Descarga

Report
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Programa de Asignatura.
 Fundamentos de
Matemática.
 Clave
: MME - 312
 Prerrequisito. : Licenciatura o su
Equivalente.
 Número de Créditos : 3
 # Horas Semanales : 3
 Horas Teóricas
: 3 Prácticas: 0
 Aula
:
 Horario
: Sábado de 8:00 AM a 4:00
PM.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Introducción.
 Algunas frases para empezar.
 Se aprende haciendo;
 El esfuerzo y la dedicación aseguran el
conocimiento;
 Las matemáticas entran por las manos;
 Presentación del Programa y discusión
de Reglas internas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.




■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático.
Para entender y aprender las matemáticas es necesario conocer su idioma,
pues en caso contrario, aunque se digan cosas muy sencillas, no se
entenderán.
Hace falta conocer su idioma, sus palabras clave, los objetos que se utilizan
y las herramientas necesarias para manejar esos objetos.
El idioma que utiliza la matemática es formal y abstracto. Mezcla palabras,
números, símbolos, figuras y conceptos que tienen un “significado
matemático”, que no siempre coincide con el significado en el lenguaje
normal, castellano o de cualquier otro idioma.
La Matemática es una ciencia lógica y deductiva. La deducción lógica exige
cumplir unas reglas muy precisas: “si no se cumplen, no funciona”
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático.
 Cuando hablamos de “lenguaje” nos referimos al proceso cognitivo que




lleva a una actividad simbólica o de la representación del mundo.
A través de la actividad simbólica se expresan un conjunto de sonidos y
palabras con base en el pensamiento.
“Un símbolo es un sonido, o algo visible, conectado mentalmente a una
idea. Esta idea es el significado del símbolo.” Skemp (1999)“
Según Skemp, un símbolo debería tener asociado un solo significado, o
bien, que a varios símbolos le puede corresponder un mismo significado.
El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de
símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático.
■ Objetos matemáticos.
 Con la palabra objeto se quiere designar las cosas (elementos) que se
emplean en Matemáticas.
 Hay objetos aritméticos, geométricos, del análisis, de la estadística…
Así, un número, un ángulo, una recta, un intervalo, un diagrama de
barras, un paréntesis, el signo de igualdad o cualquier otro símbolo, una
ecuación o un exponente, pueden ser considerados objetos matemáticos.
 En general, los objetos matemáticos suelen darse mediante una
definición y unido a la definición puede ir el procedimiento, el cómo se
hace; y también las propiedades que cumplen.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
■ Más sobre Objetos matemáticos.
 Algunas de esas propiedades se llaman axiomas o postulados, y se
aceptan sin demostrar, supuestamente por su evidente certeza. (Por
ejemplo, la geometría clásica se asienta sobre cinco axiomas, conocidos
como postulados de Euclides.)
 Los axiomas son los principios, algo similar a las reglas de cualquier
juego, que son imprescindibles para poder jugar. Así, en el ajedrez cada
pieza se mueve según una regla no discutible, y para jugar hay que
aceptar dichas reglas.
 A partir de esos axiomas, y siempre por deducción lógica, se obtienen
otras propiedades o teoremas. Se construye así una teoría matemática.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
■ El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático.
■ En definitiva, y como resumen de esta referencia, para
aprender a trabajar matemáticamente hay que saber tres
cosas:
 1. Qué tipo de objetos se emplean: para qué se usa cada uno.
 2. Cómo se manejan, es decir, qué propiedades cumplen.
 3. Cómo se relacionan entre ellos: operaciones. La
operación se define; las propiedades generan resultados.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tres conceptos claves.
 Una demostración es el proceso lógico que asegura que una
determinada propiedad es cierta siempre, para cualquier valor del objeto
considerado.
 Una comprobación es la verificación de que una propiedad (una
igualdad, por ejemplo) es cierta para un caso particular. Pero una
comprobación, en modo alguno, es equivalente a una demostración.
 Una conjetura, una suposición, por muy razonable que parezca, sólo
puede ser admitida como cierta cuando se llegue a demostrar por
deducción lógica. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach afirma que
“todo número par mayor que 2 es la suma de dos números
primos”.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 El Método Axiomático.
 El método axiomático (o axiomática) consiste en la
formulación de un conjunto de proposiciones o
enunciados, llamados axiomas o postulados, los cuales
guardan entre sí una relación de deducibilidad, y sirven
de hipótesis o de condiciones para un determinado
sistema.
 El objeto de un sistema axiomático es utilizar un
pequeño número de propiedades y precisar cómo
deducir de ellas todas las demás.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.

El Método Axiomático.
 En los fundamentos de las Matemáticas, está la teoría de los conjuntos y
la Lógica.
 Esta fundamentación ha dado origen a la matemática moderna que ha
supuesto una revolución. Esta revolución surgió para dar al conjunto de
los conocimientos matemáticos una mayor consistencia y coherencia.
Tal fue la intención de sus creadores, Hilbert, Cantor y Russell.
 También fueron importantes las aportaciones de los matemáticos
franceses reunidos bajo el nombre de Nicolás Bourbaki.
 Para todos ellos era más importante enunciar y demostrar con el máximo
rigor los principales teoremas de las Matemáticas que descubrir otros
nuevos.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.

El Método Axiomático.
 Este nuevo enfoque de las Matemáticas, concibe a esta
ciencia como un sistema formal axiomático.
 Si conseguimos entender estas palabras, habremos
comprendido la estructura de las Matemáticas.
 Un sistema formal axiomático, está constituido por un
conjunto de proposiciones llamadas tesis del sistema, de
las que unas son los axiomas y otras los teoremas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 El Método Axiomático.
 Estructura de un sistema formal axiomático:
 I. Parte morfológica:
 Un conjunto de componentes primitivos.
 Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.
 Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo, a
partir de los componentes primitivos, se pueden construir
nuevos componentes llamados derivados.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Estructura de un sistema formal axiomático:
 II. Parte Axiomática:
 1. Un conjunto de axiomas.
 2. Un conjunto de definiciones.
 3. Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
 4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en
los tres conjuntos anteriores.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 El Lenguaje Matemático y el Método Axiomático.
 Leer más en:
 http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematicoaplicaciones/lenguaje-matematicoaplicaciones.shtml#ellenguaja#ixzz2KFUTGXXp
 http://www.monografias.com/trabajos75/metodos-ciencias/metodos-
ciencias2.shtml#ixzz2KFbarUVx
 http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-
aplicaciones/lenguaje-matematicoaplicaciones.shtml#ellenguaja#ixzz2KFTuVC8A
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 1.2. Proposiciones Lógicas. Conceptos básicos:
 Lógica: Es el estudio del razonamiento humano, que se
expresa a través de argumentos orales o escritos y cuyo
propósito es la búsqueda de las normativas para evaluar lo
correcto o incorrecto de esos argumentos.
 Dos Historias de la Lógica: Antes del siglo xx (desarrollo
lento y cargado de enfrentamientos -Aristóteles y otros-);
Después del siglo xx (desarrollo dinámico -Lógica Clásica o
Moderna- Bertrand Russell y Alfred Whitehead).
 Lógica Post-moderna o no Clásica.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos (continuación):
 Deducción (Aristóteles). Es un discurso (logos) en el cual,
suponiendo ciertas cosas, resulta de necesidad otra cosa
diferente de las cosas supuestas sólo por haber sido éstas
supuestas (primeros analíticos)
 Cada una de las cosas supuestas es una Premisa (prótasis) –
una premisa es cualquier “supuesto” conocido por quien
deduce-. (definiciones, axiomas, teoremas, entre otros).
 Lo que “resulta de necesidad” es la conclusión
(sympérasma).
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos (continuación):
 Enunciados generales (frases)…Proposiciones
 Un argumento es una secuencia finita de enunciados. El último
enunciado de la secuencia es la conclusión, mientras que los
demás son las premisas del argumento.
 Un argumento es deductivamente válido si y sólo si es imposible
que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. En caso
contrario es deductivamente invalido.
 Un argumento es deductivamente consistente si y sólo si es
deductivamente válido y todas sus premisas son verdaderas. En
caso contrario es deductivamente inconsistente.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos -Argumentos inductivos-:
 Un argumento es inductivamente fuerte si y sólo si, su
conclusión es altamente probable dado el grado de verdad
de las premisas.
 Los argumentos por analogía (por comparación) y por
causalidad (existencia de causas), proporcionan los
ejemplos más claros de argumentos inductivamente fuertes.
 Un argumento es inductivamente consistente si y sólo si,
es inductivamente fuerte y sus premisas son verdaderas.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos -Silogismos-:
 Silogismo: Es un argumento deductivo en el que la conclusión se
infiere de dos premisas.
 Enunciado categórico: Es aquel que afirma o niega que una
clase, conjunto o categoría de cosas, está incluida en otra clase,
conjunto o categoría, total o parcialmente.
 Silogismo categórico : Es aquel en el que las premisas y la
conclusión son enunciados categóricos.
 Sorites: Es cuando en un argumento deductivo sólo se incluyen
las premisas y la conclusión, sin hacer explícitos los eslabones de
la cadena silogística, el argumento resultante.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos -Entimemas-:
 Un entimema es un argumento en el cual una o más de sus
partes no se hace(n) explícita(s).
 El análisis de un entimema depende en gran medida del
contexto en que aparece y de la información de la que
disponga el que la maneja.
 Dicho análisis debe estar guiado por el principio de
caridad, que consiste en que al completar el argumento
debemos propender para que sea lo mejor posible.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Conceptos básicos -Consistencia lógica-:
 Un conjunto de enunciados es lógicamente consistente si y sólo si, es
posible que todos los miembros del conjunto sean verdaderos. Es
lógicamente inconsistente si esto es imposible
 Actividad para discusión en el aula.
 A. Construir un ejemplo y un contraejemplo de:
 1. Argumento deductivamente válido;
 2. Argumento deductivamente consistente;
 3. Argumento inductivamente fuerte;
 4. Argumento inductivamente consistente;
 B. Construir un ejemplo de:
 1. Silogismo;
 2. Conjunto de enunciados lógicamente consistentes.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Lógica Proposicional.
 Simbolización de Proposiciones
 Conectivos lógicos: Proposiciones Simples y Compuestas.





Nombre
Significado en Castellano
La Conjunción.
(y)
La Disnjunción inclusiva.
(y/o)
La Disnjunción exclusiva.
(“o”)
La Condicional o Implicación. (se, entonces)
 La Doble Cond. o doble implic. (si y sólo si)
 El Operador de negación.
Notación
٨.
۷.
v.
→.
↔.
¬ o ~.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Valor de verdad y tablas de verdad.
 Los conectivos lógicos, junto al operador de negación
componen el conjunto de los operadores lógicos.
 Tabla para la Conjunción:
p
q
p&q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tabla para la Disyunción inclusiva:
p
q
pvq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tabla para la Disyunción exclusiva:
p
q
pv q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tabla para la Condicional o Implicación:
P
q
P→q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tabla para la Bicondicional o Doble-implicación.
p
q
P↔q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 La negación de p:
p
~p
1
0
0
1
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tautologías y Contradicciones:
 A partir de las tablas simples ya tratadas se pueden construir




otras tan amplias como sea necesario, que son muy útiles
para demostrar la “certeza” de las denominadas funciones
proposicionales.
Ejemplo. Demostrar, a través de una tabla que la operación
condicional es distributiva con respecto a la operación de
conjunción.
Esta propiedad se representa a continuación como:
p→(q & r) ≡ (p→q) & (p→r).
También podría ser: [p→(q & r)] ↔ [(p→q) & (p→r)].
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tautologías y Contradicciones :
 Una expresión como la anterior se llama función




proposicional.
Podría ponerse como P(p,q,r).
Una función proposicional como la demostrada, que es
siempre verdadera sin importar el valor de las variables
proposicionales que la componen, se llama Tautología.
Todas las leyes y teoremas de matemáticas son expresiones
tautológicas.
A veces se dice que las expresiones Tautológicas son
aquellas funciones proposicionales que en su tabla de
verdad, poseen sólo 1 o V en toda su columna principal.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Tautologías y Contradicciones:
 Ejercicio resuelto 1: Demuestre que
[(p→q)&(q→r)]→(p→q) es tautológica.
 Ejercicio resuelto 2: Demuestre que [(p→q) & p] →q es
tautológica.
 Ejercicio resuelto 3: Demuestre que
~{[(p→q) & p] →q}
es tautológica.
 Como se observa la columna final cambia totalmente,
poniendo 0 o F en toda ella. Estas funciones se llaman
contradictorias o contradicciones.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Contingencias:
 Si al construir la tabla de una función proposicional, su
columna principal produce 1 y 0 o V y F, esta se llama
contingencia.
 Ejercicio. Demostrar que [(p v q) → r] ↔ ¬r, es una
contingencia.
 Ejercicio. Demostrar que [(p & q) → r] ↔ (¬r v ~p), es
una contingencia.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Leyes del Algebra de proposiciones. Resumen:
 1. Leyes de Idempotencia. a) (pvp)↔p; b) (p&p) ↔ p.
 2. Leyes asociativas. a) [(pvq)vr]↔[pv(qvr)]; b) [(p&q)&r]↔[p&(q&r).
 3. Leyes conmutativas. a) (pvq)↔(qvp); b) (p&q) ↔ (q&p).
 4. Leyes distributivas.
a) pv(q&r)↔(pvq)&(pvr);
b) p&(qvr)↔(p&q)v(p&r);
 5. Leyes de identidad. a) pv0 ≡ p, pv1 ≡ 1; b) p&1 ≡ p, p&0 ≡ 0.
 6. Leyes del complemento. a) pv~p ≡ 1, ~~p ≡ p; b) p&~p ≡ 0,
~(1) ≡ 0 y ~(0) ≡ 1.
 7. Leyes de De’Morgan. a) ~(pvq) ≡ ~p & ~q: b) ~(p&q) ≡ ~p v ~q
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Reglas de inferencia lógica. Resumen:







(Explicar cada una)
I. Modus ponendo ponens (PP). [(p→q) & p]→q.
II. Doble negación (DN). p ≡ ~~p.
III. Modus tollendo tollens (TT). [(p→q) & ~q]→~p.
IV. Ley de Adjunción (A). Se tienen p y q, entonces
p&q o q&p.
V. Ley de Simplificación (S). De p&q se saca p, q.
VI. Modus tollendo ponens (TP). De pvq, y ~q, se
concluye p.
VII. Ley de Adición (LA). Tenemos p, entonces pvr, etc.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Más reglas de inferencia lógica.
 VIII. Ley del silogismo hipotética (HS). De p → q y q → r, se puede concluir



-
que p → r .
IX. Ley del silogismo disyuntivo (DS). De p v q y p → r y q → s, se pude
deducir r v s, o se pude deducir s v r.
X. Ley del simplificación disyuntiva (DP). De p v q y p → r y q → s, se
pude deducir r v s, o se pude deducir s v r.
XI. Ley de las proposiciones bicondicionales (LB). De p ↔ q, se pueden
deducir:
p → q y q → p;
(p → q) & (q → p);
Y, si se tienen p → q y q → p, entonces se concluye que p ↔ q.
XII. Regla de premisa (P). Se puede introducir convenientemente una premisa
en cualquier punto de una deducción lógica.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Más reglas de inferencia lógica.
 XIII- Regla de la demostración condicional
(CP). Dice así:
 Si es posible deducir una proposición s de otra
proposición r y un conjunto de premisas, entonces
se puede deducir sólo del conjunto de premisas la
proposición condicional r → s.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Práctica # 1 (valor 5%):
 Hacer los ejercicios de texto Introducción a la Lógica Suppes y Hill (3ro del
-
programa).
Parte B (4, 5, 6) página 61.
Parte C (4, 5, 6, 7) página 69.
Parte B (del 9 al 13) página 76.
Parte C (del 5 al 9) página 77.
Parte D (del 5 al 8) página 84.
Parte F (del 4 al 7) página 88.
Parte E (del 5 al 9) página 93.
Parte F (del 4 al 8) página 96.
Parte E (del 5 al 8) página 105.
Parte D (del 7 al 10) página 109.
Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad I. Elementos de lógica matemática.
 Cuantificadores:
 El cuantificador universal. Se denomina así a la simbología que muestra
las características más universales (generales) de las partes de un todo
(por ejemplo, de los elementos de un conjunto). El símbolo más
comúnmente empleado es ++.
 El cuantificador existencial. Se denomina así a la simbología que
muestra la existencia de algún elemento con ciertas características
(algunos o un único). Los símbolos más comúnmente empleado son ++.
 El cuantificador nulo. Se denomina así a la simbología que muestra la no
existencia de características en un elemento. El símbolo más
comúnmente empleado es ++.
 Relación entre cuantificadores.

similar documents