NEXT
3. Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x
Jika grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dan grafik
fungsi y = g(x) = 1/alog x digambarkan dalam satu bidang
koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
Y
(8,3)
(4,2)
(2,1)
(1,0)
(2,-1)
(4,-2)
(8,-3)
BACK
Dari gambar di samping, dapat kita
katakan sebagai berikut :
a. Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x
dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap
sumbu X. hal ini berarti bahwa
fungsi g(x) = 1/alog x dapat
diperoleh dengan mencerminkan
grafik f(x) = alog x terhadap sumbu
X atau sebaliknya.
HOME
NEXT
b. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui
titik (1,0)
c. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) =
berada di sebelah kanan sumbu Y.
1/alog
x selalu
d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif
atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (- ∞,∞)
e. Fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) =
1/alog x merupakan fungsi turun.
f. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak
pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya.
Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua
grafik fungsi tersebut.
BACK
HOME
NEXT
4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x
Jika grafik logaritma f(x) = 2x dan g(x) = 2log x, serta
grafik f(x) = (1/2)x dan grafik 1/2log x digambarkan
dalam satu bidang kartesius, hasilnya adalah sebagai
berikut.
Y
y = 2x
y = (1/2)x
y=x
Y
y=x
y = 2log x
(0,1)
o
(0,1)
(1,0)
o (1,0)
X
X
y = 1/2log x
BACK
HOME
NEXT
Beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x)
= ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x, sebagai
berikut.
a. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi
logaritma g(x) = alog x simetris terhadap garis y = x.
Hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat
diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax
terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers
dari fungsi logaritma g(x) = alog x atau sebaliknya.
BACK
HOME
NEXT
- DEFINISI
Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang
numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya) memuat
variabel x atau persamaan yang bilangan pokok atau
numerusnya memuat variabel x.
Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritma yang kita
pelajari, sebagai berikut.
a. alog f(x) = alog p
c. alog f(x) = blog f(x)
b. alog f(x) = alog g(x)
d. A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0
Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi aljabar dengan
f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A,
B, C bilangan real, A ≠ 0.
BACK
HOME
NEXT
a. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog p
Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog p dengan a
> 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunan penyelesaian persamaan
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Karena alog f(x) = alog p maka a a log p = f(x) atau f(x) =
a a log p . Akibatnya f(x) = p.
Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p
dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang
anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p.
BACK
HOME
NEXT
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan – persamaan
logaritma berikut.
a. 2log (3x – 1) = 3
b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81
Penyelesaian :
a. 2log (3x – 1) = 3
↔ 2log (3x – 1) = 2log 23
↔ 2log (3x – 1) = 2log 8
dalam hal ini, syarat 3x – 1 > 0 dan 8 > 0 sudah
dipenuhi karena 3x – 1 = 8 > 0
BACK
HOME
NEXT
b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81
Syarat yang harus dipenuhi adalah x – 5 > 0 ↔ x > 5 dan x – 2
> 0 ↔ x > 2.
Akibatnya , x > 5.
2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81
↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 9log 92
↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2
↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2log 22
↔ x2 – 7x + 10 = 4
↔ x2 – 7x + 6 = 0
↔ (x – 1)(x – 6) = 0
↔ x = 1 atau x = 6
Namun, karena x > 5 maka yang memenuhi adalah x = 6.
BACK
HOME
NEXT
Problem solving
Diketahui persamaan log (x2 + 11x) = 1. Jika x1 dan x2
merupakan akar – akar persamaan itu, tentukan nilai – nilai
berikut.
Penyelesaian
log (x2 + 11x) = 1 ↔ log (x2 + 11x) = log 10
↔ x2 + 11x = 10
BACK
Dalam hal ini syarat x2 + 11x > 0 dan 10 > 0 sudah
terpenuhi karena x2 + 11x = 10 > 0. selanjutnya, x2 +
11x = 10 ↔ x2 + 11x – 10 = 0.
HOME
NEXT
Bentuk terakhir merupakan bentuk persamaan kuadrat yang bersesuaian
dengan ax2 + bx + c = 0, untuk a = 1, b = 11, dan c = - 10. Dengan
a. x1 +kita
x2 =dapat
–b /amenentukan
= –11/1 = –11
demikian,
nilai – nilai berikut.
b. x1x2 = c/a = –10/1 = –10
c. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-11)2 – 2(-10) = 141
d. 3/x1 + 3/x2 = 3x1 + 3x2 / x1x2 = 3(x1 + x2)/x1x2 = 3(-11)/-10 = 3,3
BACK
HOME
NEXT
b. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x)
Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠
1; f(x), g(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat
ditentukan sebagai berikut.
Karena alog f(x) = alog g(x) maka a a log g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x) .
Akibatnya f(x) = g(x).
Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠
1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa
sehingga f(x) = g(x).
BACK
HOME
NEXT
Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma log (x2 + 5x
– 7) = log (x – 2)
Penyelesaian :
↔
↔
↔
↔
log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2)
x2 + 5x – 7 = x – 2
x2 + 5x – 5 = 0
(x + 5)(x – 1) = 0
x = -5 atau x = 1
Jika x = - 5 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai
bentuk itu negatif, berarti x = - 5 bukan merupakan penyelesaian. Jika x
= 1 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai negatif
berarti x = 1 juga bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {
} atau ф (himpunan kosong).
BACK
HOME
NEXT
c. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)
Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a
≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Misalkan alog f(x) = r maka ar = f(x). Demikian juga, blog f(x) = r
maka br = f(x). Berarti, ar = br . Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dan a ≠ b
maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1.
Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a
≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x
sedemikian rupa sehingga f(x) = 1.
BACK
HOME
NEXT
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7)
b. 3log (x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10)
Penyelesaian :
a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7) ↔ 2x + 7 = 1
Dalam hal ini, syarat 2x + 7 > 0 dan 1 > 0 sudah
dipenuhi karena 2x + 7 = 1 > 0,
2x + 7 = 1 ↔ 2x = - 6 ↔ x = - 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }
BACK
HOME
NEXT
b.
3log
(x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10)
↔ x2 – 6x + 10 = 1
Syarat x2 – 6x + 10 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena x2 – 6x + 10
= 1 > 0,
x2 – 6x + 10 = 1 ↔ x2 – 6x + 9 = 0
↔ (x – 3)2 = 0
↔x=3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }.
BACK
HOME
NEXT
d. Persamaan logaritma berbentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0
Pada persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0; dengan
a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jika dimisalkan
y = alog x maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi
persamaan kuadrat dalam variabel y.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a. log2 x – 2 log x = 24
b. 5log2 x – 5log x6 + 5 = 0
BACK
HOME
NEXT
Penyelesaian :
a.
log2 x – 2 log x = 24
↔ log2 x – 2 log x - 24 = 0
↔ (log x)2 – 2 log x – 24 = 0
Misalkan log x = p. persamaan tersebut berubah menjadi
bentuk berikut.
p2 – 2p – 24 = 0
↔ (p + 4)(p – 6) = 0
↔ p = - 4 atau p = 6
Untuk p = - 4 → log x = - 4
↔ log x = log 10-4
↔ x = 10-4
↔ x = 0,0001
Untuk p = 6 → log x = 6
↔ log x = log 106
↔ x = 106
↔ x = 1,000,000
Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi, himpunan
penyelesaiannya {0,0001; 1,000,000}
BACK
HOME
NEXT
b. 5log2 x – 5log5x6 + 5 = 0 ↔ (5log x)2 – 6 (5log x) + 5 = 0
Misalkan log x = p. Persamaan tersebut akan menjadi bentuk
berikut.
↔
↔
p2 – 6p + 5 = 0
(p – 1)(p – 5) = 0
p = 1 atau p = 5
Untuk p = 1 → 5log x = 1 ↔ 5log x = 5log 5
↔x=5
Untuk p = 5 → 5log x = 5 ↔ 5log x = 5log 55
↔ x = 55 = 3.125
Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi himpunan
penyelesaiannya { 5; 3.125 }
BACK
HOME
NEXT
3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaian pertidaksamaan
logaritma, antara lain.
√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)
√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)
√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)
√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)
Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda
pertidaksamaan < atau >
√ Fungsi logaritma alog u(x) terdefinisi jika u(x) > 0.
BACK
HOME
NEXT
Contoh
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan –
pertidaksamaan logaritma berikut.
a. 1/2log (2x – 1) < - 1
b. 2log (x2 + 5x + 6) > 1
c. 1/2log (x2 – 5x + 4) > - 2
BACK
HOME
NEXT
Penyelesaian :
1/2log (2x – 1) < - 1
a.
↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log (1/2)- 1
↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log 2
↔ 2x – 1 < 2 …………………………(karena a = ½, berarti 0 < a < 1)
↔ 2x > 3
↔ x > 3/2
Disamping itu, harus dipenuhi syarat berikut.
2x – 1 > 0 ↔ 2x > 1 ↔ x = 1/2
Jika digambarkan dalam garis bilangan seperti
pada gambar di samping ! Dapat disimpulkan
bahwa penyelesaiannya dari 1/2log (2x – 1) < - 1
adalah x > 3/2
BACK
HOME
3/2
1/2
NEXT
b.
2log
(x2 + 5x + 6) > 1
↔ 2log (x2 + 5x + 6) > 2log 2
↔ x2 + 5x + 6 > 2 …………………..(a = 2 > 1)
↔ x2 + 5x + 4 > 0
↔ (x +4)(x + 1) > 0
↔ x < - 4 atau x > - 1
Syarat 2log (x2 + 5x + 6) terdefinisi adalah sebagai
berikut.
(x2 + 5x + 6) > 0
↔ (x + 3)(x + 2) > 0
↔ x < - 3 atau x > - 2
-4
-1
-3
-2
Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua
penyelesaian diatas adalah x < - 4 atau x > - 1. Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah {x I x < - 4 atau x > - 1, x є R}.
BACK
HOME
NEXT
c.
1/2log
(x2 – 5x + 4) > - 2
5
0
1/2
2
1/2
↔
log (x – 5x + 4) > log 4
↔ (x2 – 5x + 4) < 4
1
4
↔ x2 – 5x < 0
↔ x(x – 5) < 0
↔ 0<x<5
Syarat agar 1/2log (x2 – 5x + 4) terdefinisi adalah sebagai berikut.
(x2 – 5x + 4) > 0 ↔ (x – 1)(x – 4) > 0
↔ x < 1 atau x > 4
Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan
kedua penyelesaian diatas adalah 0 < x < 1 atau 4
< x < 5. jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I
0 < x < 1 atau 4 < x < 5, x є R}.
BACK
HOME

similar documents