Engenharia da Qualidade I Pedro Paulo Balestrassi

Report
Engenharia
da
Qualidade I
Pedro Paulo Balestrassi
UNIFEI-Universidade Federal de Itajubá
IEPG
www.pedro.unifei.edu.br
[email protected]
35-36291161
88776958
“Pensar estatisticamente
será um dia, para a
eficiente prática da
cidadania, tão necessário
como a habilidade de ler e
escrever.”
H. G. Wells (Escritor Inglês,
considerado o pai da moderna Ficção
Científica, 1895)
Engenharia da Qualidade I
Motivação das empresas para estudo e uso de
Estatística:
Foco no Processo: Um dos principais requisitos
da ISO 9001:2000
Fatores Controláveis
x1 x2
...
xp
Entrada
Saída
z1 z2
...
...
Processo
y1
y2
ym
zq
Fatores Incontroláveis (ruído)
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2
Engenharia da Qualidade
I
Y=f(X)+Z
X
•Pressão de ar air strip
•Pressão de ar air bag
•Pressão de ar front piston
•Pressão Hidráulica
•Temperatura
Aplicação: Pense
•Vazão de óleo Solúvel
em um problema
•Pressão do Nitrogênio
similar em sua
área de atuação
Y
Exemplo de Processo
Processo Bodymaker de
fabricação de latas
Z
•Espessura da parede Top Wall
•Operador
•Espessura da Parede Mid Wall
•Rede Elétrica
•Profundidade do Dome
•Qualidade da Bobina
•Altura da Lata
•Visualização
É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística!
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3
Engenharia da Qualidade I
Cone of Learning
DO THE
REAL
THING!
Faça anotações!
Aplicando os
conhecimentos na
sua área é a única
forma de
sedimentá-los!
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Engenharia da Qualidade I
Recursos de Software
O uso de recursos computacionais
tornou os cálculos atividades fáceis
permitindo uma maior ênfase na
compreensão e interpretação dos
resultados
Statgame e Statquiz
(Interessante para verificar
o conhecimento básico)
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Engenharia da Qualidade I
Comandos Básicos
Pratique:
•
Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet
e Project. Observe o que é Session.
•
Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha
gerada.
Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <Graphical
Summary>
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Engenharia da Qualidade I
Pratique:
•
Navegue no Statguide
•
Navegue pelo Tutorial do Minitab
•
Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph
Folders e Edit Last Dialog
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Engenharia da Qualidade I
Pratique:
•
Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia
simular a variabilidade em Anéis de Pistão
(considerando por exemplo Folga entre Pontas).
Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e
inclua os parâmetros convenientes.
•
Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha
usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.
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Engenharia da Qualidade I
Pratique:
•
Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?
•
Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.
•
Feche o programa minitab e depois abra a planilha que
você salvou.
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Engenharia da Qualidade I
Um bom Material de Apoio
Obtenha domínio
sobre o Minitab a
partir do arquivo
minitab.pdf.
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Engenharia da Qualidade I Um Exemplo de Controle Estatístico da Qualidade
A espessura de uma peça metálica
é um importante parâmetro da
qualidade para uma empresa. Uma
grande quantidade de peças são
produzidas diariamente e a cada
lote produzido, 5 delas são medidas
e colocadas em uma tabela, como
ao lado.
Use
Set Base=9
N(0.0625; 0.0025)
Para gerar tal tabela
Pergunta-se:
a) O Processo está sob Controle?
b) O Processo atende as
Especificações (LSL=0.060 e
USL=0.066)
c) Qual a solução para o
problema?
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Engenharia da Qualidade I
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Engenharia da Qualidade I
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Engenharia da Qualidade I
Problema Prático
Baixo Rendimento
Problema Estatístico
Média fora do alvo
Solução Estatística
Identificar variável Vital
Solução Prática
Instalar um controlador
© 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0
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Engenharia da Qualidade I
Etapa
Definir
A
B
C
Medir
1
2
3
Analisar
4
5
6
Melhorar
7
8
9
Controlar
10
11
12
Six Sigma - DMAIC
Descrição
Foco
Identificar CTQs do Projeto
Desenvolver Escopo de Atuação da Equipe
Definir Mapa do Processo
Selecionar Característica do CTQ
Definir Padrão de Desempenho
Análise do Sistema de Medição e Coleta de Dados
Y
Y
Y
Estabelecer a capabilidade do Processo
Definir Objetivo do Desempenho
Identificar Origens de Variação
Y
Y
X
Filtrar Causas Potenciais de Variação
Descobrir Relações entre as Variáveis e Propor Soluções
Estabelecer Tolerâncias Operacionais & Solução Piloto
X
X
Y,X
Validar Sistema de Medição
Determinar a Capabilidade do Processo
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Implementar
Sistema -de
Controle do Processo
Y,X
Y,X
X
Engenharia da Qualidade I
Uma ótima bibliografia:
Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística
Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed.,
LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p.
Não deixe de ler:
Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora
Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em
inúmeras situações.
Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora
Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no
século XX.
O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar
– Como a aleatoriedade impacta nossas vidas.
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Engenharia da Qualidade I
Estatística
Descritiva
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Engenharia da Qualidade I
Do que trata a Estatística
A essência da ciência é a observação.
Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e
interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A
palavra estatística provêm de Status.
Estatística Básica (Anova, TH,
Simulação / PO
Regressão)
DOE /Taguchi /RSM
Séries Temporais
Análise do Sistema de
Data Mining
Medição
Six Sigma
Estatística Multivariada
Redes Neurais
Amostragem / Pesquisa
Controle de Qualidade
Confiabilidade
Estatística Bayseana
Caos
Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.
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Engenharia da Qualidade I
População e Amostra
 A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as
observações potenciais sobre determinado fenômeno.
 O conjunto de dados efetivamente observados, ou
extraídos, constitui uma Amostra da população.
Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os
elementos de uma população.
Um Parâmetro está para a População assim como uma
Estatística está para a Amostra.
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Engenharia da Qualidade I
Tipos de Dados
(Também Dados Categóricos ou de Atributos)
N om inal
Q ualitativa
O rdinal
V ariável
D iscreta
Q uantitativa
C ontínua
(Variáveis)
Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo,
poderíamos ter:
Variável
Tipo
Estado: Perfeita ou defeituosa
Qualitativa Nominal
Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal
No de peças defeituosas
Quantitativa Discreta
Diâmetro das peças
Quantitativa Contínua
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Engenharia da Qualidade I
<Calc> <Random Data> Números Aleatórios
Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente
problemas em sua área.
O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>?
Amostragem: Gere a sequência 1 2 3 ...100.
<Calc> <Make Patterned Data>
Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas
anteriormente.
Use <Calc> Random Data> <Sample from Column>
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Engenharia da Qualidade I
<Graphical Summary>
Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa
durante os últimos 100 dias úteis.
Aplicação:
Gere uma sequência de
dados que represente um
processo em sua área e
calcule as estatísticas
desse conjunto de dados.
Use:
<Random> e
<Graphical Summary>
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Engenharia da Qualidade I
Medidas de Posição: Média
n
Aritmética Simples
x 
x 1  x 2 +...+
  xn
n


xi
i 1
n
n
Aritmética Ponderada
x 
x1 p1  x 2 p 2 +...+
  x n p n
p1  p 2 +...+
 p n
x

i
pi
i 1
n

pi
i 1
Um pouco sobre arredondamento de médias:
 Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73
 Em várias operações, arredonde apenas o resultado final
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Engenharia da Qualidade I
Um Cidadão Americano “Médio”
 Chama-se Robert
 Pesa 78 Kg
 Manequim 48
 85 cm de cintura
 Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de
batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.
 Vê TV por ano 2567 horas
 Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)
 Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e
trabalha 6,1 horas
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Engenharia da Qualidade I
Medidas de Posição: Mediana
Se n é ímpar:
Se n é par:
o
o
 n  1
~
 term o
x 
 2 
Ex.:
~
x 
o
n
n

  term o    1  term o
2
2

 35, 36 , 37 , 38 , 40 , 40 , 41, 43 , 46 
2
x~  40
15  16
~
 15 ,5
12 , 14 , 14 , 15 , 16 , 16 , 17 , 20   x 
2
Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em
ordem crescente ou decrescente.
Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!
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Engenharia da Qualidade I
Ex.:
Média x Mediana
{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }
x  345, 7
Ambas são boas medidas
de Tendência Central.
x~  300
Prefira a média
{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }
x = 601
x~  300
Devido ao Outlier
2300, a mediana é
melhor estatística que
a média.
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Engenharia da Qualidade I
Medidas de Dispersão
Rode e Entenda o
programa Interativo da
PQ Systems
Discuta:
1) Porque os bancos adotam fila única?
2) “Por favor, com quantos dias de antecedência eu
devo postar uma carta de aniversário para minha
mãe?”
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Engenharia da Qualidade I
A = { 3, 4, 5, 6, 7 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
C = { 5, 5, 5, 5 }
D = { 3, 5, 5, 7 }
E = { 3.5, 5, 6.5 }
Variabilidade
Uma medida de Posição não é
suficiente para descrever um conjunto
de dados. Os Conjuntos ao lado
mostram isso! Eles possuem mesma
média, sendo diferentes.
Algumas medidas de Variabilidade:
Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os
dois valores extremos:
HÁ =7-3=4
Amplitude=Range
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Engenharia da Qualidade I
Medidas de Dispersão
Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por
exemplo:
{-2, -1, 0, 1, 2}
xi - x
A = { 3, 4, 5, 6, 7 }
n
 (x
Inconveniente:
i 1
i
n
n
i 1
i 1
 x )  xi   x n x  n x  0
Uma opção para analisar os desvios das observações é:
considerar o total dos quadrados dos desvios.
5
 x
i
 x
2
 4  1  0  1  4  10
i 1
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Engenharia da Qualidade I
Desvio Padrão
Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:
.
n
 x
S2
S 
=
S
2
i
i 1
 x
2
...que é a Variância ( Var(x))
n
...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma
medida que é expressa na mesma unidade
dos dados originais
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Engenharia da Qualidade I
n
 x

2

i
i 1
 x
n
n

2

n
Dispersão: Fórmulas Alternativas
xi
i 1
 x
2
x
n
Variância Populacional
(2 ou n 2 )
2
S
2

i
 x
2
i 1
n1
Variância
Amostral
n-1 está
Relacionado a
um problema de
tendenciosidade
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo
Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X
X
X  X 
X
X  X 
5
2
4
4
1
1
0
0
-2
4
-1
1
Média = 3
3
1
2
Uma Regra
Prática para
conjunto de dados
típicos:
S=Amplitude/4
X =
Soma dos pontos de dados
2
Número dos pontos de dados
S
S
2
Raiz Qadrada
da Variância
= Desv.Pa. = S
= 1,58
S
2
Divide a Soma
por (n-1):
= Variância = S2
= 2,5
Soma da
última coluna
= 10
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Engenharia da Qualidade I
n-1
N
n

x 
n
xi
x
N
μ=
i
i 1
N
i 1
n
N
 =
n
2


x

x
 i
s 
2
i 1
 x
s 
2
i
2
i= 1
N
Estimador
Tendencioso de σ
n
n

2
( xi  μ )
 x
i 1
n 1
2
Estimador
Não-Tendencioso σ
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Engenharia da Qualidade I
Simulação (n-1)
1
2
n
 x
s 
2
i
 x
2
3
i 1
s 
2
n
n
( n  1)
  xi  x 
.
( n  1)

2
n
n
4

i 1
n
2


x

x
 i
2

n
i 1
n 1
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Engenharia da Qualidade I
Outra Estratégia: Percentis e Boxplot
Observação Máxima
75%
109
Q3=75ª Percentil
104
DBP
*
Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D )
50%
99
D=Q3-Q1
94
25%
Interquartil
Q2=Mediana (50ª Percentil)
EDA (Exploratory Data
Analysis) e Método dos
Cinco Números
Q1=25ª Percentil
Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois
supõe a ordenação de dados.
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35
Engenharia da Qualidade I
Percentis e Boxplot
graficos.mtw
Valor do meio
3.(n+1)/4 0
Quartis:
2.(n+1)/4
0
 Q1=Quarta Observação Crescente=71.7
 Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6
(n+1)/4 0
Para valores
não inteiros
dos quartis,
usa-se
interpolação
Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95
 São outliers valores maiores que 268.95
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Engenharia da Qualidade I
zi 
Escores padronizados (z)
xi  x
xi - x considera o afastamento de xi em relação à média.
s
A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida.
Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:
Nesses grupos há duas
Grupo Peso médio Desvio Padrão
pessoas que pesam
A
66.5 kg
6.38 kg
respectivamente, 81.2 kg e
B
72.9 kg
7.75 kg
88.0 kg.
em A : z A 
81 , 2  66 ,5
6 ,38
 2 ,3 e em B : z B 
88  72 ,9
 1,95
7 , 75
Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.
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Distribuição Normal
Engenharia da Qualidade I
z
xm
Z: N(0; 1)

X : N (m ; )
j(z)
Tal fórmula está tabelada e
fornece valores acumulados
Distribuião Normal
Reduzida ou Padronizada
-3
-2
-1
m-3 m -2 m -
0
m
1
2
3
m+ m+2 m+3
z
x
Qual o formato da
curva acumulada?
N(0,1) é a
distribuição
Benchmark
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38
Engenharia da Qualidade I
Escores padronizados (z)
Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu
marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma
gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15
dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser
considerado comum.
O marido tem razão de se preocupar?
zi 
xi  x
s
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Engenharia da Qualidade I
Regra 68 -- 95 -- 99
Escores padronizados (z)
zi 
Regra 68 -- 95 -- 99
xi  x
s
 Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a
contar da média (-1 < z < 1)
 Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a
contar da média (-2 < z < 2)
 Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a
contar da média (-3 < z < 3)
40
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Engenharia da Qualidade I
Skewness and Kurtosis
Assimetria (Skewness)
Próximo de 0: Simétrico
Menor que 0: Assimétrico à
Esquerda
Maior que 0: Assimétrico à
Direita
Achatamento (Kurtosis)
Próximo de 0: Pico Normal
Menor que 0: Mais achatada
que o Normal (Uniforme)
Maior que 0: Menos achatada
que o normal (Afinada)
41
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Engenharia da Qualidade I
Assimetria, Percentis e Boxplot
42
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Engenharia da Qualidade I
Exercício
Encontre todas as estatísticas descritivas para a
série da tabela a seguir.
10
23
34
40
58
74
13
24
35
41
58
80
15
25
37
48
63
82
15
25
38
53
64
88
20
30
39
58
70
250
21
32
39
58
70
254
43
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Engenharia da Qualidade I
Distribuição de Freqüências
Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm).
Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }
Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }
Amplitude (H) = 168 - 163 = 5
K
ni
fi
Ni
Fi
(Frequência
Absoluta)
(Frequência
Relativa)
(Frequência
Absoluta
Acumulada)
Frequência
Relativa
Acumulada)
163
1
0.1
1
0.1
164
3
0.3
4
0.4
X
n
i
 n
1
fi 
ni
n
K
165
2
0.2
6
0.6
168
4
0.4
10
1.0
S
10
1

fi  1
i 1
Fi 
Ni
n
44
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Engenharia da Qualidade I
Classes (ou Categorias)
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
x
xi
ni
fi
f%
(Variável)
(ponto
médio)
(frequência
absoluta)
(frequência
relativa)
(frequência
percentual)
10 ├ ─ 20
15
2
0.04
4
2
0.04
4
20 ├ ─ 30
25
12
0.24
24
14
0.28
28
30 ├ ─ 40
35
18
0.36
36
32
0.64
64
40 ├ ─ 50
45
13
0.26
26
45
0.9
90
50 ├ ─ 60
55
5
0.1
10
50
1.0
100
50
1
100
S
Ni
Fi
(Absoluta (Relativa
Acum.)
Acum.)
F%
(Percentual
Acum.)
45
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Engenharia da Qualidade I
Classes (ou Categorias)
EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS
x
xi
ni
(Variável) (ponto (frequência
médio) absoluta)
(Xi).(ni)
 x .n
i
Média  X 
10 ├ ─ 20
15
2
30
20 ├ ─ 30
25
12
300
30 ├ ─ 40
35
18
630
40 ├ ─ 50
45
13
585
50 ├ ─ 60
55
5
275
50
1820
S
n
i
i 1
n
n
i
i 1
X 
1820
 36 , 4
50
46
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Engenharia da Qualidade I
Histogramas
Construção da tabela de distribuição de
freqüências a partir do histograma de classes
desiguais.
Exercício: Complete a tabela.
ni
X
10
fi
|-- 20
8
10
6
20 |-- 30
4
ni
30 |-- 40
2
40 |-- 60
10
20
30
40
60
x
S
1
47
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Engenharia da Qualidade I
Soma de Normais
Processo A
Processo B
Tempo Total (A+B)
?
3
7
X =3
X =7
s=1
s=2
S A B 
2
2
S A  SB

(1)
2
 (2)
2

5  2.23
 1 2  3
Correto;
Some as
variâncias e
depois
obtenha o
Desvio
Padrão
Incorreto;
48
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Engenharia da Qualidade I
Diferença de Normais
Linha A
Diferença:
Linha A – Linha B
Linha B
?
-10
0
-5
X = 3
s = 1
X A B  X A - X B  3 - 7  - 4
2
2
2
2
SA – B  SA  SB  (1)  (2)
5
10
15
X = 7
s = 2
 5  2.23
Correto
 1  2 1
Incorreto
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49
Engenharia da Qualidade Representação
I
Gráfica:Ramo-e-folhas
 x
Ramos  x x
 x x x x x
graficos.mtw
Ex.:
11
Folhas
 x x x
81
113
108
74
79
78
90
93
105
109
93
106
103
100
100
100
101
101
101
95
90
94
90
91
92
93
87
89
78
89
85
94
86
3
10
8
5
9
6
3
0
0
0
1 1
1
9
0
3
3
5
0
4
0
1
2 3
4
8
1
7
9
9
5
6
7
4
9
8
8
11
3
10+
8
5
9
6
10-
3
0
0
0
1
1
1
9-
0
3
3
5
0
4
0
8
1
7
9
9
5
6
7
4
9
8
8
1
2
3
4
50
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Engenharia da Qualidade I
Ramo-e-folhas
Stem-and-Leaf Display: folha_ramo
Obtendo o
seguinte Folha
e Ramo.
Compare os
resultados
fazendo um
Histograma.
O que
representa tal
coluna?
Stem-and-leaf of Ramo
Leaf Unit = 1.0
1
4
5
10
(10)
13
12
5
1
7
7
8
8
9
9
10
10
11
N = 33
4
889
1
56799
Coluna
0001233344 folha_ramo
5
0001113
5689
3
51
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Engenharia da Qualidade I
Plot
Exercício no Minitab: Faça o gráfico
abaixo a partir dos dados seguintes.
graficos.mtw
52
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Engenharia da Qualidade I
<Marginal Plot>
Faça o gráfico
bidimensional a partir
dos dados a seguir
graficos.mtw
53
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Engenharia da Qualidade I
Runchart
<Stat> <Quality Tools>
<Run Chart>
•Column=Tempo na fila
•Subgroup Size=1
runchart.mtw

Os dados representam uma série temporal

Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de
um processo.

Control Chart é Melhor!
54
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Engenharia da Qualidade I
Multi-Vari
•Identifica Diversos tipos de variação
•A análise de efeitos é similar em DOE
Sinter.mtw
•Permite identificar interações
M u lti-V ari C h art for F orça by T em poS in ter - T ipoM etal
•Não é o mesmo que Estatística Multivariada
Use os
T e m po S inte r
0 ,5
2 3 ,5
Dados a seguir
1 ,0
2 ,0
2 2 ,5
<Stat>
2 1 ,5
F o rç a
<Quality Tools>
<Multi-Vari>:
2 0 ,5
1 9 ,5
Response: Força (y)
1 8 ,5
Factor1: TempoSinter (x1)
1 7 ,5
Factor2: TipoMetal (x2)
15
18
21
Tip oM etal
55
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Engenharia da Qualidade I
Nível 0,5
x1 x2
y
0,5 15 23
0,5 15 20
0,5 15 21
0,5 18 22
0,5 18 19
0,5 18 20
0,5 21 19
0,5 21 18
0,5 21 21
Multi-Vari – Monte a Tabela
Nível 1,0
x1 x2
y
1
15 22
1
15 20
1
15 19
1
18 24
1
18 25
1
18 22
1
21 20
1
21 19
1
21 22
Nível 2,0
x1 x2 y
2
15 18
2
15 18
2
15 16
2
18 21
2
18 23
2
18 20
2
21 20
2
21 22
2
21 24
56
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Engenharia da Qualidade I
Distribuição
Normal de
Probabiliade
57
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Engenharia da Qualidade Distribuições
I
Contínuas de Probabilidade
f  x  0
Área da curva é unitária
Probabilidade está
associada a área



P a  X  b  
f(x) => fdp
Função densidade
de probabilidade
f x   1

b
f ( x ) dx
(b  a )
a
Algumas Distribuições Contínuas:
Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)
Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull
58
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Distribuição Normal
Engenharia da Qualidade I
f(x)
a)
a)


b)
b)
c)
c)
f (x )
f (x )
lim
x 
lim
d)
d)
m
f ( x) 
1

2
e
 xm 
 1 2 

  
m+
2




x 
f ( x )dx  1
f ( x )dx  1
 0
 0
f (x)  0
f (x)  0
e
e
lim f ( x )  0
lim f ( x )  0
x 
x 
f (m + x ) = f (m - x )
f (m + x ) = f (m - x )
x
e ) M á x f(x ) o c o rre e m x = m
e ) M á x f(x ) o c o rre e m x = m
f) O s p o nt o s d e infle xã o sã o x = m  
f) O s p o nt o s d e infle xã o sã o x = m  
g ) E (X ) = m
g ) E (X ) = m
h) V a r(X ) = 2
h) V a r(X ) = 
2
59
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Engenharia da Qualidade I
Pouca Utilidade
Prática
Retorna a probabilidade
Acumulada
Distribuição Normal
Retorna a Variável quando
é dada a probabilidade
acumulada
Exemplo
X:N(100,5)
P(X<=95)=0,1587
60
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Distribuição Normal
Engenharia da Qualidade I
Se a dimensão de uma peça
segue uma distribuição Normal
X: N(80,3) qual a Probabiliade
de ter uma peça defeituosa de
acordo com a figura?
m
X : N (m ; )
1
p(d)
T
LSE
3
Used With Permission
 6 Sigma Academy Inc. 1995
61
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Engenharia da Qualidade I
Distribuição Normal
Exercício 1:
Em uma população onde as medidas
tem Média 100 e Desvio Padrão 5,
determine a probabilidade de se ter
uma medida:
a)
Entre 100 e 115
Dica:
b)
Entre 100 e 90
c)
Superior a 110
d)
Inferior a 95
Crie uma
coluna com
os valores
100 115...98
no Minitab
e)
Inferior a 105
f)
Superior a 97
g)
Entre 105 e 112
h)
Entre 89 e 93
i)
98
Use: <Calc><Probability
Distribution><Normal>
Crie uma
coluna com
os valores
0,74...0,05 no
Minitab
Exercício 2:
Em uma população onde as medidas tem
Média 100 e Desvio Padrão 5, determine
os valores k tais que se tenha a
probabilidade:
a)
P(X>k)=0,26
b)
P(X<k)=0,32
c)
P(100-k<100<100+k)=0,47
d)
P(x<100-k)+P(x>100+k)=5%
62
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exemplo
Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$
500.000 com desvio padrão de US$ 15.000. Determine a
probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$
485.000 e US$ 530.000.
zi 
xi  m

63
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exemplo
Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a
probabilidade de X ser maior que 18.
Exemplo
Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue
uma distribuição normal com média 1.200 horas e
desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se
aleatoriamente uma lâmpada, qual é a
probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e
1.300 horas?
64
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exemplo
Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente
distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção
dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95?
Exemplo
No caso da prova do exercício anterior, determine a
nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos
da classe.
65
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exercício
É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por
alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com
média $380 e desvio padrão de $50.
Qual é a probabilidade de que
um aluno escolhido
aleatoriamente no campus gaste
mais do que $ 360 por ano?
66
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Produção
Exercício
A demanda antecipada de consumo de um certo produto é
representada por uma distribuição normal com média 1.200
unidades e desvio padrão de 100.
a) Qual é a probabilidade de que as vendas
excedam 1.000 unidades?
b) Qual é a probabilidade de que as vendas
estejam entre 1.100 e 1300 unidades?
c) A probabilidade de se vender mais do que
k unidades é de 10%. Determine k.
67
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Investimentos
Exercício
Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número
de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações
dessas corporações seguiram distribuição normal com média de
12,2% e desvio padrão de 7,2%.
a) Para que proporção de empresas o
retorno foi maior que 20%?
b) Para que proporção de empresas o
retorno foi negativo?
c) Que proporção de empresas tiveram
retornos entre 5% e 15%?
68
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Engenharia da Qualidade I
Probabilidades e Finanças
Exercício
Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número
de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações
dessas corporações seguiram distribuição normal com média de
12,2% e desvio padrão de 7,2%.
a) Para que proporção de empresas o
retorno foi maior que 20%?
b) Para que proporção de empresas o
retorno foi negativo?
c) Que proporção de empresas tiveram
retornos entre 5% e 15%?
69
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Engenharia da Qualidade I
Testes de
Hipóteses
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Engenharia da Qualidade I
Exemplos:
• Duas linhas de produção supostamente
idênticas estão apresentando resultados
diferentes. Como confirmar isso?
• A variabilidade de um processo é maior
que outro. Temos certeza?
• Os dados estão normalmente
distribuídos?
• Como saber estatisticamente se dois
funcionários tem o mesmo desempenho?
71
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Engenharia da Qualidade I
Decisão Estatística
Um produto original é identificado pelo seu peso (em
libras) e reconhecidamente segue uma distribuição
normal N(50; 0.8).
Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos
significativamente maiores que 50 lb, seguindo
distribuição também normal N(52, 0.8).
Uma amostra aleatória revelou
um peso médio de 51,3 lb.
Baseado nesta amostra a que
conclusões se pode chegar?
72
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Engenharia da Qualidade I
• Qual é a probabilidade de que (em função da amostra)
um produto original seja classificado como Falso?
• Qual a probabilidade de que o produto original seja
corretamente identificado?
• Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja
classificado como original?
• Qual é a probabilidade de se detectar produtos
falsificados neste caso?
73
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Engenharia da Qualidade I
50
52
1 00
80
60
40
20
0
48
49
50
51
52
53
54
74
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Engenharia da Qualidade I
50
5 1,3
52
1 00
80
60
40
20
0
48
49
50
51
52
53
54
75
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Engenharia da Qualidade I
50
5 1,3
52
1 00
80
60
40
5%
20
Er r o T ipo 1
(A lfa )
0
48
49
50
51
52
53
54
76
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Engenharia da Qualidade I
50
5 1,3
52
1 00
80
60
40
19 %
5%
Er r o T ipo 2
20
Er r o T ipo 1
(Be ta )
(A lfa )
0
48
49
50
51
52
53
54
77
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Engenharia da Qualidade I
50
5 1,3
52
1 00
80
C O NF IA NÇ A
(1-A lfa )
60
40
19 %
5%
Er r o T ipo 2
20
Er r o T ipo 1
(Be ta )
(A lfa )
0
48
49
50
51
52
53
54
78
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Engenharia da Qualidade I
50
5 1,3
52
1 00
80
PO W ER
C O NF IA NÇ A
(1 -Be ta )
(1-A lfa )
60
40
19 %
5%
Er r o T ipo 2
20
Er r o T ipo 1
(Be ta )
(A lfa )
0
48
49
50
51
52
53
54
79
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Engenharia da Qualidade I
• Na afirmação: “Uma pessoa é considerada
inocente até que se prove o contrário pois é um erro
maior condenar um inocente do que libertar um
culpado.”, defina:
• Erros Tipo I e Tipo II
• Hipóteses Nula e Alternativa
H0: o réu é inocente (hipótese fundamental)
H1: o réu é culpado (hipótese alternativa)
80
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Hipóteses e Erros
Engenharia da Qualidade I
Os erros de julgamento poderiam
ser : condenar um réu inocente ou,
então, absolver um réu culpado.
R E A L ID A D E
H 0 v e rd a d e ira
H 0 fa ls a
a c e ita r
H0
d e c is ã o c o rre ta
1 - 
e rro tip o II

re je ita r
H0
e rro tip o I

d e c is ã o c o rre ta
1 -
D E C IS Ã O
81
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Tipos de Erros
Engenharia da Qualidade I
• ERRO DO TIPO I
Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira
P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) = 
• ERRO DO TIPO II
Não rejeitar Ho sendo Ho falsa
P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho
é falsa) = 
82
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Engenharia da Qualidade I
Construção de T.H.
1) Definir as hipóteses;
2) Escolher a estatística de teste adequada;
3) Escolher  e estabelecer a Região Crítica (RC);
4) Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da
população, calcular ;
5) Rejeitar Ho caso   RC. Não rejeitar Ho em caso
contrário.
No Minitab: Análise do P-value !
83
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Engenharia da Qualidade I
Testes Paramétricos
Testes de Hipóteses Estatísticas
Os testes de hipóteses em Estatística podem ser
empregados para avaliar ou comparar:
•
•
•
•
médias;
variâncias (ou desvios-padrão);
proporções;
distribuições de probabilidade e correlação.
Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor
que” ou, ainda, “maior que”.
84
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Engenharia da Qualidade I
TH p/ Média
• Para avaliar médias, empregam-se dois
diferentes tipos de testes: z ou t.
• o teste z é empregado somente se o desviopadrão da população (s) é conhecido (caso
pouco provável);
• o teste t é utilizado nas demais
circunstâncias e, por isso, este é que será
visto no curso.
85
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Engenharia da Qualidade I
Ex.
The production manager of a company has asked
you to evaluate a proposed new procedure for
producing its double-hung windows. The present
process has a mean production of 80 units per
hour with a population standard deviation of 8
units. The manager indicates that she does not
want to change to a new procedure unless there is
strong evidence that the mean production level is
higher with the new process.
A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based
on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that
the new process resulted in higher productivity?
86
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Engenharia da Qualidade I
 H 0 : m  80
X  m0
Z 


n

 H : m  80
 1
87
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Engenharia da Qualidade I
P-Value
•P-Value é a área ou
probabilidade que fica
acima (ou abaixo) do
valor obtido
experimentalmente.
P-Value = P(1-Ø)
Quanto menor o PValue, menor será a
chance de
se
cometer um erro do
tipo 1!
88
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Engenharia da Qualidade I
Alfa
89
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Unilateral e Bilateral
Engenharia da Qualidade I
Teste Unilateral Esquerdo
A2

A1
P-Value = A1Aceita-se Ho
P-Value = A2Rejeita-se Ho
N (m ,)
x
A1
Teste Unilateral Direito

A2
P-Value = A1Aceita-se Ho
P-Value = A2Rejeita-se Ho
N (m ,)
x
Teste Bilateral
/2
P-Value = A1+A2
A1
A2
N (m ,)
x
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90
Engenharia da Qualidade I
Exemplo
A manufacturing process involves drilling holes
whose diameters are normally distributed with
population mean of 2 inches and population
standard deviation 0.06 inches. A random sample
of 9 measurements had a sample mean of 1.95
inches. Use a significance level of 5% to
determine if the observed sample mean is unusual
and suggests that the drilling machine should be
adjusted.
H 0 : m  2

H1 : m  2
Z 
X  m0

n
91
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
A company which receives shipments of batteries
tests a random sample of nine of them before
agreeing to take a shipment. The company is
concerned that the true mean lifetime for all
batteries in the shipment should be at least 50
hours. From past experience, it is safe to conclude
that the population distribution of lifetimes is
normal, with standard deviation of 3 hours. For
one particular shipment, the mean lifetime for a
sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at
5% level the null hypothesis that the population
mean lifetime is at least 50 hours.
92
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
An engineering research center claims that through the use of a
new computer control system, automobiles should achieve on
average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sample
of 100 automobiles was used to evaluate this product. The sample
mean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the
sample standard deviation was 1.8 miles per gallon.
Test the hypothesis that the population
mean is at least 3 miles per gallon using
5% significance level. Find the P-value of
this test, and interpret your findings.
93
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
A beer distributor claims that a new
display, featuring a life-size picture of a
well-known rock singer, will increase
product sales in supermarkets by an
average of 50 cases in a week. For a
random sample of 20 liquor weekly sales,
the average sales increase was 41.3
cases and the sample standard deviation
was 12.2 cases. Test at the 5% level the
hypothesis that the population mean sales
increase is at least 50 cases.
94
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
In contract negotiations, a company claims that a
new incentive scheme has resulted in
average weekly earning of at least $400 for all
customer service workers. A union
representative takes a random sample of 15
workers and finds that their weekly earnings
have an average of $381.25 and a standard
deviation of $48.60. Assume a normal
distribution.
a)
b)
Test the company’s claim;
If the same sample results had been obtained
from a random sample of 50 employees,
could the company’s claim be rejected at a
lower significance level than in part (a)?
95
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
A bearing used in an automotive application is supposed to have a
nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings
is selected and the average inside diameter of these bearing is 1.4975
inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with
standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided
approach and considering.
96
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Engenharia da Qualidade I
EXERCÍCIOS
Question :
A process that produces bottles of
shampoo, when operating correctly,
produces bottles whose contents
weigh, on average, 20 ounces. A
random sample of nine bottles from a
single production run yielded the
following content weights (in ounces):
21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9.
Assuming that the population distribution is normal, test at
the 5% level against a two-sided alternative the null
hypothesis that the process is operating correctly.
97
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo 1Z
A Resistência ao Estufamento das latas
para a inspeção final deve ser maior que
90 psi. Tal resistência obedece a uma
distribuição normal com desvio padrão
de 1 psi . As medidas da Resistência para
uma determinada linha/turno estão dadas
na planilha Resistência.MTW
Teste a Hipótese de que as medidas da
Resistência ao Estufamento estão dentro
do limite de especificação. (Prove que as
medidas são maiores que 90)
Gere: N(91; 0.83)
98
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•TH - Proporções
Engenharia da Qualidade I
H0 :   0
H0 :   0
H0 :   0
H1 :    0
H1 :    0
H1 :    0
T.U.E
T.U.D
H 0 : 1   2
H 0 : 1   2
H 0 : 1   2
H1 : 1   2
H1 : 1   2
H1 : 1   2
T.U.D
Bilateral
T.U.E
Bilateral
Onde:  é a proporção populacional e 0 é uma constante
99
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo – 1 Proportion
Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5%
das peças produzidas contém algum tipo nãoconformidade. Uma equipe está trabalhando na redução
desta incidência de defeitos e, no último mês, foram
produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da
especificação.
A equipe obteve melhoria no desempenho ?
H 0 :   0 , 035
H 1 :   0 , 035
100
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Engenharia da Qualidade I
<Stat > <Basic Statistics > <1 Proportion>
Selecione Summarized data
“Number of trials”: 1500
45
p
 3, 0 %
“Number of successes”: 45
1500
Options
“test proportion”: < 0,035 >
0
“alternative”: < less than >
101
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Engenharia da Qualidade I
Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou
proporção) de pedidos aceitos pelos clientes.
A equipe acredita ter identificado uma das causas de
perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio
da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este
tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão
fornecidos no arquivo pedidos.mtw.
Qual é a conclusão ?
102
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Engenharia da Qualidade I
2 Proportions
<Stat > <Basic Statistics > <2 Proportions>
Selecione Samples in different columns
First= antes
Obs: no arquivo, “s”
Second= depois
indica pedido aceito, e
Options
“n”, pedido recusado
“test difference”: < 0 >
“alternative”: < less than >
103
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Engenharia da Qualidade I
Test and CI for Two Proportions: antes; depois
Success = s
Variable
antes
depois
X
11
14
N
43
30
Sample p
0,255814
0,466667
Estimate for p(antes) - p(depois): -0,210853
95% upper bound for p(antes) - p(depois): -0,0253151
Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87
P-Value = 0,031
Rejeita-se H0
104
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Engenharia da Qualidade I
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample Z>
Selecione Resistencia
Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido)
Test mean= 90
<Options>
Alternative= Greater than
<Graphs...>
Individual plot
105
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Engenharia da Qualidade I
One-Sample Z: Resistencia
H0
H1
Uma boa regra:
Se P-Value < ,
rejeita-se Ho
Test of mu = 90 vs mu > 90
The assumed sigma = 1
Variable
Resistencia
Variable
Resistencia
N
15
Valor dentro da Região Crítica
Mean
91,111
95,0% Lower Bound
90,686
Região Crítica
StDev
0,834
Z
4,30
SE Mean
0,258
P
0,000
Rejeita-se H0
106
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo 1t
Teste de média t para 1 amostra
A especificação da Largura da Flange das
latas para a inspeção final é definida como
0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma
distribuição normal. As medidas da Largura
da Flange para uma determinada linha/turno
estão dadas na planilha.
Teste a Hipótese de que as medidas da
Largura da Flange estão dentro do limite de
especificação. (Prove que os valores são em
média maiores que 0,072” e menores que
0,092”)
Gere: N(0.0835; 0.00345)
107
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Engenharia da Qualidade I
Teste 1 (Para provar
que os valores são
menores que 0,092)
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>
Selecione Largura Flange
Test mean= 0,092
<Options>
Alternative= Less than
<Graphs...>
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>
Selecione Largura Flange
Histogram of data
Teste 2 (Para provar
que os valores são
maiores que 0,072)
Test mean= 0,072
<Options>
Alternative= Greater than
<Graphs...>
Histogram of data
108
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1Z e 1t
Engenharia da Qualidade I
Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra
H0 : m  m0
H0 : m  m0
H0 : m  m0
H1 : m  m 0
H1 : m  m 0
H1 : m  m 0
T.U.E
Teste Z:
Bilateral
T.U.D
Z0 
X  m0
 /
n
Teste T:
T 
X  m0
S/
n
109
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2Z e 2t
Engenharia da Qualidade I
Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras
H 0 : m1  m 2
H 0 : m1  m 2
H 0 : m1  m 2
H 1 : m1  m 2
H 1 : m1  m 2
H 1 : m1  m 2
T.U.E
T.U.D
Variâncias Conhecidas
Z0 
X 1  X 2  m 1  m 2 
1
2
n1
Variâncias Desconhecidas
T 
X 1  X 2  m 1  m 2 
2
1
1
n2
Sp
n1
2

Bilateral

1
n2
110
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2t – Cálculo da Variância
Engenharia da Qualidade I
Estimador Combinado
S 
2
p
S
2
1
n1  1S  n 2  1S
 n1  1    n 2  1 
2
1
2
2
2
: Variância Amostral Grupo 1 S 2 : Variância Amostral Grupo 2
n1 : Tamanho do Grupo 1
n 2 : Tamanho do Grupo 2
111
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TH p/ Variâncias
Engenharia da Qualidade I
H 0 :
2

2
1
H1 :
2

2
1
H 0 :
2
2
H1 :
2
2
T.U.E

2
1

2
1
H 0 :
2
2

2
1
H1 :
2
2

2
1
2
2
Bilateral
T.U.D
2
Estatística de Teste:
F0 
S1
2
S2
112
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo
Dois tipos de Bico de Aplicação de
verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados.
Deseja-se investigar o efeito desses
dois Bicos com relação ao Peso do
Verniz (em mg) medido após o
processo. Tais medidas são dadas na
planilha ao lado.
As variâncias são iguais? (Teste a
Hipótese nula de que os dois bicos
produzem um peso de Verniz com
mesma variância.)
Peso_Verniz.MTW
113
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Engenharia da Qualidade I
<Stat><Basic Statistics> <2 Variances>
Selecione Samples in different columns
First= Verniz_tipo1
Second= Verniz_tipo2
Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns
Para usar Samples in one column
114
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Levene’s Test
Engenharia da Qualidade I
T e s t fo r E qua l V a r ia nc e s fo r V e r niz _ tipo 1 ; V e r ni z _ tipo 2
F - T est
2,74
T est S tatistic
P - V alu e
V er n iz_tip o 1
0,150
Lev en e's T est
T est S tatistic
P - V alu e
V er n iz_tip o 2
0,2
0,4
0,8
0,6
Prefira
sempre, pois
independe da
distribuição
dos dados.
As variâncias são iguais!
V er n iz_tip o 1
V er n iz_tip o 2
110,5
111,5
111,0
112,0
0,236
1,2
1,0
9 5 % B o nfe r r o ni C o nfide nce I nte r v a ls fo r StD e v s
110,0
1,51
112,5
D a ta
115
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Test for Equal Variances
Engenharia da Qualidade I
Após empilhamento dos dados faça: <Anova> <test for equal variances>
Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.
Bonferroni confidence intervals for standard deviations
Lower
Sigma
Upper
N
Factor Levels
0.358564
0.548160
1.10380
10
Verniz_tipo1
0.216713
0.331303
0.66713
10
Verniz_tipo2
F-Test (normal distribution)
Test Statistic: 2.738
P-Value
: 0.150
Levene's Test (any continuous distribution)
Test Statistic: 1.505
P-Value
: 0.236
(variâncias iguais)
116
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se
as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)
<Stat><Basic Statistics> <2 Sample t>
Selecione Samples in different columns
First= Verniz_tipo1
Second= Verniz_tipo2
Selecione: Assume equal variances
<Options>
Test mean= 0
Alternative= not equal
<Graphs>
Selecione Boxplots of data
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117
Engenharia da Qualidade I
Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2
Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2
N
Mean
StDev
SE Mean
Verniz_t
10
110.792
0.548
0.17
Verniz_t
10
112.205
0.331
0.10
Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2
Estimate for difference:
-1.413
95% CI for difference: (-1.838, -0.987)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97
P-Value = 0.000
DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453
Médias diferentes
118
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Engenharia da Qualidade I
B o x plo t o f V e r niz _ tipo 1 ; V e r niz _ tipo 2
11 2,5
11 2,0
Da t a
11 1,5
11 1,0
11 0,5
11 0,0
V e r niz _tipo 1
V e r niz _ tipo 2
119
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Paired t
Engenharia da Qualidade I
Observações Emparelhadas
H 0 :  0  m1  m 2  0
H 0 :  0  m1  m 2  0
H 0 :  0  m1  m 2  0
H 1 :  0  m1  m 2  0
H 1 :  0  m1  m 2  0
H 1 :  0  m1  m 2  0
T0 
Desvio Padrão das
diferenças entre 1 e 2
D  0
SD /
Diferença Amostral
Média
n
120
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Engenharia da Qualidade I
Paired t - Características
• Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a
mesma unidade experimental (amostra).
Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento.
• Em geral, as unidades
experimentais são
heterogêneas ( grande)
e exibem alta correlação
positiva.
121
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Engenharia da Qualidade I
Exemplo - Paired t
Suspeita-se
que
dois
funcionários
estão
monitorando o manômetro
de um processo de uma
forma
desigual.
Para
diferentes pressões foram
lidas (de uma forma
emparelhada)
os
resultados da planilha ao
lado.
Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo
desempenho.
122
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Engenharia da Qualidade I
Paired t
<Stat><Basic Statistics> <Paired t>
Selecione Samples in columns
First sample= Operador 1
Second sample= Operador 2
<Options>
Test mean= 0
Alternative= not equal
<Graphs>
Individual value plot
123
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Engenharia da Qualidade I
Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2
Paired T for Operador 1 - Operador 2
N
Mean
StDev
SE Mean
Operador 1
10
194
428
135
Operador 2
10
196
428
135
Difference
10
-2.400
1.075
0.340
95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value
= -7.06 P-Value = 0.000
Médias diferentes
124
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ANOVA
Engenharia da Qualidade I
Análise de Variância
•
•
•
•
•
As bases da Análise de Variância
Um fator (One-way)
Dois fatores (Two-way)
Análise de Médias (ANOM)
Balanced ANOVA
ANOVA é um Teste para
Comparar Médias
(O nome é enganoso!)
125
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA - Visualmente
Entendendo o
significado da
ANOVA...
126
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Engenharia da Qualidade I
As Bases da
ANOVA
Tratamentos
A
B
C
5
9
10
4
1
5
6
8
8
7
11
7
8
6
10
Somatório
30
35
40
Médias
6
7
8
Resposta
As médias são
realmente diferentes
ou tudo não passa de
casualidade?
H 0 : m A  m B  mC
H 1 : Pelo menos um dos sinais  vai ser negado
127
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Engenharia da Qualidade I
Algoritmo: Variação Total
Média geral
Passo 1: Cálculo da Variação Total

Xi
X i  X  xi
5
5-7=-2
4
4
4-7=-3
9
Etc.
Etc.
Etc
7
0
0
10
3
9
105
0
96
Foram considerados 15
observações: Glib=14
xi
2
VT - Variação Total
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Como VT>0 é
razoável
imaginar que ela
se compõe de
variações que
ocorrem Dentro
dos Grupos (VD
- Within) e
Entre os
tratamentos (VE
- Between)
128
Engenharia da Qualidade I
Algoritmo: Variação Within
Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within
X
X A  X A ( X A  X A ) ( X B  X B ) ( X C  X C )2
5-6=-1
1
2
A
5
4
-2
4
6
0
0
7
1
1
8
2
4
10
VD=10+58+18=86
2
58
18
Foram considerados 5 observações em
cada caso: Glib=12
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129
Engenharia da Qualidade I
Algoritmo: Variação Between
Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between)
XA
6
XA X
-1
(X A  X )
1
6
-1
1
6
-1
1
6
-1
1
6
-1
1
5
VE=5+0+5=10
2
(X B  X )
0
2
(XC  X )
5
Foram considerados 3 observações :
Glib=2
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2
130
Engenharia da Qualidade I
VT=VD+VE !
Algoritmo: Graus de Liberdade
96=86+10
Graus de Liberdade:
A VT possui (15-1)=14 GLIB
(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)
A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB
(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)
A
B
C
5
9
10
4
1
5
6
8
8
7
11
7
8
6
10
A VE possui (3-1)=2 GLIB
(3 Tratamentos -1)
GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE !
14=12+02
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131
Engenharia da Qualidade I
Algoritmo: Teste de Fisher para Médias
VT=VD+VE !
96=86+10
GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE !
14=12+02
Estimativas de Variâncias:
VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17
VE/GLIBVE= 10/2 = 5
F0= 5/7,17=0,70
Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5%
F0<Fcrítico
Não se Rejeita Ho
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132
Engenharia da Qualidade I
Algoritmo: Quadro resumo
Quadro Resumo Básico
Fonte de
Variação
Própria
Variação
GLIB
Variância
Estimada
F0
VE
10
2
10/2=5
5/7,17=0,70
VD
86
12
86/12=7,17
VT
96
14
133
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Engenharia da Qualidade I
Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked
One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked)
Analysis of Variance
Source
DF
SS
MS
F
P
Factor
2
10,00
5,00
0,70
0,517
Error
12
86,00
7,17
Total
14
96,00
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level
N
Mean
StDev
A
5
6,000
1,581
B
5
7,000
3,808
C
5
8,000
2,121
----+---------+---------+---------+-(------------*------------)
(------------*------------)
(------------*------------)
----+---------+---------+---------+--
Pooled StDev =
2,677
4,0
6,0
8,0
10,0
134
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Engenharia da Qualidade I
One-Way
ANOVA
Exemplo
Na definição do Setup dos
fatores para o processo
Inside Spray quatro
conjuntos de níveis para os
parâmetros de Temperatura
foram avaliados. Deseja-se
investigar o efeito desses
quatro Setups com relação a
Distribuição do Verniz interno
no fundo para cerveja
medidas em mg/pol2 após o
processo. Tais medidas são
dadas na planilha ao lado.
135
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA One-Way (Unstacked)
ANOVA One-Way (Unstacked)
Usar o Procedimento Stack Columns para executar o
Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise
de resíduos!!)
136
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA One-Way: Resultados
As médias são
diferentes
137
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA One-Way: Boxplots
B o xplo ts o f S etup1 - S etup4
(m eans are indic ated by s olid c irc les )
8 .5
7 .5
6 .5
5 .5
S e tu p 4
S e tu p 3
S e tu p 2
S e tu p 1
4 .5
138
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA One-Way: Residuals x Fitted
R esiduals V ersus the Fitted V alues
(res pons e is m g)
1 .5
1 .0
R e s id u a l
0 .5
0 .0
-0 .5
-1 .0
-1 .5
6 .0
6 .5
7 .0
F itte d Va lu e
139
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Engenharia da Qualidade I
Two-Way
ANOVA
Exemplo
Processo de fabricação de latas
No processo Bodymaker desejase investigar a Profundidade do
Dome em função de 3 conjuntos
de parâmetros (envolvendo
pressão, Temperatura Vazão,
etc...) e também em dois turnos
de operação. Foram então
colhidas amostras da
Profundidade do Dome (em
polegadas) para diferentes Turnos
e diferentes Conjuntos de
Parâmetros.
Anova_2.MTW
140
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA Two-Way: Follow along
141
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Engenharia da Qualidade I
ANOVA Two-Way: Resultados
Diferentes
Iguais
142
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Engenharia da Qualidade I
ANOM
Análise de Médias
Exemplo
Foram avaliados três níveis de
pressões de ar draw pad (em psi) e
também três níveis de pressões de ar
blow off (em psi) na influência de
problemas visuais após o processo
Minster. O número de defeitos
visuais (Riscos, Abaulamento,
orelhas, rebarbas, rugas e ovalização)
está mostrado na planilha ao lado.
Anova_3.MTW
ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!
143
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Engenharia da Qualidade I
ANOM
Isso é melhor
estudado em DOE!
144
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Engenharia da Qualidade I
ANOM: Gráficos
Não há interação entre
as pressões Blow e
Draw. O Efeito de
Blow é significativo!
145
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Engenharia da Qualidade I
ANOM: Resultados
Blow
Draw
A Pressão Blow
afeta mais a
média
3,0 e 8,83 são
valores distantes
de 6,22
146
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Engenharia da Qualidade I
Balanced
Anova
Exemplo
Processo de fabricação de latas
Deseja-se avaliar o tempo gasto (em
minutos) por seis funcionários para
ajustar o Setup de dois processos (I e
II) usando dois diferentes
procedimentos (um novo e um
antigo). A planilha seguinte mostra os
resultados obtidos.
Isso é a base para
DOE - Delineamento
de Experimentos!
Anova_5.MTW
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Engenharia da Qualidade I
Balanced ANOVA
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Engenharia da Qualidade I
Balanced ANOVA: Resultados
Diferentes
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TWO-WAY
Engenharia da Qualidade I
Ex.: An engineer suspects that
the surface finish of metal parts
is influenced by paint used and
the drying time.
Using a 5% significance
level, test the influence of
these two factors as also its
interaction.
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TWO-WAY
Engenharia da Qualidade I
Drying Time (min)
Paint
20
25
30
Total
(yi..)
1
74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255
621
2
92 86 68 246 98 73 88 259 66 45 85 196
701
Total:
(y.j.)
434
437
451
1322
(y…)
151
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TWO-WAY
Engenharia da Qualidade I
Ex.: Am experiment describes na
investigation about the effect of
glass type and phosphor type on
the brigtness of a television tube.
The response is the current (mA)
necessary to obtain a specified
brightness level.
Using a 5% significance
level, test the influence of
these two factors as also its
interaction.
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