Nogomet i matematika

Report
Matematika Svjetskog
prvenstva u nogometu
Franka Miriam Brückler
Nogomet i matematika???
•
•
•
•
•
•
•
•
Čime se bavi matematika?
Brojevima?
2 momčadi s po 11 igrača
broje se golovi i uspoređuje ukupni broj golova
pobjeda nosi 3 boda, neodlučeno 1
udio posjeda lopte
...
Da bismo mogli pratiti nogomet moramo znati
računati s razlomcima i uspoređivati brojeve!
Nogomet i matematika???
• Geometrijom?
• Lopta mora biti “kuglastog oblika, iz kože ili
drugog pogodnog materijala, opsega najmanje
68 i najviše 70 centimetara, na početku utakmice
mase najmanje 410 i najviše 450 grama te tlaka
između 0,6 i 1,1 atmosfere” (misli se na višak
tlaka u odnosu na okolinu)
• pravokutni teren s ucrtanim linijama – dužine,
pravokutnici, kružnica, kružni lukovi
• mjere definirane u anglosaksonskim jedinicama
Korelacija s programom (1. r. OŠ)
• Tijela u prostoru – prepoznavanje i imenovanje kugle kao
fizičkog objekta i na slikama
• Ravne i zakrivljene plohe – površina terena u usporedbi s
površinom lopte
• Ravne i zakrivljene crte – na nogometnom terenu
• Točka – trenutna pozicija lopte, sjecišta linija na terenu
• Odnosi među predmetima – usporedba veličina terenâ,
visina igrača, biti unutar/izvan terena
• Geometrijski likovi – pravokutnici, krugovi
• Brojevi 1 do 5 – broj golova, bodovi, usporedba broja
golova
• itd.
Zadatak, lagan
Dao
golova
Primio
golova
Bodovi
2
5
3
3
B
2
2
C
2
3
2
4
Klub
Odigrano
Pobjeda
Neriješeno
Izgubljeno
Dao
golova
Primio
golova
Bodovi
A
2
1
0
1
5
3
3
B
2
0
1
1
2
5
1
C
2
1
1
0
3
2
4
Klub
Odigrano
A
Pobjeda
Neriješeno
Izgubljeno
1
I još jedan zadatak
•
•
•
•
•
ako imamo situaciju kao u tablici:
koliko je utakmica odigrano?
koje još nedostaju?
tko još može proći skupinu?
koje su moguće konačne tablice?
Momčad
D
A
C
B
• D 9, A 4, B 3, C 1; D 9, A 4, C 2, B 1; D 9, A 4, C 4, B 0
• D 7, A 5, B 3, C 1; D 7, A 5, C 2, B 1; D 7, A 5, C 4, B 0
• A 7, D 6, B 3, C 1; A 7, D 6, C 2, B 1; A 7, D 6, C 4, B 0
Bodovi
6
4
1
0
Korelacija s programom (4. r. gim.)
• Primjene derivacija i integrala u fizici
• Ovisno o visini trave i vlažnosti terena koeficijent
restitucije k za odbijanje lopte od terena iznosi
između 0,5 i 0,8
• Ako nogometna lopta padne vertikalno na tlo,
koliko traje dodir lopte s tlom i ovisi li trajanje
dodira o brzini kojom lopta padne?
• Sila kojom tlo djeluje na loptu u trenutku dodira
jednaka je višku tlaka unutar lopte u odnosu na
okolinu (p) pomnoženom s površinom dodira (A): F
= ma = −pA, a = x’’
Površina dodira
• kad se lopta odbije od terena
lopta se nakratko deformira
• u praksi je deformacija
premala da bi imala utjecaj na
unutrašnji tlak
A   2  (r 2  (r  x) 2 )  (2rx  x 2 )
x  r  A  2rx  ox
• kad se lopta odbije od zemlje, x ovisi o brzini v težišta
lopte (približno središta)
• t = 0: trenutak kad lopta dodirne teren
mx   pA   pox  x  Kx, K  0
• koje funkcije imaju derivaciju proporcionalnu samima
sebi?
• kosinus/sinus!
x(t )  b sin(cx)  d , x(0)  0  d  0
x(t )  b sin(ct )  x (t )  bc cos(ct ) 
po
x(t )  bc sin(ct )  
b sin(ct )  c 
m
2
x (t )  v0  bc  b  v0
m
 x(t )  v0
po
po
 [303,436] s 1
m

m
sin 
po 
• dodir <-> x > 0
• period: 2π/c

• trajanje dodira: T   [0,0072;0,01] s
c
po 
t 
m 
Površina nogometnog terena
• Prema danas važećim pravilima (koja se uglavnom
nisu mijenjala od 1938.), nogometno igralište treba
imati pravokutni oblik, širine 45 – 90 m i duljine 90 –
120 m
• Za međunarodna natjecanja: 64–75 m  100–110 m
• Najčešće: 68 m  105 m (to odgovara igralištima
omeđenim stazom za trčanje na 400 m), od 2008. to su
propisane dimenzije za međudržavne utakmice.
• Površina je dakle obično
7140 m2
Što još utječe na zanimljivost igre?
• prosječna brzina igrača (ca. 5 m/s) i
• broj kontakata s loptom u minuti (oko 20 ako gledamo
samo vrijeme dok se stvarno igra) ili vrijeme
zadržavanja lopte (ca. 3 s).
• igrač se može kretati u svim smjerovima – pokriva
površinu oblika
• kruga polumjera ca. 15 m, tj. površine ca. 707 m2
• to je oko 10% površine terena, tj. 10ak igrača taman
pokrije teren
• Zašto ovakav model možemo primijeniti i za hokej, ali
ne i za košarku?
• Zašto ženski nogomet nije uzbudljiv kao muški?
Geometrija nogometne lopte
•
•
•
•
•
•
opseg: 68 do 70 cm
koliki je promjer?
 = opseg : promjer >>> promjer 21,6 do 22,3 cm
koliko je oplošje?
oplošje kugle = opseg  promjer – oko 1500 cm2
klasični dijelovi iz kojih se šiva vanjština čine krnji
ikozaedar
http://www.wikihow.com/Make-a-PHiZZ-Unit
12 pravilnih peterokuta
20 pravilnih šesterokuta
90 bridova
svaki peterokut je okružen
s po 5 šesterokuta
• svaki šesterokut je okružen
s naizmjenično poredanih 3
peterokuta i 3 šesterokuta
•
•
•
•
Najkraći put do gola
• Koliko god igrač precizno pucao, lopta uvijek
skrene malo od planiranog smjera.
• Kako treba trčati da bi se popravilo položaj?
• Što je kut pod kojim nogometaš vidi gol u
trenutku udarca veći, to je manja mogućnost
da promaši gol.
Malo pentranja
• Kretanje “po izohipsi” znači ne mijenjanje
kuta pod kojim igrač gleda gol.
• Želimo se što kraćim putem kretati prema
boljem položaju
• Znači, želimo ići što
strmije uzbrdo:
okomito na izohipsu
na kojoj trenutno
jesmo.
Grčki nogomet
• Apolonije iz Perge (ca. 260. – 190. g. pr. Kr.) je uočio da
sve točke koje imaju jednak omjer udaljenosti do dvije
čvrste točke leže na istoj kružnici
• Apolonijeve kružnice: dvije familije kružnica – prve su
one sa svim mogućim omjerima udaljenosti do dvije
čvrste točke, a druge su sve kružnice kroz te dvije
točke
• svaka kružnica prve familije je okomita na svaku
kružnicu druge
Grupa D2h
Jedanaesterci
• uspješno se realizira 70 % do 80 % jedanaesteraca.
• Možda će pucati u sredinu? 1 : 4  80%
• Možda će promašiti? Recimo da su od 100 izvedenih
jedanaesteraca 5 promašeni – od ostalih 95 golman će
uloviti njih 19  (100 – 5 – 19)% = 76 %
Vjerojatnost pogotka
n 1
 (1  q) 100%
n
vjerojatnost promašaja
%
0
1
2
4
75
74,25 73,5
72,75 72
71,25 70,5
69,75 69
68,25 67,5
5
80
79,2
77,6
76
74,4
72,8
6
83,33 82,5
7
85,71 84,86 84
78,4
3
4
76,8
81,67 80,83 80
5
6
75,2
7
79,17 78,33 77,5
8
73,6
9
72
76,67 75,83 75
83,14 82,29 81,43 80,57 79,71 78,86 78
broj dijelova na koje smo podijelili gol
10
77,14
Jedanesterci, jopet
• Zašto su na svjetskim prvenstvima bolji uspjesi u
izvođenju nego u slaboj ligi? Gdje su to bolji
golmani odnosno izvođači?
• Službene mjere gola: 7,32 m × 2,44 m (8 yd. × 8 ft.)
 površina: 17,9 m2
• Vratar visine 1,90 m  raspon ruku 1,90 m,
ramena na visini 1,60 m  pokriva površinu oko
1,60 m × 1,90 m + ½ 0,952 m2   4,46 m2
• malo manje od 25% površine gola!
A sad, Pitagora
x km/h = 0,278x m/s
3,66 m
2,44 m
3,66 m
4,40 m
GOL
11,74 m
10,88 m
pozicija izvođenja jedanaesterca
Od rođendana do rođendana
1− 1−
1
365
1−
2
−1
· ⋯∙ 1 −
365
365
= 1−
365 · 364 · 363 ·. . .· (366 − n)
365
26
Pošteni koeficijenti
• Ako je P vjerojatnost dobitka, onda je 1−P
vjerojatnost gubitka i omjer (1−P) : P je pošten
• npr. P = ½ - u jednom od dva slučaja dobivaš,
odnosno jednako je vjerojatno dobiti i izgubiti pa je
pošteni omjer 1:1 (koeficijent 2)
• ako je pak P = 2/5, znači da je pošteni omjer 3:2
(koeficijent 2,5)
• ako je ponuđen koeficijent 2,6 znači da je kladionica
procijenila vjerojatnost na 1/2,6 = 38,46 %
• na taj način kladionice i kockarske kuće legalno
zarađuju
pk  1
27
Prosjeci i vjerojatnosti
• prosječni brojevi danih i primljenih golova (G i g)
zasigurno su među temeljnim podacima za
računanje vjerojatnosti određenog rezultata
• dodatno se mogu uzimati u obzir (razdvojiti u
račun) igre kao domaćin i u gostima te naravno
drugi bitni faktori
• svakako ima smisla prosjeke pojedine momčadi
uspoređivati sa zajedničkim prosjekom obje
momčadi koje se sastaju, sa zajedničkim
prosjekom grupe ili lige
Vjerojatnost davanja gola
• Bernoullijev pokus: slučajni pokus s dva moguća
ishoda – uspjeh i neuspjeh
• vjerojatnost uspjeha: p
• vjerojatnost neuspjeha: 100% − p = q
• npr: “Sljedeći gol po redu dat će A”.
GA
p
G A  GB
q  1 p
recimo, ako se sastaju momčadi čiji prosjeci danih golova su
1 i 2, vjerojatnost da će sljedeći gol dati prva momčad je
1
1
p

1 2 3
Binomna razdioba u nogometu
• isti Bernoullijev pokus ponavljamo određeni broj
puta (n = 0, 1, 2, ...), pri čemu je svako sljedeće
izvođenje nezavisno od prethodnog
• http://www.subtangent.com/maths/ig-quincunx.php
• kod nas je n ukupni broj golova na utakmici
• vjerojatnost da momčad A dade k od n golova
(vjerojatnost k “uspjeha” u n pokusa):
0.3
 n  n nk
  p q
k 
p = 1/3, n = 8
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Brazil : Hrvatska
Vjerojatnost da
Ukupno
Hrvatska ne
golova
0
1
2
3
4
5
6
7izgubi
0 100,00%
100,00%
1 68,30% 31,70%
31,70%
2 46,65% 43,30% 10,05%
85,05%
3 31,86% 44,36% 20,59% 3,19%
23,78%
4 21,76% 40,40% 28,13% 8,70% 1,01%
37,84%
5 14,86% 34,49% 32,02% 14,86% 3,45% 0,32%
18,63%
6 10,15% 28,27% 32,80% 20,30% 7,07% 1,31% 0,10%
28,78%
7 6,93% 22,53% 31,36% 24,26% 11,26% 3,14% 0,49% 0,03%
14,91%
Od toga Hrvatska
120.00%
GBrazil = 44/15 = 2,93
GHrvatska = 15/11 = 1,36
p  31,7 %
Vjerojatnost
100.00%
80.00%
60.00%
40.00%
20.00%
0.00%
0
1
2
3
4
5
6
Ukupni broj golova na utakmici
7
Teorem: Nogomet je najzanimljiviji sport
• pojedina momčad tijekom nogometne utakmice uputi
između 10 i 20 udaraca prema golu protivničke
momčadi, a samo neki od njih završe zgoditkom
• Znanstvenici iz instituta Los Alamos National
Laboratory su 2006. godine analizirali ishode ca. 300
000 utakmica u 5 popularnih sportova (američki i
europski nogomet, košarka, hokej, baseball)
• utvrdili su da su u europskom nogometu najčešći
neočekivani rezultati (u smislu: favorit je izgubio
utakmicu):
• Čak 45 % utakmica europskog nogometa završi s
neočekivanim ishodom. Najmanje je neočekivanih
ishoda u američkom nogometu – samo 30 %.
Poisson, ali ne riba
PROBABILITY
• ako je poznat prosječni broj uspjeha m unutar nekog
vremenskog intervala (npr. prosječni broj danih
golova po utakmici), vjerojatnost n uspjeha u u
jednoj jedinici vremena je:
n
1 m
pn  m 
e
n!
40.00%
35.00%
30.00%
25.00%
20.00%
15.00%
10.00%
5.00%
0.00%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
NUMBER OF OCCURENCES
m=1
m=2
m=3
9
10
SP2010 i SP2014
SP2010
• u 48 utakmica po grupama
pao je 101 gol
• to je 2,1 gol po utakmici
odnosno: m = 2,1
SP2014
• 136 golova u 48 utakmica
• prosječno 2,8 golova po
utakmici: m = 2,8
Golova
0123 4567
Utakmica 5 8 4 15 9 4 2 1
SP2010
SP2014
14
16
12
14
10
12
broj utakmica
Broj utakmica
Golova
01 2 3 4567
Utakmica 6 13 12 9 5 2 0 1
8
6
4
2
10
8
6
4
2
0
0
0
1
2
3
4
Broj golova
Stvarno
Poisson
5
6
7
0
1
2
3
4
Broj golova
Stvarno
Poisson
5
6
7
Predviđanje?
Argentina
Njemačka
Ukupno
Utakmica Dano
golova
17
30
18
47
35
77
n
pn:m
G
Primljeno
golova
1,765 11
2,611 18
2,2
29
m
G1 G2 (G1 G2 )

e
n!m!
g
0,647
1
0,829
Vjerojatnosti rezultatâ
Arg. Njem.
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1,26% 3,28% 4,29% 3,73% 2,44% 1,27% 0,55% 0,21%
1
2,22% 5,80% 7,57% 6,59% 4,30% 2,25% 0,98% 0,36%
2
1,96% 5,11% 6,68% 5,81% 3,79% 1,98% 0,86% 0,32%
3
1,15% 3,01% 3,93% 3,42% 2,23% 1,17% 0,51% 0,19%
4
0,51% 1,33% 1,73% 1,51% 0,98% 0,51% 0,22% 0,08%
5
0,18% 0,47% 0,61% 0,53% 0,35% 0,18% 0,08% 0,03%
6
0,05% 0,14% 0,18% 0,16% 0,10% 0,05% 0,02% 0,01%
7
0,01% 0,03% 0,05% 0,04% 0,03% 0,01% 0,01% 0,00%
1, X, 2: 25,45 %, 18,34 %, 55,61 %.
Poboljšanje modela
• potrebno je uzeti u obzir dane i primljene
golove
• u slučaju predviđanja utakmice u ligi ili
skupini kvalifikacija može se dodati i
usporedba s ostalim domaćinima odnosno
gostima
• kako parametre Poissonovih razdioba
podesiti tako da odražavaju kako prosječne
brojeve danih i primljenih golova pojedine
momčadi, tako i njihove međusobne razlike?
Argentina - Njemačka
• Neka su prosjek danih i primljenih golova za prvu
momčad (Argentinu) GA i gA, za drugu (Njemačku) GB
i gB, a ukupni prosjeci G i g.
• Iz tih se šest brojeva računaju snaga napada i obrane
za prvu i za drugu momčad (NA i OA odnosno NB i OB).
• Snagu napada pojedine momčadi dobijemo
dijeljenjem prosjeka danih golova te momčadi s
ukupnim prosjekom, a snagu obrane dijeljenjem
prosjeka primljenih golova za momčad i ukupno.
• Za utakmicu u ligi gledaju se sve odigrane utakmice i
odgovarajući prosjeci, a ne samo utakmice dviju
momčadi za koje računamo vjerojatnost rezultata.
I što s time?
• U našem primjeru dobivamo
• NA = GA/G = 1,765/2,2 = 0,802; OA = gA/g =
0,647/0,829 = 0,781;
• NB = GB/G = 2,611/2,2 = 1,187; OB = gB/g = 1/0,829
= 1,207.
• Kako svakoj momčadi u korist idu golovi koje daje,
a „štete“ golovi koje daje protivnik, odgovarajući
parametar za Poissonovu razdiobu za svaku
momčad dobije se množenjem njene jačine napada
i protivnikove jačine obrane:
• a = NAOB = 0,802·1,207 = 0,968;
• b = NBOA = 1,187 ·0,781 = 0,927.
I što smo dobili?
• Ti brojevi znače da je očekivani rezultat a:b –
možemo to reći i ovako: prije utakmice moglo se
očekivati da i Njemačka i Argentina dadu po 0 ili 1
gol, s većom vjerojatnosti da obje dadu po 1.
0
1
2
3
4
5
6
7
0
15,03%
14,55%
7,04%
2,27%
0,55%
0,11%
0,02%
0,00%
1
13,93%
13,49%
6,53%
2,11%
0,51%
0,10%
0,02%
0,00%
2
6,46%
6,25%
3,03%
0,98%
0,24%
0,05%
0,01%
0,00%
3
1,99%
1,93%
0,93%
0,30%
0,07%
0,01%
0,00%
0,00%
Iz ove tablice opisanim postupkom računata
vjerojatnost pobjede Argentine je 35,17 %,
neodlučenog 31,87 %, a pobjede Njemačke
32,96 %.
4
0,46%
0,45%
0,22%
0,07%
0,02%
0,00%
0,00%
0,00%
5
0,09%
0,08%
0,04%
0,01%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
6
0,01%
0,01%
0,01%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
7
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
Moglo bi se tako dalje, ali...
Hvala na pažnji i ole, ole,
oleeeeeeeeeee!!!
Prezentacija je korištena na
Međužupanijskom stručnom skupu
„Matematički jezik, nematematički jezik”
za učitelje matematike,
7. srpnja 2014. godine
u Zagrebu.
Najtoplije zahvaljujem
prof. dr. sc. Franki Miriam Brückler
na dozvoli da prezentaciju
objavim na svojim web stranicama.
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/

similar documents