ANALISIS DE REGRESION MULTIPLE

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ANALISIS DE REGRESION
MULTIPLE
ESTIMACION
MODELO MULTIPLE DE
REGRESIÓN
 Es
un modelo con más de una
variable exógena incluida en el
modelo y la forma funcional que
representa la relación entre las
variables ES LINEAL EN LOS
PARÁMETROS y estos últimos son
estimados a través del análisis de
regresión
Yi   0   1 X 1i   2 X 2 i  ......   k X ki   i
Variable
Dependiente
Perturbaciones
Parámetros
Variables Exógenas
i= iesima observación
Bo representa el efecto medio de las variables excluidas en el
modelo sobre Y
B1 representa el cambio en el valor medio de la variable
dependiente causado por cambios unitarios en X1, manteniendo
constantes X2,..Xk..Efecto neto de X1 en Y
Bk representa el cambio en el valor medio de la variable
dependiente causado por cambios unitarios en Xk, manteniendo
constantes X1…X k-1 ..Efecto neto de X1 en Y
ESTIMACIÓN DE UN MODELO
MULTIPLE DE REGRESIÓN
FRP
Yi   0   1 X 1i   2 X 2 i  ......   k X ki   i
FRM
Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X 2 i  ......  ˆ k X ki  ˆ i
E (Y / X 1i , X 2 i , X 3 i .. X ki )
MCO
Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X 2 i  ......  ˆ k X ki  ˆ i
Yˆi
Yi  Yˆi  ˆ i
ˆ i  Yi  Yˆi
ˆ i  Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X 2 i  ......  ˆ k X ki
Minimizar la Sumatoria de los errores al
cuadrado
ˆ i  Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X 2 i  ......  ˆ k X ki

ˆ
2

i

2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(Yi   0   1 X 1i   2 X 2 i  ......   k X ki )
Caso particular dos variables exogenas

ˆ
2
i


2
ˆ
ˆ
ˆ
(Y i   0   1 X 1 i   2 X 2 i )
Ecuaciones Normales

ˆ
2
  ˆ
2
  ˆ
i

  2 (  (Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X
i
ˆ

2
(Yi  ˆ 0  ˆ1 X 1i  ˆ 2 X 2 i )
2i
)  0
0
2
  2 (  (Y i  ˆ 0  ˆ1 X 1 i  ˆ 2 X
i
ˆ
2i
) X 1i  0
2i
)X
1

 ˆ
2
i
ˆ
 2(
2

(Yi  ˆ 0  ˆ1 X 1i  ˆ 2 X
2i
 0
ˆ 0  Y  ˆ1 X 1  ˆ 2 X 2
(  Yi X 1i )(  X 2 i )  (  Yi X 2 i )(  X 1i X 2 i )
2
ˆ1 
(  X 1 i )(  X 2 i )   ( X 1i X 2 i )
2
2
2
(  Yi X 2 i )(  X 1 i )  (  Yi X 1i )(  X 1i X 2 i )
2
ˆ 2 
(  X 1 i )(  X 2 i )   ( X 1i X 2 i )
2
2
2
LOS ESTIMADORES MCO DE UN MRM TIENEN LAS
MISMAS PROPIEDADES
MATEMATICAS Y ESTADISTICAS QUE LOS DE UN MRS
Enfoque Matricial
E (Y / X 1i , X 2 i , X 3 i .. X ki ) 
i= 1,2,3…..n
Yi  ˆ 0  ˆ1 X 1i  ˆ 2 X 2 i  ......  ˆ k X ki  ˆ i
Y1  ˆ 0  ˆ1 X 11  ˆ 2 X 21  ......  ˆ k X k 1  ˆ 1
Y1  ˆ 0  ˆ1 X 11  ˆ 2 X 21  ......  ˆ k X kn  ˆ 1
Y 2  ˆ 0  ˆ1 X 12  ˆ 2 X 22  ......  ˆ k X kn  ˆ 2
………………………………………………………………………………………
Y n  ˆ 0  ˆ1 X 1 n  ˆ 2 X 2 n  ......  ˆ k X kn  ˆ n
Y1 
 ˆ 0  


1
X
X
X
..........
..
X
 ˆ1 
11
21
31
k
1
 


 ˆ
 
Y2  1 X X



X
..........
..
X
ˆ2 
12
22
32
k2 

1

Y3 
 


ˆ 2   ˆ 3 
  1 X 13 X 23 X 33............ X k 3


*
 
..   


.  ...........................................   ˆ3   ˆ 4 

. 
  1 X X


X
..........
..
X
..
1n
2n
3n
kn 
 
.  


 ˆ
Y  
   n   ˆ n 
 n
Y  X *  
(n*1)
(n*K)
(k*1)
(n*1)
Y  X *  
(n*1)
(n*K)
(k*1)
(n*1)
Y= Vector Columna compuesto por las “n”
observaciones de la Variable dependendiente
X = Matriz compuesto por las observaciones de las
Variables independendiente
B = Vector Columna compuesto por los valores de los
parametros desconocidos
U = Vector Columna compuesto por los “n” valores de
las perturbaciones
Estimación de los
parámetros MCO
ˆ
Y  Y  ˆ
ˆ
Y  X *   ˆ


ˆ
2
ˆ
ˆ
  Y Y
ˆ
ˆ  Y  X * 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
  ´   (Y  X  )´( Y  X  )
2
ˆ
  ˆ ´ ˆ  (Y ´ ˆ ´ X ´)( Y  X ˆ )

2
ˆ
  ˆ ´ ˆ  (Y ´ ˆ ´ X ´)( Y  X ˆ )

2
ˆ
  ˆ ´ ˆ  (Y ´Y  ˆ ´ X ´Y  Y ´ X ˆ  ˆ ´ X ´ X ˆ )

2
ˆ
  ˆ ´ ˆ  (Y ´Y  2 ˆ ´ X ´Y  ˆ ´( X ´ X ) ˆ )
Minimizando la función con respecto a los parámetros
 ˆ `ˆ
ˆ
  (Y ´Y  2 ˆ ´ X ´Y  ˆ ´( X ´ X ) ˆ ˆ
 ˆ `ˆ
ˆ
 (  2 X ´Y  2 ( X ´ X ) ˆ )  0
 ˆ `ˆ
ˆ
 (  2 X ´Y  2 ( X ´ X ) ˆ )  0
2 X ´Y  2 ( X ´ X ) ˆ
( X ´X )
1
X ´Y  ( X ´ X )

 n

X ´ X    X 1n
 n

 X 2n
 n

1
X 1n
n

2
X 1n
n

n
X 1n X
2n
X ´Y  ( X ´ X ) ˆ
( X ´ X ) ˆ
1
ˆ
  ( X ´ X ) X ´Y

 2n 
n

 X 1 n X 2 n 
n

2
X
 2n 
n

X


y
 n

n


Xý    X 1 n y n 
 n



X 2n y n



 n

Ejemplo
Yi=GMT= Gasto en materiales de transporte
 X1=GST= Gasto en servicio de transporte
 X2=YD=Ingreso disponible

ˆ o   276 , 9051305
ˆ1  6 ,545801
GMT
1 1 6 ,0 5 2 2
1 2 0 ,1 3 8 2
1 3 3 ,0 9 1 0
1 4 1 ,9 1 5 2
1 4 6 ,2 0 0 2
1 5 9 ,8 6 4 5
1 7 1 ,1 6 2 5
1 7 2 ,4 6 1 7
1 7 3 ,5 5 8 5
2 0 2 ,3 9 8 7
2 3 1 ,1 3 9 3
2 2 6 ,9 7 8 8
2 4 1 ,7 3 2 4
2 .2 3 6 ,6 9 3 2
GST
5 8 ,8 3 4 3
6 6 ,3 6 0 8
6 4 ,3 4 1 7
7 0 ,2 2 6 7
7 0 ,8 4 8 3
6 6 ,9 1 0 0
6 7 ,6 4 0 8
7 0 ,7 0 9 3
7 1 ,9 8 2 0
7 3 ,2 0 5 7
6 8 ,0 8 1 3
7 0 ,0 5 5 7
7 2 ,4 3 7 6
8 9 1 ,6 3 4 2
YD
1 .3 4 0 ,7 3 2 0
1 .4 3 0 ,4 3 0 0
1 .5 3 7 ,1 9 8 0
1 .6 1 4 ,9 1 3 0
1 .7 3 0 ,0 6 6 0
1 .8 8 3 ,1 6 8 0
1 .9 5 7 ,2 0 0 0
2 .0 7 2 ,0 6 4 0
2 .2 4 3 ,1 3 0 0
2 .4 3 4 ,4 0 6 0
2 .5 5 8 ,1 3 2 0
2 .6 1 0 ,2 6 0 0
2 .6 8 8 ,9 1 8 0
2 6 .1 0 0 ,6 1 7 0

 n

X ´ X    X 1n
 n

 X 2n
 n
13


X ´X 
891 , 6342

 26100 , 6162
G S T *G S T
3 4 6 1 ,4 7 4 8 5 6
4 4 0 3 ,7 5 5 7 7 7
4 1 3 9 ,8 5 4 3 5 9
4 9 3 1 ,7 8 9 3 9 3
5 0 1 9 ,4 8 1 6 1 3
4 4 7 6 ,9 4 8 1
4 5 7 5 ,2 7 7 8 2 5
4 9 9 9 ,8 0 5 1 0 6
5 1 8 1 ,4 0 8 3 2 4
5 3 5 9 ,0 7 4 5 1 2
4 6 3 5 ,0 6 3 4 1
4 9 0 7 ,8 0 1 1 0 2
5 2 4 7 ,2 0 5 8 9 4
6 1 3 3 8 ,9 4 0 2 7

X 1n
n

2
X 1n
n

X 1n X
2n
n
891 , 6342
61338 ,94027
1805077 ,855
G S T *Y D
7 8 8 8 1 ,0 2 8 7 1
9 4 9 2 4 ,4 7 9 1 4
9 8 9 0 5 ,9 3 2 5 6
1 1 3 4 1 0 ,0 1 0 8
1 2 2 5 7 2 ,2 3 5
1 2 6 0 0 2 ,7 7 0 9
1 3 2 3 8 6 ,5 7 3 8
1 4 6 5 1 4 ,1 9 5
1 6 1 4 6 4 ,9 8 3 7
1 7 8 2 1 2 ,3 9 5 3
1 7 4 1 6 0 ,9 5 2 1
1 8 2 8 6 3 ,5 9 1 5
1 9 4 7 7 8 ,7 6 6 5
1 8 0 5 0 7 7 ,9 1 5


n

 X 1 n X 2 n 
n

2
 X 2n 
n


X
2n
26100 , 6162 

1805077 ,855

55023883 ,36 
Y D *Y D
1 7 9 7 5 6 2 ,2 9 6
2 0 4 6 1 2 9 ,9 8 5
2 3 6 2 9 7 7 ,6 9 1
2 6 0 7 9 4 3 ,9 9 8
2 9 9 3 1 2 8 ,3 6 4
3 5 4 6 3 2 1 ,7 1 6
3 8 3 0 6 3 1 ,8 4
4 2 9 3 4 4 9 ,2 2
5 0 3 1 6 3 2 ,1 9 7
5 9 2 6 3 3 2 ,5 7 3
6 5 4 4 0 3 9 ,3 2 9
6 8 1 3 4 5 7 ,2 6 8
7 2 3 0 2 8 0 ,0 1 1
5 5 0 2 3 8 8 6 ,4 9
G S T *G M T
6 8 2 7 ,8 4 9 9 5
7 9 7 2 ,4 6 7 0 6
8 5 6 3 ,3 0 1 1 9
9 9 6 6 ,2 3 6 1 8
1 0 3 5 8 ,0 3 5 6
1 0 6 9 6 ,5 3 3 7
1 1 5 7 7 ,5 6 8 4
1 2 1 9 4 ,6 4 6 1
1 2 4 9 3 ,0 8 7 9
1 4 8 1 6 ,7 3 8 5
1 5 7 3 6 ,2 6 4
1 5 9 0 1 ,1 5 8 7
1 7 5 1 0 ,5 1 4 9
1 5 4 6 1 4 ,4 0 2
Y D *G M T
7 8 8 8 1 ,0 2 8 7
9 4 9 2 4 ,4 7 9 1
9 8 9 0 5 ,9 3 2 6
1 1 3 4 1 0 ,0 1 1
1 2 2 5 7 2 ,2 3 5
1 2 6 0 0 2 ,7 7 1
1 3 2 3 8 6 ,5 7 4
1 4 6 5 1 4 ,1 9 5
1 6 1 4 6 4 ,9 8 4
1 7 8 2 1 2 ,3 9 5
1 7 4 1 6 0 ,9 5 2
1 8 2 8 6 3 ,5 9 1
1 9 4 7 7 8 ,7 6 7
1 8 0 5 0 7 7 ,9 1


y
 n

n


Xý    X 1 n y n 
 n



X 2n y n



 n

2236 , 6932


Xý  154614 , 4023

 4723342 , 618




1
ˆ
  ( X ´ X ) X ´Y
13


X ´X 
891 , 6342

 26100 , 6162
 X ´ X 1
 34 , 49338567

ˆ   0 ,5751421696

 0 , 0025057805
891 , 6342
61338 ,94027
1805077 ,855
 34 , 49338567

  0 , 5751421696

 0 , 0025057805
 0 , 5751421696
26100 , 6162 

1805077 ,855

55023883 ,36 
 0 , 5751421696
2236 , 6932


Xý  154614 , 4023

 4723342 , 618
0 , 0025057805
0 , 0100061003 8  0 , 0000572357
 0 , 0000572357
0 , 0025057805
0 , 0100061003 8  0 , 0000572357
 0 , 0000572357
1
0 , 0000007072
0 , 0000007072
2236 , 6932
 
 
* 154614 , 4023
 
  4723342 , 618








 61 ,51809747

ˆ   1,18428107

 0 , 0955112867








Calculo de una matriz inversa
Calculo del determinante X´X, debe ser
X ´ X  1, 23901 E  11
diferente de cero
 Cálculo de la matriz de cofactores
 Cálculo de la matriz transpuesta
 Calculo de la matriz inversa

( X ´X )
1

Transpuest a de la matriz de cofactores
Valor del det er min ante
ESTIMACION POR INTERVALO
En lugar de depender de un solo estimador puntual,
se puede construir un Intervalo alrededor del
estimador puntual, por ejemplo dentro de dos o tres
errores estándar a cada lado del estimado puntual,
tal que este intervalo tenga, digamos 95% de
probabilidad de incluir el verdadero valor del
parámetro


Pr ˆ 2  t  / 2 ee ( ˆ 2 )   2  ˆ 2  t  / 2 ee ( ˆ 2 )  1  
Limites de confianza (valores
críticos)
Coeficiente de
confianza
ˆ 2  t  / 2 ee ( ˆ 2 )
Mientras mas grande sea el error estándar mas grande
será el intervalo

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