Procedimiento - IES La Asunción de Elche

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Ejercicios resueltos y comentados.
I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González
Geometría Plana. E.S.O.
Esta presentación muestra las
soluciones de los ejercicios que hay
presentar obligatoriamente. Los
ejercicios se han de trazar
correctamente y atendiendo a las
normas; no se borrarán las líneas de
construcción y las soluciones se
pasarán a tinta en negro o color rojo.
Si algún ejercicio os sale mal y hay
que repetirlo se hará en hoja aparte
indicando su número
correspondiente.
Normas básicas
Segmentos y ángulos
Polígonos
Simetrías
Curvas Planas
Trazado y rotulación
Los lápices que se han de usar son de
tres tipos:
A: Duro (3H o 2H) que con la punta
afilada nos hace una línea fina y gris.
Se utiliza para hacer toda la
construcción del dibujo.
B: Medio (HB) lo usamos para
dibujos a mano, croquis, escritura y
para destacar elementos.
C: Blando (2B) hace una línea negra
y gruesa y se usa para aristas,
soluciones, sombras, etc.
Los rotuladores se utilizan para
soluciones y se clasifican por sus
grosores, los básicos son:
A. 0,2mm. para acotaciones,
rayados, ejes …
B. 0,4mm. para representar
aristas ocultas.
C. 0,8mm. para aristas visibles y
soluciones en general.
La presentación básica será:
Líneas de construcción, letras,
números y demás en lápiz 2H.
Soluciones en rotulador negro o
rojo de grosor mínimo 0,5 mm.
Mediatriz de un segmento.
1.1. Trazar la mediatriz del segmento.
Es el lugar geométrico equidistante a
los extremos de un segmento. Como
consecuencia de esto podemos hacer
tres cosas:
1.
Dividir un segmento en dos partes
iguales.
2.
Dibujar infinitos arcos que pasen
por los extremos.
3.
Trazar ángulos de 90º .
Mediatriz de un segmento.
1.1. Trazar la mediatriz del segmento.
Procedimiento:
1. Haciendo centro en los extremos A y B
trazamos dos parejas de arcos que se
crucen, la medida del radio es
indiferente, lo importante es que sean
iguales.
2. Trazamos una recta que pase por los
dos cruces y tenemos la mediatriz.
Perpendicularidad entre segmentos.
Se dice que dos rectas son
perpendiculares cuando el ángulo
que forman entre si es de 90º.
La geometría que utilizaremos es
la de compás y el fundamento del
trazado esta está basado en lo
aprendido en el tema mediatriz de
un segmento.
1.2. Trazar la perpendicular que pasa por el
punto.
Perpendicularidad entre segmentos.
Procedimiento:
1. Haciendo centro en P trazamos
un arco cualquiera y localizamos
dos puntos equidistantes A y B.
2. Dibujamos dos arcos de radios
iguales que se corten, uno con
centro en A y el otro en B.
3. Unimos el cruce de arcos y el
punto P y tenemos la recta
perpendicular.
1.2. Trazar la perpendicular que pasa por el
punto.
Perpendicularidad entre segmentos.
Vamos a pensar que C
está en la mediatriz de un
segmento imaginario, de
esta manera con dos
puntos equidistantes de C
podremos obtener un
tercero equidistante que
unido a C nos dará la
solución.
1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C
Perpendicularidad entre segmentos.
Procedimiento:
1.
Con un radio cualquiera y
con centro en C, trazamos
el arco que pasa por A y B,
que son dos puntos
equidistantes.
2.
Ahora se trazan dos arcos
iguales que se crucen, con
centros en A y B.
3.
Unimos C con el cruce de
arcos y tenemos la recta.
1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C
Perpendicularidad entre segmentos.
La semirecta es una línea
infinita pero de origen
conocido.
Para trazar la perpendicular
vamos a utilizar un
procedimiento basado en la
división de la circunferencia,
en cuyo fundamento se
profundizará más adelante.
1.4. Trazar la perpendicular que pasa por el
extremo de la semirecta.
Perpendicularidad entre segmentos.
Procedimiento:
1.
Con centro en O
trazamos un arco
cualquiera.
2.
Con el mismo radio
utilizado trazamos los
tres arcos con centros
en 1,2 y 3.
3.
La recta perpendicular
pasa por 4 y O
1.4. Trazar la perpendicular que pasa por el
extremo de la semirecta.
Paralelismo entre segmentos.
Un recta paralela es el lugar
geométrico de los puntos
equidistantes de otra. Para
dibujarla existen varios métodos
yo he escogido el del semicírculo.
1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por
P.
Paralelismo entre segmentos.
Procedimiento:
1.
Hacemos centro en un punto
cualquiera y con radio hasta P
trazamos un semicírculo.
2.
Con centro en un extremo y
radio hasta P trazamos un
arco, luego trazamos su
contrario y tendremos P’.
3.
Unimos los dos puntos P y P’
y ya tenemos la solución.
1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por
P.
Proporcionalidad. Teorema de Thales.
La proporcionalidad consiste en que
los quebrados formados por los
segmentos a, b y c con sus
respectivas partes de m son iguales
entre si, es decir, a:a’=b:b’=c:c’=x.
Si trazamos una línea desde un
extremo del m con un ángulo
cualquiera y las seccionamos con
rectas paralelas, las divisiones que se
forman son proporcionales.
1.6. Dividir el segmento m en partes
proporcionales a los tres segmentos:
Proporcionalidad. Teorema de Thales.
Procedimiento:
1.
Con cualquier ángulo trazamos
una línea recta desde el punto 0.
2.
Colocamos consecutivamente los
segmentos a, b y c.
3.
Unimos el final de c con el extremo
de m y trazamos paralelas desde a
y b y ya tenemos los segmentos
proporcionales a’, b’ y c’.
1.6. Dividir el segmento m en partes
proporcionales a los tres segmentos:
Proporcionalidad. Teorema de Thales.
Para dividir un segmento en x
partes iguales aplicaremos el
teorema de Thales.
Utilizaremos segmentos iguales
entre si que nos darán en el
segmento A,B sus proporcionales que
también lo serán.
1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.
Proporcionalidad. Teorema de Thales.
Procedimiento:
1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.
1.
Trazamos una recta desde A de
ángulo indiferente.
2.
Dibujamos consecutivamente siete
unidades iguales.
3.
El final 7 lo unimos con el extremo B
y trazamos rectas paralelas desde
todas las partes quedando A,B
dividido en siete partes.
4.
Solo nos queda numerar las partes
de 0 a 7.
Ángulos. Igualdad.
2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.
Un ángulo es la apertura entre dos
rectas que cortan, se representa con un
arco de circunferencia, se identifica,
por norma, con una letra griega, y se
mide en grados.
Los ángulos se dividen en tres
categorías:
1. Agudos, tienen menos de 90º.
2. Rectos, tienen 90º.
3. Obtusos, con más de 90º.
Para repetir un ángulo basta con
repetir el mismo arco y la misma
cuerda.
Ángulos. Igualdad.
Procedimiento:
1.
2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.
Dibujamos la cuerda A,B en el arco
dado.
2.
Trazamos sobre una línea un arco
con el mismo radio (V,B) y tenemos
V’,B’.
3.
Repetimos la cuerda (B,A) y
localizamos el punto A’.
4.
Con inicio en V’ y pasando por A’
trazamos la línea que completa el
ángulo.
Ángulos. Suma.
Se trata de unir consecutivamente
los dos ángulos de tal manera que
coincidan los vértices.
La clave de las operaciones con
ángulos es operar siempre con el
mismo radio.
2.2. Sumar los ángulos.
Ángulos. Suma.
Procedimiento:
1.
Dibujamos dos arcos de radios
iguales con sus cuerdas en los
ángulos dados.
2.
Trazamos una semirecta y desde
su origen V’ dibujamos un arco
amplio con el mismo radio que los
dos anteriores.
3.
Sobre el arco trazamos
consecutivamente las cuerdas
D’,C’ y B’,A’.
4.
Hacemos pasar por A’ una
semirecta que sale de V’ y ya
tenemos el ángulo resultante.
2.2. Sumar los ángulos.
Ángulos. Resta.
2.3. Restar los ángulos.
Para restar ángulos dibujamos el
ángulo mayor y después colamos el
pequeño encima haciendo coincidir
los vértices y un lado. Lo que
sobresalga del pequeño será la
diferencia.
Ángulos. Resta.
Procedimiento:
2.3. Restar los ángulos.
1.
Con el mismo radio trazamos un
arco y sus cuerdas en cada ángulo
dado
2.
Dibujamos una semirecta y con
centro en V’ trazamos un arco con el
radio anterior
3.
En el arco colocamos la cuerda igual
a A,B y tenemos A’,B’, ahora desde
B’ y con dirección A’ colocamos la
cuerda D,C y tenemos D’,C’.
4.
Tenemos como resultado el ángulo
C’,V’,A’.
Ángulos. Bisectriz.
2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.
Bisectriz es el lugar geométrico de
todos los puntos equidistantes a los dos
lados de un ángulo. Como consecuencia
de esto la bisectriz es el lugar medio y
con ella podemos dividir un ángulo en
dos partes iguales.
Ángulos. Bisectriz.
Procedimiento:
1.
Como el vértice del ángulo es
parte de la bisectriz,
dibujamos un arco con centro
en V y localizamos A y B que
son dos puntos equidistantes.
2.
Ahora con centro en A y B
dibujamos dos arcos de radios
iguales que se corten en C.
3.
Por último, naciendo en V y
pasando por C trazamos la
bisectriz.
2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.
Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes.
2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.
Si seccionamos las dos
rectas concurrentes con
una tercera, se originan
cuatro ángulos; el cruce de
las cuatro bisectrices
tomadas de dos en dos,
localizarán dos puntos de la
bisectriz que buscamos.
Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes.
Procedimiento:
1.
Trazamos una línea que
corte a s y t y tenemos dos
parejas de ángulos con
vértice en A y A’
respectivamente.
2.
Las bisectrices de los cuatro
ángulos se cortan dan dos
puntos B y C.
3.
Trazamos una recta que
pase por B y por C y ya
tenemos la bisectriz.
2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.
Circunferencia. Hallar su centro.
3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.
Sabemos que para que un
arco pase por dos puntos su
centro tiene que estar en la
mediatriz.por lo tanto para
que un arco pase por tres
puntos su centro estará en el
cruce de las mediatrices de
las cuerdas que forman los
tres puntos.
Circunferencia. Hallar su centro.
Procedimiento:
3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.
1.
Trazamos dos cuerdas A,B
y A,C.
2.
Hallamos sus mediatrices.
3.
Con el cruce de las
mediatrices tenemos el
centro.
4.
Con centro en O y radio
hasta cualquiera de los
puntos trazamos la
circunferencia.
Circunferencia. Hallar su centro.
3.2. Hallar el centro de la circunferencia.
Trazamos dos cuerdas y con
sus mediatrices obtenemos el
centro.
Circunferencia. Hallar su centro.
Procedimiento:
1.
Trazamos dos cuerdas A,B
y A,C.
2.
Hallamos sus mediatrices.
3.
Con el cruce de las
mediatrices tenemos el
centro O.
3.2. Hallar el centro de la circunferencia.
Circunferencia. División en partes iguales
3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.
Para dividir la
circunferencia en partes
iguales lo vamos a hacer por
un método general de
geometría proyectiva que
relaciona la división del
diámetro en x partes iguales
con dos focos exteriores
que están alejados a su vez
un diámetro de los
extremos.
Circunferencia. División en partes iguales
Procedimiento:
1. Usando el teorema de
Thales dividimos el
diámetro en 9 partes.
2. Con centro en los
extremos y con radio el
mismo diámetro,
trazamos dos arcos que
nos hallan los dos focos F’
y F’’.
3. Desde los focos trazamos
rectas que pasan por las
partes del diámetro
tomadas de dos en dos y
se crean las divisiones 1, 2
y 3…
3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.
Polígonos. Definición y clases.
Definición:
• Polígono es una forma plana limitada por tres o más rectas que se cortan
dos a dos.
Clasificación:
Convexos o cóncavos:
• En un polígono convexo los ángulos medidos desde el exterior son
mayores de 180º y son cóncavos cuando no cumplen la propiedad
anterior.
Por el número de lados:
•
•
•
•
•
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 heptágono
• 8 Octógono
• 9 Eneágono
• 10 Decágono
• 11 Undecágono
• 12 Dodecágono
Regulares y Irregulares:
• Los polígonos son regulares cuando sus lados y sus ángulos son iguales
entre si y son irregulares cuando no lo son.
Triángulos. Definición y clasificación.
Definición:
Un Triángulo es un polígono formado con tres lados.
Por sus
ángulos
Acutángulo
Los tres ángulos agudos
Rectángulo
Un ángulo recto
Obtusángulo
Un ángulo obtuso
Clasificación
Equilátero
Por sus lados
Los tres lados iguales
Isósceles
Dos lados iguales
Escaleno
Tres lados desiguales
Triángulos. Puntos notables. Circuncentro.
4.1. Hallar el circuncentro.
El Circuncentro es el lugar
geométrico equidistante a los
vértices de un triángulo.
Se obtiene con el cruce de las
mediatrices.
Procedimiento:
1. Dibujamos las mediatrices de los
lados y en el cruce está la
solución C
2. Trazamos la circunferencia
circunscrita.
Triángulos. Puntos notables. Incentro.
4.2. Hallar el incentro.
El Incentro es el lugar
geométrico equidistante de los
lados de un triángulo.
Se obtiene con las bisectrices
de los ángulos.
Procedimiento:
1. Dibujamos las bisectrices
de los ángulos y en el cruce
está la solución I.
2. Trazamos la circunferencia
inscrita.
Triángulos. Puntos notables. Ortocentro.
4.3. Hallar el ortocentro y trazar el triángulo órtico.
El Ortocentro es el cruce de las
alturas del triángulo.
El triángulo órtico se obtiene
uniendo los puntos de cruce de las
alturas con los lados.
Las bisectrices del triángulo órtico
coinciden con las alturas.
Procedimiento:
1. Dibujamos las perpendiculares
desde los vértices a sus lados
opuestos y el cruce es el
ortocentro.
2. Unimos los puntos de las alturas
situados en los lados y tenemos el
triángulo órtico.
Triángulos. Puntos notables. Baricentro.
Las medianas son las líneas que
van de la mitad de un lado al vértice
opuesto y dividen el triángulo en
superficies iguales.
4.4. Hallar el baricentro.
El Baricentro es el cruce de las
medianas y es el centro de equilibrio
del triángulo.
Procedimiento:
1. Hallamos las mitades de los
lados M, M’ y M’’.
2. Dibujamos las medianas
desde los vértices a las
mitades de sus lados
opuestos y el cruce es el
Baricentro.
Triángulos. Triángulo escaleno.
Procedimiento:
1. Dibujamos uno de los
lados como base. Por
ejemplo a.
2. Haciendo centro en los
extremos trazamos dos
arcos uno con radio b y
otro con c , y el cruce
tenemos el tercer
vértice.
4.5.1. Dibujar un triángulo escaleno conociendo sus
tres lados: a= 70; b= 60 y c= 45mm.
Triángulos. Triángulo escaleno.
Procedimiento:
1. El ángulo comprendido
es el que está entre a
y b.
2. Dibujamos a como base
y desde un extremo
levantamos el lado del
ángulo de 45º.
3. Con centro en el vértice
del ángulo trazamos un
arco de radio b y
ejercicio resuelto.
4.5.2. Dibujar un triángulo escaleno conociendo, dos
lados y el ángulo comprendido:
a=65; b=75mm. y =45º
Triángulos. Triángulo isósceles.
4.6.1. Dibujar un triángulo isósceles conociendo dos
lados: a= 35 y b= 50mm.
Procedimiento:
1. El triángulo isósceles tiene un
lado que se repite. Yo voy a
considerar b como base y a
como lado que se repite.
2. Dibujamos la base y haciendo
centro en sus extremos
trazamos dos arcos de radio a
que se cruzan en el vértice que
cierra el triángulo.
Triángulos. Triángulo isósceles.
Procedimiento:
4.6.2. Dibujar un triángulo isósceles conociendo, la
altura y el radio de la circunferencia circunscrita:
h= 50 y r= 30mm.
1. El triángulo isósceles es simétrico
y su altura coincide con el
diámetro de la circunferencia.
2. Dibujamos la circunferencia y su
diámetro vertical.
3. Colocamos con un arco la altura
desde el extremo superior del
diámetro.
4. Trazamos una perpendicular a la
altura que corte la circunferencia
y tenemos los dos vértices de la
base que faltaban.
Triángulos. Triángulo rectángulo.
4.7.1. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la
hipotenusa y un cateto: hip= 80 y c=60.
Procedimiento:
1. Dibujamos el cateto c como
base y desde un extremo
levantamos un ángulo de
90º.
2. Desde el otro extremo de c
hacemos centro de un arco
de radio la hipotenusa que
se cortará con la
perpendicular anterior y ya
tenemos el vértice que
faltaba.
Triángulos. Triángulo rectángulo.
Procedimiento:
4.7.2. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la
hipotenusa y uno de los ángulos:
hip= 75 y = 30º.
1. Dibujamos un ángulo de 30º.
En un lado ira un cateto
como base y en el otro la
hipotenusa.
2. En el vértice del ángulo
hacemos centro y con un arco
colocamos la hipotenusa.
3. En el otro lado del ángulo
trazamos una perpendicular
que pase por el extremo de la
hipotenusa y a rotular.
Triángulos. Triángulo equilátero.
4.8.1. Dibujar un triángulo equilátero.
Procedimiento:
1. Como en el triángulo
equilátero todos los lados
miden igual, hacemos dos
arcos con radio el propio
lado y centro en los
extremos y en el cruce
tendremos el vértice que
falta.
Cuadriláteros. Definición y clases.
Definición: Es un polígono formado por cuatro lados.
• Es un polígono formado por cuatro lados y cuyos ángulos interiores suman 360º.
Clasificación:
Paralelogramos. Tienen los lados paralelos dos a dos.
•
•
•
•
Rectángulo. Tiene los lados iguales dos a dos y sus ángulos son de 90º.
Cuadrado. Tiene todos los lados iguales y sus ángulos son de 90º.
Rombo. Tiene los lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos.
Romboide. Tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos.
Trapecios. Tienen dos lados paralelos.
• Trapecio Rectángulo. Tiene dos ángulos de 90º.
• Trapecio Isósceles. Tiene dos lados y dos ángulos iguales.
• Trapecio Escaleno. Tiene lados y ángulos desiguales.
Trapezoide. No tiene ningún lado paralelo
Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado.
5.1.1. Dibujar un cuadrado conociendo su
diagonal: d= 65mm..
Procedimiento:
Como la diagonal del
cuadrad es igual al diámetro
de la circunferencia
circunscrita.
1. Dibujamos una circunferencia
con radio la semidiagonal.
2. Trazamos dos diámetros
perpendiculares.
3. Por último unimos los cuatro
extremos de los diámetros.
Cuadriláteros. Paralelogramos. Rectángulo.
Procedimiento:
1. Dibujamos el ángulo de
30º y trazamos una
perpendicular a la base
desde su vértice.
2. Colocamos la diagonal y
desde su extremo
superior trazamos una
perpendicular y una
paralela al otro lado.
3. En los cruces tenemos
los vértices del
rectángulo.
5.2.1. Dibujar un rectángulo conociendo la
diagonal y uno de los ángulos que determina con
un lado: d= 80mm. y =30º.
Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo.
Procedimiento:
1. Como las diagonal son
mediatrices la una de la
otra, dibujamos una de
ellas por ejemplo d’ y
hallamos su mediatriz.
2. Ahora con un arco de
radio la semidiagonal de
d’’ localizamos los dos
vértices que faltan para
dibujar el rombo.
5.3.1. Dibujar un rombo conociendo las dos
diagonales: d'= 40 y d"= 55mm..
Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.
Procedimiento:
1. Dibujamos la base b,
tramos una perpendicular
desde un extremo y
medimos la altura h.
2. A esa altura trazamos una
paralela a la base.
3. Por último desde el vértice
del ángulo recto dibujamos
un arco de radio la diagonal
que se cortará con la citada
paralela para localizar el
vértice que falta.
5.4.1. Dibujar un trapecio rectángulo conociendo;
la base mayor, una diagonal y la altura: b= 75;
d=65 y h=50mm..
Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.
Procedimiento:
1. Para localizar la altura
dibujamos un triángulo
formado base, lado y
diagonal.
2. Ahora dibujamos otro al
revés y ya tenemos los
cuatro vértices del trapecio
isósceles.
5.5.1. Dibujar un trapecio isósceles conociendo la
base mayor, el lado y la diagonal: b= 70; l= 45 y d=
65mm..
Polígonos convexos. Triágono.
6.1.1. Inscribir un triágono en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Se traza un diámetro y con
centro en un extremo y con
el mismo radio trazamos un
arco que corta en los
vértices 2 y 3.
2. El tercer vértice es el otro
extremo del diámetro 1.
Polígonos convexos. Tetrágono.
6.1.2. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Se trazan dos diámetros
perpendiculares y ya está
dividida la circunferencia en
cuatro partes iguales.
Polígonos convexos. Pentágono.
6.1.3. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Dibujamos dos diámetros
perpendiculares.
2. Se halla el punto medio del
radio M.
3. Con radio M,1 trazamos el arco
1,N cuya cuerda es lo que mide
cada lado.
4. Tomamos la medida del lado
con el compás y vamos
obteniendo las cinco divisiones
consecutivamente en la
circunferencia.
Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado.
Procedimiento:
6.1.4. Trazar un pentágono regular estrellado
inscrito en la circunferencia.
1. Los polígonos estrellados son
polígonos cóncavos en los que su
trazado tiene que terminar donde
comienza. Cuando la figura está
formada por dos o mas polígonos
decimos que es una falsa estrella. A la
manera de unir las divisiones de la
circunferencia de dos en dos, de tres
en tres, etc, se denomina número de
orden.
2. Para hacer la estrella dividimos la
circunferencia en cinco partes y las
unimos de dos en dos y tenemos un
pentágono estrellado de segundo
orden.
Polígonos convexo. Hexágono.
6.1.5. Inscribir un hexágono regular en la
circunferencia.
Procedimiento:
1. El lado del hexágono es igual al radio
de la circunferencia.
2. Con el radio hallamos las seis
divisiones y las unimos
consecutivamente.
Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal.
6.1.6. Trazar una estrella regular de seis puntas
inscrita en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Dividimos en seis partes la
circunferencia.
2. Dibujamos los lados de dos en dos,
es decir, de segundo orden.
3. Como hemos necesitado dos
triágonos para hacerla, decimos
que es una falsa estrella.
Polígonos convexos. Heptágono.
6.1.7. Inscribir un heptágono regular en la
circunferencia.
Procedimiento:
1. El lado del heptágono es igual a la
distancia desde la mitad del radio M
hasta la circunferencia.
2. Hacemos las divisiones y las unimos
consecutivamente.
Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado.
6.1.8. Inscribir en la circunferencia, un heptágono
regular estrellado de tercer orden.
Procedimiento:
1. Dividimos en siete partes la
circunferencia igual que en el
polígono convexo.
2. Como es de tercer orden unimos las
divisiones de tres en tres.
Polígonos convexo. Octógono.
6.1.9. Dibujar un octágono regular inscrito en la
circunferencia.
Procedimiento:
1. Para dividir en ocho partes la
circunferencia trazamos dos
diámetros perpendiculares y sus
bisectrices.
2. Numeramos los vértices y
dibujamos los lados .
Polígonos cóncavo. Octógono estrellado.
6.1.10. Trazar un octágono regular estrellado de
tercer orden, inscrito en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Dividimos en ocho partes la
circunferencia y unimos los vértices
de tres en tres.
Polígonos convexo. Decágono.
6.1.13. Inscribir un decágono regular en la
circunferencia.
Procedimiento:
1. Con radio M,1 trazamos el arco 1,N.
2. La distancia desde el centro a N es
la medida del lado.
3. Ahora transportamos
consecutivamente el lado por la
circunferencia.
Polígonos cóncavo. Decágono estrellado.
6.1.14. Dibujar un decágono regular estrellado, de
tercer orden, inscrito en la circunferencia.
Procedimiento:
1. Dividimos en diez partes la
circunferencia y unimos de tres en
tres.
Simetría axial.
7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.
La simetría es la igualdad inversa.
En la simetría axial los puntos
están relacionados entre si
perpendicularmente con un eje.
Simetría axial.
7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.
Procedimiento:
1. Desde los vértices de la
figura trazamos
perpendiculares al eje,
2. Repetimos a la inversa las
distancias de los puntos al
eje y hallamos los puntos
simétricos A’, B’… que
después unimos.
Simetría central.
7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.
La simetría central es la
igualdad inversa donde los
puntos simétricos están
relacionados entre si con un
punto, centro de simetría.
Simetría central.
7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.
Procedimiento:
1. Desde los vértices de la
figura trazamos rectas
que pasen por el centro
de simetría.
2. Repetimos a la inversa
las medidas de los
puntos al centro y
hallamos los puntos
simétricos A’, B’… que
después unimos.
Espiral, Óvalo y Ovoide y Curvas Cónicas
Curvas planas. Espiral.
La espirales son curvas planas que se
van abriendo continuamente. Las que
vamos a dibujar nosotros realmente
son falsas espirales, por que su
crecimiento es por facetas, son arcos
hechos con dos o más centros
12.7. Trazar un espiral de dos centros. La
distancia entre centros es de 5mm.
Procedimiento:
1. Dibujamos una línea recta y situamos
los dos centros. El espacio queda
dividido en dos, en uno haremos los
arcos con un centro y biceversa con el
otro.
2. El primer radio que usaremos es de
5mm. y el centro será O2, después
iremos al otro centro y dibujaremos el
siguiente arco con radio hasta el final
del anterior, y así iremos alternando uno
y otro sucesivamente.
Curvas planas. Espiral.
12.8. Trazar una espiral cuyos 6 centros
equidistan 5mm.
Procedimiento:
1. Dibujamos un hexágono de 5mm. de
lado y en cada vértice situamos un
centro.
2. Prolongando los lados trazamos seis
ángulos que delimitan los espacios
para cada arco y centro.
3. Con centro en 2 y radio hasta 1
trazamos el primer arco y luego
sucesivamente vamos cambiando de
centro y aumentando el radio hasta el
final del arco anterior.
Curvas planas. Óvalo.
El Óvalo es una curva plana cerrada 12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.
formada por cuatro o más arcos y es
simétrica respecto de sus dos ejes.
Procedimiento:
1.
Dibujamos la mediatriz del eje menor.
2. En los extremos del eje menor tenemos dos
de los cuatro centros que vamos a usar.
3.
Trazamos una circunferencia con diámetro el
eje menor y su cruce con la mediatriz
determina los dos centros que faltaban.
4. Unimos los centros y ponemos los límites de
los cuatro arcos.
5.
Por último, con centro en O1 radio A,B
dibujamos el primer arco, con O2 hacemos lo
mismo y con O3 y O4 cerramos la curva.
Curvas planas. Óvalo.
12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.
Procedimiento:
1.
Dividimos en tres partes el eje mayor y
tenemos dos centros, O3 y O4.
2. Trazamos dos circunferencias de radio un
tercio del eje mayor y sus cortes nos dan
los dos centros que faltaban O1 y O2 .
3. Con rectas que pasan por los centros
dibujamos los límites de los cuatro arcos
4. Los arcos de O3 y O4 ya los tenemos,
solo nos falta cerrar los otros dos.
Curvas planas. Ovoide.
12.4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico.
El Ovoide es una curva plana
cerrada. Es simétrica respecto de
su eje mayor y está dividida en en
semicírculo y semióvalo por su eje
menor o asimétrico.
Procedimiento:
1.
Dibujamos la mediatriz de C,D y tenemos el
lugar geométrico del eje simétrico.
2. En los extremos del eje tenemos dos centros,
O3 y O2 y en la mitad del eje otro O1.
3. Trazamos la circunferencia de diámetro
C,D y tenemos por un parte la
semicircunferencia y por otra el centro O4
en su cruce con la mediatriz.
4. Con los centros dibujamos las líneas
límites de los arcos y luego los trazamos.
Curvas planas. Ovoide.
12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico.
Procedimiento:
1.
Dividimos el eje en 6 partes, en la
quinta hay un centro, O4 y en la
segunda trazamos el lugar geométrico
del eje asimétrico y también tenemos
el centro O1 de la semicircunferencia.
2. Con dos unidades como radio
localizamos en el exterior del eje
asimétrico los centros O2 y O3.
3.
Ahora dibujamos los límites de los
arcos uniendo los centros y los
trazamos.
I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González

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