Chapter 2

Report
บทที่ 2 เวกเตอร์แรง
1
จุดประสงค์
แสดงการบวกแรง และการคานวณองค์ประกอบแรงโดยใช้

Parallelogram Law

แสดง แรงในลักษณะเวกเตอร์ การหาขนาดและทิศของแรง

แสดงการ คูณแบบจุด เพื่อหามุมระหว่างสองเวกเตอร์
2
ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์


ปริมาณสเกลาร์ คือปริมาณที่เกี่ยวข้ องเฉพาะขนาด เช่น มวล ปริมาตร ความยาว
โดยจะแสดงตัวแปรเป็ นตัวเอียง เช่น A
ปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทงขนาดและทิ
ั้
ศ เช่น แรง โมเมนต์ การขจัด
ความเร็ว ความเร่ง แสดงเป็ นตัวหนา หรือมีลกู ศรด้ านบน เช่น A, A เป็ นเวกเตอร์ ที่มี
ขนาดเท่ากับ A และสามารถแสดงเป็ นรูปได้ ความยาวของลูกศร แสดงขนาด ทิศแสดง
ด้ วยทิศของหัวลูกศร
A
20o
3
สเกลาร์ (Scalar)

สเกลาร์ (Scalar) คือ ปริ มาณที่เกี่ยวข้ องเฉพาะขนาด ได้ แก่






เวลา (t)
ปริมาตร (V)
second
cubic meter
liter
ความหนาแน่น () kilograms per cubic meter
อัตราเร็ว (V)
meter per second
พลังงาน (E)
joule
มวล (m)
kilograms
pound
s
m3
l
kg/ m3
m/s
J
kg
lb
เวกเตอร์ (Vector)

เวกเตอร์ (Vector) คือปริ มาณที่เกี่ยวข้ องกับขนาดและทิศทาง
ได้ แก่ การขจัด (m), ความเร็ว (m/s), ความเร่ง (m/s2), แรง (N), โมเมนต์ (Nm) และ
โมเมนตัม (kgm/s)

ในทางฟิ สิกส์นนเวกเตอร์
ั้
แบ่งออกเป็ น 3 แบบ คือ



เวกเตอร์ อิสระ (Free vector)
เวกเตอร์ เลื่อน (Sliding vector)
เวกเตอร์ คงที่ (Fixed vector)
เวกเตอร์ อสิ ระ (Free Vector)

เป็ นเวกเตอร์ ที่มีตาแหน่งไม่แน่นอน ดังนันจึ
้ งเขียนได้ เฉพาะขนาดและทิศทาง
เท่านัน้ เช่น เวกเตอร์ ของการขจัดของจุดทุกจุดบนวัตถุใด ๆ ซึง่ เคลื่อนที่โดย
ปราศจากการหมุน และเวกเตอร์ ของแรงคูค่ วบ
เวกเตอร์ เลื่อน (Sliding Vector)

เป็ นเวกเตอร์ ที่มีแนวแน่นอนตามแนวเส้ นตรงหนึง่ ในระวางที่ เช่น เวกเตอร์ ของ
แรงภายนอกที่กระทากับวัตถุเกร็ง
เวกเตอร์ คงที่ (Fixed Vector)

เป็ นเวกเตอร์ ที่มีแนวและตาแหน่งแน่นอน โดยมีจดุ ที่แสดงตาแหน่งเวกเตอร์
เช่น เวกเตอร์ ของแรงที่กระทากับวัตถุแปรรูป ทังนี
้ ้ถ้ าเวกเตอร์ เปลี่ยนตาแหน่ง
จะมีผลต่อการแปรรูปของวัตถุ ดังนันจึ
้ งต้ องกาหนดตาแหน่งของเวกเตอร์ ให้
คงที่แน่นอน
การคูณและหารเวกเตอร์ ด้วยปริมาณสเกลาร์
ผลคูณของเวกเตอร์ A กับปริ มาณสเกลาร์ a จะมีขนาดเท่ากับ
|aA| = |a| |A|
ถ้ า a เป็ นบวก เวกเตอร์ ผลคูณจะมีทิศเดียวกับ A
ถ้ า a เป็ นลบ เวกเตอร์ ผลคูณจะมีทิศตรงข้ ามกับ A
A
9
2A
0.5A
-1.5A
การบวกเวกเตอร์
เวกเตอร A สามารถบวกกับเวกเตอร์ B ได้ เป็ นเวกเตอร์ ลพั ธ์ R
R = A + B ได้ โดยใช้ กฏการขนานกันของเวกเตอร์
A
A
B
R=A+B
B
A
B
R=A+B
10
การบวกเวกเตอร์
ถ้ าเวกเตอร์ ทงสองอยู
ั้
บ่ นแนวเส้ นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ ลพั ธ์จะเท่ากับการบวกกันแบบสเก
ลาร์
A
B
R=A+B
11
การแตกเวกเตอร์ ลัพธ์
การแตกเวกเตอร์ ลัพธ์ ออกเป็ นองค์ประกอบของเวกเตอร์ เข้ าแกน

อ้ างอิงใดๆ
ทาได้ โดยใช้ กฎการขนานกันของเวกเตอร์
a
a
R
A
b
12
R
B
b
การหาแรงลัพธ์




แรงเป็ นปริ มาณเวกเตอร์ มีทงขนาดและทิ
ั้
ศทาง
เราสามารถรวมเวกเตอร์ หรื อแตกเป็ นองค์ประกอบเวกเตอร์ ได้ โดยใช้ หลักการคานวณ
แบบเวกเตอร์
ปั ญหาในวิชา statics หลักๆคือ การหาแรงลัพธ์ เมื่อทราบองค์ประกอบของแรง หรื อ
การแตกแรงลัพธ์ที่ทราบค่าออกเป็ นองค์ประกอบของแรง
การหาขนาดของแรง สามารถใช้ กฏของโคไซน์
C 

2
A B
2
 2 A B co s c
ส่วนการหาทิศของแรง ใช้ กฏของไซน์
A
sin a

B
sin b

C
sin c
A
b
c
C
13
B
a
Example
จงหาแรงลัพธ์

ขันตอนที
้
่1
150N
10o
F2 = 150N
10o
FR
q
F1 = 100N
15o
100N
15o
ขันตอนที
้
่2
หาขนาดของเวกเตอร์ ลพั ธ์

FR 
2
2
(1 0 0N)  (1 5 0N)  2(1 0 0N)(1 5 0N) co s 1 1 5
o
FR  212.6 N
150
sin q
14

2 1 2 .6 N
sin 1 1 5
o
, q  3 9 .8
o
หาทิศของเวกเตอร์ ลพั ธ์
 FR ทามุม 39.5o+15o=54.8o กับแกนนอน
การบวกเวกเตอร์ ใน 2 มิติ

เราสามารถแตกแรงในระนาบออกเป็ นสองแรงที่ตงฉากกั
ั้
น (แกน x, แกน y) โดยแสดง
ในลักษณะที่แยกเป็ น


ส่วนที่เป็ นสเกลาร์ (Fx, Fy)
ส่วนที่เป็ นเวกเตอร์ หนึง่ หน่วย i, j
ทาให้ การบวก ลบ เวกเตอร์ ทาได้ ง่ายขึ ้น เช่Fน = Fx i + Fy j
F1 = F1x i + F1y j
F2 = F2x i + F2y j
F3 = F3x i + F3y j
15
FR = F1 + F2 + F3
= (F1x+F2x+F3x)i + (F1y+F2y+F3y) j
= (FRx) i + (FRy) j
การบวกเวกเตอร์ ใน 2 มิติ
 Fx
  Fy
F Rx 
F Ry
FR  F R 
q  ta n
16
1
2
2
FRx  FRy
FRy
F Rx
Example
จงหาแรงลัพธ์

y
ขันตอนที
้
่1
F1 = 600N
F2 = 400N
F2 = 400N
45o
45o
F1 = 600N
30o
30o
x
ขันตอนที
้
่2
+ F RX   F x ;

FRx = 600 cos 30oN – 400 sin 45oN
= 236.8 N
+
FRy 
 Fy ;
FRy = 600 sin 30oN + 400 cos 45oN
= 582.8 N
17
Example

ขนาดของเวกเตอร์ ลพั ธ์
FR 
2
(2 3 6 .8 N)  (5 8 2 .8 N)
2
 629 N

ทิศของเวกเตอร์ ลพั ธ์
q  ta n

1
5 8 2 .8 N
2 3 6 .8 N
 6 7 .9
o
หรื อแสดงในรูป
FR = F1 + F2
= (600 cos30oN – 400 sin45oN) i + (600 sin30oN + 400 cos45oN) j
= {(236.8) i + (582.8) j} N
18
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ

ระบบแกนในสามมิติ (cartesian coordinate system) จะเป็ นไปตามกฏมือขวา
A  Ax i  Ay j  Az k
z
Az k
A
co s  

x
Ax i

co s  

Ay j
co s  
y
19
2
A  A 
2
2
2
Ax  Ay  Az
Ax
A
Ay
A
Az
A
2
2
co s   co s   co s   1
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ
เวกเตอร์ หนึง่ หนวยของ A คือ
uA 
A
A

Ax
A
i
Ay
A
j
Az
A
k
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ
FR 
20
 F   Fx i   Fy j   Fzk
Example
z
F2 = {50i -100j+100k} kN
F1 = {60j+80k} kN
y
x
FR = F1 + F2
= {60j+80k} kN + {50i -100j+100k} kN
= {50i-40j+180k} kN
21
Example
FR 
 50 
2
2
   40    180 
cos  = 0.2617
cos  = -0.2094
cos  = 0.9422
2
 191.0
 191 N
uR 

FR

FR
50
i
40
j
180
k
1 9 1 .0
1 9 1 .0
1 9 1 .0
 0 .2 6 1 7 i  0 .2 0 9 4 j  0 .9 4 2 2 k
22


= 74.8o
= 102o
= 19.6o
เวกเตอร์ บอกตาแหน่ ง
เป็ นเวกเตอร์ ที่ใช้ บอกตำแหน่งของจุดใดๆใน space ที่สมั พันธ์กบั จุดอื่น
หรื อจุดอ้ ำงอิง เช่น ในระบบพิกดั ที่มีจดุ กำเนิด O มีตำแหน่ง P(x,y,z) ใน
space จะสำมำรถบอกได้ ด้วยเวกเตอร์ บอกตำแหน่ง r = xi + yj + zk
 ในกรณีทวั่ ไป เวกเตอร์ บอกตำแหน่ง สำมำรถบอกตำแหน่งจำกจุด A ไป
ยังจุด B ได้ โดย
rAB = rB – rA
 เมื่อ rA และ rB คือเวกเตอร์ บอกตำแหน่ง ของจุด A และ จุด B เมื่อเทียบ
กับจุดกำเนิด
rA = xA i + yA j + zA k rB = xB i + yB j + zB k
rAB = (xB - xA) i + (yB - yA ) j + (zB - zA) k

23
การคูณแบบจุด (dot product)
 
A  B  A x B x  A y B y  A z B z  AB cos q
 
1  A  B 

q  cos 

AB


เมื่อ q เป็ นมุมระหว่ำง A กับ B
24
การดอตเวกเตอร์ (Dot product)



Dot product of Cartesian unit vectors
ยกตัวอย่างเช่น ii = (1)(1)cos(0o) = 1
ij = (1)(1)cos(90o) = 0
จึงสรุปได้ว่า
ii = jj = kk = 1
ij = ik = jk = 0
Dot product of 2 vectors A and B
AB = (Axi + Ayj + Azk)·(Bxi + Byj + Bzk)
= AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k)
+ AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k)
= AxBx + AyBy + AzBz
ตัวอย่าง

กาหนดให้ A = -i - 2j + 3k และ B = 4i - 5j + 6k
จงหา AB และ มุมระหว่าง A และ B


AB = (-i - 2j + 3k)(4i - 5j + 6k)
= (-1)(4) + (-2)(-5) + (3)(6) = -4 + 10 + 18
= 24
Ans
2
2
A =
(-1 ) + (-2 ) + (3 )
B =
(4 ) + (-5 ) + (6 )
จาก
2
2
2
2
= 3 .7 4
= 8 .7 7
AB = AB cosq
24 = (3.74)(8.77)cosq
q = cos-1(0.73) = 43.11o
Ans
แบบฝึ กหัด

จงหามุมระหว่างสองเวกเตอร์
27
ตัวอย่าง
จงหาองค์ประกอบของ FAB ในแนว AC
วิธีทา
FAC = FAB  uC
FA B
uB 
uB 
 F AB uB
( - 1 .5 i - 3 j  1k )
2
2
(  1 .5 )  (  3 )  (1)
2
( - 1 .5 i - 3 j  1k )
FA B  5 6 0
3 .5
( - 1 .5 i - 3 j  1k )
3 .5
FA B    2 4 0 i - 4 8 0 j  1 6 0 k  N
28
uC 
uC 
(1 .5 i - 3 j  3 k )
2
2
(1 .5 )  (  3 )  (3 )
2
(1 .5 i - 3 j  3 k )
4 .5
FAC = FAB  uC
  2 4 0i - 4 8 0 j  1 6 0k  

 2 4 0(1 .5 )
4 .5
 347 N
29

 4 8 0(  3 )
4 .5
(1 .5 i - 3 j  3 k )
4 .5

1 6 0(3 )
4 .5

similar documents