Pertemuan 3

Report
Pertemuan 3– Menyelesaikan Formulasi Model
Dengan Metode Simpleks
Riset Operasional- dewiyani
1



Lebih baik digunakan pada persoalan dengan
variabel keputusan lebih dari 2 variabel.
Ditemukan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947,
dengan mendasarkan diri pada iterasi (penghitungan
ulang)
Formulasi model harus diubah menjadi bentuk baku
(standard form)
Bentuk baku (standard form):



Semua fungsi batasan berupa persamaan dengan
bilangan pada sisi kanan non negatif.
Semua variabel keputusan non negatif
Fungsi tujuan dapat memaksimalkan atau
meminimalkan.
Hal yang harus diperhatikan dalam
mengubah menjadi bentuk baku:


Fungsi batasan harus diubah menjadi tanda “=“
dengan menambahkan slack variabel
Fungsi tujuan, disesuaikan dengan fungsi batasan.
Program Linear Dasar

Ciri ciri :
- Fungsi tujuan : memaksimalkan
- Fungsi pembatas semua bertanda 
- Nilai kanan pada fungsi pembatas
bertanda positif
selalu
LANGKAH LANGKAH DALAM METODA
SIMPLEKS ( untuk PL Dasar)
1.Mengubah fungsi tujuan menjadi bentuk implisit
2.Mengubah fungsi batasan menjadi bentuk persamaan
dengan menambahkan variabel slack (s).
3.Membentuk suatu tabel simpleks dengan kolom(z, s1,
s2….sm) dan baris (z, x1,x2, …xn, s1, s2, ….sm, solusi)
4.Menentukan tabel 0, dengan mengisikan seluruh koef.
ke dalam tabel simpleks.
5. Menentukan tabel 1 dengan :
a.Menentukan kolom kunci di mana terdapat nilai positif
terbesar pada baris Cj-Zj
b.Menentukan baris kunci yaitu baris dimana mempunyai
nilai ratio positif terkecil.Ratio adalah hasil bagi antara
nilai kolom solusi dengan nilai kolom kunci, pada
masing-masing baris.
c.Menentukan angka kunci, yaitu perpotongan baris
kunci dan kolom kunci.
d. Mengubah baris kunci dengan cara membagi dengan
angka kunci (nilai angka kunci menjadi 1)
e. Sedang untuk baris lain diubah nilainya dengan
mengurangkan dengan nilai baris tersebut dengan
angka kunci dikalikan baris kunci baru sehingga nilai
kolom kunci menjadi 0.
6.Buat tabel selanjutnya sampai semua harga baris z
bernilai 0 atau positif
7. Nilai optimal adalah nilai z pada kolom solusi, yg
terjadi pada xi pada kolom solusi tabel terakhir.
Contoh 1 : Contoh Kombinasi Produk
Fungsi tujuan :
Memaksimalkan Z = 4x1 + 5x2
Fungsi batasan :
x1 + 2x2  40
4x1 + 3x2  120
x1,x2  0
Langkah :
1.Ubah formulasi model menjadi bentuk baku:
Fungsi batasan :
x1 + 2x2 + S1 = 40
4x1 + 3x2 + S2 = 120
Fungsi tujuan :
Z = 4x1 +5x2 + 0 S1 + 0 S2

Untuk menyelesaikannya, diubah dalam
bentuk matriks yang berisi variabel basis dan
variabel non basis.
 1 2 1 0


A =  4 3 0 1


x1 x2 S1 S2
Var. Non
Basis
Var Basis

Buat tabel simpleks dasar (iterasi 0)yang berbentuk :
Cj
Variabel Basis Kuantitas
x1
x2
S1
S2
Zj
Cj-Zj

Isi sesuai dengan koefisien pada formulasi modelnya.
S1
S2
Keterangan:
Cj
Variabel Basis
Kuantitas
x1
x2
S1
S2
S1
S2
Zj
Cj-Zj





Tabel 0 menunjukkan kondisi pada titik original.
Cj adalah koefisien fungsi tujuan, yang mencerminkan
kontribusi pada keuntungan ( atau biaya), untuk setiap
variabel xj dan Sj.
Isi kolom kuantitas pada baris variabel basis dengan
nilai kanan pada fungsi batasan
Penghitungan pada baris Zj dengan jalan mengalikan
tiap nilai kolom Cj (pada sisi kiri) dengan tiap kolom
nilai variabel (dibawah x1,x2,S1,S2) kemudian
menjumlahkan tiap set nilainya satu persatu.
Kemudian lengkapi tabel yang ada, sehingga :
2. Isi tabel 0 (Iterasi 0)
Cj
0
0
Variabel Basis Kuantitas
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
Setelah tabel 0 terisi, kemudian tentukan apakah solusi sudah optimal
dengan cara mengecek baris cj-zj. Jika cj-zj sudah nol atau negatif, maka
solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, yang berarti
belum optimal, buat tabel 1, dengan langkah sebagai berikut :
3. Buat tabel 1 (iterasi 1) dengan langkah :

Menentukan kolom pemutar/kolom pivot dengan cara
memilih kolom yang memiliki nilai positif terbesar pada baris
Cj-Zj. Kolom pivot ini digunakan untuk menentukan variabel
non basis yang akan masuk ke variabel basis
Cj
Variabel Basis
Kuantitas
0
0
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
kolom pivot
Menentukan baris pivot dengan cara menentukan rasio pada
masing-masing baris. Rasio didapat dengan membagi nilai-nilai
pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pivot.
Setelah itu, pilih baris dengan rasio non negatif terkecil. Baris
pivot ini digunakan untuk menentukan variabel basis yang
akan keluar dari variabel basis.
Perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot menghasilkan
nilai pivot
Cj
0
0
Variabel Basis Kuantitas
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
kolom pivot
Rasio
20
40
baris pivot

Variabel yang menjadi kolom pivot, masuk
menjadi variabel non basis, sehingga kerangka
tabel menjadi :
Cj
Variabel Basis
5
0
x2
S2
Zj
Cj-Zj
Kuantitas
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
Rasio
Cj
Variabel Basis
Kuantitas
0
0
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
Rasio
20
40
baris pivot
kolom pivot

Mengubah nilai baris pivot yang baru dengan cara
:
nilai baris pivotlama
Nilai baris pivotbaru 
nilai pivot
Cj
Variabel Basis
Kuantitas
0
0
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
Rasio
20
40
Cj
Variabel Basis
Kuantitas
0
0
S1
S2
Zj
Cj-Zj
40
120
0
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
1
4
0
4
2
3
0
5
1
0
0
0
0
1
0
0
Rasio
20
40
baris pivot
kolom pivot

Menghitung nilai baris lainnya dengan cara :
Nilai baris tabel baru = nilai baris tabel lama –
(koef kolom pivot yg berhubungan x
nilai baris pivot tabel baru yg berhub )
Tabel 1 lengkap terisi:
Cj
5
0
Variabel Basis Kuantitas
x2
S2
Zj
Cj-Zj
20
60
100
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
0.5
2.5
2.5
1.5
1
0
5
0
0.5
-1.5
2.5
-2.5
0
1
0
0
Rasio
4. Menentukan apakah solusi sudah optimal dengan cara
mengecek baris cj-zj. Jika cj-zj sudah nol atau negatif, maka
solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif,
maka ulangi lagi langkah 3 dan buat tabel 2 dst.
4. Buat tabel 2 (iterasi 2)
Untuk mengisi tabel 2, ulangi langkah 3,sehingga tabel 2
seluruhnya terisi.
Cj
5
0
Variabel Basis Kuantitas
x2
S2
Zj
Cj-Zj
20
60
100
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
0.5
2.5
2.5
1.5
1
0
5
0
0.5
-1.5
2.5
-2.5
0
1
0
0
kolom pivot
Rasio
40
24
baris pivot
Tabel 2


Cj
Variabel Basis
Kuantitas
5
4
x2
x1
Zj
Cj-Zj
8
24
136
4
x1
5
x2
0
S1
0
S2
0
1
4
0
1
0
5
0
0.8
-0.6
1.6
-1.6
-0.2
0.4
0.6
-0.6
Karena pada baris Zj – Cj semua sudah non
positif, maka tabel sudah optimal
Diperoleh solusi :
x1 = 24, x2 = 8 dan Z = 136.
Rasio
Contoh 2 :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 60x1+30x2+20x3
Fungsi batasan : 8x1+6x2+x3  48
4x1+2x2  20
2x1+1,5x2+1,5x3  8
x2  5
x1,x2,x3 0
Contoh 3:
Perusahaan sepatu IDEAL membuat 2 macam sepatu, macam pertama merk A dengan
sol dari karet dan macam kedua merk B dengan sol dari kulit.
Untuk membuat sepatu sepatu itu, perusahaan memiliki 3 macam mesin: Mesin I
khusus membuat sol dari karet, mesin II khusus membuat sol dari kulit dan mesin III
membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol .
Setiap lusin sepatu merk A mula mula dikerjakan di mesin I selama 2 jam, kemudian
tanpa melalui mesin II, terus dikerjakan mesin III selama 6 jam. Untuk sepatu merk B
tidak diproses di mesin I, tetapi di mesin II selama 3 jam kiemudian di mesin III
selama 5 jam.
Jam kerja maks tiap hari untuk mesin I adalah 8 jam, mesin II adalah 15 jam, dan
mesin III adalah 30 jam. Sumbangan laba untuk setiap lusin sepatu A adalah Rp
30.000,- , sedang merk B adalah Rp 50.000,-.
Berapa lusin sepatu A dan B diproduksi, agar laba maksimum?
Kasus Khusus:
Solusi optimal majemuk
 pada tabel optimal, untuk baris cj-zj terdapat
angka 0 pada kolom yang bukan variabel basis
2. Tidak ada daerah fisible :
 pada tabel optimal, masih ada variabel artificial
3. Solusi tidak terbatas
 semua rasio bertanda negatif atau nol, yang berarti
tidak ada titik yang dibatasi.
1.
1. Solusi optimal majemuk

Contoh :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 4x1 + 3x2
Fungsi batasan : x1 + 2x2  40
4x1 + 3x2  120
x1,x2  0
Tabel optimal :
4
cj
var basis kuantitas
x1
0
S1
10
0
4
x1
30
1
zj
120
4
cj-zj
0
3
x2
5/4
3/4
3
0
0
S1
1
1
0
0
0
S2
-1/4
1/4
1
-1
2. Tidak ada daerah fisible
Nilai pada baris Cj-zj sudah negatif atau nol, tapi masih
terdapat variabel artificial
3. Masalah solusi tdk terbatas

Contoh:
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 3x1 + 6x2
Fungsi batasan : 3x1 - 2x2  6
3x1 – 3x2  9
x1,x2  0
Tabel iterasi 0
3
cj
var basis kuantitas
x1
0
S1
3
3
0
S2
6
3
Zj
0
0
Cj-Zj
3
Semua rasio bertanda negatif.
6
x2
-2
-3
0
6
0
S1
1
0
0
0
0
S2
0
1
0
0
Contoh Soal
1. x1 + 2 x2  40
4 x1 + 3 x2  120
x1,x2  0
Memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2
2. 8x1 + 6x2 + x3  48
4x1 + 2x2  20
2x1 + 1,5 x2 + 1,5 x3  8
x2  5, x1,x2, x3  0
Memaksimumkan Z =
60x1+30x2+20x3
3. Fungsi batasan : x1+ x2  4
x1 - x2  6
x1,x2  0
Fungsi tujuan :
Meminimumkan z = 2x1 - 3x2
Catatan :
untuk menyelesaikan persoalan LP dengan fungsi
tujuan meminimumkan Z, dilakukan dengan cara
menginversikan fungsi tujuan ( dikalikan minus 1 )
4. Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder
dan amplifier yang proses nya dilakukan di 2 statiun kerja
yaitu perakitan dan pengetesan. Setiap untuk tape recorder
memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan.
Sedangkan setiap unit amplifier memerlukan 4 jam
perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di
departemen perakitan adalah 72 jam/minggu. Sedangkan
departemen pengetesan adalah 48 jam/minggu. Kontribusi
profit dari tape recorder adalah Rp 25.000,-/unit, dan dari
setiap unit amplifier adalah Rp 50.000,-. Bagaimanakah
formulasi persoalan di atas agar dapat ditentukan strategi
produksi terbaik yang memberikan kontribusi profit
maksimum
Contoh 5
Sebuah perusahaan manufaktur memproduksi produk A dan produk B yang dihitung
atas dasar harian. Tiap produk A yang diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar
$160, sedangkan tiap produk B menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi
produk A dan produk B ini tergantung pada tersedianya sumber yang terbatas, yaitu
tenaga kerja, bahan baku, dan luas gudang. Kebutuhan sumber untuk memproduksi
produk A dan produk B, serta jumlah total sumber yang tersedia, adalah sbb
Sumber
Tenaga Kerja
Bahan Baku
Luas Gudang
Produk A
2 jam
18 kg
24 m2
Kebutuhan sumber
Produk B
Jml yang tersedia/hari
4 jam
40 jam
18 kg
216 kg
12 m2
240 m2
Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak jumlah produk A dan produk B yang harus
diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan.
33

похожие документы