Diapositive 1

Report
Introduction à La Démarche
Scientifique

Composition du module
◦ 8 heures de Cours / TD
◦ 4 séances de Travaux Pratiques de 3 heures

Sommaire du cours/td
◦
◦
◦
◦

Travaux Pratiques (Les rapports sont à rendre au début de la séance suivante)
◦
◦
◦
◦

Sciences et Méthodes
Outils
Métrologie
Exploitation
Pendule simple
Calorimétrie
Lois de Kirchhoff
Oscilloscope
Remerciements: Olivier Durand-Drouhin, René Moreau, Robert Bouzerar, Annick Razet.
La Démarche Scientifique
1
Métrologie : Grandeur physique
Grandeur physique
=
Propriété observable qui caractérise un objet, un ensemble d’objets ou un
état physique. Exemples: masse, longueur, température, …
James C. Maxwell (1831-1879)
« L’expression d’une grandeur est le produit de 2 facteurs dont l’un, qui
est une grandeur de même nature prise comme référence, s’appelle
unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue
dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique »
Toute mesure est nécessairement
entachée d'erreurs pour différentes
raisons. Une mesure expérimentale n'a
donc de valeur que si on lui associe une
estimation de l'erreur (ex : « la poutre
mesure 1 m de long à 5 mm près »).
Métrologie : Dimensions du SI
La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée
par rapport aux 7 unités de base du Système International.
Métrologie: l’incertitude d’un point de vue
statistique (à partir d’un exemple)
4.6
4.7
4.8
Nombre
d’observations
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
Volts
Un fabricant de voltmètres contrôle sa production en mesurant systématiquement
la fem d’une pile étalon de 5.000 V avec chaque voltmètre fabriqué.
La courbe donnant la densité de probabilité montre que :
- 68% des résultats appartiennent à l’intervalle : (50.1) V
- 95% des mesures donnent une valeur appartenant à l’intervalle (50.2) V
Conventionnellement, c’est ce dernier intervalle qui sera pris comme domaine
d’incertitude et précisé dans la notice d’utilisation des voltmètres commercialisés.
Métrologie: Loi Normale
loi de probabilité
f ( x) 
1

2
exp[ 
1
(
x
x  µ 2
2
) ]

N
 = écart type
 = valeur moyenne
 
68% des valeurs se
trouvent dans ±
95% des valeurs se
trouvent dans ±2
 (x
i
 )
1
N
2
Métrologie :
Ecrire un résultat
Incertitude
absolue (>0)
* soit la valeur exacte (inconnue) = G
* écrire le résultat d’une mesure = (g ± Δg) unité
- g est une estimation de G
- Δg est l’incertitude sur la mesure de G, elle est
telle que la probabilité:
P{G  [g - Δg, g + Δg]} = 0,95
Intervalle de
confiance
niveau de confiance
Métrologie : quand estimer une incertitude ?
Il existe 3 principales occasions d’estimer une incertitude:
-
Incertitude sur une mesure à partir d’un appareil  x (incertitude sur
l’intensité mesuré avec un ampèremètre)
-
Incertitude sur le résultat d’un calcul f(x) où x a été mesuré: xx  f
(incertitude sur la résistance R=u/i où u et i ont été mesurés et R calculé)
-
Incertitude sur la pente a et l’ordonnée à l’origine b d’une droite y = ax + b à
partir d’une collection de mesures où x varie  a, b (par exemple, on trace
la tension u mesurée aux bornes d’une résistance R inconnue en fonction du
courant i qui la traverse, u=Ri, la pente donne R et l’incertitude sur la pente
donne R)
u
i
Remarque: une situation plus générale et plus fréquente
est celle où la variable de sortie y ne dépend pas
linéairement de la variable contrôlée x. On fait alors un
changement de variable afin d’obtenir une
représentation linéaire ou, quand ce n’est pas possible
on utilise des méthodes issues des statistiques et de
l’analyse numérique. De nombreux logiciels scientifiques
les mettent en œuvre de façon conviviale et automatique
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (1/4)
Bien comprendre comment fonctionne l’appareil
3 questions de base
• Est-ce le bon appareil ?
ampèremètre courant continu
voltmètre
ou altenatif ?
ohmmètre
testeur de composant
• Est-il bien calibré ? (problème du 0)
réglage du 0
tarage d’une balance
• La gamme de mesure est elle en accord avec ce que je vais mesurer ?
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (2/4)
Ordre de grandeur :
avoir une idée sur une mesure avant de la faire
C’est particulièrement important quand on doit choisir le calibre d’un appareil
Exemple : ~10V dans ~1000 donne une intensité ~10 mA
Si on a aucune idée des calibres,
commencer par le plus grand (le moins
risqué) et affiner ensuite.
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (3/4)
g = r + d
Résolution = ½ graduation (ou digit)
Ex : un double-décimètre gradué en mm
donnera une incertitude de résolution
égale à ½ mm.
Dispersion = 2 (niveau de confiance à 95%)
Les constructeurs précisent la « classe » des
appareils qui est égale en pourcentage du calibre
à l’incertitude de dispersion :
Δd 
classe
x calibre
100
Aujourd’hui, le plus souvent l’incertitude totale est donnée par le constructeur
sous la forme : g = { pourcentage de la valeur lue + n digits }.
En l’absence de la notice de l’appareil, on prendra g = { ½ digit + 2% du calibre }.
Ne pas oublier que dans tous les cas, le calcul d’incertitude est une estimation
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (4/4)
Juste = proche valeur vraie
Fidèle = dispersion faible
le résultat d’un calcul (1/6):
Dérivée partielle
Relation entre dérivée et incertitude
Soit x une grandeur physique
mesurée et y une grandeur
calculée à partir d’une formule
dépendant de x. On a y = f(x).
Soit le point M de coordonnées
(x, y). Si x a été mesurée avec
une incertitude x, alors on donne
à y l’incertitude y = |f ’(x)| x
Ex: On mesure le courant électrique i = (0.010 ± 0.002) A traversant une résistance
étalon R=100 Ω. Quelle est la puissance P dissipée dans R ?
P = Ui = Ri2  P = 100x10-4 = 0.01 W = 10 mW
P = P(i)  P’(i) = 2Ri = 2x100x10-2 = 2 W.A-1 = 2 V
P = P’ x i = 2 x 2.10-3 = 4 10-3 W
Finalement: P = (0.010 ± 0.004) W
le résultat d’un calcul (2/6):
Dérivée partielle
Soit f=f(x) une fonction à une variable, sa dérivée au point (x) est
rappelée ci-dessous par la relation (1). De manière similaire, soit
maintenant g=g(x, y, z) une fonction à 3 variables indépendantes, on
définit sa dérivée partielle par rapport à sa 2ième variable au point (x, y, z)
par la relation (2) qu’on peut aussi noter g’y(x, y, z).
1
(2)
df ( x )

dx
lim
f ( x   )  f ( x)
 0

g ( x, y , z )
y

lim
g ( x, y   , z )  g ( x, y, z )
 0

le résultat d’un calcul (3/6): Dérivée partielle
Exemple : f(x, y, z) = x²yz3 - 2xz + 4xy² - 2xyz
dérivée partielle de f par rapport à x (y et z constants)
la fonction devient f(x) = ax² - bx + cx - dx
avec a = yz3, b = 2z, c = 4y², d = 2yz
on dérive f’(x) = 2ax – b + c - d = 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz
f
x
= 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz
y ,z
dérivée partielle de f par rapport à y (x et z constants)
f(y)=ay-b+cy²-dy
on dérive
avec
a=x²z3, b=2xz, c=4y², d=2xz
dérivée partielle de f par rapport à z
f
y
= a-0+2cy-d
= x²z3 + 8xy - 2xz
x ,z
f
z
= 3x²yz² - 2x - 2xy
x ,y
le résultat d’un calcul (4/6): Dérivée partielle

f ( x, y )  x  y

f ( x , y )  xy
f ( x, y, z )  4 x   y z
2
P (V , T ) 
nRT
V

f
x

f
x
f
x
1
T
y
f
 y

y
f
 8x
P
f
y
1
 x
f
z
nR
P
V
V
z

nRT
V
2
 y
le résultat d’un calcul (5/6):
ISO= Organisation Internationale de Normalisation
GUM= Guide pour l’Expression de l’incertitude de Mesure
http://www.ukas.com/Library/downloads/publications/M3003.pdf
http://www.bipm.org/fr/publications/guides/
Ancienne méthode (avant 1995):
On envisageait le pire, l’incertitude était surévaluée :
 f  f x   x1  f x   x 2  ...  f x   x n
'
'
'
1
2
n
Nouvelle méthode (GUM 1995):
On a un effet de compensation et on peut montrer que :
f 
f
'
x1
  x1
  f
2
'
x2
  x 2   ...   f x   x n 
2
'
n
2
le résultat d’un calcul (6/6): Dérivée partielle
Une mesure à partir d’autres
f  f ( x1 , x 2 ,..., x n )
mesures
Soit f’Xi la dérivée partielle de
f par rapport à la variable Xi,
 f 
au point (X1, X2, ….Xn)
f ' xi  

  x i  ( x1 , x 2 ,..., x n )
On a:

 f 
 f 
2
  f x   x1
'
1
2

f
n
1
'
xi
  f
2
  xi

2
'
x2
  x 2   ...   f x   x n 
2
'
n
2
Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (1/2)
a) Utiliser une calculatrice scientifique
ou un PC muni d’un programme de
régression et d’évaluation des
incertitudes sur a et b: y = ax + b
Un programme Matlab est disponible ici:
http://www.u-picardie.fr/~dellis/Matlab_Licence/polyreg.m
Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (2/2)
b) Les points expérimentaux étant munis
de leur rectangle d’incertitude, on trace
les droites extrêmes en X comme cidessous …
2y
2x
b+b
b
b-b
… elles ont pour équation:
y = (a+a) x + (b-b), et
y = (a-a) x + (b+b)
On en déduit a et b
Métrologie : Incertitude (résumé)
1/ Sur une mesure directe à l’aide d’un appareil (notice):
y = r + d
(r = ½ graduation, d = (classe/100) x calibre)
2/ Sur un calcul à partir d’autres mesures (formule):
 f 
2

f
n
'
xi
  xi

2
1
3/ Sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite:
- Régression linéaire, ou
- Droites extrêmes
Exploitation : Chiffres significatifs
Dans un nombre, les chiffres autres que zéro sont significatifs. Les zéros
s’ils sont placés en tête du nombre ne sont pas significatifs.
Exemples :
6,8
6,80
6800
0,68
2 chiffres significatifs
3 chiffres significatifs
4 chiffres significatifs
2 chiffres significatifs
Les zéros avant le premier chiffre ne sont pas significatifs.
Les zéros après le premier chiffre sont significatifs.
Une définition stricte des chiffres significatifs: chiffres apparaissant dans la mantisse de la notation
scientifique Y = A.BCDE… x 10n (A≠0 et nZ)


 
Mantisse
Exposant
Exploitation : Ecriture d’un résultat
Régle #1:
L’incertitude est écrite avec 2 chiffres significatifs (parfois avec 1 seul)
 Régle #2:
On conserve pour Y les chiffres significatifs qui interviennent dans ΔY

Rq: On peut aussi utiliser l’incertitude relative ΔY / Y
Rq: Un résultat donné sans incertitude  ΔY= ½ unité du dernier chiffre
Rq: On peut arrondir ΔY à un chiffre significatif quand cet arrondissement n’affecte
pas « trop » ΔY.
F = (2,56712 ± 0,01283) N  F = (2,567 ± 0,013) N
m = (98,486 ± 1,573) g  m = (98,5 ± 1,6) g ou m = 98,5 g (1.6%)
P = (342,05 ± 2,567) W  P = (342,0 ± 2,6) W
n = 1,50944 ± 0,00039  n = 1,5094 ± 0,0004
L = 1.86 m  L = 1.860 ± 0,005 m
m=11,6 kg = 11,6 103 g (3 chiffres significatifs) 11600 g (5 chiffres significatifs) !
V=2,75 m3 = 2,75 106 mL  2 750 000 L
Arrondis:
0,1,2,3,4  valeur inférieure, exemple : 1.14 peut être arrondi à 1.1
5,6,7,8,9  valeur supérieure, exemple : 1.15 peut être arrondi à 1.2
Exploitation : Publier

Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu comportant : titre,
introduction, procédure, tableau(x), graphe(s), et discussion.

Le titre doit préciser le sujet présenté et la méthode générale utilisée.

L’ introduction donne i) l'objectif de l'expérience; ii) un bref rappel des
connaissances théoriques et/ou expérimentales liées au sujet étudié. Le modèle
représenté par une ou des équations liant les variables observées est précisé
ainsi que les limites de sa validité; iii) les moyens de tester le modèle; iv) une
référence bibliographique où trouver la base théorique du modèle.

La procédure donne i) le schéma du montage global. Il doit être clair et précis; ii)
la méthode de mesure de chacune des variables, l'incertitude et les précautions
éventuelles.

Les tableaux doivent contenir i) une numérotation si il y a plusieurs tableaux; ii)
un titre; iii) le tableau lui-même contenant a) les symboles des paramètres
mesurés, b) les unités, c) les incertitudes, d) les valeurs

Le(s) graphe(s) doivent être soigneusement réalisés et permettre d'en extraire
des informations précises. Ils permettent aux lecteurs de visualiser le
comportement du système de telle façon qu'ils puissent juger par eux mêmes de
la validité des conclusions faites dans le dernier paragraphe.
Exploitation : Publier

La discussion présente la comparaison modèle-système, elle est factuelle et
ne doit en aucune façon engager le jugement personnel. Dans le cas où le
modèle est validé, l'objectif(s) présenté(s) dans l'introduction est atteint(s).
Dans le cas contraire, il faut préciser dans quelle mesure les résultats sont
exploitables. Dans cette étape, l'expérimentateur peut introduire ses
propres idées. L'interprétation peut être facile à identifier par exemple en
utilisant les limites de validité du modèle déjà précisées dans l'introduction.
L'expérimentateur peut émettre des hypothèses ayant une connexion
logique avec l'écart observé. La discussion est importante dans la mesure
où elle peut aboutir à un "raffinement " du modèle.
Dans certains cas, nous pouvons échouer à donner une interprétation des
écarts observés, il faut alors rester honnête en le reconnaissant et laisser
aux lecteurs la possibilité d'amorcer une discussion dont pourra émerger
de nouvelles idées.
Exploitation :
Publier
Les graphes:
Un titre
Symbole et
unité sur
chaque axe
Resserrer les points
au voisinage des
singularités
Exploitation :
Publier
Les graphes:
Le tracé d'une courbe ne
doit pas masquer les
points expérimentaux
Les marques et les
nombres sont
régulièrement disposés
Exploitation :
Publier
Les
graphes:
Modèle y = a x2 + b  on pose u=x2, on représente y = au+b
Modèle y = a sin(x)+b  on pose v=sin(x), on représente y = av+b
Modèle y = a exp(x)+b  on pose w=exp(x), on représente y = aw+b
Les changements de variables ne sont pas toujours possibles …
Exercice 1
Dimensionnez les coefficients A, B et C dans l’équation suivante
(où [v] = m/s et [t]=s ):
2
v  At
 Bt 
C
Exercice 1I
Montrer qu’on a les relations simples ci-dessous :
f  x  y ou f  x  y   f 
f  xy ou f 
x
y

f
f

x  y
2
2
2
2
 y 
 x 


  
 x 
 y 
Exercice III
Supposons que l’on mesure une résistance R en mesurant la tension U
à ses bornes quand elle est parcourue par le courant d’intensité i.
Les mesures donnent U= 9.35 V et i=11.0 A.
On estime que dans les conditions où elles ont été mesurées, U et i
sont des variables aléatoires d’écart type U = 45 mV et i = 50 mA.
Donner U, i, R et R (intervalle de confiance à 95%).
Exercice IV
On veut calculer la distance focale f d’une
lentille par la relation :

1
p1

1
p2

1
f'
On trouve p1 = -20.cm et p2 = 30 cm et l’on sait que l’expérimentateur,
avec le matériel dont il dispose, mesure en fait les distances à 1 cm
prés. Cela signifie que p1 = p2 = 1 cm. Calculer f’ et f’.
Exercice V
a) Déterminez approximativement l’incertitude relative de la mesure 8.7 m.
b) Quel est le l’incertitude relative de la mesure (8.86 ± 0.17) s ?
c) Calculez l’incertitude relative du volume d’une sphère dont le rayon est :
r = 2.48 ± 0.03 m.
d) Calculer l’aire et l’incertitude des rectangles de côtés
R1 : 5.6 ± 0.1 cm et 15.3 ± 0.1 cm
R2 : 5.6 ± 0.5 cm et 15.3 ± 0.5 cm
Exercice VI
On mesure une longueur avec un pied à coulisse de résolution 0.01 mm. Une
première mesure donne L1= 12.88 mm alors qu’une seconde mesure effectuée
dans les mêmes conditions donne L2= 12.86 mm. Avec seulement ces 2 mesures,
quel résultat et quelle incertitude « raisonnables » peuvent être donnés ?
Exercice VII
La résistance équivalente à 2 résistances R1 et R2 placées en
parallèle est donnée par la relation bien connue :
R
Donner les dérivées partielles
R
 R1
et
R
R2
.
R1 R 2
R1  R 2
Exercice VIII
La mesure d’une tension est
effectuée à l’aide d’un voltmètre dont
une image est donnée ci-contre.
Aprés consultation de la notice
« constructeur », l’opérateur note
qu’en mode voltmètre courant
continu, l’incertitude est donnée par :
± 0,8 % valeur lue + 2 digits.
Donner la valeur de la tension
mesurée et son incertitude.
Exercice IX
En étudiant la décharge d'un condensateur C
dans une résistance R, on mesure la tension
aux bornes de ce condensateur en fonction du
temps écoulé après la fermeture du circuit. Les
résultats sont consignés dans le tableau cicontre :
C
i
R
V
On suppose une relation de la forme V=V0 exp(-t/) avec V0 et  des
constantes.
Vérifier graphiquement cette hypothèse. Si elle est valide, déterminer la
constante de temps  = RC et son incertitude. De même donner V0.

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