Pertemuan 5

Report
Pertemuan 4– Analisis Post Optimal
Riset Operasional - dewiyani
1
PENGANTAR



Setelah solusi optimal ditemukan, sebaiknya tidak
berhenti untuk menganalisis model yang telah
dibuat,agar didapat informasi lain yang lebih berguna.
Analisis yang diperlukan agar didapat informasi lain,
dinamakan Analisis Post Optimal
Terdapat 2 macam Analisis Post Optimal, yaitu Analisis
Dualitas, Analisis Sensitivitas.
Analisis Dualitas



Dilakukan dengan merumuskan dan
menginterpertasikan bentuk dual dari model. Bentuk
dual adalah suatu bentuk alternatif dari model LP yang
telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai sumber
yang biasanya berfungsi sebagai batasan model.
Setiap model LP mempunyai 2 bentuk, yaitu primal dan
dual. Bentuk primal adalah bentuk asli, sedang bentuk
dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari
bentuk primal.
Bentuk dual berguna untuk melihat alternatif
permasalahan dari sisi yang berbeda. Jika dalam suatu
permasalahan, bentuk primal akan menghasilkan solusi
dalam bentuk jumlah laba, maka bentuk dualnya akan
menghasilkan informasi mengenai nilai dari sumber yang
membatasi tercapainya laba tersebut.


Kegunaan utama dari model dual adalah untuk
mendapatkan informasi tentang sumber daya yang
terdapat dalam model. Analisis model dual diperlukan
karena terkadang pengambil keputusan tidak hanya
menaruh perhatian pada laba/rugi, namun juga pada
penggunaan sumber daya.
Jika Fungsi tujuan primal adalah model maksimasi, yang
mempunyai bentuk pertidaksamaan dengan tanda ,
maka bentuk dualnya merupakan suatu model
minimasasi dengan pertidaksamaan yang mempunyai
tanda , dan sebaliknya.
Hubungan antara primal-dual




Variabel dual Y1,Y2,Y3 berhubungan dengan batasan model
primal, dimana untuk setiap batasan dalam primal, terdapat
satu variabel dual.
Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan dalam model
primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.
Koefisien batasan model primal merupakan nilai kuantitas
pada sisi kanan pertidak samaan pada model dual.
Pada bentuk standard, model maksimalisasi primal memiliki
batasan  , sedangkan model minimasi dual memiliki batasan
 .
Contoh 1
Sebuah perusahaan manufaktur memproduksi produk A dan produk B yang dihitung
atas dasar harian. Tiap produk A yang diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar
$160, sedangkan tiap produk B menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi
produk A dan produk B ini tergantung pada tersedianya sumber yang terbatas, yaitu
tenaga kerja, bahan baku, dan luas gudang. Kebutuhan sumber untuk memproduksi
produk A dan produk B, serta jumlah total sumber yang tersedia, adalah sbb
Sumber
Tenaga Kerja
Bahan Baku
Luas Gudang
Produk A
2 jam
18 kg
24 m2
Kebutuhan sumber
Produk B
Jml yang tersedia/hari
4 jam
40 jam
18 kg
216 kg
12 m2
240 m2
Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak jumlah produk A dan produk B yang harus
diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan.
Bentuk Primal
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2  40
18x1 + 18x2  216
24 x1 + 12x2  240
x1,x2  0
Bentuk Dual
Fungsi tujuan : Meminimalkan W= 40 y1+216 y2+240 y3
Fungsi batasan :
2 y1+18y2+ 24y3  160
4y1 +18y2 + 12y3  200
y1,y2,y3  0
Contoh 2:
Bentuk Primal
Fungsi tujuan : Meminimalkan Z = 6x1 + 3x2
Fungsi batasan : 2x1 +4x2  16
4x1 + 3x2  24
x1,x2 0
Bentuk Dual
Fungsi tujuan : Memaksimalkan W = 16y1 +24y2
Fungsi batasan : 2y1 + 4y2  6
4y1 + 3y2  3
y1,y2 0
Menginterpretasikan model primal
(Lihat Contoh 1)
Solusi optimal dari model primalnya adalah sbb :
cj
200
160
0



var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8
4
48
2240
160
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
160
0
1
0
0
200
0
0.5
-1/2
6
20
-20
-1/18
1/9
-2
20/3
-6.66667
0
0
1
0
0
Jumlah produk A yang diproduksi adalah x1 = 4
Jumlah produk B yang diproduksi adalah x2 = 8
Sisa luas gudang adalah S3 = 48 m2
cj
200
160
0




var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8
4
48
2240
x1
x2
S1
S2
S3
0
1
0
160
0
1
0
0
200
0
0.5
-1/2
6
20
-20
-1/18
1/9
-2
20/3
-20/3
0
0
1
0
0
Nilai baris cj-zj di bawah kolom S1 adalah -20. Nilai ini
menunjukkan harga bayangan (shadow prizes=nilai
marginal) dari batasan ke 1 (tenaga kerja). Ini berarti jika
tenaga kerja ditambah 1 jam akan menambah laba sebesar
$20
Nilai baris cj-zj di bawah kolom S2 adalah -20/3. Nilai ini
menunjukkan harga bayangan (shadow prizes) dari
batasan ke 2 (bahan baku)
Laba yang diperoleh adalah sebesar $2240
Untuk batasan ke 3 (luas gudang) pada tabel optimal
terlihat bahwa nilai S3 pada baris cj-zj bernilai nol, artinya
bahwa gudang memiliki shadow prizes sebesar nol, yang
berarti tidak akan ada pembayaran tambahan untuk 1 m2
luas gudang.
Menginterpretasikan
model
dual
Solusi optimal dari model dual adalah:
cj
216
40
var basis kuantitas
y2
y1
zj
cj-zj
20/3
20
2240
40
y1
216
y2
240
y3
0
s1
0
s2
0
1
40
0
1
0
216
0
2
-6
192
-48
-1/9
1/2
-4
-4
1/18
-1/2
-8
-8
• Nilai marjinal dari sumber daya ke 2 (bahan baku) adalah 20/3
• Nilai marjinal dari sumber daya ke 1 (tenaga kerja) adalah 20
• Nilai total minimal untuk sumber adalah 2240

Dari batasan dual yang pertama, yaitu 2y1+18y2+24y3 
160 laba per produk A. Artinya nilai dari ketiga sumber
yang digunakan untuk memproduksi produk A, paling
sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk A.

Dari batasan dual yang kedua, yaitu 4y1+18y2+12y3 
200 laba per produk B. Artinya nilai dari ketiga sumber
yang digunakan untuk memproduksi produk B, paling
sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk B.

Fungsi tujuan untuk model dual adalah meminimalkan Z
= 40y1+216y2+240y3, ini berarti nilai total sumbersumber daya (jam tenaga kerja, bahan baku, gudang)
adalah sebesar : 40.20 + 216 .20/3 + 240.0 = 2240.
Artinya, nilai total minimal untuk kebutuhan sumber
adalah 2240.
Analisis Sensitivitas


Pada masalah sebelumnya, selalu diasumsikan bahwa
parameter dari model ( diantaranya, koefisien fungsi
tujuan, nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi
batasan, dan koefisien batasan ), selalu dianggap pasti,
pdhl dalam kenyataannya tidak selalu demikian, karena
kadang bisa berubah, untuk itu biasanya si pembuat
keputusan ingin mengetahui dampak yang terjadi pada
solusi model, jika parameternya diubah. Analisis
terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap
solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas.
Akan dibicarakan analisis dari dampak perubahan pada
koefisien fungsi tujuan dan nilai kuantitas dari
pertidaksamaan fungsi batasan.
Analisis dari dampak perubahan koefisien
fungsi tujuan

Perhatikan contoh 1 :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2  40
18x1 + 18x2  216
24 x1 + 12x2  240
x1,x2  0
Pertanyaan :
a. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 170, berapa laba yang
didapat ?
b. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 220, berapa laba yang
didapat ?
c. Berapa range pada perubahan koefisien fungsi tujuan dapat dilakukan,
tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?
Jawab:
a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada
fungsi tujuan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat
diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara :
cj
200
170
0
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8
4
48
2280
170
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
170
0
1
0
0
200
0
0.50
-0.5
6
15
-15
- 1/18
1/9
-2
7 7/9
-7 7/9
0
0
1
0
0
Laba optimal berubah menjadi $2280
b. Jika laba A terus dinaikkan menjadi $220, maka yang akan terjadi
adalah :
cj
200
220
0
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8
4
48
2480
220
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
220
0
1
0
0
200
0
0.50
-0.5
6
-10
10
- 1/18
1/9
-2
13 1/3
-13 1/3
0
0
1
0
0
Dari tabel optimal terlihat jika laba dinaikkan menjadi $220, maka
keadaan optimal tidak terpenuhi lagi, karena pada baris cj-zj terdapat
nilai positif.
Untuk itu, pada soal c, akan diselidiki seberapa jauh (range) perubahan
yang dapat dilakukan agar keadaan tetap optimal
c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) sebesar ∆, maka
laba untuk produk A menjadi 160 +∆, sehingga tabel optimal menjadi
:
cj
200
160+∆
0
160+∆
var basis kuantitas x1
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8
4
48
2240+4∆
0
1
0
160+∆
0
200
x2
1
0
0
200
0
0
S1
0
S2
0.5
-1/18
-1/2
1/9
6
-2
20-∆/2 20/3+∆/9
-20+∆/2 -20/3-∆/9
S3
0
0
1
0
0
Agar solusi tetap optimal, maka nilai dari cj-zj harus tetap negatif,
sehingga syarat agar solusi tetap optimal adalah:
i. -20+∆/2 < 0 atau ∆ < 40
ii. -20/3-∆/9< 0, atau ∆ > -60

Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, atau ∆ = c1-160. Dengan
mensubstitusikan nilai c1-160 pada ∆, akan diperoleh :
i. ∆ < 40 , c1-160 < 40, c1 < 200
ii. ∆ > -60, c1-160 > -60, c1 >100
Sehingga nilai range c1 agar solusi tetap optimal adalah :
100 < c1 < 200
Coba selidiki range untuk laba produk B !!!!
Analisis dari dampak perubahan pada
nilai kuantitas batasan
 Perhatikan contoh 1 :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2  40 jam tenaga kerja
18x1 + 18x2  216 kg bahan baku
24 x1 + 12x2  240 m2 luas gudang
x1,x2  0
Pertanyaan :
a. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 35, berapa laba yang didapat
?
b. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 30, berapa laba yang didapat
?
c. Berapa range pada perubahan nilai kanan fungsi batasan dapat dilakukan,
tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?
a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada nilai
kanan fungsi batasan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat
diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara :
cj
200
160
0
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8+(-5).1/2)
4+(-5).(-1/2)
48+(-5).6
160
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
1
0
0
0.5
-1/2
6
-1/18
1/9
-2
0
0
1
atau
cj
200
160
0
160
x1
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
5 1/2
6 1/2
18
2140
0
1
0
200
x2
1
0
0
160
200
0
S1
0.50
- 1/2
6
20
0
S2
-1/18
1/9
-2
60/9
0
S3
0
0
1
0
Dari tabel optimal dapat dilihat, jika jumlah jam tenaga kerja
diturunkan menjadi 35, maka laba juga akan turun menjadi $ 2140.
b. Jika jam tenaga kerja diturunkan lagi menjadi 30, maka :
cj
200
160
0
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
160
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
1
0
0
0.5
-1/2
6
-1/18
1/9
-2
0
0
1
160
x1
200
x2
8+(-10).1/2)
4+(-10).(-1/2)
48+(-10).6
2240
atau
cj
var basis
kuantitas
200
160
0
x2
x1
s3
zj
cj-zj
3
9
-12
2040
0
1
0
1
0
0
160
0
200
0
0
S1
0.50
- 1/2
6
20
-20
0
S2
-1/18
1/9
-2
60/9
-6 2/3
0
S3
0
0
1
0
0
Karena nilai kuantitas menjadi negatif, maka tdk memenuhi syarat
sebagai simpleks.
c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) pada nilai kanan
fungsi batasan menjadi 40 +∆, maka tabel optimal menjadi :
cj
200
160
0
var basis kuantitas
x2
x1
s3
zj
cj-zj
8+∆/2
4-∆/2
48+6∆
2240+20∆
160
x1
200
x2
0
S1
0
S2
0
S3
0
1
0
160
0
1
0
0
200
0
0.5
-1/2
6
20
-20
-1/18
1/9
-2
20/3
-6.66667
0
0
1
0
0
Agar syarat simpleks tetap berlaku, maka harus memenuhi:
i. 8 + ∆/2  0, atau ∆  -16
ii. 4 - ∆/2  0, atau ∆  8
iii. 48 + 6∆  0, atau ∆  -8
Karena q1 = 40 + ∆, atau ∆ = q1 – 40, maka jika disubstitusikan
menjadi :
i. ∆  -16, atau q1 – 40  -16, atau q1  24
ii. ∆  8, atau q1 – 40  8, atau q1  48
iii. ∆  -8, atau q1 – 40  -8, atau q1  32
Sehingga : 32  q1 48
Bagaimana untuk nilai kanan batasan kedua???
Perusahaan pembuat anggur Mountain Laurel, menghasilkan 2 jenis minuman anggur (wine), yaitu Mountain Blanc dan
Mountain Red. Perusahaan itu mempunyai stok buah anggur sebanyak 3.600 kg . Untuk membuat satu drum Mountain Blanc ,
dibutuhkan 4 kg buah anggur, satu drum Mountain Red dibutuhkan 8 kg anggur . Gudang penyimpanan yang ada mempunyai
kapasitas sebesar 800drum. Perusahaan tersebut mempunyai tenaga kerja yang setara dengan kapasitas kerja sebanyak 3.000
jam tenaga kerja. Untuk membuat Mountain Blanc diperlukan waktu sebanyak 1 jam kerja dan Mountain Red sebanyak 2 jam
kerja. Berdasar data penjualan yang lalu dapat diketahui bahwa permintaan untuk Mountain Blanc tidak lebih banyak dari dua
kali tingkat permintaan jenis anggur yang lain. Untuk setiap drum Mountain Blanc yang terjual, didapatkan profit sebesar $
7.500 dan untuk Mountain Red sebesar $ 8.200
a. Buatlah formulasi model dari permasalahan di atas, agar dapat memaksimalkan laba yang didapat oleh pembuat anggur.
b. Apabila tabel optimalnya diketahui sebagai berikut :
7.500
8.200
0
0
0
0
cj
Var.basis
Kuantitas
X1
X2
S1
S2
S3
S4
7.500
X2
225
0
1
0,0625
0
0
-0.25
0
S2
125
0
0
-0,1875
1
0
-0.25
0
S3
2.100
0
0
-0,25
0
1
0
8.200
X1
450
1
0
0,125
0
0
0.5
zj
5.220.000
7.500
8.200
1.450
0
0
1.700
cj-zj
0
0
-1.450
0
0
-1.700
i.
Tentukan berapa ton masing masing anggur harus diproduksi agar mencapai laba yang maksimal, dan berapa
laba maksimalnya ?
ii.
Bila perusahaan berencana untuk menurunkan tingkat profit Mountain Red menjadi $ 7.600, adakah akibatnya
terhadap Solusi Optimal ? Jelaskan
iii.
Bila perusahaan berencana untuk menaikkan stok buah anggur menjadi 4.000 kg, adakah akibatnya terhadap
Solusi Optimal ? Jelaskan
iv.
Sumber daya manakah yang tersisa, dan berapakah sisanya?
v.
Bila perusahaan dapat menambah satu unit dari salah satu sumber daya produksi yang ada, sumber daya mana
sajakah yang paling menguntungkan untuk ditambah ? Jelaskan jawaban Anda.

similar documents