Document

Report
Optimisation
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre

Volet historique

Élément de compétence

Démarche à suivre

Résolution de problèmes d’optimisation
– Exemples
– Exercices
Département de mathématiques
2
y , y , ...



Isaac Newton (1642-1727)
Le livre le plus complet qu’ait écrit Newton sera
publié après sa mort en 1740, sous le titre La Méthode
des fluxions et des suites infinies.
Il énonce les trois principes de base concernant le
mouvement des corps et sa Loi universelle de la
gravitation.
Il présente des règles telles que :
– La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de chacun
des termes du polynôme;
– La dérivée de xr est donnée par rxr-1, pour r  R


Le binôme de Newton permet de développer un binôme
affecté d’un exposant : (a + b)n = an + nan-1b + ½n(n-1)an-2b2 + … + bn.
Newton instaure un nouveau style : impersonnel, sobre et
objectif, il décrit ses expériences et ses résultats qui 3
visent à démontrer la véracité de ses concepts*.
Élément de compétence

Résoudre des problèmes d'optimisation
et de taux de variation
– Représenter adéquatement une situation
sous forme de fonctions
– Appliquer les étapes de résolution de
problèmes d’optimisation
– Interpréter adéquatement les résultats
Département de mathématiques
4
Méthode de résolution





Lire attentivement le problème (relire au besoin, le nombre de fois
qu’il faut)
1. Définir toutes les variables et faire un croquis si possible;
2. Trouver une expression désignant la quantité à optimiser;
3. Exprimer la quantité à optimiser en fonction d’une seule variable
( en utilisant les contraintes énoncées dans le problème ) et
déterminer le domaine de la fonction à optimiser;
4. Utiliser le test de la dérivée première ou le test de la dérivée
seconde pour trouver le maximum ou le minimum absolu :
– 4.1. Calculer f’(x) et trouver les nombres critiques de f(x)
– 4.2. Utiliser le test de la dérivée première ou de la dérivée seconde,
calculer f’’(x), pour identifier le(s) maximum(s) et/ou le(s) minimum(s)
– 4.3. Évaluer f(x) aux bornes du domaine et pour chaque nombre
critique de f(x);

5. Remettre le résultat obtenu à l’étape 4 dans le contexte du
problème en faisant toutes les interprétations qui conviennent.
Département de mathématiques
5
Exemple 1

Un éleveur de chiens désire construire un enclos de
forme rectangulaire derrière son chenil et dispose
de 50 m de clôture pour l’entourer. Quelles sont les
dimensions du plus grand enclos qu’il pourra
construire s’il utilise toute la clôture?
x
y
Département de mathématiques
6
Exercice 1

Un éleveur de chevaux de la région de Charlevoix
possède une terre sur le bord d’une rivière rectiligne.
Il dispose de 3 000 m de clôture pour entourer une
partie de sa terre qu’il veut transformer en pâturage
de forme rectangulaire. S’il n’a pas besoin d’installer
de clôture le long de la rivière, quelles sont les
dimensions du plus grand pâturage qu’il peut
entourer? Quelle sera la superficie du pâturage?
x
Département de mathématiques
y
7
Exemple 2

Un ferblantier souhaite fabriquer une boîte sans
couvercle à partir d’une feuille de métal rectangulaire
de 100 cm de large et 160 cm de long. Il compte
découper des carrés d’aires égales dans les coins de
la feuille, puis replier les bords de celle-ci vers le
haut pour former les côtés de la boîte. Quelles
doivent être les dimensions de la boîte pour que
celle-ci ait le plus grand volume possible?
z
200
y
Département de mathématiques
z
y
x
100
8
Exercice 2

Une typographe veut fixer le format des pages d’un
livre selon les critères suivants : les marges
supérieures et inférieure mesureront 2,5 cm et les
marges latérales, 1,25 cm; de plus, chaque page
devra mesurer 300 cm2 de superficie. Trouver le
format de page que la typographe devrait choisir
pour que la surface imprimée sur chaque page soit
maximale.
2,5
1,25
1,25
(y-5)
y
(x-2,5)
2,5
Département de mathématiques
x
9
Exemple 3

Une paire de boucles d’oreilles coûte 3 $ à fabriquer et se vend
5 $. À ce prix, les consommateurs achètent 4 000 paires par
mois. Le fabriquant compte augmenter le prix et estime que
pour chaque hausse de 1 $, 400 paires de moins seront
vendues chaque mois. Quel prix doit-il fixer pour maximiser le
bénéfice?
– Étape 1 : x = ?nombre d’augmentations effectuées
N. d’augm.
N. de paires vendues
Prix unitaire
1
4 000 - 1(400)
5 $ + 1(1 $)
2
4 000 - 2(400)
5 $ + 2(1 $)
3
4 000 - 3(400)
5 $ + 3(1 $)



x
4 000 - x(400)
5 $ + x(1 $)
Département de mathématiques
10
Exercice 3
Une compagnie d’autobus loue des autobus de 50
places à des groupes de 35 personnes ou plus. Si un
groupe compte exactement 35 personnes, chaque
personne paie 60 $. Pour les groupes plus
importants, le tarif par personne est réduit de 1 $ à
partir de la 36e personne. Déterminer la taille du
groupe pour laquelle le revenu de la compagnie est
le plus élevé.

N. de personnes
Nombre total de personnes
supplémentaires
Prix du billet
1
35 + 1
60 $ - 1(1 $)
2
35 + 2
60 $ - 2(1 $)
3
35 + 3
60 $ - 3(1 $)



x
35 + x
60 $ - x(1 $)
11
Département de mathématiques
Exemple 4

Les acériculteurs du Québec envisagent de modifier le
format de leurs contenants de sirop d’érable de 540 ml. En
effet, il semble que l’on puisse améliore le format actuel, un
cylindre en aluminium de 8 cm de diamètre sur 10,75 cm de
hauteur, de manière à utiliser moins d’aluminium dans la
fabrication de chaque boîte. Si on décide de conserver la
forme cylindrique, trouver quels doivent être le diamètre et
la hauteur de la boîte pour minimiser la quantité
d’aluminium nécessaire. (N.B. : 1 ml = 1 cm3)

h
r
Département de mathématiques
12
Devoir




Étudier les exemples 3 (page 298), 4 (page 300)
et 5 (page 301).
Série 7.1, page 303, nos 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11,
14 et 16.
Exercices récapitulatifs, page 307, nos 2a, 3, 4,
5a, 5b, 6, 13a, 3b, 15, 17, 18, 21a.
Problèmes de synthèse, page 311, nos 1a, 5,
9a et 9b. [Réponses : 1a) 20 m sur 50 m; 5b) 700 $]
Département de mathématiques
13
« Ce n'est pas parce qu'un problème n'a
pas été résolu qu'il est impossible à
résoudre. »
Agatha Christie
Département de mathématiques
14
Leibniz et Newton
Département de mathématiques
15
À compléter
16
Département de mathématiques

similar documents