REGLA DE SIMPSON de 3/8 CLASE 3

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MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Prof.
José Andrés
Vázquez
Sumario
INTRODUCCION METODOS DE INTEGRACIÓN
Fórmulas de Newton-Cotes
Método de Integración de Romberg
Trabajo de Aplicación
INTRODUCCION
La integración numérica es una herramienta esencial que se usa
en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de
integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.
Pero… QUÉ ES INTEGRAR?
De acuerdo con la definición del diccionario,
integrar significa “llevar junto, como partes, en
un todo, unir, indicar la cantidad total…”
INTRODUCCION
Matemáticamente la integración se representa por:
Ec 1
que se tiene para la integral de la función f(x) con respecto a la
variable independiente x, evaluada en los límites x=a y x=b
Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de
la Ec 1 es el valor total o sumatoria de f(x) sobre el rango x=a a x=b.
De hecho, el símbolo es una letra S estilizada que intenta
representar la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.
INTRODUCCION
a
b
Fig 1
Observe que el proceso representado en la Ec 1 y en la Fig 1 es
llamado integración definida
INTRODUCCION
METODOS de INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Regla
Trapezoidal
Fórmulas de
Integración
De
Newton-Cotes
Regla 1/3 de
Simpson
Regla de
Simpson
Métodos
de
Integración
Numérica
Regla 3/8 de
Simpson
Integración
De
Romberg
Método de
Extrapolación
De Richadson
FORMULAS DE NEWTON-COTES
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración
numérica más comunes.
Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos
tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar:
b
b
a
a
I   f ( x)dx   f n ( x)dx
Ec 2
donde fn(x) es igual a un polinomio de la forma:
Ec 3
donde n es el orden del polinomio.
FORMULAS DE NEWTON-COTES
Por ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden (una línea recta)
como una aproximación. Mientras que en la Fig. 3 se emplea una parábola para
el mismo propósito.
Fig 2
Fig 3
FORMULAS DE NEWTON-COTES
Por ejemplo, en la Fig. 4 se usan tres segmentos de línea recta para aproximar
la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos
propósitos.
Fig 4
LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL
Base legal
La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de
Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primer
orden.
 f (a)  f (b) 
dx  I   f ( x)dx  (b  a) 

a
2

b
Ec 2
Pero…
QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?
Geométricamente,
la
regla del trapecio es
equivalente a aproximar
el área del trapecio bajo
la línea recta que
conecta a f(a) y f(b)
como se muestra en
Fig. 7.
Fig. 7
LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL
Base legal
Entonces, el resultado de la integración es lo que se denomina regla
trapezoidal, resumida en la siguiente ecuación;
b
 f (a)  f (b) 
dx  I   f ( x)dx  (b  a) 

a
2

Ec 5
Pero…
QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?
Geométricamente,
la
regla del trapecio es
equivalente a aproximar
el área del trapecio bajo
la línea recta que
conecta a f(a) y f(b)
como se muestra en
Fig. 7.
Fig. 7
LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL
Base legal
Recuerde, que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por
el promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 8.
Fig. 8
Fig. 9
En la Fig. 8 se muestra la fórmula para calcular el área de un trapezoide (altura
por el promedio de las bases).
En la Fig. 9 para la regla trapezoidal el concepto es el mismo pero ahora el
trapezoide está sobre su lado
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientes
integrales:
a)
b)
APLICACIÓN MULTIPLE
DE LA REGLA
Base
legal DEL TRAPECIO
La Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n
subintervalos, todos de la misma longitud
Sea
la partición que se forma al hacer dicha subdivisión.
Usando las propiedades de la integral, tenemos que:
Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos:
APLICACIÓN MULTIPLE
DE LA REGLA
Base
legal DEL TRAPECIO
Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:
Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma (sumatoria),
tenemos finalmente:
Ec. 6
Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.
Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la
aproximación a la integral.
APLICACIÓN MULTIPLE
DE LA REGLA
Base
legal DEL TRAPECIO
Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos, b)
tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos
Fig. 10
Fig. 11
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral:
Si subdividimos en 5 intervalos
PARA LA PRÓXIMA CLASE
ESTUDIAR LA REGLA DE SIMPSON
Regla 1/3 de
Simpson
Regla de
Simpson
Regla 3/8 de
Simpson
REGLAlegal
DE SIMPSON
Base
Además de aplicar la Regla Trapezoidal con segmentación más fina, otra forma
de obtener una estimación más exacta de la integral es con el uso de
polinomios de orden superior para conectar los puntos.
Fig. 12
Por ejemplo, si hay un punto extra a la
mitad del camino f(a) y f(b), los tres
puntos se pueden conectar en una
parábola, tal y como se muestra en la
Fig. 12.
Fig. 13
Si hay dos puntos igualmente
espaciados entre f(a) y f(b), los
cuatro puntos se pueden conectar
con un polinomio de tercer orden,
tal y como se muestra en la Fig. 13.
Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo estos polinomios son
conocidas como Regla de Simpson.
REGLAlegal
DE SIMPSON
Base
La Regla de Simpson 1/3 resuelta cuando una interpolación polinomial de
segundo orden es sustituida en la ecuación:
Ec. 7
Si a y b se designan como xo y x2 y f2(x) es representada por un polinomio de
Lagrange de segundo orden y la integral se transforma en:
 ( x  x1 )( x  x2 )

( x  x0 )( x  x2 )
( x  x0 )( x  x1 )
I  
f ( x0 ) 
f ( x1 ) 
f ( x2 )dx
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x1  x2 )
( x2  x0 )( x2  x1 )

x0 
x2
Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente fórmula:
(b  a)
h
I   f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )  2  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
3
REGLAlegal
DE SIMPSON
Base
I  (b  a)
f ( xo )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
6
Recuerde que x1 es el
punto medio entre a y b.
Ec. 8
Esta ecuación es conocida como Regla de Simpson de 1/3. Es la segunda
fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes.
La especificación “1/3” surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la
ecuación anterior.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de las siguientes
integrales:
a)
b)
REGLA DE SIMPSON 1/3
DE APLICACIÓN
MÚLTIPLE
Base
legal
La Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n
subintervalos, todos de la misma longitud
Sea
la partición que se forma al hacer dicha subdivisión y
sea
Pm  xi 1 , xi  el conjunto de los untos medios de los subintervalos.
Usando las propiedades de la integral, tenemos que:
Al sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de las integrales, obtenemos:
I  2h
f ( xo )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x1 )  4 f ( x2 )  f ( x3 )
f ( xn  2 )  4 f ( xn 1 )  f ( xn )
 2h
 ...  2h
6
6
6
REGLA DE SIMPSON
DE APLICACIÓN
MÚLTIPLE
Base
legal
Combinando términos y sustituyendo
I  (b  a)
n
n 1
i 1
i 1
f ( xo )  4 f ( xm )  2 f ( xi )  f ( x2 )
Fig. 14: Representación
gráfica de la Regla de
Simpson 1/3 de aplicación
múltiple. Observe que el
método se puede emplear
sólo si el número de
segmentos es par
6n
nos queda:
Ec. 9
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y
sibdividiendo en 5 intervalos
a)
Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y
sibdividiendo en 4 intervalos
b)
REGLAlegal
DE SIMPSON de 3/8
Base
CLASE 3
REGLAlegal
DE SIMPSON de 3/8
Base
En una manera similar a la derivación de la Regla Trapezoidal y Regla de
Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a
cuatro puntos e integrarse:
Ec. 10
Para obtener:
Donde
. Esta ecuación se llama Regla e Simpson de 3/8 debido a
que h se multiplica por 3/8.
NOTE QUE x1 Y x2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTES IGUALES
EL INTERVALO [a,b]
REGLAlegal
DE SIMPSON de 3/8
Base
Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La Regla de
Simpson 3/8 se puede expresar también de la forma:
Ec. 11
Fig. 15: Ilustración de cómo se puede usar en
conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para
menejar aplicaciones múltiples con números nones
de intervalos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8:
a)
REGLAlegal
DE SIMPSON de 3/8 MÚLTIPLE
Base
Al igual que en los casos anteriores, la Regla de Simpson de 3/8 se puede
extender si subdividimos el intervalo [a.b] en n intervalos de la misma longitud
h.
Sea
la partición determinada de esta forma. Cada subintervalo
lo dividimos en tres partes iguales, y sean
y
los puntos determinados así:
Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalos, tenemos:
b

a
n 1

ba 
 n

f ( x)dx 
 f ( xo )  3   f ( yi )  f ( z i )  2 f ( xi )  f ( xn )
8n 
i 1
 i 1


EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8,
subdividiendo en 3 intervalos:
a)
RESUMEN DE FÓRMULAS
REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE
REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA
b
f (a)  f (b)

dx

I

f
(
x
)
dx

(
b

a
)
a

2
REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE
I  (b  a)
f ( xo )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
6
REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTA
TALLER
CALCULAR EL VALOR DE LA INTEGRAL:

 8  3Senx dx
0
HACIENDO USO DE:
1.
REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE
2.
REGLA DEL TRAPACIO COMPUESTO EN n=3
3.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE
4.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO CON n=3
5.
REGLA DE SIMPSON DE 3/8 SIMPLE

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