Progressioni geometriche e modello di Malthus

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PROGRESSIONI
GEOMETRICHE E MODELLO DI
MALTHUS
Definizioni
Definizione di: Progressione geometrica
Una progressione geometrica è una successione
numerica tale che il rapporto tra un termine, escluso
il primo, e il precedente è costante.
 Definizione di: Ragione di una Progressione
geometrica
In una Progressione geometrica il rapporto costante
tra un termine e il suo precedente prende il nome di
ragione.

Generalmente la ragione di una progressione geometrica
si indica con la lettera “q”.
Sia dunque:
a1 a2 a3 … an …
Una progressione geometrica. Per definizione si ha
a2/a1=q
a3/a2=q …
e, generalizzando, si ottiene
an/an-1=q con n>1
Dalla precedente relazione si ricava la formula generale
an = an-1 x q
E quindi, dalla formula precedente, si può dire che in
una progressione geometrica un termine è uguale al
precedente moltiplicato per la ragione.
Se di una progressione si considerano solo n termini
consecutivi, si parla di progressione finita.
ESEMPI
1) I Numeri
5 10 20 40 …
sono in progressione geometrica perché 10/5 = 20/10 = 40/20 = … = 2
La ragione è 2
2) La successione 3, 2, 4/3, 8/9, … è una progressione geometrica di ragione
2/3; infatti è : 2 : 3 = 2/3 4/3 : 2 = 2/3 8/9 : 4/3 = 2/3 …
Termine generale di una progressione
geometrica
Osserviamo che se la ragione è positiva, tutti i termini sono
dello stesso segno; se è negativa, sono di segno alterno.
Supporremmo, per ora, q > 0 e a > 0 e quindi considereremo
progressioni a termini positivi.
Osserviamo che:
 Se q = 1, tutti i termini della progressione sono uguali tra
loro, cioè la progressione è costante; non considereremo
questo caso e, d ‘ora in avanti, supporremo q 1;
 Se q > 1, ogni termine è maggiore del precedente: la
progressione è crescente;
 Se 0 < q < 1, ciascun termine è minore del precedente: la
progressione è decrescente
1
TEOREMA
In una progressione geometrica a , a2, … , an, … il termine
generale è dato dalla formula
1
an = a1 x q ^n-1^
Ci proponiamo di determinare un’espressione dell’ennesimo
termine. Per definizione si ha:
a2 = a1 x q a3 = a2 x q … an = an-1 x q
Moltiplicando membro a membro queste n -1 uguaglianze,
otteniamo:
a2 x a3 x … x an-1 x an = a1 x a2 x … x an-1 x q x q x … x q
e, dividendo ciascun membro per i fattori comuni ai due membri, si ha:
c.v.d
an = a1 x q ^n-1^
IL MODELLO DI MALTHUS
Chi è Malthus? Cosa pubblicò?

Thomas Robert Malthus fu un
economista e demografo inglese che nel
1798 pubblicò An Essay on the Principle
of Population , saggio riguardante
l’incremento demografico e i futuri
sviluppi della società. Secondo la teoria
di Malthus le risorse e i mezzi di
sussistenza tendono a crescere in
progressione aritmetica, mentre la
popolazione cresce in progressione
geometrica.
L’incremento della popolazione permette una maggiore forza
lavoro e quindi un aumento della produzione delle risorse di
sostentamento.
Perché allora alcune popolazioni non riescono a
sopravvivere?
Incremento demografico
Progressione geometrica
Un termine è uguale al precedente
moltiplicato per la ragione
an = an-1 x q
Oppure
an = a1 x q ^n-1^
Produzione delle risorse
Progressione aritmetica
Un termine è uguale al precedente
aumentato della ragione
an = an-1 + d
Oppure
an = a1 + (n-1) x d
quantità
popolazione
risorse alimentari
anni
Entrambe le progressioni sono crescenti perché hanno
ragione positiva; tuttavia la popolazione; crescendo in
progressione geometrica; ha un potenziale di
incremento molto più grande rispetto a quello delle
risorse che invece crescono in progressione aritmetica.
In questo modo la produzione delle risorse, soprattutto
quelle alimentari, non riesce a sostenere la crescita
della popolazione: una sempre maggiore quantità di
persone produrrà in proporzione una sempre minore
quantità di risorse sufficienti a sfamarla.

Tale squilibrio tra crescita demografica e
risorse disponibili può portare, secondo
Malthus, all’ arresto dello sviluppo
economico e progressivo immiserimento
della popolazione.
Conseguentemente la mancanza
 di risorse produce l ‘aumento del tasso
di mortalità e quindi una riduzione della
popolazione fino a una dimensione
sostenibile rispetto alle risorse stesse.

Karl Marx

Secondo gli economisti del diciannovesimo secolo,
come KARL MARX, la rivoluzione industriale, grazie
soprattutto all’ innovazione tecnologica, avrebbe
invece consentito di superare i vincoli maltusiani e
quindi permesso di sostenere la crescita
demografica.
REALIZZATO DA:
 Angelo Iallonardi
 Alessandro Mauthe
Grazie per l attenzione 

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