第二組簡報

Report
微積分報告
介紹笛卡兒
物治系
B0107036 李雅涵
B0107003 翁倩雯
B0107047 王芋雯
生平
勒內·笛卡兒 René Descartes
1596/3/31-1650/2/11
生於法國安德爾-羅亞爾省的圖賴
訥拉海。1650/2/11逝世於瑞典斯
德哥爾摩。是法國著名的哲學家、
數學家、物理學家。 他對現代數
學的發展做出了重要的貢獻 因將
幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西
方現代哲學思想的奠基人。
對數學的貢獻
笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。
他成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯繫在
一起,在他的著作《幾何》中,笛卡兒證明幾何問
題可歸結成代數問題,也可通過代數轉換來發現、
證明幾何性質。他將幾何圖形『轉譯』代數方程式,
將幾何問題以代數方法求解,這就是今日的解析幾
何或稱『座標幾何』
笛卡兒引入了坐標系以及線段的運
算概念。笛卡兒在數學上的成就為後人在
微積分上提供了堅實的基礎,而微積分又是現代數
學的重要基石。此外,現在用的許多數學符號都是
笛卡兒最先使用的,包括已知數a, b, c和未知數x, y,
z等,還有指數的表示法。
他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關係,後
人稱為歐拉-笛卡兒公式。還有微積分中常見的笛卡
兒葉形線也是他發現的。
笛卡兒座標系
也稱直角坐標系,是一種正交坐標系。
二維的直角坐標系由兩個互相垂直的坐標軸設定,
通常稱 X軸 和 Y軸。兩軸相交稱為原點(標記為 O) 。
每軸都指向一個特定方向。兩軸決定了一個平面,
稱為 XY平面,又稱笛卡兒平面。
習慣性,X軸被水平擺放
稱為橫軸指向右方。
Y軸被直放而稱為縱軸
指向上方。分為四象限。
採用直角坐標
幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來
幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守
這代數公式。
例如:一個圓圈,半徑是 2
圓心位於直角坐標系
的原點。圓可以用
公式表達為 X2 +Y2 =4 。
在二維直角坐標系
再添加一個垂直於 X軸Y軸的坐標軸
稱為 Z軸。這三軸相互交於原點。在三維空間的任
何一點,可以用直角坐標 來表達其位置。
三個平面,XY平面
YZ平面,XZ平面,
將三維空間分成了
八個部分稱為卦限
笛卡兒符號法則
是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。
如果把一元實係數多項式按降冪方式排列,則多項
式的正根的個數要麼等於相鄰的非零係數的符號的
變化次數,要麼比它小2的倍數。而負根的個數則是
把所有奇數次項的係數變號以後,所得到的多項式
的符號的變化次數,或者比它小2的倍數。
例如,以下的多項式
X3+X2-X-1
在第二項和第三項有一個符號變化。因此它正好有
一個正根。實際上,我們可以看到,這個多項式可
以分解為:
因此它的根為−1(二重根)和1。
把奇數次項變號,可得:
-X3+X2+X-1
這個多項式有兩個符號變化,因此這個多項式有2個
或0個正根,原來的多項式有2個或0個負根。這個
多項式可以分解為:
因此根為1(二重根)和−1。
心臟線
心臟線是有一個尖點的外擺線。也就是說,
一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時,圓
上一點的軌跡就是心臟線。
笛卡兒坐標系中心臟線的參數方程式
r是圓的半徑,曲線的尖點位於(r,0)
在極坐標系中的方程為:
其心臟線面積為
心臟線小故事
傳聞,笛卡兒曾經流落到瑞典,邂逅公主
克里斯蒂娜,並成為公主的數學老師,兩人萌生
愛意。國王知道後強行拆散他們,並且沒收了之後
笛卡爾寫給公主的所有信件。後來,笛卡爾染上黑
死病,臨死前給公主寄最後一封信,信中只寫著一
行字:r=a(1-sinθ)。國王和大臣們都看不懂意思,
只好交還給公主。公主在紙上建立了極坐標系,用
筆描下方程的點,看到了方程所表示的心臟線了解
笛卡兒對自己的愛意。
另外,笛卡兒還提出了微積分有名的
葉形線,還有等角螺線。
其它重要貢獻-哲學
笛卡兒也是哲學家,人們稱他為西洋哲學的
「近代哲學之父」
他的「哲學方法」就是所謂「懷疑的方法」。他認
為雖然我們「懷疑」,但又必須有所行動時,我們
所能做的,最好就是堅持當初開始的態度,持續到
底。他提出了「我思故我在」和「演繹法」
影片補充
http://www.youtube.com/watch?v=QjF8C0rU
pqg ( 1:00-1:30)
http://www.youtube.com/watch?v=O-vGTg8ShE (3:16-9:26)

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