Document

Report
1
‫روش املان مرزی‬
‫‪Boundary Element Method‬‬
‫نوید دریاسفر‬
‫‪2‬‬
‫روش ‪ BEM‬در واقع از معادالت انتگرال مرزی استفاده می کند‪.‬مزایای این روش عبارتند از‪:‬‬
‫دقت‪ :‬روش املان مرزی یک روش نیمه تحلیلی است و به همین دلیل دقیق تر است‪،‬مخصوصا در‬‫مورد مسائل مربوط به تراکم فشار‪.‬‬
‫کارآمد بودن در مدل سازی‪ :‬تولید شبکه املان مرزی برای مسائل سه بعدی و یا مسائل دارای‬‫دامنه نامحدود به دلیل کاهش ابعاد در روش معادالت انتگرال مرزی بسیار آسانتر است‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫مقایسه روش های ‪ BEM‬و ‪FEM‬‬
‫‪BEM‬‬
‫•‪-‬تولید سریع شبکه‬
‫•‪-‬مناسب برای مسائل تراکم فشار‬
‫•‪-‬مسائل با دامنه نامحدود‬
‫•‪-‬رویکرد انتگرالی‬
‫•‪-‬ماتریس های نامتقارن‬
‫‪4‬‬
‫‪FEM‬‬
‫•‪-‬حل سریع‬
‫•‪-‬مناسب جهت تحلیل کلی ویژگی ها و‬
‫سیستم های بزرگ مکانیکی‬
‫•‪-‬مسائل غیرخطی‬
‫•‪-‬رویکرد براساس مشتق‬
‫•‪-‬ماتریس های متقارن‬
‫تاریخچه ای کوتاه برای ‪BEM‬‬
‫‪5‬‬
‫یک مقایسه میان ‪ FEM‬و ‪BEM‬‬
‫‪‬به عنوان مثال از یک بلوک موتور برای تجزیه و تحلیل حرارتی استفاده می کنیم‪.‬با روش املان‬
‫محدود بیش از ‪ 363000‬عنصر بکار رفته است ولی با روش املان مرزی فقط حدود ‪ 42000‬عنصر‬
‫سطح ثابت(عناصر ثابت مثلثی) بکار گرفته شده است‪.‬‬
‫)‪FEM (363,180 volume elements‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪BEM (42,169 surface elements‬‬
7
‫مسائل پتانسیل‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪   2  2 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫معادله الپالس دوبعدی‪:‬‬
‫راه حل اساس ی معادله الپالس دوبعدی برای یک نقطه متمرکز منبع در ‪ p‬عبارتست از‪:‬‬
‫‪1  1 ‬‬
‫‪ ( p, Q) ‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪2  r ( p, Q) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪p  xQ   Yp  yQ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r ( p, Q ) ‬‬
‫استفاده از مشخصه دوم گرین‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dA‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n n d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪=  , ‬مشتقات مرتبه اول و دوم پیوسته اند‪.‬‬
‫‪= ‬پتانسیل ناشناخته در هر نقطه‬
‫‪= ‬راه حل اساس ی شناخته شده در هر نقطه‬
‫‪= n‬واحد نرمال بیرونی‬
‫‪= ‬مشتق در جهت نرمال‬
‫‪n‬‬
‫‪9‬‬
‫‪THE 2D POTENTIAL PROBLEM‬‬
‫‪ p ‬احاطه شده بوسیله یک دایره کوچک به شعاع ‪. ε‬‬
‫سپس راه حل را برای ‪ ε  0‬بررس ی می کند‪.‬‬
‫‪ ‬منطقه جدید) ‪(A – Aε‬‬
‫‪ ‬مرز جدید ) ‪(Γ + Γε‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪     dA   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪&   0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  0‬‬
‫‪‬سمت چپ و همچنین سمت راست معادله اکنون صفر است‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A A‬‬
‫در ناحیه)‪(A – Aε‬‬
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
 
 
0   

d 

n 
 n
 
 



  n n d
d  d :‫داریم که‬
  r
1

. 
n r n 2r
:‫با استفاده از این واقعیت که‬
11
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
 
1 2   1 
 
 1   



d




ln
  n n  2 0        n  d
1

(2 )  1.
2
 1

C (P)  1 / 2
 0

Evaluated with p in the domain,
on the boundary (Smooth surface),
and outside the boundary.
C ( P) 

2
For coarse surfaces
12
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
:‫معادله انتگرال مرزی‬

C ( P) ( P)   K 2 ( P, Q)
d(Q)   K1 ( P, Q) (Q) d(Q)


n
:‫ شناخته شده و برابرند با‬K2 ‫ و‬K1 ‫که در آن‬
 ( P, Q)
K1 ( P, Q) 
n
K 2 ( P, Q )   ( P, Q )
C ( P) 

2
13
NUMERICAL IMPLEMENTATION
Dirichlet, Neumann and mixed case

C ( P) ( P)   K 2 ( P, Q)
d(Q)   K1 ( P, Q) (Q) d(Q)


n

The unknowns of the above are values on the boundary and are  ,
n
Dirichlet Problem

is given every point Q on the boundary.
Neumann Problem

n
is given every point Q on the boundary.
Mixed case – Either are given at point Q
14
NUMERICAL IMPLEMENTATION
‫نامعلوم‬
N
1
2
 ( Pi )  
j 1
 (Q j )
n

j
N
K 2 ( Pi ,Q j )dj   (Q j ) K1 ( Pi , Q j )dj
j 1
j
15
NUMERICAL IMPLEMENTATION
K1ij   K1 ( Pi , Q j )dj
Let
j
K 2ij   K 2 ( Pi ,Q j )dj
j
‫نامعلوم‬
N
1
2
 ( Pi )  
j 1
 (Q j )
n
N
K 2ij   (Q j ) K1ij
j 1
16
NUMERICAL IMPLEMENTATION
 (Pi )   (Q j ) when i  j
 K
N
j 1
1ij
  ij  (Q j )   K 2ij
N
1
2
j 1
 (Q j )
n
Ax  Bz
17
NUMERICAL IMPLEMENTATION
Neumann Problem
Ax  c
Matrix A and vector C are known
Dirichlet Problem
c  Bz
Matrix B and vector C are known
Mixed case
Ax  Bz
Unknowns and knowns can be separated in to same form
as above
18
‫مرور کلی‬
‫شروع با معادله‪:‬‬
‫تابع گرین برای مسائل پتانسیل به صورت زیر می باشد‪:‬‬
‫در نهایت معادله انتگرال مرزی به صورت زیر می باشد‪:‬‬
‫که در آن‪:‬‬
‫‪19‬‬
‫‪‬با تقسیم مرز به ‪ N‬املان مرزی به صورت زیر داریم که‪:‬‬
‫املان های خطی برای مسائل دوبعدی‬‫‪-‬املان های سطحی برای مسائل سه بعدی‬
‫معادله انتگرال مرزی معادله ‪ BEM‬زیر را بدست می دهد‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫با اعمال شرایط مرزی داریم که‪:‬‬
‫معایب‬
‫•ماتریس های ‪ BEM‬نامتقارن می باشند‪.‬‬
‫•زمان حل‪ ،‬طوالنی و نیازمند حافظه زیاد می باشد‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫بخش مهمی از مسائل صوتی مربوط به پخش امواج صوتی با یک فرکانس ثابت ‪ w‬است‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p 2 2 0‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪‬‬
‫شروع با معادله موج‬
‫‪‬‬
‫معادله دیفرانسیل برای یک صوت خطی طبق معادله هلم هولتز زیر می باشد‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k = ω/c‬را عدد موج می نامند‪.‬‬
‫‪2 p  k 2 p  0‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫شرایط مرزی برای معادله هلم هولتز قبل در جدول زیر آمده است‪:‬‬
‫‪‬‬
‫برای مسائل بیرونی‪،‬معادله انتگرال مرزی زیر می تواند با استفاده از معادله هلم هولتز قبل و‬
‫مشخصه دوم گرین حل شود‪:‬‬
‫‪23‬‬
‫‪Green’s Functions‬‬
‫‪‬‬
‫تابع گرین به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪ jkr‬‬
‫که در آن ‪ r‬برابر با فاصله نقطه ‪ p‬تا نقطه ‪ Q‬روی سطح می باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪G (Q, P) ‬‬
‫‪ G‬را تابع گرین گویند‪.‬معادله باال بیانی برای صوت تک قطبی می باشد‪.‬‬
‫تابع گرین یک راه حل اساس ی به یک معادله دیفرانسیل است‪.‬یعنی‬
‫که ‪ L‬یک اپراتور تفاضلی خطی است‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪e‬‬
‫) '‪LG( x, x' )   ( x  x‬‬
‫در معادله هلم هولتز‬
‫) ‪L  (2  k 2‬‬
‫‪24‬‬
‫دو رویکرد‬
‫ می باشد که هر دو در‬S2 ‫ و بیرونی‬S1 ‫با توجه به شکل های زیر هر مرز شامل دو سطح درونی‬
:‫یک زمان آنالیز می شوند‬
Interior Problem (Room
Modeling)
V
Exterior Problem (Object
Scattering)
V
Source
Q
r
n
S
V = VOLUME
S = SURROUNDING SURFACE
N = SURFACE NORMAL
Q = RECEIVER
R = DISTANCE FROM Q TO A POINT ON S
S
r
Source
n
Q
25
Helmholtz-Kirchhoff Integral
‫شروع با این معادالت‬

‫ داریم که‬P ‫ و معادله دوم در‬G ‫با ضرب معادله اول در‬

2 p  k 2 p  0
 Gr, r0   k Gr, r0   (r  r0 )
2
2
G2 p  Gk 2 p  0
p G  pk G  p(r  r0 )
2
2
‫با کم کردن معادله سوم از چهارم‬

p G  G p  ( pk G  Gk p)  p(r  r0 )
2
2
2
2
26
Helmholtz-Kirchhoff Integral
p G  G p  p(r  r0 )
2
‫از آخرین معادله از اسالید قبل‬

V ‫با انتگرال گیری روی حجم‬

2
  p G  G p dV    p(r  r )dV  4p
2
2
0
V
V

 
 
    dV   

dS
n
n 
S

V
‫با استفاده از مشخصه دوم گرین‬
2
2
jt
e
p(Q) 
4

ps 
 G
S  ps n  G n dS
‫در نهایت داریم که‬

27
Helmholtz-Kirchhoff Integral
‫از آخرین معادله از اسالید قبل‬

‫و همچنین معادله گرین‬

‫در نهایت داریم که‬

e jt  G
ps 
p(Q) 
ps
G
dS



4 S  n
n 
e  jkr
G
r
e jt    e  jkr  e  jkr ps 
 
p (Q) 
 ps 
dS

4 S  n  r 
r n 
28
Helmholtz-Kirchhoff Integral
 jkr
 jkr



e
 e
e
ps 
 
p (Q) 
 ps 
dS

4 S  n  r 
r n 
jt
p(Q) = sound pressure at receiver point Q
pS = sound pressure on the surface S
n = surface normal
c = speed of sound
r = distance from point on S to Q
Src.
Rec.
(Q)

n
r
29
‫انتگرال هلم هولتز‪-‬کیرشهف توصیف (حوزه فرکانس) فشار صوت در یک نقطه ‪ Q‬از نظر فشار و‬
‫مشتق نرمال آن بر روی سطح اطراف آن می باشد‪.‬‬
‫‪e jt    e  jkr  e  jkr ps ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪p (Q) ‬‬
‫‪ ps ‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 S  n  r ‬‬
‫‪r n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪30‬‬
‫مشتق فشار متناسب با سرعت ذرات است‪.‬‬
‫→ ‪Helmholtz-Kirchhoff Integral‬‬
‫‪Boundary Element Method‬‬
‫انتگرال هلم هولتز‪-‬کیرشهف فشار صوت را در هر نقطه‪ Q‬در فضابا دانستن فشار‪ P‬و سرعت‬
‫نرمال ‪ δp/δn‬بدست می دهد‪.‬‬
‫در ‪BEM‬‬
‫‪)1‬مرز را به قطعات کوچکتر که در آن ‪ P‬و ‪ δp/δn‬مقادیر ثابتی هستند تقسیم می کنند‪.‬‬
‫‪ P)2‬و ‪ δp/δn‬را برای هر قسمت محاسبه می کنند‪.‬‬
‫‪)3‬جایگذاری در فرمول )‪P(Q‬‬
‫‪31‬‬
‫روش چندقطبی سریع)‪(Fast Multipole Method‬‬
‫‪‬با توجه به اینکه روش املان مرزی ماتریس های متراکم و نامتقارن می سازد که‬
‫اگرچه از نظر اندازه کوچک باشند نیازمند یک اپراتور )‪ O(N2‬برای محاسبه‬
‫ضرایب و اپراتور دیگر )‪ O(N3‬برای حل سیستم می باشد‪ N(.‬تعداد معادالت‬
‫سیستم خطی)‪.‬‬
‫‪‬روش ‪ FMM‬راه حل معادالت انتگرال مرزی را چندین برابر سریع تر می کند و‬
‫یک اپراتور )‪ O(N‬برای محاسبه ضرایب بدست می دهد‪.‬‬
‫‪32‬‬
References
1. L. F. Greengard, The Rapid Evaluation of Potential Fields in Particle Systems
(The MIT Press, Cambridge, 1988).
2. Paris, F. and Cañas, J. “Boundary Element Method Fundamentals and
Applications” Oxford University Press, 1997.
3.Kreysig, E., “Advanced Engineering Mathematics” 7th Edition, John Wiley &
Sons, 1993.
4. Y. J. Liu, Fast Multipole Boundary Element Method -Theory and Applications
in Engineering(Cambridge University Press, Cambridge, 2009).
5. Y. J. Liu, Fast Multipole Boundary Element Method (FastBEM) Software for
Education, Research and Further Development (1997-2010).
33

similar documents